高考数学二轮复习 专题9 选做大题 1 坐标系与参数方程课件 理
坐标系与参数方程典型例题含高考题----答案详细)
选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下， 点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
高考数学(理科)一轮复习课件：坐标系与参数方程 第2节 参数方程
数学（人教A版 ·理科）(AH)
基础梳理
考点突破
课时训练
它表示中心在原点，实轴长为4|sin θ|，虚轴长为4|cos θ|，焦点在x轴上的双曲线；
当θ＝kπ(k∈Z)时，x＝0，它表示y轴， 当θ＝kπ＋π2(k∈Z)时，y＝0，x＝±t＋1t . 由于当t>0时，t＋1t ≥2； 当t<0时，t＋1t ≤－2， 于是|x|≥2.
考点突破
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(2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
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3．与参数方程xy＝ ＝2
t， 1－t
(t 为参数)等价的普通方程为
() A．x2＋y42＝1 B．x2＋y42＝1(0≤x≤1) C．x2＋y42＝1(0≤y≤2) D．x2＋y42＝1(0≤x≤1,0≤y≤2)
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(θ 为参数)
圆心在原点，半径为 R 的圆 椭圆ax22＋by22＝1 (a>b>0)
x＝ Rcos θ ， y＝Rsin θ.
(θ 为参数)
x＝acos φ， y＝bsin φ.
(φ 为参数)
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3.直线的参数方程的标准形式的应用
过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程是
2018年高考数学二轮复习第二部分专题九选做大题9.1坐标系与参数方程课件理选修4_4
(3)圆心位于 M ������,
π 2
,半径为 a:ρ=2asin θ.
5.曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是
������ = ������(������), 某个变量t的函数 ������ = ������(������), 并且对于t的每一个允许值,上式所确定 的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的参数方程,其中变 量t称为参数.
-6-
年份
卷 设问特点 别 全 国 求参数方程的极坐 标方程;求半径 求圆的极坐标方程; 求直线的斜率 参数方程、 极坐标方 程化为普通方程;求 两点距离的最值及 点的直角坐标
涉及知识点
Ⅰ
全 2016 国
Ⅱ
全 国
Ⅲ
题目类 解题思 型 想方法 消元法, 参数方 参数方程,极坐 代入法, 程,极坐 标,直线,圆 ,交点 方程思 标 想 参数方程,极坐 参数方 代入法, 标,直线,圆 ,距离, 程,极坐 转化思 斜率 标 想 消元法, 参数方程,极坐 参数方 代入法, 标,椭圆,直线 ,点 程,极坐 转化思 到直线的距离 标 想
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卷 题目类 解题思 设问特点 涉及知识点 别 型 想方法 全 求直线与圆的极坐 直线,圆,极坐标, 代入法, 极坐 国 标方程;求三角形面 距离,三角形面 转化思 标 Ⅰ 积 积 想 2015 参数 方程思 全 求两极坐标方程交 参数方程,极坐 方程, 想,消元 国 点的直角坐标;求两 标,圆,三角函数 极坐 法,转化 Ⅱ 点距离的最值 化简,最值 标 思想 年份
(3)直线过 M ������,
π 2
,且平行于极轴:ρ sin θ=b.
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4.圆的极坐标方程 2 若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ ������0 r2=0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)圆心位于极点,半径为r:ρ=r; (2)圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos θ;
超实用高考数学重难点专题复习：专题九 坐标系与参数方程
极坐标是 ( , ) ，则
x cos
y sin
2 x2 y 2
y
tan
( x 0)
x
2．圆的极坐标方程
(1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－
函数专题；平面向量与解析几何专题；空间向量与立体几何专题；概率与统
计专题；数列与不等式专题等；通过这几个版块的复习目标在于提高学生解
答高考解答题的能力。此阶段学生不应沉迷于套卷演练，而应以典型例题为
载体，以数学思想方法的灵活运用为线索，讲求解题策略，使自己在第一轮
复习的基础上，数学素质得以明显提升。值得注意的是在这个阶段当年的《
卷和地方卷，其次最好能找到近5年以来各区的统考试题，在做题的过程中来巩
固前面复习过的考点。同时最后的复习别忘了课本，特别是在考前应该再次翻
开课本把里面公式和定理再看看，把典型的例题再做做，因为书上的例题毕竟
比较简单，在考前做例题一是防止手生，便于高考正常发挥，一是有助于提高
我们的自信心。
在高考复习的整个过程中，我们最好能建立一个积错本。就是要求我们在
每次在做题时能善始善终，才能提高我们运算的准确度，避免计算失误！对于
第二种审题失误，比如在有一年的高考中让你求的是极值，而我们很多同学求
的是最值，画蛇添足，浪费了时间还要扣分，对于这种情况，我想在考试时一
定要先把题仔细阅读一遍，甚至可以把试卷上关键字做上记号来提示你充分而
准确地利用已知条件，这是一个不错的办法，同学们不妨可以试试！对于第三
研究；
高三数学二轮复习 坐标系与参数方程 课件(全国通用)
坐标系与参数方程
第 1页
高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换， 直线和圆的极 坐标方程，参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及 参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为 主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．
第 2页
[考题回访] 1．(2016· 全国新课标卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的
π Mb，2且平行于极轴：ρsin
θ＝b.
第11页
3．圆的极坐标方程 圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的方程为
2 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(r,0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ； (3)当圆心位于
A，B 两点，|AB|＝ 10，求 l 的斜率．
第 6页
解：(1)由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得 圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中， 直线 l 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R)． 设 A，B 所对应的极径分别为 ρ1，ρ2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是 ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝ 144cos2α－44.
第 5页
2．(2016· 全国新课标卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方 程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l
x＝tcos α， 的参数方程是 y＝tsin α
2019高考数学二轮复习第17讲坐标系与参数方程课件理
所以C2的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2.
(2)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程,得 (tcos φ+1)2+(tsin φ-1)2=2,即t2+2(cos φ-sin φ)t=0,
解得t1=0,t2=2(sin φ-cos φ),
由直线l与曲线C2有且只有一个公共点,得sin φ-cos φ=0,
2.圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+
2 ρ0 -r2=0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为r时:ρ=r; (2)当圆心为M(a,0),半径为a时:ρ=2acos θ;
,半径为a时:ρ=2asin θ. (3)当圆心为M a, 2
x m 2t , l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正 y 2t 4 半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2= 2 ,且 1 sin θ
直线l经过曲线C的左焦点F. (1)求直线l的普通方程; (2)设曲线C的内接矩形的周长为L,求L的最大值.
(3)利用极坐标方程解决问题时,要注意题目所给的限制条件及隐
含条件.
(2018唐山五校联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极 轴为x轴的正半轴,两种坐标系的长度单位相同.已知圆C1的极坐 标方程为ρ=4(cos θ+sin θ),P是C1上一动点,点Q在射线OP上且满
1 足|OQ|= 2 |OP|,点Q的轨迹为C2.
A 即tP=
x t P cos α, 又点P的坐标(x,y)满足 y 2 t P sin α,
2023届高考二轮总复习试题适用于老高考旧教材数学(理) 坐标系与参数方程(选修4—4)(含解析)
考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.(2020·全国Ⅱ·理22)已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:{x =4cos 2θ,y =4sin 2θ(θ为参数),C 2:{x =t +1t,y =t -1t(t 为参数).(1)将C 1,C 2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C 1,C 2的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.2.(2022·陕西榆林三模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0. (1)求C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程.(2)若P 为C 上任意一点,A 为l 上任意一点,求|PA|的最小值.3.(2022·安徽怀南一模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =t 2,y =2t (t 为参数),以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为2cos α-sin α=4ρ. (1)求曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程.4.(2022·陕西榆林二模)在数学中,有许多方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为ρ=1-sin θ(0≤θ<2π,ρ≥0),M 为该曲线上一动点. (1)当|OM|=12时,求M 的直角坐标;(2)若射线OM 逆时针旋转π2后与该曲线交于点N ,求△OMN 面积的最大值.5.(2022·安徽合肥二模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=acos2θ(a>0,ρ∈R ). (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线θ=π4(ρ∈R )与直线l 交于点M ,直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于点A ,B ,且AM ⊥BM ,求实数a 的值.6.(2022·安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2sinα,y =2cosα+1(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的直角坐标方程为x+√3y-2√3=0. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程;(2)若直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于A ,B 两点,与直线l 交于点M ,求|MA|·|MB|的值.7.(2022·河南郑州二模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数).已知M是曲线C 1上的动点,将OM 绕点O 逆时针旋转90°得到ON ,设点N 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)设点Q (1,0),若射线l :θ=π3与曲线C 1,C 2分别相交于异于极点O 的A ,B 两点,求△ABQ 的面积.8.(2022·山西太原一模)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =-2+35t ,y =2+45t (t 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρsin θ-3=0,点P 的极坐标为2√2,3π4.(1)求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,求点P 到线段AB 的中点M 的距离.考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.解 (1)C 1的普通方程为x+y=4(0≤x ≤4). 由C 2的参数方程得x 2=t 2+1t2+2,y 2=t 2+1t2-2, 所以x 2-y 2=4.故C 2的普通方程为x 2-y 2=4. (2)由{x +y =4,x 2-y 2=4得 {x =52,y =32,所以P 的直角坐标为(52,32). 设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0),由题意得x 02=(x 0-52)2+94,解得x 0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为ρ=175cos θ.2.解 (1)因为曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数),所以C 的普通方程为x 216+y 29=1.又因为直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0,所以直线l 的直角坐标方程为x+y-12=0. (2)设P (4cos θ,3sin θ),|PA|的最小值即点P 到直线l 的距离的最小值,由√2=√2≥7√22,其中tan φ=43.当且仅当θ+φ=π2+2k π,k ∈Z 时取等号,故|PA|的最小值为7√22. 3.解 (1)由{x =t 2,y =2t (t 为参数),得{x =t 2,y 2=t (t 为参数),消去参数t ,得y 2=4x ,即曲线C 的普通方程为y 2=4x.(2)由2cos α-sin α=4ρ,得2x-y=4, 联立{y 2=4x ,2x -y =4得A (1,-2),B (4,4),所以AB 的中点坐标为52,1,|AB|=√45=3√5,故以AB 为直径的圆的极坐标方程为(x -52)2+(y-1)2=454,即x 2+y 2-5x-2y-4=0,将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入,得ρ2-5ρcos θ-2ρsin θ-4=0.4.解 (1)令ρ=12,可得sin θ=12,所以θ=π6或θ=5π6,M 的直角坐标为±√34,14.(2)△OMN 的面积S=12ρ1ρ2=12(1-sin θ)1-sin θ+π2=12(1-sin θ)(1-cos θ)=12[1-(sin θ+cos θ)+sinθcos θ],令t=sin θ+cos θ=√2sin θ+π4∈[-√2,√2], S=121-t+t 2-12=14(t-1)2,当t=-√2时,S 取得最大值3+2√24. 5.解 (1)由{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数)得x+y=2,∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2.由ρ2=acos2θ,得ρ2cos 2θ=a ,∴ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=a ,ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=a , ∴x 2-y 2=a ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2=a.(2)直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,将θ=π4代入直线l 的极坐标方程得ρ=√2,∴点M 的极坐标为√2,π4.将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程ρ2=acos2θ,得ρ1=√2a ,ρ2=-√2a ,∴|AB|=|ρ1-ρ2|=2√2a . ∵AM ⊥BM ,且O 为线段AB 的中点, ∴|OM|=12|AB|=√2a ,即√2a =√2,得a=1.6.解 (1)由{x =2sinα,y -1=2cosα(α为参数),得曲线C 的普通方程为x 2+(y -1)2=4.由x+√3y-2√3=0,得直线l 的极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ-2√3=0,即ρsin θ+π6=√3.(2)(方法1)曲线C :x 2+(y-1)2=4的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ-3=0,将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程,得ρ2-ρ-3=0,∴ρ1+ρ2=1,ρ1·ρ2=-3. 将θ=π6代入直线l 的极坐标方程,得ρ=2.|MA|·|MB|=|ρ-ρ1|·|ρ-ρ2|=|(2-ρ1)·(2-ρ2)|=|4-2(ρ1+ρ2)+ρ1·ρ2|=1.(方法2)直线θ=π6的普通方程为y=√33x ,与直线l :x+√3y-2√3=0的交点为M (√3,1),直线θ=π6的参数方程为{x =√3+√32t ,y =1+12t(t 为参数),代入曲线C :x 2+(y-1)2=4,得t 2+3t-1=0,则|MA|·|MB|=|t 1·t 2|=1.7.解 (1)C 1的普通方程为(x-1)2+y 2=1,则x 2+y 2-2x=0,由ρ2=x 2+y 2,x=ρcos θ,得ρ2=2ρcos θ,故C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ.设N (ρ,θ),则M ρ,θ-π2,将M ρ,θ-π2代入ρ=2cos θ,得ρ=2cos θ-π2=2sin θ,即C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)将θ=π3分别代入曲线C 1,C 2的极坐标方程,得|OA|=ρA =2cos π3=1,|OB|=ρB =2sin π3=√3, 所以|AB|=||OB|-|OA||=√3-1. 又Q 到射线l 的距离d=|OQ|sin π3=√32,故△ABQ 的面积为S=12×(√3-1)×√32=3-√34. 8.解 (1)点P 的极坐标为2√2,3π4,由{x =ρcosθ,y =ρsinθ可得点P 的直角坐标为(-2,2),曲线C :ρ2cos2θ+4ρsin θ-3=0,即ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ+4ρsin θ-3=0, 于是得曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2+4y-3=0. (2)显然点P (-2,2)在直线l 上,将直线l 的参数方程{x =-2+35t ,y =2+45t代入方程x 2-y 2+4y-3=0,得-2+35t 2-2+45t 2+42+45t -3=0,整理得725t 2+125t-5=0,。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题21 坐标系与参数方程
3)，B(－ 3，1)，
C(－1，－ 3)，D( 3，－1)． (2)设P(2cos φ，3sin φ)， 令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2， 则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．
[规律方法] 本题的技巧在于根据圆内接正方形的各顶点的极角相 π 差 2 ，而极径不变，先得到各点的直角坐标，如果先把圆的方程 转化为普通方程，再求各点的坐标就相对比较麻烦．
π (3)当圆心位于Mr，2，半径为r：ρ＝2rsin
θ.
(4)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为
x＝x0＋rcos θ， y＝y0＋rsin θ
(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A(ρ0，θ0)，
半径为r的圆的方程为r2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．
•常考问题21 坐标系与参数方程
[真题感悟]
[考题分析]
1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两 坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它 的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ρ2＝x2＋y2， y tan θ＝xx≠0.
2
－
3 2 ＝3 2. 2
热点三 参数方程与极坐标方程的应用 【例3】 已知曲线C1的参数方程是
x＝2cos φ， y＝3sin φ
(φ为参数)，以
坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且
(t为参数).
热点与突破
热点一 极坐标方程和参数方程
高考数学一轮总复习坐标系与参数方程1坐标系课件理
解 (1)ρ2 － 2 2ρcos θ＋4π － 2 ＝ 0 ， 即 ρ2 － 2ρcosθ＋ 2ρsinθ－2＝0，将xy＝ ＝ρρcsionsθθ， 代入，得曲线 C 的直角坐标 方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，
圆心 C(1，－1)，若直线 l 被曲线 C 截得的弦长最小， 则直线 l 与 OC 垂直，即 kl·kOC＝－1，因而 kl＝1，故直线 l 的直角坐标方程为 y＝x.
(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的极坐标方程； (2)若射线 θ＝π6(ρ>0)与曲线 C1，C2 分别交于 A，B 两点， 求|AB|.
解 (1)由xy＝ ＝2＋ 7cos7αs， inα， 得xy＝ －2＝ 7cos7αs， inα， 所以曲线 C1 的普通方程为 x2＋(y－2)2＝7. 把 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入(x－1)2＋y2＝1， 得(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ)2＝1， 化简得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ.
例1
求椭圆x42＋y2＝1，经过伸缩变换xy′ ′＝ ＝12y x，
后
的曲线方程．
[解]
由 x′＝12x， y′＝y，
得到yx＝ ＝y2′ x′. ， ①
将①代入x42＋y2＝1，得4x4′2＋y′2＝1，即 x′2＋y′2
＝1.
因此椭圆x42＋y2＝1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2
核心规律
如何解决极坐标问题
(1)解决极坐标系中的一些问题时，主要的思路是将极坐 标化为直角坐标，在直角坐标系下求解后，再转化为极坐标．
(2)极坐标方程与直角坐标方程互化的核心公式：
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ
ρ2＝x2＋y2， ⇒tanθ＝yxx≠0.
高考数学复习坐标系与参数方程文选修市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos θ ;
π
(3)当圆心位于M , 2 ,半径为a:ρ=2asin θ .
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-7知识梳理
双基自测
自测点评
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5.曲线参数方程
在平面直角坐标系xOy中,假如曲线上任意一点坐标x,y都是某
= (),
即曲线 C
2
2
的直角坐标方程为 + =1.
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-19考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
(2)因为曲线 C 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于点 A,B,所以
A(4,0),B(0,3).
所以直线 AB 的方程为 3x+4y-12=0.
设 P(4cos θ,3sin θ),则 P 到直线 AB 的距离为
4—4
坐标系与参数方程
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双基自测
自测点评
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1.平面直角坐标系中伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换
' = ·, > 0,
φ:
' = ·, > 0 作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直
角坐标系中坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
坐标是(
)
A.
π
10, 3
B.
2π
C. -10,- 3
D.
4π
10, 3
2π
10, 3
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题7 选做大题 选做满分大题1 坐标系与参数方程(选修4—4)
例1(2021全国乙,理22)在直角坐标系xOy中,☉C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出☉C的一个参数方程;
(2)过点F(4,1)作☉C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立
极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
= 2 + cos,
解 (1)☉C 的参数方程为
(θ 为参数).
误区警示将曲线的参数方程化为普通方程时,要注意x,y的取值范围,即在
消去参数的过程中要保证普通方程与参数方程的等价性.
6.参数方程中参数 t 的几何意义
= 0 + cos,
过定点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线参数方程的标准形式为 = + sin (t
0
为参数),t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的向量,即|t|=|0 |,t 可正
x+y-3=0,
∴直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=3.
5.(2021 全国甲, 理 22)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2 2cos θ.
(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点 A 的直角坐标为(1,0),M 为曲线 C 上的动点,点 P 满足 = 2 ,
= 3cos2,
(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,
= 2sin
已知直线 l 的极坐标方程为 ρsin
π
+3
(1)写出l的直角坐标方程;
(2)若l与C有公共点,求m的取值范围.
+m=0.
解 (1)∵ρsin
2019版高考数学二轮复习 专题九 选做大题 专题突破练25 坐标系与参数方程 文
专题突破练 25 坐标系与参数方程(选修 4—4)1.(2018 山西吕梁一模,22)直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为(α 为参数),曲线 C 2: +y 2=1.(1)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求 C 1,C 2 的极坐标方程;(2)射线 θ = (ρ ≥0)与 C 1 异于极点的交点为 A ,与 C 2 的交点为 B ,求|AB|.2.(2018 湖南衡阳二模,理 22)已知直线 l 的参数方程为(其中 t 为参数),以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ 2-2m ρ cos θ -4=0(其中 m>0).(1)若点 M 的直角坐标为(3,3),且点 M 在曲线 C 内,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=3,当 α 变化时,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长的取值范围.3.(2018 全国卷 1,22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ 2+2ρ cos θ -3=0. (1)求 C 2 的直角坐标方程;(2)若 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点,求 C 1 的方程.4.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1: (t 为参数,t ≠0),其中 0≤α <π .在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2:ρ =2sin θ ,C 3:ρ =2 (1)求 C 2 与 C 3 交点的直角坐标;(2)若 C 1 与 C 2 相交于点 A ,C 1 与 C 3 相交于点 B ,求|AB|的最大值.cos θ .5.(2018 山东潍坊一模,22)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t为参数,0≤α <π ),在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为ρ2=.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设点M的坐标为(1,0),直线l与曲线C相交于A,B两点,求的值.6.在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-为l3与C的交点,求M的极径.=0,M7.(2018 河北唐山三模,22)点 P 是曲线 C 1:(x-2)2+y 2=4 上的动点,以坐标原点 O 为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点 O 为中心,将点 P 逆时针旋转 90°得到点 Q ,设点 Q 的 轨迹方程为曲线 C 2.(1)求曲线 C 1,C 2 的极坐标方程;(2)射线 θ = (ρ >0)与曲线 C 1,C 2 分别交于 A ,B 两点,定点 M (2,0),求△MAB 的面积.8.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为(t 为参数).(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标; (θ 为参数),直线 l 的参数方程为(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为,求 a.参考答案专题突破练 25 坐标系与 参数方程(选修 4—4)1.解 (1)曲线 C 1: (α 为参数),化为普通方程为 x 2+y 2=2x ,所以曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ =2cos θ ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ 2(1+2sin 2θ )=3.(2)射线 θ = (ρ ≥0)与曲线 C 1 的交点的极径为 ρ 1=2cos =1,射线 θ = (ρ ≥0)与曲线 C 2 的交点的极径满足(1+2sin 2 =3,解得 ρ 2=,所以|AB|=|ρ 1-ρ 2|=-1.2.解 (1)由 得曲线 C 对应的直角坐标方程为(x-m )2+y 2=m 2+4.由点 M 在曲线 C 的内部, ∴(3-m )2+9<m 2+4,求得实数 m 的取值范围为,+∞ .(2)直线 l 的极坐标方程为 θ =α ,代入曲线 C 的极坐标方程整理得 ρ 2-6ρ cos α -4=0, 设直线 l 与曲线 C 的两个交点对应的极径分别为 ρ 1,ρ 2,ρ 1+ρ 2=6cos α ,ρ 1ρ 2=-4,则直线l 截得曲线 C 的弦长为|ρ 1-ρ 2|=∈[4,2 ].即直线 l 被曲线 C 截得的弦长的取值范围是[4,2].3.解 (1)由 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 得 C 2 的直角坐标方程为(x+1)2+y 2=4.(2)由(1)知 C 2 是圆心为 A (-1,0),半径为 2 的圆.由题设知,C 1 是过点 B (0,2)且关于 y 轴对称的两条射线.记 y 轴右边的射线为 l 1,y 轴左 边的射线为 l 2,由于 B 在圆 C 2 的外面,故 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点等价于 l 1 与 C 2 只有一个 公共点且 l 2 与 C 2 有两个公共点,或 l 2 与 C 2 只有一个公共点且 l 1 与 C 2 有两个公共点.当 l 1 与 C 2 只有一个公共点时,A 到 l 1 所在直线的距离为 2,所以=2,故 k=- 或k=0.经检验,当 k=0 时,l 1 与 C 2 没有公共点;当 k=- 时,l 1 与 C 2 只有一个公共点,l 2 与 C 2 有两个公共点.当 l 2 与 C 2 只有一个公共点时,A 到 l 2 所在直线的距离为 2,所以=2,故 k=0 或k= ,经检验,当 k=0 时,l 1 与 C 2 没有公共点;当 k= 时,l 2 与 C 2 没有公共点.综上,所求 C 1 的方程为 y=- |x|+2.4.解 (1)曲线 C 2 的直角坐标方程为 x 2+y 2-2y=0,曲线 C 3 的直角坐标方程为 x 2+y 2-2x=0.联立解得所以 C 2 与 C 3 交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线 C 1 的极坐标方程为 θ =α (ρ ∈R,ρ ≠0),其中 0≤α <π.因此 A 的极坐标为(2sin α ,α ),B 的极坐标为(2cos α ,α ).所以|AB|=|2sin α -2cos α |=4 .当 α =时,|AB|取得最大值,最大值为 4.5.解 (1)曲线 ρ 2=,即 ρ 2+ρ 2sin 2θ =2,∵ρ 2=x 2+y 2,ρ sin θ =y ,∴曲线 C 的直角坐标方程为 x 2+2y 2=2 即+y 2=1.(2)将代入 x 2+2y 2=2 并整理得(1+sin 2α )t 2+2t cos β -1=0,∴t 1+t 2=- ,t 1·t 2= ,∴,∵|t 1-t 2|=,∴=2 .6.解 (1)消去参数 t 得 l 1 的普通方程 l 1:y=k (x-2);消去参数 m 得 l 2 的普通方程 l 2:y= (x+2).设 P (x ,y ),由题设得消去 k 得 x 2-y 2=4(y ≠0).所以 C 的普通方程为x 2-y 2=4(y ≠0).(2)C 的 极 坐 标 方 程 为ρ 2(cos 2θ -sin 2θ )=4(0<θ <2π ,θ ≠π ). 联 立得 cos θ -sin θ =2(cos θ +sin θ ).故 tan θ =- ,从而 cos 2θ = ,sin 2θ = .代入 ρ 2(cos 2θ -sin 2θ )=4 得 ρ 2=5,所以交点 M 的极径为 .7.解 (1)曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ =4cos θ .设 Q (ρ ,θ ),则 P ρ ,θ -,则有 ρ =4cos θ -=4sin θ .所以,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ =4sin θ .(2)M 到射线 θ = 的距离为 d=2sin,|AB|=ρ B -ρ A =4 sin -cos=2( -1),则 S= |AB|×d=3-.8.解(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由解得从而C与l的交点坐标为(3,0),.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=.当a≥-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为.,所以a=-16.由题设得综上,a=8或a=-16.。