(完整word版)双曲线及其标准方程练习题.doc
双曲线及其标准方程(专题训练)
双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离 等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线. 如图所示：双曲线的概念注：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准 线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．标准方程 )0,0(12222>>=-b a by ax)0,0(12222>>=-b a bx ay图形性 质焦点F 1（-)0,c ，F 2（)0,cF 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 x≤-a 与x ≥ay ≤-a 与y ≥a对称性 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴A 1A 2长2a ，虚轴B 1B 2长2b准线cax 2±= cay 2±=渐近线 x ab y ±=.a y x b=±共渐近线的双曲线系方程λ=-2222by ax （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.题型一：双曲线定义问题1.若+∈R a ，方程()()2222556x y x y-+-++=，表示什么曲线？若改成：()()2222556x y x y -+-++= ？2．已知ABC ∆的顶点()4,0-A 、()4,0B ，且()4sin sin 3sin B A C -=，则顶点C 的轨迹方程是 3．双曲线221169xy-=上一点P 到左焦点的距离为15，那么该点到右焦点的距离为变式：设12,F F 是双曲线2211620xy-=的焦点，点P 是双曲线上的点，点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到2F 的距离。
4..若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x表示双曲线”的( )A. 充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.题型二，利用标准方程确定参数1. 求双曲线22254100x y -=-的实半轴长 虚半轴长 焦点坐标, 焦距 离心率 2．若方程22125xyk k-=+-表示x 型双曲线，则k 的取值范围是表示y 型双曲线，则k 是 表示双曲线，则k 的取值范围是 3.已知双曲线228y 8kx k -=的一个焦点为()3,0，k 为4．椭圆14222=+ay x与双曲线1222=-yax有相同的焦点，则a 的值是5变式：与椭圆224936x y +=有相同焦点，且过点()3,2的双曲线方程6．等轴双曲线的一个焦点是()16,0F -，则它的标准方程是题型三。
高中试卷-3.2.1双曲线及其标准方程 同步练习(Word含答案)(含答案)
3.2.1 双曲线及其标准方程（同步练习）一、选择题1.已知平面内两定点F1(－2,0)，F2(2,0)，下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是( )A.|PF1|－|PF2|＝±3B.|PF1|－|PF2|＝±4C.|PF1|－|PF2|＝±5D.|PF1|2－|PF2|2＝±42.已知双曲线x2a－3＋y22－a＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于( )A.32B.5C.7D.123.已知双曲线x24－y25＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )A.3或7B.6或14C.3D.74.已知双曲线的一个焦点为F1(0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程是( )A.x24－y2＝1 B.x2－y24＝1 C.x22－y23＝1 D.x23－y22＝15.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为0)和(0)，点P 在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x22－y23＝1 B.x23－y22＝1 C.x24－y2＝1 D.x2－y24＝16.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线7.已知P为双曲线x216－y29＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为( )B.10C.8D.68.(多选)关于方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)·(3－m)，m∈R所表示的曲线C 的形状，下列说法正确的是( )A.∀m∈(1,3)，曲线C为一个椭圆B.∀m∈(－∞，1)∪(3，＋∞)，曲线C 是双曲线C.∀m∈R，曲线C一定不是直线D.∃m∈(1,3)使曲线C不是椭圆二、填空题9.若曲线C ：mx 2＋(2－m)y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________10.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，线段AB 的长为5.若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是________11.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________12.已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的左焦点为F 1，点，P 是双曲线C 右支上的动点，则|PF 1|＋|PQ|的最小值等于________13.△ABC 中，A(－5,0)，B(5,0)，点C 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A －sin Bsin C＝________三、解答题14.已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所表示的曲线类型．15.设声速为k 米/秒，在相距10k 米的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差为6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．16.已知△ABC 的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．参考答案：一、选择题1.A2.D3.A4.B5.C6.A7.B8.BD二、填空题9.答案：(2，＋∞) 10.答案：26 11.答案：x 2－y 23＝1 12.答案：6 13.答案：±45 三、解答题14.解:(1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．15.解：以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系．设炮弹爆炸点的轨迹上的点P 的坐标为(x ，y)，则||PA|－|PB||＝6a<10a，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝6k,2c＝10k，从而a＝3k，c＝5k，b2＝c2－a2＝16k2. 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为x29k2－y216k2＝1.16.解：设顶点A的坐标为(x，y)，则k AB＝yx＋a，k AC＝yx－a.由题意，得yx＋a·yx－a＝m，即x2a2－y2ma2＝1(y≠0)．当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上；当m<－1时，椭圆焦点在y轴上；当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)．。
双曲线双曲线及其标准方程练习题(带答案)
双曲线双曲线及其标准方程练习题（带答案）双曲线及其标准方程练习一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（）A． B． C．或 D． 2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（） A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆 4．P为双曲线上的一点，F 为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（） A．内切 B．内切或外切 C．外切 D．相离或相交 5．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（）A．（-∞，0]∪[1，+∞） B．（-∞，0）∪（1，+∞） C．（-∞，-1）∪[1，+∞） D．（-∞，-1）∪（1，+∞） 6．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的一个公共点，则的值是（） A．m -a B． C． D．二、填空题 7．双曲线的一个焦点是，则m的值是________ _。
8．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题 9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km， A若炮击P地，求炮击的方位角。
答案与提示一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．A 二、7．-2 8．三、9．提示：易知由双曲线定义知即① 即此时点的轨迹为线段AB 的中垂线，其方程为x=1(y≠0) ② 即此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为（y≠0） 10．不存在 11．提示：以AB的中点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（-3，0），，依题意|PB|-|PA|=4 ∴ P 点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，其中c=3，2a=4，则，方程为又|PB|=|PC| ∴P在线段BC的垂直平分线上联立解得∴ 又∴α=60° ∴P点在A点东偏北60°处，即A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°。
(完整版)双曲线练习题
圆锥曲线与方程（双曲线练习题）一、选择题1.已知方程22121x y k k +=--的图象是双曲线，那么 的取值范围是（ ）A .B .C .D .2.双曲线22221(00)x y a b a b->>＝，的左、右焦点分别为12F ,F ,P 是双曲线上一点，满足212|PF F F |=，直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ）A.54B.533.过双曲线2212y x -=的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ）A .1条B .2条C .3条D .4条4.等轴双曲线222:C x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A,B 两点，AB ＝C 的实轴长等于（ ）5.已知双曲线x y m2219的一条渐近线的方程为yx 5，则双曲线的焦点到直线的距离为( ) A ．2 B . C . D . 6.若直线过点(3,0)与双曲线224936xy 只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A .1条B .2条C .3条D .4条7.方程221()23x y k k k -∈-+R ＝表示双曲线的充要条件是（ ）A.2k >或3k <-B.3k <-C.2k >D.32k -<<二、填空题8.过原点的直线，如果它与双曲线22134y x -=相交，则直线的斜率的取值范围是 .9.设为双曲线2214x y 上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是 ．10.过双曲线22221(,0)x y a b a b 的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .11.已知双曲线22221(00)x y a ,b a b-=>>的渐近线与圆22420x y x +-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．三、解答题（本题共3小题，共41分） 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为54； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为y x 3213.已知双曲线22221x y a b-＝(a ＞0，b ＞0)的右焦点为(0)F c,．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y x =且2c =，求双曲线的方程；（2）以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为求双曲线的离心率．14.已知双曲线x y a b 22221a b （0,0)的离心率23e，原点O 到过点(,0),(0,)A a B b （1）求双曲线的方程；（2）已知直线5(0)y kx k 交双曲线于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值一、选择题1.C 解析：由方程的图象是双曲线知，,即2.D 解析：设1PF 与圆相切于点M ，因为212PF F F =，所以12PF F △为等腰三角形，所以1114F M PF =. 又因为在直角1F MO △中，2222211FM FO a c a =-=-，所以1114F M b PF ==.① 又12222PF PF a c a =+=+，②222c a b =+,③由①②③解得53c a =．3.C 解析：由题意知，.当只与双曲线右支相交时，的最小值是通径长，长度为，此时只有一条直线符合条件； 当与双曲线的两支都相交时，的最小值是实轴两顶点间的距离，长度为，无最大值， 结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件. 综上可得，有3条直线符合条件.4.C 解析：设等轴双曲线C 的方程为22x y λ-=．①∵ 抛物线2162168y x p p ===，，，∴ 42p=．∴ 抛物线的准线方程为4x =-． 设等轴双曲线与抛物线的准线4x =-的两个交点为(4),(4)(0)A ,y B ,y y --->，则()2AB |y y |y =--==，∴y =．将4x =-，y =22(4)λ--=，∴ 4λ=.∴ 等轴双曲线C 的方程为224x y -=，即22144x y -＝.∴ 双曲线C 的实轴长为4．5.C 解析：双曲线2219x y m-=的一条渐近线方程为y ，即.不妨设双曲线的右焦点为,则焦点到直线l的距离为d =.6.C 解析：将双曲线化为标准方程为22194x y -=则点(3,0)为双曲线的右顶点.过点(3,0)与x 轴垂直的直线满足题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的两条直线也满足题意，因此这样的直线共有3条.7.A 解析：方程221()23＝x y k k k R -∈-+表示双曲线，当且仅当(2)(3)>0k k -+，∴ 2k >或3k <-.反之，当2k >或3k <-时，双曲线方程中分母同号，方程221()23＝x y k k k R -∈-+表示双曲线.二、填空题8.3,,⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∞∞ 解析：双曲线22134y x -=的渐近线方程为y =.若直线l 与双曲线相交，则k k >< 9. 解析：设,，则00,22x y xy，即，.将代入双曲线方程，得点的轨迹方程为224414x y ，即. 10.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN 为圆的直径且点A 在圆上，所以F 为圆的圆心，且所以2b c a a =+，即22c a c a a -=+.由c e a=，得2e e - 11.(1,2] 解析：由圆22420x y x +-+=化为22(2)2x y -+=，得到圆心(20)，，半径r∵ 双曲线22221(00)x y a ,b a b -=>>的渐近线b y x a±＝与圆22420x y x +-+=有交点，∴22b a≤．∴ 12c e a ＜＝．∴ 该双曲线的离心率的取值范围是(1,2]． 三、解答题12.解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为x y a b a b ()222210,0．由题意，得222212,5,4,b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩解得8,6.a b =⎧⎨=⎩所以双曲线的标准方程为2216436x y ．（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的标准方程为222210,0x y a b a b->>=()由题意，得2632a b a =⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得3,9,2a b ⎧==⎪⎨⎪⎩所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为2219814x y ．同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为22194y x ． 方法二：设以32y x 为渐近线的双曲线的方程为22(0).49x y λλ当λ＞时，6，解得λ94．此时，所求的双曲线的标准方程为2219814x y ． 当λ＜时，96λ，解得λ．此时，所求的双曲线的标准方程为22194y x． 13.解：（1）∵ 双曲线22221x y a b -＝的渐近线方程为b y x a=±，∴ 若双曲线的一条渐近线方程为y x =，可得1ba=，解得a b =.∵2c ==，∴a b ==由此可得双曲线的方程为22122x y -＝.（2）设点A 的坐标为()m,n ，可得直线AO的斜率满足n k m ==m =.① ∵ 以点O 为圆心，c 为半径的圆方程为222x y c +=， ∴ 将①代入圆方程，得2223n n c +=，解得12n c =，m =.将点12A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线方程，得2222121c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-＝. 化简，得2222223144c b c a a b -=.∵ 222c a b =+，∴ 将222b c a =-代入上式，化简、整理，得42243204c c a a -+=. 两边都除以4a ，整理，得423840e e -+=，解得223e =或22e =. ∵ 双曲线的离心率1e >，∴ 该双曲线的离心率2e =(负值舍去）. 14.解：（1）因为c a ，原点O 到直线：的距离abd ca b 223， 所以1, 3.b a 故所求双曲线的方程为22 1.3x y（2）把5y kx 代入2233x y 中,消去，整理，得22(13)30780k x kx .设C x y D x y CD 1122(,),(,),的中点是00,（）E x y ，则120215213x x k x k，y kx k 00255.13BEy k x k0011，所以000,x ky k 即2215501313k kk k k++=--. 又,所以,即。
(精校)《双曲线》练习题经典(含答案)(可编辑修改)
∴Error!＝－Error!，解得 λ＝－14。∴曲线 C 的方程是 x2－Error!＝1。
31．(本题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2, 0 ，右顶点为 3, 0 。
y2 D. － ＝1
3
11．设 F1，F2 是双曲线 x2－ ＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点,且 3｜PF1|＝4｜PF2｜，则△
PF1F2 的面积等于( C ） A．4Error!
B．8
C．24
D．48
12．过双曲线 x2－y2＝8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上，若｜PQ|＝7，F2 是双曲线的右焦点，
9λ
（2）由题设知直线 l 的方程为 y＝Error!x－2，设 A（x1，y1）,B(x2，y2），
联立方程组
y y2
2x x2
2, 1.
消去
y
得：（λ＋2)x2－4
x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解,∴λ＋2≠0 且 Δ>0,
∴λ>2 或 λ〈0 且 λ≠－2,x1·x2＝Error!,
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
17．如图，F1、F2 是双曲线
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过 F1 的直
线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）
A．4 B． C．
D．
18．如图，已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，｜F1F2|=4，P 是
30。已知 曲线 C： ＋x2＝1.
(完整版)双曲线基础练习题
(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。
通过一系列的基础练题，读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。
2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程，请绘制出相应的图像，然后回答相关问题。
1. 双曲线方程：$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2. 双曲线方程：$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2.2 数学概念的应用
回答下列问题，注意要用双曲线的相关概念来解释答案。
1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征？
2. 双曲线的离心率是什么？如何确定一个双曲线的离心率？
3. 通过改变双曲线方程中的参数，如何调整双曲线的形状？
3. 结论
通过完成上述练习题，读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。
这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程，还能够加深对双曲线的数学概念的理解。
继续探索和练习双曲线，
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。
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双曲线基础训练题（一）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（ D ）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF（C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb 13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x双曲线基础练习题（二）一. 选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程是A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=2.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 上，长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程是A. 2222143x y -=B. 22221135x y -=C. 2222134x y -= D. 222211312x y -=3. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率等于A ．53B ．43C ．54D ．324. 已知双曲线22112x y n n+=-，则n = A.2- B .4 C.6 D.8-5.设1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点,若1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，那么其离心率是A.32 B. 52C. 2D. 3 6．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线距离之比等于A C. 2 D.4 7．如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 的距离是A.B. C. D. 8.设12F F ，是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若其右支上存在一点P 使得1290F PF ∠=o,且12PF =,则e =A.B. 1C.D . 19. 若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是A ．3B ．5C D10. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o ，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+ B ．231+ C ．21+D ．31+11. 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABCD ．312. 设1,a >则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．B ．C ．(25)，D ．(213．已知双曲线()222102x y b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，它的一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =u u u r u u u u rgA ．12-B ．2-C ．0D ．414．双曲线22221x y a b-=的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则离心率e 的取值范围是A ．(1)，3B ．(1，3]C ．(3)∞，+D ．)+[3，∞15．设P 为双曲线22112y x -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，若1PF ：2PF =3：2，则12PF F ∆的面积为A ．B ．12C ．D ．2416．设1F 、2F 是双曲线2219y x -=的左、右焦点，P 为该双曲线上一点，且120PF PF =u u u r u u u u r g ，则12PF PF +=u u u r u u u u rA ．B ．CD ．二．填空题17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为18．以1(60)F -，，2(60)F ，为焦点,离心率2e =的双曲线的方程是19．中心在原点,一个焦点是1(30)F -，20y ±=的双曲线的方程为20．过点(20)N ，且与圆2240x y x ++=外切的动圆圆心的轨迹方程是21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 22． 已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =23．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近的夹角为3π，则双曲线的离心率为24．已知双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22a ，（O 为坐标原点），则该双曲线的两条渐近线的夹角为25．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN+-=26． 若双曲线22221x y a b-=的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e 取值范围是27．.P是曲线22221x y a b-=的右支上一点,F为其右焦点,M 是右准线:x l 与x 轴的交点,若60,PMF ∠=o 45PFM ∠=o ,则双曲线方程是28．过双曲线221916x y -=的右焦点F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A 为右顶点，则FAB ∆的面积等于 三．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是x=，离心率e =（2）中心在原点，离心率e =30.已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点(3P 在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程； ⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF =△S l 方程．双曲线练习题答案（二）一．选择题1．A 2. A3.A4. B 5. C6．C7．A8D9. D10. B11. B12. B13．C14．B15．B16B 二．填空题17．223144x y-=18．221927x y-=19．22145x y-=20．()22113yx x-=≥21．322．423．324．2π25．826．(11⎤⎦27．2211260x y-=28．3215二．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e=2214yx-=（2）中心在原点，离心率2e=顶点到渐近线的距离为5；2214xy-=30. 已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的两个焦点为1(20)F-，，2(20)F，，点(3P在双曲线C上．⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点(02)Q，的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，若OEF=△S l方程．⑴解略：双曲线方程为22122x y-=．⑵解：直线:l2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得22(1)460k x kx---=. ①Q直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，222110(4)46(1)0kkkk k≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，，,(1)(11)(1k∴∈--U U，.②设1122()()E x yF x y，，，，则由①式得12241kx xk+=-，12261x xk=--，EF ∴21k -而原点O 到直线l 的距离d =1122OEFS d EF ∴=⋅==△．若OEFS =△，即422201k k k=⇔--=-，解得k =此满足②故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+双曲线基础练习题（三）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x 12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。
(完整版)双曲线及其标准方程测试题及解析人教版
双曲线及其标准方程测试题及解析（人教版）§2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程课时目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为__________________________________________．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F1、F2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F1__________，F2__________.(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F1________，F2__________.(3)双曲线中a、b、c的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若ax2＋by2＝b(ab0)，则这个曲线是()A．双曲线，焦点在x轴上B．双曲线，焦点在y轴上C．椭圆，焦点在x轴上D．椭圆，焦点在y轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1C．y2－x23＝1D．x22－y22＝14．双曲线x2m－y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为()A．12B．1或3C．1＋22D．2－125．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为()A．抛物线B．圆C．双曲线的一支D．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是()A．x24－y2＝1B．x2－y24＝1C．x22－y23＝1D．x23－y22＝1题号123456答案二、填空题7．设F1、F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1→PF2→＝0，则|PF1||PF2|＝______. 8．已知方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．9．F1、F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1||PF2|＝32，则∠F1PF2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sinB －sinC＝12sinA，求动点A的轨迹方程．能力提升12．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP→FP→的取值范围为()A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)C．[－74，＋∞)D．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F1F2|以F1，F2为端点的两条射线不存在(2)双曲线的焦点双曲线的焦距2．(1)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)(－c,0)(c,0)(2)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)(0，－c)(0，c)(3)c2＝a2＋b2作业设计1．B[根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当2a|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．] 2．B[原方程可化为x2ba＋y2＝1，因为ab0，所以ba0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.]3．A[∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a2－32b2＝1.②由①②解得a2＝1，b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.]4．A[∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝12.]5．C[由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B[设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，因为c＝5，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以x2a2－y25－a2＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a2－165－a2＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－y24＝1.故选B.]7．2解析∵||PF1|－|PF2||＝4，又PF1⊥PF2，|F1F2|＝25，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1||PF2|＝2.8．－1k1解析因为方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)0.所以(k＋1)(k－1)0.所以－1k1.9．90°解析设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.在△F1PF2中，由余弦定理，得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cosα，∴cosα＝(r1－r2)2＋2r1r2－4c22r1r2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解方法一设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有42a2－(±15)2b2＝1，a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5. 所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±15，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以2a＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.11．解设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝2R，代入sinB－sinC＝12sinA，得|AC|2R－|AB|2R＝12|BC|2R，又|BC|＝8，所以|AC|－|AB|＝4.因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以a＝2，c＝4，b2＝12.所以A点的轨迹方程为x24－y212＝1(x2)．12．B[由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为x23－y2＝1.设P(x，y)(x≥3)，∴OP→FP→＝(x，y)(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋x23－1＝43x2＋2x－1(x≥3)．令g(x)＝43x2＋2x－1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g(3)＝3＋23.OP→FP→的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，且c＝7，则a2＋b2＝7.①由MN中点的横坐标为－23知，中点坐标为－23，－53.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∵x1＋x2＝－43y1＋y2＝－103，且y1－y2x1－x2＝1，∴2b2＝5a2.②由①，②求得a2＝2，b2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x22－y25＝1.。
(word)《双曲线》典型例题12例(含标准答案)
《双曲线》典型例题12例典型例例1讨论= i表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征. 2\_k 9-k分析：由于R H9,R H25,贝IJR的取值范围为R <9, 9vRv25, k <25 , 分别进行讨论.解：（1）当R <9时，25-R >0,9-k >0,所给方程表示椭圆，此时a2 =25-k , b'=9-k, c2=a2-b2=16,这些椭圆有共同的焦点（一4, 0）, （4, 0）.（2）当9vRv25时，25-《>0, 9-《<0,所给方程表示双曲线，此时，a2 =25-k , b~ =9-k , c2 =a2 4-Z?2 =16 ,这些双曲线也有共同的焦点（—4,0）,）（4, 0）.（3）Rv25, R = 9, k = 25吋，所给方程没有轨迹.说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线.称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些R值，画出其图形，体会一下儿何图形所带给人们的美感.典型例题二例2根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）过点,且焦点在坐标轴上.（2）C=yf6 ,经过点（一5, 2）,焦点在X轴上.（3）与双曲线三—22 = 1有相同焦点，且经过点（3^2,2）解：（1）设双曲线方程为-4-^ = 1•・• P、。
两点在双曲线上,*> r・•・所求双曲线方程为菩+辱=116 9说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求啲目的.（2） T 焦点在x 轴上，c = V6 ,・••设所求双曲线方程为：—-^- = 1 （其中Ov 久V6） A 6 —A•・•双曲线经过点（一5, 2）, -一 =1 2 6-2・・・/1 = 5或久=30 （舍去）・・・所求双曲线方程是—-r = 1 5说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.（3）设所求双曲线方程为： 丄——=1（0</1<16）16-A 4 + 2•・•双曲线过点（3屁）,•••几=4或久=一14 （舍）・・・所求双曲线方程为器违“ 说明：（1）注意到了与双曲线二-二=i 有公共焦点的双曲线系方程为16 4-」一=1后，便有了以上巧妙的设法.16-X 4 + X（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在 我们教学中应该注重的一个重要方而.典型例题三例3已知双曲线卫-匸=1的右焦点分别为什、化，点P 在双曲线上的左9 16 -支上且『斤『耳| = 32,求牛PF,的大小.9 225 —I ----- /n = -16n = 9分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形.解：•・•点P在双曲线的左支上・・・|昭-啓1 = 6:.\PF l[+\PF2『一2『引P可=36・・・|耐+啓『=100・.•応=4C2= 4（a2 +矿）=100・•・ ZFfF, = 90°说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.（2）题冃的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.典型例题四*7例4已知仟、化是双曲线= 1的两个焦点，点p在双曲线上且满足ZFfF. = 90°,求山/代的面积.分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积.解:VP为双曲线—-F = l上的一个点且尸「化为焦点.4 ・・••阳 - |P 坊 || =加=4,応耳 | = 2c = 245I ZFfF： = 90°・••在RZF化中，『斤f+『览『=応&『=20・・・㈣-阿『=附+阿-2|P引P鬥=16・•・20_2|呵阴=16・・・|卩斤卜『耳| = 2・・・Sw耳弓阿|・|P可=1说明；双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.典型例题五例5已知两点斤（-5,0）、化（5,0）,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹.分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹.解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线.*•' c = 5 > a = 3h~ =c2_a2 =52 -32 =42 = 16・••所求方程乂-乂=1为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线.9 16说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带來的繁琐运算.（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解.典型例题六例 6 在^ABC中，BC=2,且sinC-sinB = 1sinA ,求点 A 的轨迹.2分析：要求点A的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题, 如何建系呢？解，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系, 则〃（一1,0）, C（LO）・设A（x, y）,由sinC-sinB = gsin A及止弦定理可得：\AB\-\AC[ = ^\BC\ = 1I BC=2・••点A在以3、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：•>r二-匚= l（a>0・b>0）4・•・所求双曲线方程为4x2-^ = l3•・・网_阳=1>0/. x > —2・••点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7求下列动圆圆心M的轨迹方程：(1)与OC：(x+2)2 + y2 = 2 内切,且过点A(2,0)(2)与G)G： x2+(y-l)2=l#OC:： F + (y + l)：=4 茴］夕卜切.(3)与ocXx+s^ + r=9外切,且与©c2：(x-3)2+r = 1 内切.分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离.如果相切的OC^ OC,的半径为/;、□且/;>/;,则当它们外切时，|qoJ = /; + i当它们内切时，解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.解：设动圆M的半径为广(1) 与OM内切，点A在OC外\MC\ = r-41^ \M/\ = r t \M^-\MC\ = j2・••点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：a = , c = 2 »b2 =c2 -a2 =—2 2- •>・•・双曲线方程为2x2 -竽=心<-V2)(2)・・・0M与Oq、(DC,都外切|A/q| = r + l, |A/G| = r+2,|A/G|-|A/CJ = 1・••点M的轨迹是以q为焦点的双曲线的上支，且有：1 ，厂、r 3a = — , c = l, =—2 4・•・所求的双曲线的方程为：.r 4x2（、3）4y --------- = 1 y > —3 I/4 丿（3） TOM与OC\外切，且与（DC,内切|A/q| = r + 3, |MG| = r-l, |A/q|-|MG| = 4・••点M的轨迹是以C\、C,为焦点的双曲线的右支，且有：a = 2, c = 3, b2 =c2 -a2 = 5・・・所求双曲线方程为：4 5 V 7说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法.（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量.（3）通过以上题日的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标.典型例题八例8 在周长为48的直角三角形A/PN中，ZMPN=90。
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a2 k b2 k
a2 b2
A．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D． 相同的焦点
x2
7．过双曲线
16
y2 9
1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6，则 ABF2 （F2 为右焦点）的周长
是（ A ）
A．28
B．22
C．14
D．12
8．双曲线方程为 x 2 y 2 1，那么 k 的取值范围是 | k | 2 5 k
（D ）
A．k＞5
传承文明
B．2＜k＜5 C．－2＜k＜2 D．－2＜k＜2 或 k＞5
爱心教育
1
用思维去演绎你的学海生涯
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9．双曲线的渐近线方程是 y=±2x，那么双曲线方程是
（D）
A．x2－4y2=1 B．x2－4y2＝1
一个顶点到它的一条渐近线的距离是
（ D）
a
A．
c
b
B．
c
a
C．
e
b
D．
e
13．双曲线 x 2 y 2 1(n 1) 的两焦点为 F1，F2，P 在双曲线上，且满足 n
|PF1|+|PF2|= 2 n 2, 则△PF1F2 的面积为
（B）
1
A．
B．1
C．2
D．4
2
x2
14．二次曲线
y2
1， m [2,1] 时，该曲线的离心率 e 的取值范围是
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双曲线基础训练题（一）
1．到两定点 F1 3,0、 F2 3,0的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹
双曲线及其标准方程练习题
3.2.1 双曲线的定义及其标准方程(作业)一、选择题1.已知双曲线中a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为（ ）A .x 225－y 224＝1B .y 225－x 224＝1C .x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D .x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 2.方程x 22+m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A .－2＜m ＜2B .m ＞0C .m ≥0D .｜m ｜≥23.若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）满足b a＝√52，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则双曲线C的方程为（ ）A .x 24－y 25＝1B .x 28－y 210＝1C.x 25－y24＝1D.x24－y23＝14.双曲线x 225－y224＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（）A.1或21B.14或36C.2D.215.若双曲线E：x 29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且｜PF1｜＝3，则｜PF2｜＝（）A.11B.9C.5D.36.（多选）过点（1，1），且ba＝√2的双曲线的标准方程可以是（）A.x 21 2－y2＝1B.y212－x2＝1C.x2－y 21 2＝1D.y2－x212＝1二、填空题1.已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为 .2.若点P 是双曲线x 29－y 216＝1上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为 .三、解答题1.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是（－5，0），（5，0），双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点（3，√10）；(3)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上.。
人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题及答案.doc
人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题及答案人教版高二数学选修1-1双曲线及具标准方程练习题及答案一、选择题(每小题4分，共40分)1.反比例函数的图象在)A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第一、四象限2.如图1,在玄角ZXABC 屮，ZC = 90° ,若AB=5, AC = 4,贝ij tanZB=()(A) 35 (B) 45 (C) 34 (D) 433.已知:如图2, 在厶ABC屮，ZADE=ZC,则下列等式成立的是()(A) ADAB=AEAC (B) AEBC=ADBD(C) DEBC=AEAB (D) DEBC=ADAB4.袋中有3个红球，2个门球，若从袋中任意摸出1个球，则摸出白球的概率是()A. B. C. D.5.如图3, AB是O0的直径，弧BC二弧BD, ZA二25° ,则ZB0D的度数为()A. 25°B. 50°C. 12.5°D. 30°6.已知O01与002内切，它们的半径分别为2和3,则这两圆的圆心距d满足()(A) d=l (B) d=5 (C) l<d<5 (D) d >57.把抛物线y=3x2向右平移一•个单位，则所得抛物线的解析式为()A. y=3(x+l)2B. y=3(xT)2C. y二3x2+1D. y=3x2T8.如图4,身高为1・6m的某学生想测量-棵人树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点吋，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3. 2m , CA=0. 8m, 则树的高度为,，()A. 4.8m B・ 6. 4m C. 8m D. 10m9.抛物线y=ax2+bx+c的图角如图3,则下列结论：®abc>0；②a+b+c=2；③a> ； @b<l.其中正确的结论是（）（A）①②（B）②④（C）②③（D）③④10.小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x2-4x+5的值的情况，他们作了如下分丁.：小明负责找值为1时的x值，小亮负贵找值为0时的x值,小梅负责找最小值，小花负责找最大值。
双曲线标准方程习题.doc
双曲线标准方程习题1.双曲线2x2-y2=m的一个焦点是（0,巧），求m的值2.已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点（3, —4迈）和（牛，5）.3.求与双曲线話一*= 1有公共焦点，且过点（3边，2）的双曲线的方程4.焦点为（0,6）,且与双曲线^-/=1有相同的渐近线的双曲线方程0 95•已知方程歆+七"表示双曲线’求*的取值范围6.求双曲线眾-占“的焦距7.求双曲线匸-匸=1的焦点坐标k 4=1的渐近线与圆(x 一3)2 +/ = r 2(r>0)相切,求厂 213.双曲线二一68•求以双曲线?的左焦点为圆心，且与直线宀相切的圆的方程2 2 2 29.若椭圆二+二二1与双曲线一-—=1有相同的焦点，求实数m 的值4 〃厂 tn 210•等轴双曲线的一个焦点是R( —6,0)，则它的标准方程是2 911.已知双曲线C ：二一匚=1的焦距为10,点P(2, 1)在C 的渐近线上，求C 的方程 (T/?- 12•中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4, -2),求它的离心率14.双曲线mJ +尹2 =］的虚轴长是实轴长的2倍，求m 的值. 39 9 9 9点已知汝曲线务話"的离心率为2,焦点与椭圆余的焦点相同，求双曲线的焦点坐标和渐近线方程.16.已知:双曲线的两个焦点为F} (013), F2(O,13),其上一点卩满足|| PF}\-\PF2 ||= 24 , 求双曲线方程。
17.已知双曲线C：x2~y2= 1及直线/：y=kx~\.(1)若/与C有两个不同交点，求实数£的取值范围；(2)若/与C交于B两点，O是坐标原点，且的面积为求实数£的练习：1.双曲线X2-/=AA>0)的离心率e=( ).)• A- 19 B.—— 9 上二1 9 C.匚 9 9 D.—— 9 上=1 2 2 3・已知双曲线二一亠二1(Q >0, b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲 cr tr 线的离心率0为().4 小5 3 3 A. 2 B. 3 C. A. 2B. V3C. V2D. 1 X 2 o 2 曰共焦点，而与曲线詁討共渐近线的双曲线的方程为(4・已知双曲线W —加2/=］伽>0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为丄，则加等于（）.A. 1B. 2C. 3D. 45.双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x-2y+20=0±, e = |,则双曲线的标准方程为（）.2 o202922A. ------- -- = 1B.—- J c. r亠36 64643664363666.已知点円，尸2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF|F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为_____________ .7.若双曲线的离心率为厉，焦点在x轴上，则其渐近线方程为 ___________ .8.求与双曲线才-話二1有共同渐近线，且过点（-3, 2萌）的双曲线方程9.双曲线二一匚=l（a > 0" > 0）的一条渐近线方程为y二纟x,求离心率cT b~310.直线y = x + \与双曲线吕-「1相交于力两点，求的丫211.求过点M（3,-1）且被点M平分的双曲线一- / = 1的弦所在直线方程4。
(2021年整理)2.2.1双曲线及其标准方程练习题及答案
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双曲线基础测试41．已知)0,4(1-F 和)0,4(2F ,曲线上动点P 到1F 、2F 距离之差为6,则曲线方程为_______2．动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都相切，则动圆圆心的轨迹为____3．P 为双曲线12222=-b y a x 上的一点，F 为一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的 位置关系是_____4．若椭圆)0(122>>=+n m n y m x 和双曲线)0(122>>=-b a by a x 有相同的焦点1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，则||||21PF PF ⋅的值是________5．双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是_________。
双曲线及其标准方程练习题
课时作业(十)[学业水平层次]一、选择题1．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( )A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3)【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)． 【答案】 D3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1【解析】由⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C4．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A.2B. 3 C ．2D ．3【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝21＝2.【答案】 C 二、填空题5．设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________.【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或46．(2014·河南省洛阳高一月考)已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴①②满足条件．【答案】 ①②7．(2014·哈尔滨高二检测)已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________．【解析】 由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.【答案】 45 三、解答题8．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上． 依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 又两曲线有相同的焦点， ∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.①又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴4a 2－1b 2＝1.②由①、②联立，得a 2＝b 2＝3， 故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升层次]1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．3【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且 a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A2．(2014·桂林高二期末)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 不妨设P 是双曲线右支上一点， 在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12， ∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4.故选B. 【答案】 B3．(2014·福建省厦门一中期末考试)已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】 －14．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1、F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0， 则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为 x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)， 所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.。
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2.2.1 双曲线及其标准方程
x 2 y 2 ）
1.已知方程
1表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 k 的取值范围是（
9 k
k 3
A.3＜k ＜9
B.k ＞3
C.k ＞9
D.k ＜3
2.方程 x 2 +(k-1)y 2=k+1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 k 的取值范围是 （ ）
A.k ＜-1
B.k ＞ 1
C.-1＜ k ＜1
D.k ＜ -1 或 k ＞ 1
3.方程
x 2
y 2 1表示焦点在坐标轴上的双曲线，
则
α是第几象限的角（
）
sin
cos
A.二
B.四
C.二或四
D.一或三
4.已知双曲线的焦点 F 1（-4，0），F 2（ 4， 0），且经过点 M （2 6 ，2）的双曲线标准方
程
是 ______.
5.双曲线的焦点在 x 轴上，且经过点 M （3，2）、N （-2，-1），则双曲线标准方程是 ______.
双曲线
x 2 y 2 1 上点 P 到左焦点的距离为 6，这样的点有 ______个.
6.
12
4
3
7.双曲线 3x 2 -y 2=2 的右支上有一点 P ， P 到 x 轴、 y 轴的距离之比为
，则点 P 的坐标是
______.
8.若双曲线 x 2 -4y 2 =4 的焦点是 F 1、F 2 过 F 1 的直线交左支于 A 、B ，若|AB|=5，则△ AF 2B 的周长是 ______.
1 / 3
9.已知双曲线 x
2
y 2 1 ,过它的焦点且垂直于 x 轴的弦长是 ______. 25 24
10.在双曲线 x 2-y 2 =4 上的一点，使该点与焦点的连线互相垂直，则这个点坐标是
______.
11. 已知 12 是双曲线 x 2 2
1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足∠ F 1 PF
2 F 、 F y
4
=90°，求△ F 1PF 2 的面积 .
2 / 3
参考答案
1. C
2. C
3. C
4. y 2 x 2 1
5. x 2
y 2 1
6. 3
9 7
7 7
3 5
7.（
2 6
, 6 ） 8. 18
9.
48
3
5
10.（ 6 ， 2 ），（- 6 ， 2 ），（ 6 ，- 2 ），（- 6 ，- 2 ）
∵ 为双曲线 x 2
y 2
1 上的一个点且 F 1、
2 为焦点
. 11. P
4
F
∴ ||PF 1|-|PF 2||=2a=4,|F 1 F 2|=2c=2 5
∵∠ F 1PF 2=90°∴在 Rt △PF 1F 2 中 ,|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20
∵（ |PF 1|-|PF 2|）2=|PF 1 |2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16
∴20-2|PF 1||PF 2|=16
∴ |PF 1| ·|PF 2|=2
∴S
F PF
1
2
|PF 1| |PF ·2|=1 1
2
由此题可归纳出 S △ F1PF2=b 2
cot ∠
F 1
PF
2
2
3 / 3。