西电纠错码课件---第一章 绪论
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《纠错码概述》课件
03
常见的纠错码技术
奇偶校验码
总结词
简单但可靠性较低
详细描述
奇偶校验码是一种简单的错误检测和纠正方法，通过在数据中添加校验位，使得整个数据（包括校验位）中1的 个数为偶数（偶校验）或奇数（奇校验）。这种方法简单易行，但只能检测到一位错误，且无法纠正错误。
海明码
总结词
具有中等可靠性和实现复杂度
详细描述
词
度。
优化解码算法，降低其
详 细
计算复杂度和实现难度
描
，提高解码速度。
述
在解码过程中，采用多 径传播抑制技术，减少 多径干扰对解码的影响
。
1. 降低 复杂
度
解码算法的优化主要包 括以下几个方面
2. 改进 迭代 算法
通过改进迭代算法的收 敛速度和稳定性，提高
解码准确率。
3. 多径 传播 抑制
硬件实现优化
常见的纠错码编码方式有奇偶校验、 海明码、循环冗余校验（CRC）等。
纠错码的解码原理
纠错码解码是在接收端收到编码数据后，根据预先设定的解码算法，对接收到的 数据进行解码，以检测和纠正传输过程中产生的错误。
解码算法通常基于一定的数学原理，如代数、概率统计等，通过特定的计算方法 实现错误检测和纠正。
纠错码的性能指标
软件实现方式
通用软件实现
使用通用的编程语言（如C、C、Python等 ）来实现纠错码的编码和解码过程。这种方 式具有较低的成本和较好的跨平台性，适用 于对成本和灵活性要求较高的场景。
专用软件实现
针对特定的纠错码算法，使用专用的软件库 或工具来实现编码和解码过程。这种方式具 有较高的性能和效率，适用于对性能要求较
纠错能力
编码效率
(完整word版)西安电子科技大学信息论与编码理论讲义
《信息论》讲义204教研室2005年11月主要内容：第一章绪论第二章离散信源及其信息测度第三章离散信道及其信道容量第四章无失真信源编码第五章有噪信道编码第一章 绪论信息论——人们在长期通信工程的实践中，由通信技术与概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发展起来的一门学科。
奠基人——香农1948年发表了著名的论文——《通信的数学理论》，为信息论奠定了理论基础。
1.1 信息的概念人类离不开信息，信息的接收、传递、处理和利用时时刻刻都在发生。
如：“结绳记事”、“烽火告警”，信息的重要性是不言而喻的。
什么是信息？——信息论中最基本、最重要的概念。
信息与“消息”、“情报”、“知识”、“情况”等的区别：“情报”——人们对于某个特定对象所见、所闻、所理解而产生的知识。
是一类特定的信息。
“知识”——人们根据某种目的，从自然界收集得来的数据中，整理、概括、提取得到的有价值的、人们所需的信息。
是一种具有普遍和概括性质的高层次的信息。
“消息”——以文字、符号、数据、语言、音符、图片、图像等能够被人们感觉器官所感知的形式，表达客观物质运动和主观思维活动的状态。
消息包含信息，是信息的载体。
二者既有区别又有联系。
“信号”——消息的运载工具。
香农从研究通信系统传输的实质出发，对信息作了科学的定义，并进行了定性和定量的描述。
收信者：收到消息前，发送者发送的消息——1、描述的是何种事物运动状态的具体消息；2、描述的是这种消息还是那种消息；3、若存在干扰，所得消息是否正确与可靠。
存在“不知”、“不确定”或“疑问”收到消息后，知道消息的具体内容，原先的“不知”、“不确定”或“疑问”消除或部分消除了。
消息传递过程——从不知到知的过程；从知之甚少到知之甚多的过程；从不确定到部分确定或全部确定的过程。
通信过程——消除不确定性的过程。
不确定性的消除，就获得了信息。
若原先不确定性全部消除了，就获得了全部的消息；若消除了部分不确定性，就获得了部分信息；若原先不确定性没有任何消除，就没有获得任何消息。
第1章 绪 论西北工业大学微机原理PPT课件
17
1.2.7 基本逻辑电路
第一章 绪论
逻辑函数：Y=F（A，B）
（一）基本逻辑门电路（高电平表示逻辑“1”，低电平表示逻辑“0”）
A
&
Y
B
（与门）
A
≥1
Y
B
（或门）
A
&
Y
B
（与非门）
A
≥1
Y
B
（或非门）
A
1
A
Y
－1
Y
B
（非门）
（异或门）
18
第一章 绪论
提问与回答
用思想传递正能量
19
第一章 绪论
对任何一个数，若阶码j总是固定不变的，则把这种表示法称为 数的定点表示。
如果阶码j可以取不同的值，则把这种表示称为数的浮点表示。
14
1. 定点表示
第一章 绪论
若定点计算机的阶码j＝0，则该定点数只能是小数，其表示 的格式为:
数符. 数值
小数点的位置在符号位与尾数部分最高位之间。
若为8位机,其能表示的数的范围:－0.1111111B～＋0.1111111B
2
1.1 概 述
1.1.1 微型计算机的发展
1.1.2 微型计算机的特点
1、体积小、重量轻、功耗低
2、价格便宜
3、可靠性高
4、功能强、使用方便
5、维护方便
1.1.3 微型计算机的字长
字节 字
字长
第一章 绪论
3
1.2 运算基础
第一章 绪论
1.2.1 进位计数制
进位计数制 基数 位权
如：10011101B 1234/1234D
1．对于正数： 符号位用0表示，数字位同真值。 2．对于负数： 符号位用1表示，数字位为真值按位取反。
西安电子科技大学信号与系统课件ppt-第1章信号与系统
般步骤： (1)若信号 f(t)→f(at+b)，则先反转，后展缩，再平 移； ( ２ ) 若信号 f(mt+n)→f(t) ，则先平移，后展缩，再
反转；
(３)若信号f(mt+n)→f(at+b)，则先实现f(mt+n)→f(t)， 再进行f(t)→f(at+b)。
例１―４试粗略地画出下列信号的波形图： (1) f1(t)=(2-3e-t)· u(t)； (2) f2(t)=(5e-t-5e-3t)· u(t)； (3) f3(t)=e-|t|(-∞<t<∞)； (4) f4(t)=cosπ(t-1)· u(t+1)； (5) f5(t)=sin π /2 (1-t)· u(t-1)； (6) f6(t)=e-tcos10πt(u(t-1)-u(t-2))；
系统的输入和输出是连续时间变量 t 的函数，叫作
连续时间系统。输入用f(t)表示,输出用y(t)表示。
图1.6 连续时间信号及反转波形
图1.7 离散时间信号及反转波形
7.平移
以变量t- t0代替信号f(t)中的独立变量t，得信号f(tt0) ，它是信号 f(t) 沿时间轴平移 t0 的波形。这里 f(t) 与 f(t-t0)的波形形状完全一样,只是在位置上移动了t0(t0为 一实常数)。 t0 >0，f(t)右移； t0 <0，f(t)左移；平移距 离为| t0 |。 图１.８表示连续时间信号的平移。这类信号在雷 达、声纳和地震信号处理中经常遇到。利用位移信号
图1.9 f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形
9.综合变换 以变量at+b代替f(t)中的独立变量t，可得一新的信 号函数 f(at+b) 。当 a> ０时，它是 f(t) 沿时间轴展缩、平 移后的信号波形；当a<０时，它是f(t)沿时间轴展缩平 移和反转后的信号波形，下面举例说明其变换过程。
反转；
(３)若信号f(mt+n)→f(at+b)，则先实现f(mt+n)→f(t)， 再进行f(t)→f(at+b)。
例１―４试粗略地画出下列信号的波形图： (1) f1(t)=(2-3e-t)· u(t)； (2) f2(t)=(5e-t-5e-3t)· u(t)； (3) f3(t)=e-|t|(-∞<t<∞)； (4) f4(t)=cosπ(t-1)· u(t+1)； (5) f5(t)=sin π /2 (1-t)· u(t-1)； (6) f6(t)=e-tcos10πt(u(t-1)-u(t-2))；
系统的输入和输出是连续时间变量 t 的函数，叫作
连续时间系统。输入用f(t)表示,输出用y(t)表示。
图1.6 连续时间信号及反转波形
图1.7 离散时间信号及反转波形
7.平移
以变量t- t0代替信号f(t)中的独立变量t，得信号f(tt0) ，它是信号 f(t) 沿时间轴平移 t0 的波形。这里 f(t) 与 f(t-t0)的波形形状完全一样,只是在位置上移动了t0(t0为 一实常数)。 t0 >0，f(t)右移； t0 <0，f(t)左移；平移距 离为| t0 |。 图１.８表示连续时间信号的平移。这类信号在雷 达、声纳和地震信号处理中经常遇到。利用位移信号
图1.9 f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形
9.综合变换 以变量at+b代替f(t)中的独立变量t，可得一新的信 号函数 f(at+b) 。当 a> ０时，它是 f(t) 沿时间轴展缩、平 移后的信号波形；当a<０时，它是f(t)沿时间轴展缩平 移和反转后的信号波形，下面举例说明其变换过程。
第一章 纠错编码基本概念
5.根据码的结构特点来分类 根据码的结构特点的不同，可以将纠错 码分为循环码、非循环码、系统码和完备 码等。 6.根据对每个信息元保护能力是否相等来分类 根据对每个信息元保护能力是否相等 来分可分为等保护纠错码与不等保护（UEP） 纠错码。
图1-2 纠错码的分类示意图
1.3纠错编码的基本概念
定义1 码字是一些符号的序列。 定义2 码是称为码字（codeword）的向量的 集合。 定义3 一个码字（或任何向量）的汉明重量 （Hamming Weight）等于该码字中的非零元 素的个数。码字c的汉明重量记为w(c)。两 个码字之间的汉明距离（Hamming Distance） 是码字不相同的位置数目。两个码字c1和c2 之间的汉明距离记为d (c1 , c2 )。容易看出d (c1 , c2 )= w(c1 - c2 )。
(cn 1,, c1, c0 )或 (c0 , c1 , cn1 )， 定义8 设发码C：
( r , , r , r ) n 1 1 0 收码R： 或
(r0 , r1 , rn1 )
，
则定义信道的错误图样为 (en1 ,, e1 , e0 ) 或， (e0 , e1 , en1 ) E： 其中
可以把纠错编码（即差错控制编 码）看成是为提高通信系统的性能而 设计的信号变换，其目的是提高通信 的可靠性，使传输的消息更好地抵抗 各种信道损伤的影响，如噪声、干扰、 以及衰落等。
1.2纠错编码的分类
1.2.1差错控制编码的分类
1.2.2差错控制系统分类 1.2.3纠错编码的分类
1.2.1差错控制编码的分类
1.1纠错编码的理论基础
通信的目的是要把消息及时可靠地传送 给对方。 若要求快速，则必然使得每个数据码元 所占的时间缩短、波形变窄、能量减少，从 而在受到干扰后产生错误的可能性增加，传 送消息的可靠性减低。 若要求可靠，则使得传送消息的速率变 慢。 在数字通信系统中可靠与快速往往是一 对矛盾。 通信理论本身(包括纠错码)也正是在解决 这对矛盾中不断发展起来的。
西安电子科技大学纠错码课件8.MIMO技术与空时编码
18
国家重点实验室
空时码的设计准则
秩距离准则(1998年，Tarokh) 年 秩距离准则 迹距离准则(Yuan Jinhong) 迹距离准则 分集增益与复用增益最佳折中设计准则
19
国家重点实验室
秩距离准则——适用于高信噪比时 适用于高信噪比时 秩距离准则
1 1 c1 − e1 2 2 C − E = c1 − e1 ...... c n − en 1 1
13
国家重点实验室
空时信道容量——Ergodic信道容量 空时信道容量——Ergodic信道容量
14
国家重点实验室
空时信道容量——Ergodic信道容量 空时信道容量——Ergodic信道容量
SNR = P / σ 2
Large Antenna Array Regime n=m Cnn (SNR ) ≈ nc* (SNR )
m
国家重点实验室
秩距离准则——适用于高信噪比时 适用于高信噪比时 秩距离准则
准静态衰落信道下空时码的设计准则为： 准静态衰落信道下空时码的设计准则为：
秩准则: 若要达到最大的分集增益mn，集合中的每一个 差矩阵 B(C , Ε ) 必须是满秩的，若最小秩为r，则分集增 益最大可达mr 行列式准则：若系统的分集增益为mn，计算集合 中每个 A(C , Ε )的非零特征值之积的r次平方根得到集 合
)(
)
)(
)
= B (C , E )B (C , E )
H
Pair-wise error probability
的非零特征值。 r是矩阵 A(C , E ) 的秩， λ i 是矩阵A(C , E ) 的非零特征值。 是矩阵 的秩，
20
−m r 1 ≤ λ (E 4 N )− rm P (C → E ) ≤ n s 0 ∏ i i =1 ∏ (1 + λi Ed 4 N 0 ) i =1
国家重点实验室
空时码的设计准则
秩距离准则(1998年，Tarokh) 年 秩距离准则 迹距离准则(Yuan Jinhong) 迹距离准则 分集增益与复用增益最佳折中设计准则
19
国家重点实验室
秩距离准则——适用于高信噪比时 适用于高信噪比时 秩距离准则
1 1 c1 − e1 2 2 C − E = c1 − e1 ...... c n − en 1 1
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国家重点实验室
空时信道容量——Ergodic信道容量 空时信道容量——Ergodic信道容量
14
国家重点实验室
空时信道容量——Ergodic信道容量 空时信道容量——Ergodic信道容量
SNR = P / σ 2
Large Antenna Array Regime n=m Cnn (SNR ) ≈ nc* (SNR )
m
国家重点实验室
秩距离准则——适用于高信噪比时 适用于高信噪比时 秩距离准则
准静态衰落信道下空时码的设计准则为： 准静态衰落信道下空时码的设计准则为：
秩准则: 若要达到最大的分集增益mn，集合中的每一个 差矩阵 B(C , Ε ) 必须是满秩的，若最小秩为r，则分集增 益最大可达mr 行列式准则：若系统的分集增益为mn，计算集合 中每个 A(C , Ε )的非零特征值之积的r次平方根得到集 合
)(
)
)(
)
= B (C , E )B (C , E )
H
Pair-wise error probability
的非零特征值。 r是矩阵 A(C , E ) 的秩， λ i 是矩阵A(C , E ) 的非零特征值。 是矩阵 的秩，
20
−m r 1 ≤ λ (E 4 N )− rm P (C → E ) ≤ n s 0 ∏ i i =1 ∏ (1 + λi Ed 4 N 0 ) i =1
纠错码PPT
da min d, dmin(1Ci), i1,2,L,2k
min d, dmin(Ci), i1,2,L,2k
mind, n-dmax(C)
9
增余删信(Expurgated)码
基本原理
➢ 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
➢ 删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 阵有n列，k-1行，即得到一个[n, k-1, de]码
线性码是同距离分布码
2k
n
pud pj Aipei(1pe)ni
j1 i1
若码字等概发送
n
pud Ai pei (1pe)ni i1
平均不可检 错误概率
p u d2 (n k)(1 (1 p e)k)
20
译码错误与译码失败概率
teD译码器正确译码的概率
pwc it0nipei(1pe)ni
➢ 共有6种方法
3
扩展(Expanded)码
基本原理：对[n, k, d]线性分组码中的每一个码字，
增加一个校验元 ，c 0满足： c n - 1 c n -2 L c 0 c 0 0
c0 称为全校验位
➢ 若d为偶数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d]
➢ 若d为奇数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d+1]
13
修正的线性码
改变线性码参数n, k, n-k的任意两个 ➢ Shorten: 删除信息符号 nkfixed,k n ➢ lengthen: 增加信息符号 nkfixed,k n ➢ Puncture: 删除校验符号 kfixed,nk n ➢ Expand :增加校验符号 kfixed,nk n ➢ Expurgate: 删除码字，增加校验符号 nfixed,k nk ➢ Augment: 增加码字，删除校验符号 nfixed,k nk
min d, dmin(Ci), i1,2,L,2k
mind, n-dmax(C)
9
增余删信(Expurgated)码
基本原理
➢ 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
➢ 删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 阵有n列，k-1行，即得到一个[n, k-1, de]码
线性码是同距离分布码
2k
n
pud pj Aipei(1pe)ni
j1 i1
若码字等概发送
n
pud Ai pei (1pe)ni i1
平均不可检 错误概率
p u d2 (n k)(1 (1 p e)k)
20
译码错误与译码失败概率
teD译码器正确译码的概率
pwc it0nipei(1pe)ni
➢ 共有6种方法
3
扩展(Expanded)码
基本原理：对[n, k, d]线性分组码中的每一个码字，
增加一个校验元 ，c 0满足： c n - 1 c n -2 L c 0 c 0 0
c0 称为全校验位
➢ 若d为偶数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d]
➢ 若d为奇数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d+1]
13
修正的线性码
改变线性码参数n, k, n-k的任意两个 ➢ Shorten: 删除信息符号 nkfixed,k n ➢ lengthen: 增加信息符号 nkfixed,k n ➢ Puncture: 删除校验符号 kfixed,nk n ➢ Expand :增加校验符号 kfixed,nk n ➢ Expurgate: 删除码字，增加校验符号 nfixed,k nk ➢ Augment: 增加码字，删除校验符号 nfixed,k nk
PowerPoint演示文稿西安电子科技大学(精)
第 1章 绪 论
数据结构的内容
集合
1. 逻辑结构 数据元素之 间的关系 。 逻辑结构可 看作是从具 体问题抽象 出来的数学 模型。
线性表
树
图
第 1章 绪 论
学 校
系
处
研 究机 构
教 研室
实 验室
1
图1.2 学校组织层次结构图
2
5 4
3
图1.3 交通流量图
第 1章 绪 论
2. 存储结构（物理结构） 逻辑结构在计算机中的存储映象，是逻 辑结构在计算机中的实现，它包括数据 元素的表示和关系的表示。
顺序映象 （顺序存储结构） 非顺序映象（非顺序存储结构）
第 1章 绪 论
逻辑结构与存储结构的关系
存储结构是逻辑结构用计算机语言的实现； 如何用计算机语言表示数据元素之间的各种关系。 存储结构是逻辑关系的映象与元素本身的映象。逻辑结构是数
据结构的抽象，存储结构是数据结构的实现，两者综合起来建
第 1章 绪 论
第1章 绪论
1.1 什么是数据结构（定义） 1.2 数据结构的内容 1.3 算法 1.4 算法描述的工具 1.5 对算法作性能评价 1.6 关于学习数据结构
第 1章 绪 论
1.1 什么是数据结构（定义）
• 计算机的解题步骤
1、抽象出一个适当的数学模型； 2、设计解此数学模型的算法； 3、编写程序、测试、调整直到得到最终解答。
A
F
B
小张
小刘 小李
A
C C
B
D E
E
E C F
小红
小强
D
B
F
F
A
D
第 1章 绪 论
5. 数据类型(Data Type)
机械原理(朱龙英 西电版)第01章 绪论
第1章
绪论
1.4.1
机构结构理论
由于机器人、 步行机、 人工假肢和新型机器的发展需
要， 以及机器的动力源广泛采用液压与气动， 因此近年来 对于多自由度、 多闭环的多杆机构以及开式运动链的结构 理论有了较多的研究。 在机构结构理论方面的研究， 主要是机构的类型综合、 杆数综合和机构自由度的计算。 对平面机构来说， 虽然机 构结构的分析与综合研究比较成熟， 但仍有一些新的发展。
绪论
空间连杆机构分析与综合的计算公式和运算过程都比
较繁复， 常采用矢量、 张量、 矩阵、 对偶数、 四元数、
旋量计算等数学工具进行研究。 对于空间连杆机构的最 优化设计问题也开始加以研究。 近年来由于机器人技术 发展的需要， 对多自由度空间机构与开式空间运动链及 特殊串联和多环并联机器人机构的工作空间、 运动分析 与综合， 包括它们的动力学已作了不少有效的研究。
第1章
绪论
(3) 为现有机械的合理使用和革新改造打好基础。 对
于使用机械的工作人员来讲， 要充分发挥机械设备的潜力， 关键在于了解机械的性能。 通过学习机械原理课程， 应掌 握机构运动学和机械动力学的基本理论和基本技能， 并具 有拟定机械运动方案、 分析和设计机构的能力， 以合理使 用现有机械和革新改造旧机械。
机到车轮之间的变速器、 差速器等， 牛头刨床中从电动机
到刨刀之间的带传动机构、 齿轮机构、 导杆机构等部分。
第1章Biblioteka 绪论1.2 机械原理课程的内容和地位
1.2.1 机械原理课程的内容
1. 机构的运动设计 机构的运动设计主要研究机构的组成原理以及各种机构
的类型、 特点、 功用和运动设计方法; 通过机构类型综合，
第1章
绪论
理解纠错码基本概念
• 近年来,信道编码的趋势是实现高速数字通信系统 要求的可靠性,差错控制编码已成为现代通信系统 和数字存储系统设计中不可分割的一部分.
理解纠错码基本概念
Shannon——通信的数学理论(3)
信息理论与编码技术是通信发展的动力和源泉
纵观现代通信的发展历程，可以发现通信系统的每次重大变革都是 以信息理论与编码调制技术的重要突破为基础。
理解纠错码基本概念
汉明距离和重量
R和d0是(n，k)分组码的两个最重要参数。
纠错编码的基本任务之一就是构造出R一定、 d0尽可能大的码； 或d0一定、R尽可能高的码。
理解纠错码基本概念
Ex1 重复码
(1) (1，1)码。这种码n＝1，k＝1，d＝1，R＝1，显然无任 何抗干扰能力。设BSC中的pe＝0.1，则这种码的误码率仍为0.1。
Shannon 信息理论
网络编码与多用户协作编码 多用户预编码与多址编码 MIMO编码 信道编码
现代 无线 通信 系统
理解纠错码基本概念
Shannon——通信的数学理论(4)
Richard Blahut:
在我看来，两三百年之后，当人们回过头来看我们 这个时代的时候，他们可能不会记得谁曾是美国总 统，他们也不会记得谁曾是影星或摇滚歌星，但是 仍然会知晓Shannon的名字，学校里仍然会讲授信 息论。
称为该分组码的最小汉明距离d0，
d0 mi{nd(x,y)} x,y(n,k)
例如(3,2)码，n＝3，k＝2，共有22＝4个码字：000，011， 101，110，显然d0＝2。
d0是(n，k)分组码的另一个重要参数。它表明了分组码抗干
扰能力的大小。 d0越大，码的抗干扰能力越强， 在同样译码方法 下它的译码错误概率越小。
理解纠错码基本概念
Shannon——通信的数学理论(3)
信息理论与编码技术是通信发展的动力和源泉
纵观现代通信的发展历程，可以发现通信系统的每次重大变革都是 以信息理论与编码调制技术的重要突破为基础。
理解纠错码基本概念
汉明距离和重量
R和d0是(n，k)分组码的两个最重要参数。
纠错编码的基本任务之一就是构造出R一定、 d0尽可能大的码； 或d0一定、R尽可能高的码。
理解纠错码基本概念
Ex1 重复码
(1) (1，1)码。这种码n＝1，k＝1，d＝1，R＝1，显然无任 何抗干扰能力。设BSC中的pe＝0.1，则这种码的误码率仍为0.1。
Shannon 信息理论
网络编码与多用户协作编码 多用户预编码与多址编码 MIMO编码 信道编码
现代 无线 通信 系统
理解纠错码基本概念
Shannon——通信的数学理论(4)
Richard Blahut:
在我看来，两三百年之后，当人们回过头来看我们 这个时代的时候，他们可能不会记得谁曾是美国总 统，他们也不会记得谁曾是影星或摇滚歌星，但是 仍然会知晓Shannon的名字，学校里仍然会讲授信 息论。
称为该分组码的最小汉明距离d0，
d0 mi{nd(x,y)} x,y(n,k)
例如(3,2)码，n＝3，k＝2，共有22＝4个码字：000，011， 101，110，显然d0＝2。
d0是(n，k)分组码的另一个重要参数。它表明了分组码抗干
扰能力的大小。 d0越大，码的抗干扰能力越强， 在同样译码方法 下它的译码错误概率越小。
《纠错码原理与方法》课件
纠错码的实际应用
纠错码广泛应用于各个领域，包 括通信、存储、数字广播等，对 提高数据的可靠性和可用性起着 重要作用。
纠错码的意义和作用
纠错码保障了数据的完整性和准 确性，确保数据的正确传输和存 储，对保护数据的安全起着重要 作用。
RS码
1
RS码的定义
RS码是一种高效的纠错码，可以在数据中检测和纠正多个比特错误，具有较好的 纠错性能。
2
RS码的构造方法
通过选择适当的编码参数和生成多项式，构造出具有良好纠错能力的RS码。
3
RS码的纠错能力
RS码可以同时纠正多个比特错误，纠错能力与编码长度和生成多项式有关。
码块编码
1
码块编码的定义
BCH码
1
BCH码的定义
BCH码是一种广泛应用于数字通信和数据
BCH码的构造方法
2
存储的纠错码，具有较高的纠错能力。
通过选择合适的生成多项式和生成矩阵，
构造出具有良好性质的BCH码。
3
BCH码的纠错能力
BCH码可以检测和修复多个比特错误，纠
错能力取决于编码长度和纠错码的设计
BCH码的应用
4
参数。
BCH码广泛应用于数字通信领域，如无线 通信、卫星通信等，以及数据存储介质。
3
奇偶校验码的优缺点
奇偶校验码简单易实现，但只能检测和修复单个比特错误，纠错能力有限。
海明码
1
海明码的定义
海明码是一种多位错误检测和纠正的编码技术，能够检测、定位和修复多个比特 错误。
2
海明码的构造方法
通过增加冗余位到数据中，形成海明码矩阵，利用冗余位进行错误检测和纠正。
3
海明码的纠错原理
纠错编码的基本原理 共28页PPT30页
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
纠错编码的基本原理 共28页 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
纠错编码的基本原理 共28页 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
纠错码原理与方法精品课件
w(C1)=3, w(C2)=4 最小汉明距离：(n, k)分组码中，设任意两个码字 之最间小距汉离 明的 距最 离小值为d0，则d0定义为该分组码的
码纠错能力的判断
任一(n, k)分组码，若要在码字内： 1) 检测e个随机错误，则要求码的最小汉明 距离d0>=e+1 2) 纠正t个随机错误，则要求d0>=2t+1 3) 纠正t个随机错误，同时检测e (e>=t)个 错误，则要求d0>=e+t+1 4) 纠正t个随机错误和ρ个删除，则要求 d0>=2t+ρ+1
纠错码的基本原理
——纠错码如何纠正错误？
引入信道编码
检错和纠错：对付信道引入的差错
➢直观的译码准则：最小距离译码
Shannon第二定理
➢当信息速率R小于信道容量C时，总存在 一种编码方式使差错率低于任一给定值e
接近信道容量
重复码
00…00 11…11
许用码字
若将每个比特重复n次，则构成一个码长为 n，信息位长度为1的(n,1)重复码,且编码效 率(码率)R=1/n
非时变信道
➢ 当各因子具有相同的转移概率形式时
有记忆信道
实际的连续信道通常会有符号间串扰（ISI）， 因此是有记忆的，但在一种较常见的特殊情况 下，即在加性平稳白高斯噪声下的线性信道 （y=Ax+n）时，可以等效于一个无记忆信道。
有记忆信道的无记忆化
对A作线性变换使正交化得：A=UTU，其中 为A的特征值矩阵。代入得 y= UTUx+n，令 x=UTx’，y’=UTy，n=UTn’，则有y’=x’+n’。于 是对x’和y’而言就形成了一个无记忆信道。由于 U为正交变换，不会产生信息量丢失，因此可 以认为X’-Y’信道与X-Y信道是等价的。于是我 们就可以直接利用有关无记忆信道的编码了。
码纠错能力的判断
任一(n, k)分组码，若要在码字内： 1) 检测e个随机错误，则要求码的最小汉明 距离d0>=e+1 2) 纠正t个随机错误，则要求d0>=2t+1 3) 纠正t个随机错误，同时检测e (e>=t)个 错误，则要求d0>=e+t+1 4) 纠正t个随机错误和ρ个删除，则要求 d0>=2t+ρ+1
纠错码的基本原理
——纠错码如何纠正错误？
引入信道编码
检错和纠错：对付信道引入的差错
➢直观的译码准则：最小距离译码
Shannon第二定理
➢当信息速率R小于信道容量C时，总存在 一种编码方式使差错率低于任一给定值e
接近信道容量
重复码
00…00 11…11
许用码字
若将每个比特重复n次，则构成一个码长为 n，信息位长度为1的(n,1)重复码,且编码效 率(码率)R=1/n
非时变信道
➢ 当各因子具有相同的转移概率形式时
有记忆信道
实际的连续信道通常会有符号间串扰（ISI）， 因此是有记忆的，但在一种较常见的特殊情况 下，即在加性平稳白高斯噪声下的线性信道 （y=Ax+n）时，可以等效于一个无记忆信道。
有记忆信道的无记忆化
对A作线性变换使正交化得：A=UTU，其中 为A的特征值矩阵。代入得 y= UTUx+n，令 x=UTx’，y’=UTy，n=UTn’，则有y’=x’+n’。于 是对x’和y’而言就形成了一个无记忆信道。由于 U为正交变换，不会产生信息量丢失，因此可 以认为X’-Y’信道与X-Y信道是等价的。于是我 们就可以直接利用有关无记忆信道的编码了。
第一章纠错码基本概念
第一章 纠错码的基本概念 图 1 - 10 差错控制的基本方式
第一章 纠错码的基本概念
二、 纠错码的分类
上述各种差错控制系统中所用到的码，不外乎是能在译 码器自动发现错误的检错码，或者不仅能发现错误而且能自动 纠正错误的纠错码，或者能纠正删除错误的纠删码。但这三类 码之间没有明显区分，以后将看到，任何一类码，按照译码方 法不同， 均可作为检错码、 纠错码或纠删码来使用。
ARQ方式的优点是：
编译码设备简单；在一定的多余度码元下，检错码的检错能力 比纠错码的纠错能力要高得多，因而整个系统的纠错能力极强； 由于检错码的检错能力与信道干扰的变化基本无关，因此这种 系统的适应性很强，如短波、散射等干扰情况复杂的信道中。
第一章 纠错码的基本概念
(2) 前向纠错方式(FEC)
但由于实际信道干扰的复杂性，所引起的错误往往不是单纯的 一种，而是两种错误形式并存，只不过有的信道以某种错误形 式为主。
第一章 纠错码的基本概念
像这种随机错误与突发错误并存的信道，称为组合信道或复合 信道。作为检错与纠错用的抗干扰码，必须针对这几类信道， 设计能纠正随机错误或纠正突发错误的码，或者设计既能纠正 随机错误又能纠正突发错误的码。 克服突发错误有效的办法：级联交织
发送端发送能够被纠错的码，接收端收到这些码后，通过纠 错译码器不仅能自动地发现错误， 而且能自动地纠正接收 码字传输中的错误。
优点是不需要反馈信道，能进行一个用户对多个用户的同播 通信，译码实时性较好，控制电路比ARQ的简单。
缺点是译码设备复杂，所选用的纠错码必须与信道的干扰情 况相匹配，对信道的适应性差。
+ 01
0 01 1 10
× 01
0 01 1 10
为了简便，今后用+和×表示模2相加和相乘。 在模2情况 下， 加和减是一回事。
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国家重点实验室
HEC
发送端发送的码不仅能够被检测出错误，而且还具有一定的纠 错能力。 接收端收到码序列以后，首先检验错误情况，如果在纠错码的 纠错能力以内，则自动进行纠错。如果错误很多，超过了码的 纠错能力， 但能检测出来，则接收端通过反馈信道，要求发 端重新传送有错的消息。 一定程度上避免了FEC方式要求用复杂的译码设备和ARQ方 式信息连贯性差的缺点，并能达到较低的误码率， 因此在实 际中的应用越来越广。
国家重点实验室
Shannon——通信的数学理论(1)
• 给出了可概括一切通信系统的数学模型 • 用概率统计描述了模型的各个模块 • 给出了信息量的定义
• 实现有效而可靠通信的必由之路是数字 化和编码
国家重点实验室
Shannon——通信的数学理论(2)
• Shannon的信道编码定理指出 只要信息传输速率低于信道容量,通过对信息适当进行编码, 可在不牺牲信息传输或存储速率的情况下,将有噪信道或 存储媒质引入的差错减到任意低的程度.
• • • • • • • • • •
通信的数学理论，Shannon(1948) 汉明码，Hamming (1950) 级连码，Forney(1966) 卷积码及有效译码, (60年代) RS码及BCH码的有效译码(60年代) TCM，Ungerboeck(1982),Forney(1984) Turbo码，Berrou(1993) LDPC 码，Gallager(1963),Macky(1996) 空时编码,Tarokh(2000) 协作与网络编码(2000;2002)
国家重点实验室
信道编码的分类（1）
信道编码
分组码
卷积码
线性分组码
非线性分组码
线性卷积码
非线性卷积码
汉明码
循环码
国家重点实验室
信道编码的分类（2）
分组码：把信源输出的信息序列，以k个码元划分为一段， 通过 编码器把这段k个信息元按一定规则产生r个校验(监督)元， 输出 长为n＝k+r的一个码组。因此每一码组的校验元仅与本组的信息 元有关，而与别组无关。 分组码用(n，k)表示，n表示码长，k表示信息位。
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n=2时 许用码组：00，11 禁用码组：01，10 能够发现一个错误，但不能纠正错误 n=3时 许用码组：000，111 禁用码组：001, 010, 100, 译码正确 011, 101, 110 译码错误 能够纠正一个错误，发现两个错误 1 0
0.9 0.1 0.1 0.9 BSC信道
TCM(1976) CDMA(1980s） Turbo码(1993) MIMO (1995) 合作与网络编码 (2000)
电话Modem IS-95, 3G
3G,DVB, 802.16
B3G/4G 新一代无线系统
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编码调制技术贯穿整个 移动通信系统的设计
• 现代无线通信系统的设计是以Shannon理论为指导，以编 码为主线，通过（迭代式）编译码将各功能模块联成一个 有机的整体 网络编码与多用户协作编码 网络编码与多用户协作编码 Shannon 信息理论 多用户预编码与多址编码 多用户预编码与多址编码 MIMO编码 MIMO编码 信道编码 信道编码 现代 无线 通信 系统
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汉明距离和重量
最小汉明距离： (n ， k)分组码中，任两个码字之间距离的最小值，
称为该分组码的最小汉明距离d0，简称最小距离
d 0 = min {d ( x, y )}
x , y∈( n ,k )
例如(3,2)码，n＝3，k＝2，共有22 ＝4个码字：000，011， 101，110，显然d0＝2。 d0 是(n ， k)分组码的另一个重要参数。它表明了分组码抗干 扰能力的大小。 d0越大，码的抗干扰能力越强， 在同样译码方法 下它的译码错误概率越小。
差错控制系统分类
发 能够发现错误的码 收
ARQ 应答信号 发 FEC 可纠正错误的码 收
发 HEC
能够发现和纠正错误的码
收
应答信号
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ARQ
应用ARQ方式必须有一反馈信道，一般较适用于一个用户对一个用户（点 对点)的通信，且要求信源能够控制，系统收发两端必须互相配合、 密切协 作。控制电路比较复杂。 由于反馈重发的次数与信道干扰情况有关，若信道干扰很频繁，则系统经常 处于重发消息的状态， 因此这种方式传送消息的连贯性和实时性较差。 编译码设备比较简单；在一定的多余度码元下，检错码的检错能力比纠错 码的纠错能力要高得多，因而整个系统的纠错能力极强， 能获得极低的误 码率。 由于检错码的检错能力与信道干扰的变化基本无关，因此这种系统的适应性 很强，特别适应于短波、散射、有线等干扰情况特别复杂的信道中。
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1.2 纠错码的基本原理
重复码及重复码的纠错能力 纠错码的本质 汉明距离和汉明重量 信道编码纠错能力的判断 信道编码定理
国家重点实验室
重复码
许用码组(字)
• 0→0…00 • 1→1…11
• 其他所有二进制组合为禁用码组(字) • 若将每个比特重复n次，则构成一个码长为n，信 息位长度为1的(n,1)重复码,且编码效率(码 率)R=1/n
国家重点实验室
数字通信系统模型（5）
ˆ {m} ，称之为
信道译码器：将接收序列{R}变换为二进制序列 估计信息序列。
译码策略根据信道编码规则和信道的噪声特性设计。
本课程的另一主要内容，就是设计和实现使译码错误概率最小的 信道译码器。
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数字通信系统模型（6）
国家重点实验室
纠错码的发展概况
参考书
• “纠错码——原理与方法”，王新梅，西安电子科技大学出 版社，高等学校教材 • “Digital Modulation and Coding”, S. G. Wilson, Prentice Hall（“数字调制与编码”影印版，电子工业出版 社，通信与信息科学教育丛书） • “差错控制编码”, Shu Lin and D.J.Costello 著, 晏坚,何 元智,潘亚汉译,机械工业出版社
国家重点实验室
信道编码的分类（2）
卷积码：把信源输出的信息序列，以k0个(k0通常小于k)码元分为 一段，通过编码器输出长为n0(≥k0)一段的码段。 但是该码段的 n0-k0个校验元不仅与本组的信息元有关，而且也与其前m段的 信息元有关，称m为编码存贮。因此卷积码用(n0，k0，m)表示。
国家重点实验室
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纠错码与差错控制系统
李 颖 88204899 yli@
国家重点实验室
课程概况
• 目的：了解信道编码的作用与意义，对信 道编码的研究方法和成果有广泛的基本认 识，学会应用，为进一步研究打下基础 • 特点：以概念和物理意义为主，数学推导 尽量放到课外
国家重点实验室
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数字通信系统模型（4）
调制器或写入单元：将信道编码器输出的每个符号，转换为持续 时间为T秒的适合传输（或记录）的波形，这些波形进入信道或 存储媒质，并受到噪声的干扰。
解调器或读出单元：处理收到的每个持续时间为T秒的波形，然后 产生离散（量化）或连续（非量化）的输出。 解调器的输出序列称为接收序列{R}。
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FEC
发送端发送能够被纠错的码，接收端收到这些码后，通过纠 错译码器不仅能自动地发现错误， 而且能自动地纠正接收码字 传输中的错误。 不需要反馈信道，译码实时性较好，控制电路比ARQ的简单。 译码设备比较复杂，所选用的纠错码必须与信道的干扰情况 相匹配，因而对信道的适应性较差。 为了要获得比较低的误码率，往往必须以最坏的信道条件来 设计纠错码，故所需的多余度码元比检错码要多得多，从而使 编码效率很低。
• 近年来,信道编码的趋势是实现高速数字通信系统 要求的可靠性,差错控制编码已成为现代通信系统 和数字存储系统设计中不可分割的一部分.
国家重点实验室
Shannon——通信的数学理论(3)
• 信息理论与编码技术是通信发展的动力和源泉 – 纵观现代通信的发展历程，可以发现通信系统的每次重大变革都 是以信息理论与编码调制技术的重要突破为基础。
国家重点实验室
纠错码的本质
利用冗余降低差错概率，即在信息序列之后按照一定的规则 添加一定长度的保护比特(校验比特或监督比特)
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汉明距离和重量
汉明距离：两个n重x、y之间，对应位取值不同的个数，称为它 们之间的汉明距离，用d(x，y)表示。 例如，若x:(10101)，y： (01111)，则d(x，y)＝3 。 汉明重量：n重x中非零码元的个数，称为它的汉明重量， 简称 重量，用w(x)表示。 例如，若x： (10101)，则w(x)＝3。若y： (01111)，则w(y) ＝4，等等。
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数字通信系统模型（2）
信源编码器：将信源发出的消息如语言、 图像、文字等转换成为 二进制(也可转换成为多进制)形式的信息序列。 信源编码器的设计目标： （1）以最低的比特率表示信源的输出消息； （2）信源的输出可由信息序列{m}准确的重现。
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数字通信系统模型（3）
信道编码器：将信息序列{m}变换成离散的编码序列{C}，称之为 码字。 本课程的主要内容之一，就是设计和实现信道编码器，以抵抗传输 或存储码字所面临的噪声环境的影响。
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课程安排
• 考核形式：开卷考试或大作业 • 基本内容：
纠错码基本概念（1次,Chapter1） 基本数学知识(3次, Chapter2,4) 线性分组码（4次, Chapter3 ） 循环码的编译码算法(3次， Chapter5,6) BCH码和 RS码(3次， Chapter7) 卷积码的编译码算法(3次，Chapter10,11) Turbo码的编译码算法(2次，Chapter13) LDPC码的编译码算法(2次，Chapter13) 纠错码的最新研究动态(1次)