4.31探索三角形全等的条件
两个三角形全等的充要条件
两个三角形全等的充要条件
三条边对应相等；两条边和它们的夹角对应相等；两角及其一角的对边对应相等；两个角和它们的夹边对应相等；经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
三角形全等判定
全等三角形判定方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
全等三角形判定方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
全等三角形判定方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
全等三角形判定方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
全等三角形判定方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
04八年级—探索直角三角形全等的条件
探索直角三角形全等的条件知识点精析1、探索直角三角形全等的条件（1）已知两条线段画一个直角三角形，使它的一条直角边等于已知线段中较短线段，使它的斜边等于另一条较长的线段，通过作图可知，这样的三角形是唯一的，从而引出直角三角形全等的特有的识别方法。
（2）斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可简写成“斜边直角边”或“HL”。
注：斜边、直角边公理是判定两个直角三角形全等的一种特有的方法。
对于一般三角形而言，已知两边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角形未必全等，但当这个对角是直角时，这两个三角形一定全等。
因此在运用这个公理时应指明是在哪两个直角三角形中。
2、两个直角三角形全等的证明方法和思路（1）方法：由于直角三角形是一种特殊的三角形。
因此，一般三角形全等的识别方法对直角三角形而言同样适用。
又因为直角三角形是一种特殊的三角形，且“HL”是直角三角形全等的一种特殊识别方法，故直角三角形全等的识别方法有五种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL。
（2）思路：证明两个直角三角形全等首先考虑运用HL，再考虑用其他的几种方法。
运用其他方法时，要注意这两个三角形中已经有一对直角相等的条件，只须另找两个条件即可，而这两个条件中必须有一边对应相等。
（3）依据条件选择恰当的方法：①当有一条直角边和斜边对应相等时，用HL判别其全等；②当有两条直角边对应相等时，选用SAS判定其全等；③当有斜边和一锐角对应相等时，用AAS判定其全等；④当有一直角边和一锐角边对应相等时，用“ASA”或“AAS”判定它们全等。
解题方法指导知识点一直角三角形全等的识别方法这类题经常以选择题形式出现，解题关键是依据各选项用直角三角形全等的五种识别方法进行判别即可。
【例1】在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，下列条件中能判定Rt△ABC≌△A′B′C′的个数是（）（1）AC＝A′C′；（2）AC＝A′C′，AB＝A′B′；（3）AC＝A′C′，BC＝B′C′；（4）AB＝A′B′，∠A＝∠A′。
探索三角形全等的条件ppt课件
三角形全等条件的综合应用
[例2] 如图所示,已知点D在射线AE上,BD=CD,AE平分∠BAC与∠BDC,说
明:AB=AC.
解:因为AE平分∠BDC, 所以∠BDE=∠CDE. 因为∠BDA=180°-∠BDE, ∠CDA=180°-∠CDE, 所以∠BDA=∠CDA. 在△BDA和△CDA中, 因为AD=AD,∠BDA=∠CDA,BD=CD, 所以△BDA≌△CDA(SAS). 所以AB=AC.
解:∠A=∠C.理由如下: 如图所示,连接BD. 在△BAD和△DCB中, 因为AB=CD,AD=CB,BD=DB, 所以△BAD≌△DCB. 所以∠A=∠C.
第2课时 “ASA”“AAS”
根据“ASA”说明三角形全等
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写为“ “ ASA ”.
角边角
”或
[例1-1] 如图所示,已知点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,AB∥DE, ∠A=∠D,试说明△ACB≌△DFE.
3.如图所示,已知AD=CE,BD=BE,点B是AC的中点,∠ABD=6B. 在△ABD和△CBE中, 因为AD=CE,BD=BE,AB=CB, 所以△ABD≌△CBE(SSS). 所以∠ABD=∠CBE=60°. 所以∠DBE=180°-∠ABD-∠CBE=180°-60°-60°=60°.
[例1-1] (2023泸州)如图所示,点B在线段AC上,BD∥CE,AB=EC,DB=BC. 说明:AD=EB.
解:因为BD∥CE, 所以∠ABD=∠C. 在△ABD和△ECB中, 因为AB=EC,∠ABD=∠C,DB=BC, 所以△ABD≌△ECB(SAS), 所以AD=EB.
[例1-2] 如图所示,点C,F,E,B在一条直线上,∠CFD=∠BEA,CE=BF, DF=AE,试说明CD∥AB.
《探索三角形全等的条件》数学教案
《探索三角形全等的条件》数学教案教员以探求义务引导先生自学自悟的方式，提供了先生自主协作探求的舞台，营建了思想驰骋的空间，在阅历知识的发现进程中，培育了先生分类、探求、协作、归结的才干。
为了更好的将教与学无机结合，提高课堂教学效率，数学网小编与大家分享2021年«探求三角形全等的条件»数学教案，希望大家在学习中失掉提高。
一、教学内容剖析本节课选自北师大版«七年级数学下册»第五章第四节探求三角形全等的条件第一课时，本节课探求第一种判定方法—边边边，为了使先生更好地掌握这一局部外容，遵照启示式教学原那么，用设问方式创设效果情形，设计一系列实际活动，引导先生操作、观察、探求、交流、发现、思想，真正把先生放到主体位置，开展先生的空间观念，体会剖析效果、处置效果的方法，积聚数学活动阅历，为以后的证明打下基础。
二、先生学习状况剖析先生的知识技艺基础：先生在前几节中，曾经了解了三角形的有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，以及三角形三边之间的关系、图形的全等，对本节课要学习的三角形全等条件中的〝边边边〞和三角形的动摇性来说曾经具有了一定的知识技艺基础。
先生活动阅历基础：在相关知识的学习进程中，先生曾经阅历了一些探求图形全等的活动，经过拼图、折纸等方式处置了一些复杂的理想效果，取得了一些数学活动阅历的基础;同时在以前的数学学习中先生曾经阅历了很多协作学习的进程，具有了一定的协作学习的阅历，具有了一定的协作与交流的才干。
三、设计思想我们所在的学校处于郊区，教学设备完全，先生学习基础较好，在这之前他们已了解了图形全等的概念及特征，掌握了全等图形的对应边、对应角的关系，这为探求三角形全等的条件做好了知识上的预备。
另外，先生也基本具有了应用条件拼出三角形的才干，具有探求的热情和愿望，这使先生能自动参与本节课的操作、探求。
遵照启示式教学原那么，采用引探式教学方法。
用设问方式创设效果情形，设计一系列实际活动，引导先生操作、观察、探求、交流、发现、思想，真正把先生放到主体位置，开展先生的空间观念，体会剖析效果、处置效果的方法。
探索三角形全等的条件
1、探索两个三角形在只有一组量对应相等的情况下是否全等 2、探索两个三角形在有两组量对应相等的情况下是否全等 3、初步探索两个三角形在有三组量对应相等的情况下是否全等
学习重点：三条边对应相等的两个三角形全等 课前准备：三角板 量角器
一、探索三角形全等的条件： 1、只给出一个条件时，请你按要求作图，你能画出几个 这样的三角形，他们全等吗？ ①三角形的一个角是600
A C C'
B
A'
B'
∴△ABC≌ △A’B’C’（SSS）
1、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗？为什么？
2、一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等吗？为什么？
课下作业： 课本习题11.8及本节课所对应的基础训练的题目
60 3cm
总结：给出两个条件时，两个三角形不一定全等
60 3cm
3、给出三个条件时，你能说出哪几种情况 其中①、你能画出几个三角形，使它们的三个角分别为 300、600、900
60 30 90
30
60 90
总结：三个角对应相等的两个三角形，形状相同而大小不 一定相同，所以此时两个三角形不一定全等。 ②三条边对应相等的三角形全等吗？利用你手头上的纸筒来 验证一下，比较一下小组内的各位同学的三角形，你能得到 什么结论？
3cm
总结：只给出一个条件时，两个三角形不一定全等
2、给出两个条件时，请你按要求作图，你能画出几个这样的 三角形，它们全等吗？
① 、三角形的两边一边长2cm，一边长4cm
4cm 2cm
4cm
j
2cm
60 45
j
60 45
②三角形的一角为600一角为450 ③三角形一角为600，一边为3cm
三角形全等的条件 要点全析
三角形全等的条件·要点全析1．探索三角形全等的条件三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等．反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等．那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等．但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等．2．三角形全等的条件一：“SSS ”或“边边边”（1）SSS ：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”．（2）书写格式：如图13-2-1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，①⎪⎩⎪⎨⎧''''''，＝，＝，＝C B BC C A AC B A AB ② ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．③（3）书写格式的步骤分三步：第一步：指出在哪两个三角形中．如上边的①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中． 第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件．如上边的②． 第三步；写出结论，如上边的③，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．【说明】①第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“≌”，也不能取消．②第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应．一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边．③写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS ”或“边边边”．例如：如图13-2-2．已知AB ＝AC ，D 为BC 中点．试说明∠B ＝∠C 是否成立，为什么？解：∠B ＝∠C 成立．∵ D 为BC 中点，∴ BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠B ＝∠C （全等三角形的对应角相等）．【说明】①在本例中使用了证明的格式．②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号，前一个“∴”，是由前面大括号内的三个条件得出的．后一个“∴”，是将前一个“∴”当成了“∵”，然后推出后一个“∴”，这里省略了一步：∵△ABD ≌△ACD ．因此，今后在书写中要注意．3．三角形全等的条件二：“边角边”或“SAS ”（1）SAS ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS ”．（2）表达格式为在△ABC 和△DEF 中（图13-2-3）⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝EF BC DEF ABC DE AB∴ △ABC ≌△DEF （SAS ）．例如：如图13-2-4中，AD 、BC 相交于点O ．OA ＝OD ，OB ＝OC ，那么AB ＝DC 是否成立．解：∵ AD 、BC 相交于点O ，∴ ∠AOB ＝∠DOC （对顶角相等）．在△AOB 和△DOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（已知）＝（已证），＝（已知），＝OC OB DOC AOB OD OA∴ △AOB ≌△DOC （SAS ）．∴ AB ＝DC【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，再推出两个三角形全等．4．三角形全等的条件三：“角边角”或“ASA ”（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA ”．（2）表达格式：如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝DEF B DE AB D A ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．5．三角形全等的条件四：“角角边”或“AAS ”（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．（2）表达格式，如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝EF BC D A DEF B ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．例如：如图13-2-6中，AB ∥CD ，AE ∥DF ，AB ＝CD ．求证：AE ＝DF ．证明：∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABC ＝∠DCB ．∵ AE ∥DF ，∴ ∠AEB ＝∠DFC ．在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝（已证），＝DF AE DFC AEB DCF ABC∴ △ABE ≌△DCF （AAS ）．∴ AE ＝DF ．6．直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HL ”（1）HL ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”．（2）表达格式：如图13-2-7，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝AC 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎨⎧，＝，＝AD AD AC AB∴ Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）（3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角形全等的条件．如两条直角边对应相等，可用“SAS ”，一边一锐角对应相等可用“ASA ”或“AAS ”．它的特殊条件就是“斜边、直角边”．7．“角角角”与“边边角”在三角形全等的条件中，上面已说过的有：三边的SSS ，两边一角的SAS 和一边两角的ASA ，AAS ，那么“AAA ”和“SSA ”能否成为三角形全等的条件呢？（1）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图13-2-8，DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠A ，△ADE 与△ABC 有三角对应相等，但它们没有重合，所以不全等．（2）如图13-2-9，在△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等．也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．8．证明的意义和步骤（1）证明的意义证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程，简单地说，证明就是推理过程．（2）证明的步骤证明一个命题为正确的时候，其步骤如下：①弄清命题的条件和结论，画出图形．②根据条件，结合图形，写出已知．③根据结论，结合图形、写出求证．④写出证明过程．证明一个命题不正确的时候，只需举出一个反例即可．例如：若a 2＝b 2，则a ＝b ．这是一个错误命题，证明如下．证明：∵ （－5）2＝52＝25，而－5≠5．∴ 若a 2＝b 2，则a ＝b ，是一个错误命题．9．证明题目时常用的三种方法在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：（1）综合法就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法”．例如：如图13-2-10，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．求证：BF ＝DE ．分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠⇒⇒∠∠⇒C BDF AC DF CD BD BC D CDE B AB DE ＝∥＝的中心是＝∥△BFD ≌△DEC （ASA ） ⇒BF ＝DE （目标）．以上这种由因导果的方法就是综合法．（2）分析法就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法”．如上题，用分析法的探索过程如下：BF ＝DE ⇒△BFD ≌△DEC ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒∠∠⇒⇒⇒⇒∠∠已知∥＝已知中点是＝已知∥＝AC DF C BDF BC D CD BD AB DE CDE B（3）分析—综合法在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面． 即：例如：如图13-2-11，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 是AD 上任一点，连接EB 、EC ，求证：EB ＝EC ．分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程．先用综合：由因导果．⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒CD BD D AD AD AC AB ＝为中心＝＝△ABD ≌△ACD ⇒⎩⎨⎧∠∠∠∠．＝，＝CDA BDA CAD BAD再用分析：执果索因．EB ＝EC ⇒△ABE ≌△ACE ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒∠∠⇒已知＝＝已知＝AE AE CAEBAE AC AB ⇒△ABD ≌△ACD ． 证明：∵ D 是BC 的中心，∴ BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠BAD ＝∠CAD ．在△ABE 和△ACE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（公共边）＝（已证），＝（已知），＝AE AE CAE BAE AC AB∴ △ABE ≌△ACE （SAS ）．∴ BE ＝CE （全等三角形的对应边相等）．【说明】①本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选△BDE ≌△CDE ，方法同上．②本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路．10．判定两个三角形全等方法的选择在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等．如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等．（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等．（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等．（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等．例如：如图13-2-12，已知AB＝AC，BD＝CD，试判断∠B与∠C的关系，并说明理由．分析：要判断∠B与∠C的关系，先看∠B与∠C是否在两个全等三角形中，而此题没有两个全等三角形，只有一个四边形，目前由已知条件四边形ABDC，要创造三角形，可以连接AD或BC，那么连接谁更合适呢？若连接AD，则∠B、∠C分在左、右两个三角形中，若全等，则∠B＝∠C，事实上，∠B＝∠C，若连接BC，则∠B、∠C分在上、下两个三角形中，根据目前所学知识还不能确定∠B＝∠C因此，连接AD较为合适．解：∠B＝∠C连接AD，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B＝∠C12．探索三角形全等时常作的辅助线在利用三角形全等进行解题时，有时题目所给条件不足或不明显，还需从题目本身或图形中挖掘它的隐含条件，还有的需加上一些辅助线，为解题铺路搭桥，起到很好的辅助作用，这些辅助线常见的有以下几种：（1）连接图形中的已知点，构造全等形．例如：如图13-2-13，已知AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝CD ，AC ＝BD ，判断∠A 与∠D 的关系，并说明理由．解：∠A ＝∠D ．连接BC ，在△ABC 与△DCB 中，AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，则△ABC ≌△DCB （SSS ）．因此∠A ＝∠D ．（2）取线段中点构造全等三角形．例如：如图13-2-14，已知在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，试判断∠ABC 与∠DCB 的关系，并说明理由．解：∠ABC ＝∠DCB ．取AD 的中点N ，取月C 的中点M ．连接MN 、BN 、CN ，则AN ＝DN ，BM ＝CM ，在△ABN 和△DCN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠DC AB D A DN AN ＝＝＝△ABN ≌△DCN ，则∠ABN ＝∠DCN ，NB ＝NC （全等三角形的对应角、对应边相等）． 在△BMN 和△CMN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫MN MN CM BM CN BN ＝＝＝△BMN ≌△CMN ， 则∠MBN ＝∠MCN （全等三角形的对应角相等）．那么∠ABN ＋∠MBN ＝∠DCN ＋∠MCN ．即∠ABC ＝∠DCB ．【说明】在本题中，辅助线起到了很好的桥梁作用，为解题创造了条件．（3）有角平分线时，常在角两边截相等的线段，创造全等三角形．如图13-2-15，OC平分∠AOB，在OC上任取一点P，在OA、OB上截取OM＝ON，连接PM、PN，那么，PM＝PN．事实上，在△MOP和△NOP中，OM＝ON，∠MOP＝∠NOP，OP＝OP，则△MOP≌△NOP（SSS）．因此有PM＝PN．（4）三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形．如图13-2-16，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若延长AD至E，使AD＝DE，连接B E，在△ACD和△EBD中，BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝ED，则△ACD≌△EBD，因此BE＝AC13．利用全等三角形解决实际问题的步骤全等三角形在日常生活、科技生产中有很多的用途，在用它解决实际问题时可分以下几个步骤：（1）先明确实际问题与哪些知识有关，确定用哪些知识来解决．（2）根据实际问题画出图形．（3）结合图形写出已知和结论．（4）分析已知，找出解决问题的途径．（5）写出解决问题的过程（或探索过程）．例如：如图13-2-17，要测河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使E、C、A三点在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．你能用数学原理说明吗？分析：这是一个实际应用题，应先把其转化为数学问题，然后再解答．解：已知：AB⊥BF，DE⊥BF，A、C、E三点在一条直线上，BC＝DC．判断AB与DE是否相等？在△ABC和△DEC中，由于AB⊥BF，DE⊥BF，则∠ABC＝∠EDC＝90°，又A、C、E三点在一条直线上，则∠ACB＝∠ECD（对顶角）．又BC＝CD，则ABC≌△EDC（ASA），因此AB＝DE．。
探索三角形全等的条件(1)
08《§4.3.1 探索三角形全等的条件（1）》教学设计教材来源：义务教育课程标准试验教科书《数学》/北师大2013年版内容来源：初中七年级数学（下册）第四章《三角形》第3节主题：《探索三角形全等的条件（1）》课时：3课时，第1课时授课对象：七年级学生一、学习目标设置【课程标准】理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应角、对应边。
掌握基本事实：三边对应相等的两个三角形全等。
【教材分析】本节课选自北师大版《七年级数学下册》第四章第三节《探索三角形全等的条件》第一课时，本节课虽然是探索第一种判定方法—边边边，但是整个探索的过程，也是我们用来分析问题、解决问题的一个一般性的通法，是渗透数学思想的一个合适的机会。
为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，我引导学生，通过提出问题----画图、小组讨论、动画演示----得出结论，设计了一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，真正把学生放到主体位置，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验，为以后的证明打下基础。
【学情分析】学生在之前的几节课中，已经了解了三角形的有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），以及三角形三边之间的关系、图形的全等，对本节课要学习的三角形全等条件中的“边边边”和三角形的稳定性来说已经具备了一定的知识技能基础。
在图形全等和三角形全等的学习过程中，学生已经经历了一些探索图形全等的活动，通过拼图、折纸等方式解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和合作与交流的能力。
【学习目标】1、通过画图、小组讨论、动画演示，学生能得出三角形全等的“边边边”条件，并初步了解分析问题和解决问题的思路和方法。
2、能通过例题、学生演板、总结，用“边边边”判定两个三角形全等。
了解三角形的稳定性。
《探索三角形全等的条件》三角形
三角形全等是几何学的基础知识，可以进一步深入学习几何学中的其他 概念和定理，如相似形、勾股定理等，以更好地理解几何学的基本概念 和原理。
探索题目与思考
06
探索题目一：证明两个三角形全等
总结词
通过已知的信息，利用全等三角形的定义来证明两个三角形全等。
详细描述
首先，需要理解全等三角形的定义，即两个三角形全等，则它们的对应边和对应角都相等。然后，根据题目给出 的信息，如边长、角度等，利用这些信息来证明两个三角形全等。
总结词
角角边定理是指两个三角形的两个角对应相等，且这两个角所夹的边也相等，则这两个三角形全等。
详细描述
首先，需要证明两个三角形的两个角对应相等，且这两个角所夹的边也相等。这可以通过尺规作图或 利用已知条件证明得到。然后，根据角角边定理，可以直接判断这两个三角形全等。
三角形全等的应用
04
在几何中的应用
两边和它们的夹角对应相等的两个三 角形全等。
详细描述
边角边定理是三角形全等的重要判定 方法之一，即只要两个三角形的两边 和它们的夹角对应相等，那么这两个 三角形就全等。
角边角定理
总结词
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
详细描述
角边角定理是三角形全等的另一种重要判定方法，即只要两个三角形的两角和 它们的夹边对应相等，那么这两个三角形就全等。
探索题目二：找出三角形全等的条件
总结词
通过已知的信息，利用三角形的性质来找出 三角形全等的条件。
详细描述
首先，需要理解三角形的性质，即任何三角 形都具有稳定性、等边对等角、大边对大角 等性质。然后，根据题目给出的信息，如边 长、角度等，利用这些性质来找出三角形全 等的条件。
三角形的全等条件
三角形的全等条件在我们的数学世界中，三角形是一个非常重要的几何图形。
而判断两个三角形是否全等，有着特定的条件。
这些条件就像是一把把钥匙，能够帮助我们打开三角形全等的神秘之门。
首先，让我们来了解一下什么是三角形的全等。
简单地说，如果两个三角形能够完全重合，那么它们就是全等的。
这意味着它们的三条边和三个角都分别相等。
全等三角形的第一个条件是“边边边”（SSS）。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
想象一下，我们有两个三角形，它们的三条边长度完全一样。
就好像我们用三根同样长度的木棍分别搭成了两个架子，这两个架子的形状肯定是一模一样的，能够完全重合。
接下来是“边角边”（SAS）条件。
当两个三角形的两条边及其夹角分别相等时，这两个三角形全等。
比如说，我们有两个三角形，其中两条边的长度相等，并且这两条边所夹的角也相等。
就像是一个固定了两条边和它们之间夹角的框架，无论怎么摆，形状都是确定的，所以这样的两个三角形也是全等的。
然后是“角边角”（ASA）条件。
如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等。
可以这样理解，当我们确定了三角形的两个角和它们之间的那条边，就相当于确定了三角形的形状和大小，所以这样的两个三角形必然全等。
还有“角角边”（AAS）条件。
当两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等时，这两个三角形全等。
这就好比我们知道了三角形的两个角，以及其中一个角所对的边，也就能够确定这个三角形的形状和大小了。
除了以上这些常见的全等条件，还有一个特殊的情况，那就是直角三角形的全等条件。
对于直角三角形，除了可以使用上述的一般条件外，还有“斜边、直角边”（HL）条件。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。
这些全等条件在解决实际问题中非常有用。
比如，在测量、建筑、制图等领域，我们经常需要判断两个三角形是否全等，以便进行精确的计算和设计。
初中数学知识点精讲精析 探索三角形全等的条件
1.3 探索三角形全等的条件学习目标1.掌握三角形全等的条件。
并能利用这个条件判别两个三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。
2.经历观察、实验、归纳、猜想，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验，并培养其探索创新的精神，营造和谐、平等的学习氛围。
知识详解1.三角形全等的判定注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。
②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。
③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。
三角形全等条件：（1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等，简写“边边边”或“SSS”。
（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”。
（3）角角边：两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。
注意：（2）、（3）中必须是“两角夹一边”或“两角及其中一角的对边”对应相等，不能理解为“两角和任意一边”。
（4）边角边公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写“边角边”或“SAS”。
“斜边、直角边”或“HL”）。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：2. 判定两个三角形全等所需条件：（1）需要三个条件；（2）至少有一个条件为边。
3. 三角形中关于角、角平分线、中线及高的相关结论。
（1）在两个三角形中，有两组角对应相等，根据三角形内角和条件，则第三组角也对应相等。
（2）全等三角形对应角的平分线相等，对应边上的高相等。
4.三角形的稳定性只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
5. 现阶段三角形全等所需的三个条件常与下列几种情况有关：①利用中点的定义证明线段相等；②利用垂直的定义证明角相等；③利用平行线的性质证明角相等；④利用三角形的内角和等于180°证明角相等；⑤利用图形的和、差证明边或角相等。
湘教版解读-点拨113探索三角形全等的条件
** 探索三角形全等的条件Ⅰ.核心知识点扫描 1． 三角形全等的条件：①两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” . ②两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” . ③两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” . ④三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS” . 2．角平分线：①角平分线的作法（尺规作图）②角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 3．直角三角形全等的条件：①斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”，用字母表示为“HL” .②直角三角形全等的判定方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL 4．三角形的稳定性．Ⅱ.知识点全面突破知识点一 “边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” . 例．（2010，广西梧州）如图11-3-1，AB 是∠DAC 的平分线，且AD=AC.试说明BD=BC 的理由.图11-3-1解：因为AB 是∠DAC 的平分线 所以∠DAB=∠BAC 在△DAB 和△CAB 中DABC□C “SAS ”中的“A ”是两个“S ”的所夹的角．⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AB AB CAB DAB AC AD 所以△DAB ≌△CAB 所以BD=BC点拨：要善于发现题目中的隐含条件，本题的隐含条件是公共边.知识点二 “角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” . 例. 如图11-3-2，O 是BD 的中点，∠D=∠B ，△AOD 与△COB 全等吗？为什么？解：因为O 是BD 的中点，所以OD=OB ，因为 ，所以△AOC ≌△BOD.两角与夹边对应相等的两个三角形全等. 点拨:注意找出题目中的隐含条件:对顶角相等.知识点三 “角角边”两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” . 例．（2010，福建福州）如图11-3-3，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，BC ＝EF ，AB ∥DE ，∠A＝∠D． 说明△ABC≌△DEF 的理由．图11-3-3解：因为 AB∥DE．所以∠B ＝∠DEF ． 在△A BC 和△DEF 中，图11-3-2□C “ASA ”中的“S ”是两个“A ”的所夹的边．□C “AAS ”中的“S ”是两个“A ”中的一个的对边．∠D=∠BOD=OB ∠AOD=∠COBB DEF A D BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，．所以 △ABC≌△DEF．点拨：把题目中的间接条件AB∥DE转化为直接条件∠B ＝∠DEF ．知识点四 “边边边”三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS” . 例：如图11-3-4，已知AB=AD ，CB=CD ，∠DAC 与∠BAC 相等吗？为什么？图11-3-4解：∠DAC=∠BAC.理由：在△ABC 和△ADC 中，.AB AD BC DC AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝所以△ABC ≌△ADC(SSS)．所以∠DAC=∠BAC.(全等三角形的对应角相等)点拨：本题很容易从条件得出△ABC ≌△ADC ，证明方法是“SSS ”，所以很容易得出∠DAC 与∠BAC 相等．知识点五 角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等．这里有两个条件是必须存在的，□C 一是角平分线、二是必须有距离，才能说明距离相等． □C 到角两边距离相等的点在角的平分线上． 例：已知：如图11-3-5，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE⊥AC 于点E.已知PE=4，则点P 到AB 的距离是（ ） ** B.4 C.5 D.6图11-3-5PED A B C答案： D点拨： 点P 到AB 的距离等于点P 到AC 的距离，即P 到AB 的距离等于PE ．知识点六“斜边、直角边”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”，用字母表示为“HL” .【拓展延伸】□C判定三角形全等的方法总结判定方法 条 件 注 意“边角边”（SAS ） 两边和它们夹角对应相等 必须是两边夹一角不能是两边对一角 “角边角”(ASA) 两角和它们夹边对应相等 此两个判定方法常结合起来用.但不能理解为两角及任意一边“角角边”(AAS) 两角和其中一角的对边对应相等“边边边”(SSS) 三边对应相等 三边对应相等 “斜边直角边”(HL)斜边和一条直角边对应相等必须在直角三角形中 □C 注意：“SSA ”和“AAA ”不能判定两个三角形全等． □C 归纳：选择哪种判定方法，要根据具体已知条件而定，见下表 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等SAS SSS HL□C 注意：判定两个三角形全等至少要有一条边相等. 例：已知：如图11-3-6所示，△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于O 点，且BD=CE ，试说明OB=OC.图11-3-6解：因为CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，则∠BEC=∠CDB=90°□C “HL ”直角三角形全等的特殊的判定方法．所以在Rt △BCE 与Rt △CBD 中⎩⎨⎧==BCBC BDCE所以Rt △BCE ≌Rt △CBD(HL) 所以∠1=∠2，所以OB=OC点拨：欲证OB=OC 可证明∠1=∠2，由已知发现，∠1，∠2均在直角三角形中，因此证明△BCE 与△CBD 全等即可．知识点七 三角形的稳定性如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定.三角形的这种性质叫做三角形的稳定性.例：工人师傅在做完门框后．为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图11-3-7中的AB ，CD 两根木条），这样做根据的数学道理是______________ ___.图11-3-7答案：三角形的稳定性点拨：四边形不具备稳定性，加上两根木条后就形成了两个三角形，三角形具备稳定性，门框就不会变形了.Ⅲ.提升点全面突破提升点1：利用三角形全等证明线段、角相等问题例．（2010，四川宜宾）如图11-3-8，分别过点C 、B 作△ABC 的BC 边上的中线AD 及其延长线的垂线，垂足分别为E 、F ．说明BF=CE 的理由．图11-3-8解：因为CE⊥AF，FB⊥AF，所以∠DEC ＝∠DFB ＝90°，又因为AD 为BC 边上的中线，所以BD ＝CD ， 且∠EDC ＝∠FDB （对顶角相等），所以△BFD ≌△CDE （AAS ），所以BF=CE ．点拨：虽然这个题目中全等的两个三角形是直角三角形，但本题不是用“HL ”判定的，而用了一般三角形全等的判定方法“AAS ”．证明线段相等、角相等的常用方法是利用三角形全等．提升点2：利用图形中隐藏的条件构造全等例．（2010，福建宁德）（开放题）如图11-3-9，已知AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED ≌△AFD ，需添加一个条件是：_______________，并给予证明.图11-3-9答案：解法一：添加条件：AE ＝AF ，解：在△AED 与△AFD 中，∵AE ＝AF ，∠EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ， ∴△AED ≌△AFD （SAS ）. 解法二：添加条件：∠EDA ＝∠FDA ，解：在△AED 与△AFD 中，∵∠EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ，∠EDA ＝∠FDA ∴△AED ≌△AFD （ASA ）.点拨：对于这类开放题要看已有的条件是什么，本题已有条件是∠EAD ＝∠FAD 和AD=AD ，再添加一个角相等构成“ASA ”或“AAS ”，在添加一条边相等构成“SAS ”.提升点3：利用“截长补短”构造全等三角形例．（2010，湖北武汉）如图11-3-10，B ，F ，C ，E 在同一条直线上，点A ，D 在直线BE 的两侧，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BF=CE ．试说明：AC=DF.图11-3-10B D CAEF解：因为AB ∥DE ，所以∠ABC=∠DEF因为AC ∥DF ， 所以∠ABC=∠DEF 因为BF=CE ，所以BC=EF 所以△ABC ≌△DEF 所以AC=DF点拨：本题中的三个条件都是间接条件，要把它们一一转化为直接条件.提升点4：利用三角形全等测量两点之间的距离例．如图11-3-11，要测量池塘A 、B 两点间的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD ＝BC ，再过D 点作出BF 的垂线DG ，并在DG 上找一点E ，使A 、C 、E 在一条直线上，这时，测量DE 的长就是AB 的长，为什么？图11-3-11解：因为AB ⊥BC ，CD ⊥DE所以∠B ＝∠CDE ＝90° 又因为BC ＝CD ，∠ACB ＝∠DCE 根据“AAS ”，所以△ABC ≌△EDC所以AB ＝DE.点拨：构造全等三角形测两点之间的距离.Ⅳ.综合能力养成例．（开放题）（2010，江苏南通）如图11-3-12，已知：点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB=CE ，AC=DF ．能否由上面的已知条件证明AB ∥ED ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件．．．．．．．，添加到已知条件中，使AB ∥ED 成立，并给ABCDFE G出证明．供选择的三个条件（请从其中选择一个）： ①AB=ED ； ②BC=EF ； ③∠ACB=∠DFE ．解：由上面两条件不能证明AB//ED ．有两种添加方法． 第一种：FB=CE ，AC=DF 添加 ①AB=ED证明：因为FB=CE ，所以BC=EF ，又AC=EF ，AB=ED ，所以△ABC ≌△DEF 所以∠ABC=∠DEF ， 所以AB//ED ． 第二种：FB=CE ，AC=DF 添加 ③∠ACB=∠DFE证明：因为FB=CE ，所以BC=EF ，又∠ACB=∠DFE ，AC=EF ，所以△ABC ≌△DEF 所以∠ABC=∠DEF 所以AB//ED ．点拨：首先要认清题目中的已有条件，再把提供的三个条件带入，看能否构成三角形全等的判定方法．Ⅴ.分层实战训练A 组.基础训练1．（知识点1）如图11-3-13，AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，那么△ACD ≌△AEB 的依据是（ ）A. ASAB.AASC.SASD.SSS图11-3-132．（知识点2）如图11-3-14，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE=EC ，CF∥AB．试说明：AD=CFAB D EFC图11-3-123．（知识点3）（2010 ，重庆江津）已知：如图11-3-15，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．试说明：⑴△ABC≌△DEF；⑵BE＝CF．图11-3-154．（知识点4）已知，如图11-3-16，AB=CD,AE=DF,CE=FB.试说明：∠B=∠C.5．（知识点5）（2010，广西南宁）如图11-3-17所示，在R t△ABC中，∠A=90°,BD平分∠ABC，交AC于点D,且AB=4，BD=5,则点D到BC的距离是（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6图11-3-176．（知识点6）已知：如图11-3-18所示，∠B=∠E=90°，AC=DF，FB=EC.试说明：AB=DE.图11-3-187. （知识点7）图11-3-19是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的ABCDE F图11-3-14图11-3-16FEDCBA形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条.A. A、FB. B、EC. C、AD. E、F图11-3-198．（综合题）（2010，湖南娄底）如图11-3-20，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.试说明：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD.图11-3-20B组.培优训练1. （提升点3）（2010，北京）已知：如图11-3-21，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．说明∠ACE=∠DBF的理由．图11-3-212. （提升点2）已知：如图11-3-22，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC.探索AD与BC的位置关系，并说明理由.图11-3-223．（提升点1）已知：如图11-3-23，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E 、F.求证：CE=DF.图11-3-234．（提升点4）如图11-3-25，A 、B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A 、B 间的距离，但绳子不够长，你能帮他想个主意测量吗？（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤；（3）计算AB 的距离（写出求解或推理过程）．图11-3-25A 组.基础训练答案1. C 点拨：把间接条件转化为直接条件后很明显可以看出证全等的理由是“SAS ”.2. 解： 因为CF∥AB，所以∠A=∠ECF．在△AED 和△CEF 中A ECF AE CF AED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,所以△AED≌△CEF,所以AD=CF.点拨： 要说明AD=CF 只需要说明AB 、CD 所在的两个三角形全等即可.3. 解：(1)因为AC ∥DF所以∠ACB ＝∠F在△ABC 与△DEF 中ACB F A DAB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△DEF （AAS ）(2) 因为△ABC ≌△DEF所以BC=EFB A B所以BC –EC=EF –EC即BE=CF4.解：因为CE=CF ，所以CF=BE ，在△ABE 和△DCF 中AB DC AE DF CF BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以△ABE≌△DCF（SSS ）.点拨：当题目中要求说明两个角相等，往往需要用平行或者全等来说明.根据题目的条件，这里应该选用全等. 由CE=CF 可得CF=BE ，利用“SSS”可以得到△ABE≌△DCF，从而说明∠B=∠C .5. A 点拨：根据角平分线的性质可得D 点到BC 的距离就是DA ，再用勾股定理求出DA 的长即可.故选A.6. 解：因为FB=CE所以BC=FE在Rt △ABC 与Rt △DEF 中⎩⎨⎧==EFBC DF AC所以Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）所以AB=DE （全等三角形的对应边相等）点拨：AB 和DE 分布于两个直角三角形之中，所以只要证明这两个直角三角形全等就可以证出AB=DE.7. D 点拨：关键是看连接的那两个点有没有把四边形分割成三角形，然后利用三角形的稳定性.8.解：（1）因为E 是CD 的中点，所以DE=CE.因为AB//CD ，所以∠ADE=∠FCE ，∠DAE=∠CFE.所以△ADE ≌△FCE.所以FC=AD.（2）因为△ADE ≌△FCE ，所以AE=FE.又因为BE⊥AE ，所以BE 是线段AF 的垂直平分线，所以AB=FB.因为FB=BC+FC=BC+AD.所以AB==BC+AD.点拨：本题的图形比较复杂，要学会从复杂的图形中抽象出简单的图形，要能够发现本题中的BF 就是BC+AD.B 组.培优训练答案1．解：因为AB=DC所以AC=DB因为EA⊥AD，FD⊥AD所以∠A=∠D=90°在△EAC 与△FDB 中因为 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DB AC D A FD EA所以△EAC≌△FDB所以∠ACE=∠DBF．点拨：本题要注意AB=CD 不能直接用来证明两个三角形全等，要用“截长补短”的方法证出AC=BD 才可以证明两个三角形全等．2．解：因为AB ⊥BD CD ⊥BD所以∠ABD=∠BDC=90°所以在Rt △ABD 与Rt △CDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BD BD BDC ABD DC AB所以△ABD ≌△CDB （SAS ）所以∠ADB=∠DBC所以AD//BC点拨：在证全等的时候要能够发现题目中的隐含条件，本题的隐含条件就是BD=DB ．3．解：在Rt △ACB 与Rt △ABD 中因为 ⎩⎨⎧==ABAB AD BC所以Rt △ACB ≌Rt △BDF （HL ）所以∠CAB=∠DBA ，AC=BD在Rt △CAE 与Rt △BDF 中因为 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BD AC DBF CAE DFB CEA所以 △CAE ≌△BDF （AAS ）所以 CE=DF.点拨：本题要能发现要想证明CE=DF ，直接证△CAE ≌△BDF 条件不够，只有再从其他三角形全等里去提供条件．4． 解：(1)略(2)测量方法：在池塘边上找一点C ，连接AC 并处长至D ，使AC=DC ，同样连接BC并延长至E，使BC=EC，则DE=AB，量出DE的长度就是A、B间的距离。
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30o
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做一做
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可 能的情况？每种情况下作出的三角形一定 全等吗？分别按照下面的条件做一做。 (3) 三角形的两条边分别为4cm，6cm.
两个条件 也不能保证三角形全等.
(3)三角形的两条边分别是：4cm，6cm. 不一定全等
做一做
1. 只给一个条件(一条边或一个角)画三 角形时，大家画出的三角形一定全等吗？ 不一定全等 2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的 情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？ 不一定全等 分别按照下面的条件做一做。 (1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm； (2) 三角形的两个内角分别为30°和 50°； (3) 三角形的两条边分别为4cm，6cm.
在△ABC和△A'B'C'中 AB=A’B’ ∠ B= ∠ B’ BC=B’C’ 所以 ABC ≌ A'B'C'（SAS）
三角形全等判定方法1.
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简写成“边角边”或“SAS” 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 AB=DE
A
∠B=∠E BC=EF
E
F
动手做一做 准备几根硬纸条
（1）取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能 拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化 吗？ （2）取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动 其中两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成 一个五边形，又会怎么样？ （3）上面的现象说明了什么？
三角形的框架，它的大小和形状是固定不 变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳 定性。
想一想
要画一个三角形与小明画的三角形 全等，需要几个与边或角的大小有关的 条件呢？
做一做
1. 只给一个条件(一条边或一个角)画三 角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
一个条件 不能保证所画的三角形全等
有一条边对应相等的三角形 不一定全等
有一个角对应相等的三角形
不一定全等
做一做
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可 能的情况？每种情况下作出的三角形一定 全等吗？分别按照下面的条件做一做。 (1) 三角形的一个内角为30°，一条边 为3cm；
B
C
D
∴△ABC≌△DEF（SAS）
E
F
2.如图AC与BD相交于点O， 已知OA=OC，OB=OD，
A
B
O
D C
求证:△AOB≌△COD
证明: 在△AOB和△COD中 OA=OC ∠ AOB=∠COD ______________ OB=OD ∴△AOB≌△COD(
SAS )
例1
已知：如图，AB稳定性的例子吗？
你能找到图中的三角形吗？
你能说出为什么这些地方是三角形吗?
课内链接
1. 两个锐角对应相等的两个直角三角形 全等吗？为什么？ 解： 不一定全等 D A
B
C
E
F
RtΔABC和RtΔDEF不全等
课内链接
2. 已知：如图AB=CD,AD=BC，E，F是BD上 两点，且AE=CF,DE=BF,那么图中共有几对 全等的三角形？说明理由. 分析：可先通过观察， 初步判断有哪几对三 角形全等，然后再根 据条件判断。
A D
B
E
F
C
2.如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到： △AOC≌ △BOD(只允许添加一个条件)
B
C
O
A
D
小结： 两边和它们的夹角对应相等的两个三 角形全等。简写成“边角边”或“SAS” 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 AB=DE
A
∠B=∠E BC=EF
B
C
D
∴△ABC≌△DEF（SAS）
议一议
如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几 种可能的情况吗？
1.三个角 2.三条边 3.两边一角 4.两角一边
做一做
(1) 已知一个三角形的三个内角分别为40°， 60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画 的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全 等吗？ 三个内角对 应相等的两 个三角形不 一定全等
例2 如图，AC=BD，∠1= ∠2 求证:BC=AD
A
C
D
1
C 1 A C D D 2
2
B
变式1: 如图，AC=BD,BC=AD 求证:∠1= ∠2
B
变式2: 如图，AC=BD,BC=AD 求证:∠C=∠D A 变式3: 如图，AC=BD,BC=AD 求证:∠A=∠B A
B
C
D
B
• 巩固练习
1.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C 求证：∠A=∠D
解： 图中共有3对全 等的三角形.
A F E C D
B
课内链接
3. 已知：如图AB=CD,AD=BC.则∠A与∠C 相等吗？为什么？ A 分析：要说明∠A与 ∠C相等，可设法使它 们在两个可以全等的 三角形中，那么，全 等三角形的对应角相 等,为此变四边形为两 个三角形。 解： ∠A=∠C. D
B C 连接BD. 因为 AB=CD,AD=CB,BD=DB 所以ΔABD≌ΔCDB 所以∠A=∠C.
B 1 2 C
A
D
变式1:已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2
求证:(1) AD=CD (2)BD 平分∠ ADC
1 2 4 C
A
3
B
D
变式2: 已知:AD=CD，BD平分∠ADC 求证:∠A=∠C
B 1 2 C 归纳：证明两条线段相等或两个角相等可以通 过证明它们所在的两个三角形全等而得到。 D A
这节课你学到了什么？
1. 三角形全等的条件：
2.
三角形具有稳定性。
问题解决
如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中 AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R 重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上， 沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。你 A(R) 能说明其中的道理吗？
做一做
(2) 已知一个三角形的三条边分别为4cm，5cm 和一个角为50度，你能画出这个三角形吗？把 你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一 定全等吗？
两个三角形的二边对应相等且二对应 边所夹的角也对应相等，那么这两个 三角形全等，简写为“边角边”或 “SAS”。
数学表达式：
A A’
B
C
B’
C’
第四章
三角形
3 探索三角形全等的条件（第1课时）
教学目标
1：经历探索三角形全等条件的过程，体会分析问 题的方法。 2:掌握三角形全等的条件，并能利用这些条件判 别两个三角形是否全等。 3:了解三角形的稳定性及其在生活中的应用。
找一找
如图，
A D
B
C
E
F
已知：ΔABC≌ΔDEF. 试找出图中相等的边和角.
B
D
Q
C E
P
小明的思考过程如下： AB=AD ΔABC≌ΔADC BC=DC AC=AC 你能说出每一步的理由吗？
B
∠QRE=∠PRE.
A(R)
D
Q
C E
P
两个条件
（1) 三角形的一个角为30°,一条边为3cm； 不一定全等
30o 3cm
做一做
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可 能的情况？每种情况下作出的三角形一定 全等吗？分别按照下面的条件做一做。 (2) 三角形的两个内角分别为30°和 50°；
两个条件
(2)三角形的两个角分别是：30°，50°； 不一定全等