天津高考真题汇总版(高考真题2007-2016分析总结)

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天津市近三年高考真题

天津市近三年高考真题2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么•如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+. ()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =.•圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积，其中S 表示圆锥的底面面积， h 表示圆柱的高.h 表示圆锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 学科.网（1）已知集合}{4,3,2,1=A ，}{A x x y y B ∈-==,23，则=B A （A ）}{1（B ）}{4（C ）}{3,1（D ）}{4,1 （2）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++-.0923,0632,02y x y x y x 则目标函数y x z 52+=的最小值为（A ）4-（B ）6（C ）10（D ）17≥ ≥ ≤（3）在ABC ∆中，若13=AB ，3=BC ， 120=∠C ，则=AC（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 （5）设}{n a 是首项为正数的等比数列，学科&网公比为q ，则“0＜q ”是“对任意的正整数n ，0212＜n n a a +-”的（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线14222=-byx ）＞（0b ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，学科&网四边形ABCD 的面积为b 2，则双曲线的方程为（A ）143422=-y x （B ）134422=-y x （C ）144222=-y x （D ）112422=-y x （7）已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（A ）85-（B ）81 （C ）41（D ）811 （8）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+++-+=0,1)1(log 0,3)34()(2x x x a x a x x f a＜（0＞a ，学.科网且1≠a ）在R 上单调递减，且关于x 的方程x x f -=2)(恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（A ）]32,0(（B ）]43,32[ （C ） ]32,31[{43}（D ） )32,31[{43}≥≥ （第4题图）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. （9）已知a ，∈b R ，i 是虚数单位，若a b =-+)i 1)(i 1(，则ba的值为_____________. （10）82)1(xx -的展开式中7x 的系数为_____________.（用数字作答）（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），学科.网则该四棱锥的体积为_____________3m .（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，22==AE BE ，ED BD =，则线段CE 的长为_____________.（13）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增.若实数a 满足)2()2(1--f f a ＞，则a 的取值范围是_____________.（14）设抛物线⎩⎨⎧==pty pt x 2,22（t 为参数，0＞p ）的焦点F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设)0,27(p C ，AF 与BC 相交于点E .若AF CF 2=，且ACE ∆的面积为23，则p 的值为_____________.正视图侧视图俯视图（第11题图）三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数3)3cos()2sin(tan 4)(---=ππx x x x f .（Ⅰ）求)(x f 的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论)(x f 在区间]4,4[ππ-上的单调性.（16）（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面⊥OBEF 平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2==BE AB .（Ⅰ）求证：EG ∥平面ADF ；（Ⅱ）求二面角C EF O --的正弦值；（Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且HF AH 32=，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.（18）（本小题满分13分）已知}{n a 是各项均为正数的等差数列，学.科.网公差为d .对任意的*∈N n ，n b 是n a 和1+n a 的等比中项.（Ⅰ）设221n n n b b c -=+，*∈N n ，求证：数列}{n c 是等差数列；（Ⅱ）设d a =1，∑=-=nk kkn b T 212)1(，*∈N n ，求证21211d T nk k＜∑=.（19）（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x )3(＞a 的右焦点为F ，右顶点为A .已知FAeOA OF 311=+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. 学.科.网（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若HF BF ⊥，且MOA ∠≤MAO ∠，求直线l 的斜率的取值范围.（20）（本小题满分14分）设函数b ax x x f ---=3)1()(，∈x R ，其中a ，∈b R . （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：3201=+x x ；（Ⅲ）设0＞a ，函数)()(x f x g =，求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．412017年普通高等学校招生全国统一考试天津数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

07-2016年高考天津卷理综物理试题及解答

07-2016年高考天津卷理综物理试题及解答2016年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试•物理试题部分（天津卷）一、单项选择题（每小题6分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．我国成功研发的反隐身先进米波雷达堪称隐身飞机的克星，它标志着我国雷达研究又创新的里程碑，米波雷达发射无线电波的波长在1 ~ 10m 范围内，则对该无线电波的判断正确的是A ．米波的频率比厘米波频率高B ．和机械波一样须靠介质传播C ．同光波一样会发生反射现象D ．不可能产生干涉和衍射现象2．图示是a 、b 两光分别经过同一双缝干涉装置后在屏上形成的干涉图样，则A ．在同种均匀介质中，a 光的传播速度比b 光的大B ．从同种介质射入真空发生全反射时a 光临界角大C ．照射在同一金属板上发生光电效应时，a 光的饱和电流大 b 光的干a 光的干D ．若两光均由氢原子能级跃迁产生，产生a 光的能级能量差大3．我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发生“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是A ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接4．如图所示，平行板电容器带有等量异种电荷，与静电计相连，静电计金属外壳和电容器下极板都接地，在两极板间有一个固定在P 点的点电荷，以E 表示两板对接P间的电场强度，E p 表示点电荷在P 点的电势能，θ表示静电计指针的偏角．若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离至图中虚线位置，则A ．θ增大，E 增大B ．θ增大，E p 不变C ．θ减小，E p 增大D ．θ减小，E 不变5．如图所示，理想变压器原线圈接在交流电源上，图中各电表均为理想电表．下列说法正确的是A ．当滑动变阻器的滑动触头P 向上滑动时，R 1消耗的功率变大B ．当滑动变阻器的滑动触头P 向上滑动时，电压表V 示数变大C ．当滑动变阻器的滑动触头P 向上滑动时，电流表A 1示数变大D ．若闭合开关S ，则电流表A 1示数变大，A 2示数变大二、不定项选择（每小题6分，共18分；每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的；全部选对的得6分，选对但不全的得3分，选错或者不答的得0分）6．物理学家通过对实验的深入观察和研究，获得正确的V A 2 A 1 ~ R R R R P S科学认知，推动物理学的发展，下列说法符合事实的是A ．赫兹通过一系列实验证实了麦克斯韦关于光的电磁理论B ．查德威克用α粒子轰击147N 获得反冲核178O ，发现了中子C ．贝克勒尔发现的天然放射性向下，说明原子核有复杂结构D ．卢瑟福通过对阴极射线的研究，提出了原子核式结构模型 7．在均匀介质中坐标原点O 处有一波源做简谐运动，其表达式为y =5sin(2πt )，它在介质中形成的简谐横波沿x 轴正方向传播，某时刻波刚好传播到x = 12m 处，波形图像如图所示，则 A ．此后再经过6s 该波传播到x = 24m 处B ．M 点在此后第3s 末的振动方向沿y 轴正方向C ．波源开始振动时的运动方向沿y 轴负方向D ．此后M 点第一次到达y = – 3m 处所需时间是2s8．我国高铁技术处于世界领先水平，和谐号动车组是由动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车O 5 3 – – M 4 8 1xy厢叫拖车．假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比，某列动车组由8节车厢组成，其中第1和5节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组A ．启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反B ．做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3:2C ．进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比D ．与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为1:2 9．（1）如图所示，方盒A 静止在光滑的水平面上，盒内有一个小滑块B ，盒的质量是滑块质量的2倍，滑块与盒内水平面间的动摩擦因数为μ；若滑块以速度v 开始向左运动，与盒的左右壁发生无机械能损失的碰撞，滑块在盒中来回运动多次，最终相对盒静止，则此时盒的速度大小为；滑块相对盒运动的路程．v B A细长小纸接打点钩（2）某同学利用图示装置研究小车的匀变速直线运动① 实验中必要的措施是 A ．细线必须与长木板平行 B ．先接通电源再释放小车 C ．小车的质量远大于钩码的质量 D ．平衡小车与长木板间的摩擦力 ② 他实验时将打点计时器接到频率为50H Z 的交流电源上，得到一条纸带，打出的部分计数点如图所示（每相邻两个计数点间还有4个点，图中未画出）；s 1=3.59cm ；s 23s 4=5.97cm ；s 5=6.78cm ；s 6=7.64cm ；则小车的加速度a = m/s 2（要求充分利用测量数据），打点计时器在打B 点时小车的速度v B = __________m/s ；（结果均保留两位有效数字）（3）某同学想要描绘标有“3.8V ，0.3A ”字样小灯泡L 的伏安特性曲线，要求测量数据尽量精s s s s s s A B C D E F G确，绘制曲线完整，可供该同学选用的器材除了开关，导线外，还有：电压表V1（量程0~3V，内阻等于3kΩ）电压表V2（量程0~15V，内阻等于15kΩ）电流表A1（量程0~200mA，内阻等于10Ω）电流表A2（量程0~3A，内阻等于0.1Ω）滑动变阻器R1（0~10Ω，额定电流2A）滑动变阻器R2（0~1kΩ，额定电流0.5A）定值电阻R3（阻值等于1Ω）定值电阻R4（阻值等于10Ω）①请画出实验电路图，并将各元件字母代码标在该元件的符号旁②该同学描绘出的I- U图像应是下图中的______I I I IA U U U UOOOOB C D10．我国将于2022年举办奥运会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一，如图所示，质量m = 60kg 的运动员从长直助滑道末端AB 的A 处由静止开始以加速度a = 3.6m/s 2匀加速滑下，到达助滑道末端B 时速度v B = 24m/s ，A 与B 的竖直高度差H = 48m ，为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C 处附近是一段以O 为圆心的圆弧．助滑道末端B 与滑道最低点C 的高度差h = 5m ，运动员在B 、C 间运动时阻力做功W = – 1530J ，取 g = 10m/s 2．（1）求运动员在AB 段下滑时受到阻力 F f 的大小；（2）若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C 点所在圆弧的半径R 至少应为多大．H h A B CR O 起11．如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小为E = 53N/C ，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B =0.5T ．有一带正电的小球，质量m = 1.0×10 – 6 kg ，电荷量q = 2×10 – 6C ，正以速度v 在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P 点时撤掉磁场（不考虑磁场消失引起的电磁感应现象）取g = 10m/s 2，求（1）小球做匀速直线运动的速度v 的大小和方向；（2）从撤掉磁场到小球再次穿过P 点所在的这条电场线经历的时间t ．× ×× × × × × × × × × × B E P12．电磁缓冲器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度．电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为θ．一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动，铝条相对磁铁运动相同．磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为ρ，为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g ．（1）求铝条中与磁铁正对部分的电流I ；（2）若两铝条的宽度均为b ，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度v 的表达式；（3）在其他条件不变的情况下，仅将两铝条更换为宽度b ′ > b 的铝条，磁铁仍以速度v 进入铝条间，试简要分析说明磁铁在铝条间运动时的加速度和速度如何变化．b b高 θ θ d d参考答案：1．C．本题考查了电磁波的传播；机械波．根据f= v/λ可知，波长越长的波的频率越低，故米波的频率比厘米波的频率低，A选项错误；无线电波不需要介质传播，B错误；米波与光波一样会发生全反射，C正确；干涉和衍射是波特有的现象，米波也能发生干涉和衍射，D错误．2．D；本题考查了双缝干涉；全反射；光电效应；玻尔理论．由图可知，a光的干涉条纹间距小于b光的干涉条纹，由Δx = (L/d)λ得知，a光的波长小于b光的波长，a光的频率大于b光的频率，a光的折射率大于b光的折射率，由n= c/v知道，在同种介质中传播时，a光的传播速度小于b光的传播速度，A错误；由sin C = 1/n可知，从同种介质中射入真空发生全反射的临界角a光的较小，B错误；发生光电效应时饱和光电流与入射光的强度有关，故无法比较饱和光电流的大小，C错误；因a光的频率大于b光的频率，故若两光均由氢原子跃迁产生，则产生a光的能级差较大，D正确．3．C；本题考查了人造卫星及其的变轨运动．若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速，则由于向心力变大，故飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A错误；若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后空间站减速，则由于向心力变小，故空间站将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间试验室半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间试验室轨道，逐渐靠近空间站后，两者速度接近时实现对接，选项C正确；若飞船在比空间试验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，从而不能实现对接，选项D错误；故选C．4．D；本题考查了电容器；电场强度；电势及电势能．保持下极板不动，将上极板下移一小段距离，则根据C = εS/(4πkd)可知，电容C变大；当Q一定，由Q = CU 可知，U减小，则静电计指针偏角θ减小；又据E = U/d 有E= 4πkQ/εS，当Q一定时，E不变；根据U = Ed 可知，P点距离下极板的距离不变，E不变，则P点相对下极板的电势差不变，P点的电势不变，则E P 不变；综合上述可知，D选项正确．5．B；本题考查了变压器；电路的动态分析．当滑动变阻器滑动触头P向上移动时，R接入电路的电阻变大，变压器次级电压不变，则次级电流减小，R1消耗的功率及两端电压都减小，电压表示U V = U2–U R1，变大，A错误、B正确；当滑动触头P向上滑动时，次级电流减小，故初级电流也减小，A1示数变小，C错误；若闭合开关S，则变压器次级电阻减小，次级电流变大，R1的电压变大，则电压表V的示数减小，R2两端电压减小，电流表A2示数变小，次级电流变大，则初级电流变大，A1示数变大，D错误．6．AC；本题考查了物理学史．麦克斯韦预言了电磁波的存在，赫兹通过实验证实了麦克斯韦的电磁理论，选项A正确；卢瑟福用α粒子轰击14N，获得反冲核717O，发现了质子，选项B错误；贝克勒尔发现的天8然放射性现象，说明原子核具有复杂结构，选项C正确；卢瑟福通过对α粒子散射实验的研究，提出了原子的核式结构模型，选项D错误；故选AC．7．AB；本题考查了机械波的传播；质点的振动．波动周期T= 2π/(π/2) s = 4s，波长λ = 8m，波速v = λ/T = 2m/s，则再经过6s，波传播的距离为s = v t = 12m，故该波传到x = 24m处，A正确；M点在此时振动方向向下，则第3末，即经过0.75T，该点的振动方向沿y轴正方向，B正确；当波传到x = 12m处，质点向y轴正方向振动，故波源开始运动时的方向沿y轴正方向，C错误；M点第一次到达y = – 3m的位置时，振动时间为T/4，即1s，D错误．8．BD；本题考查了牛顿定律的应用；功率．列车启动时，乘客随车厢一起加速，加速度方向与车的运动方向相同，故乘客受到车厢的作用力方向与车运动方向相同，A 错误；动车组的加速度a = (2F – 8kmg )/8m = F /4m – kg ，则对第6、7、8三节车厢而言有f 56 = 3ma + 3kmg = 0.75F ；对第7、8节车厢有f 67 = 2ma + 2kmg = 0.5F ，故5、6节车厢间的作用力之比为3:2，B 正确；根据动能定理有 21M v 2 = kMgs ，解得s = v 2/2kg ，可知进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时速度的平方成正比，C 错误；8节车厢有1节动车时的最大速度为v m1 = 2P /8kmg ；若8节车厢有4节动车时的最大速度为v m2 = 4P /8kmg ；则v m1：v m2 = 1：2，D 正确．9．（1）v /3 v 2/3μg ；本题考查了动量守恒定律；能量守恒定律．设滑块质量为m ，则盒子的质量为2m ；对整个过程，由动量守恒定律可得：m v =3m v 共，解得v 共 = v /3；由能量关系可知：μmgx =21m v 2 –21•3m (3v )2，解得x = v 2/3μg ．（2）①AB ②0.80 0.40；本题考查了研究小车的匀变速直线运动．① 实验时，细线必须与长木板平行，以减小实验误差，A 正确；实验时要先接通电源再释放小车，B 正确；此实验A 1V 1 R R R S中没有必要小车的质量远大于钩码的质量，C 错误；此实验中不需要平衡小车与长木板间的摩擦力，D 错误．②两点间的时间间隔T = 0.1s ，加速度a = (s 6 + s 5 + s 4 – s 3 – s 2 – s 1)/9T 2 = 0.80m/s 2；打点计时器在打B 点时小车的速度v B = (s 1 + s 2)/2T = 0.40m/s ．（3）① 电路如图；② B ；本题考查了电表的改装；探究小灯泡的伏安特性曲线．①用电压表V 1和R 5串联，可改装成量程为U =g gr U (r g + R 5) = 4V 的电压表功用量程为200mA 的A 1与电阻R 4可改装为量程I = I g +4g R r I g= 0.4A 的电流表；待测小灯灯泡的阻值较小，故采用电流表外接法电路，如图所示．② 小灯泡的阻值随温度的升高而增大，选择B 图．10．（1）144 N （2）12.5 m ；本题考查了动能定理及牛顿第二定律的应用．（1）运动员在AB 上做初速度为零的匀加速直线运动，设AB 长为x ，则v B 2 = 2ax ，由牛顿第二定律有mgH /x - F f = a ；联立解得F f = 144N ．（2）设运动员到达C 点时的速度为v C ，在由B 到C 的过程中，由动能定理有：mgh + W =21m v 2C –21m v 2B设运动员在C 点所受的支持力为F N ，由牛顿第二定律有：F N – mg = m R v C 2 题设运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍联立上述两式，代入数据解得 R = 12.5m ．11．（1）20m/s ；速度v 的方向与电场E 的方向之间的夹角60°（2）3.5s ；本题考查了带电体在电场、磁场中的运动、物体的平衡；牛顿定律的应用；平抛运动．（1）小球做匀速直线运动，受力如图所示，其所受三个力在同一平面内，合力为零，有： (q v B )2= (qE )2 + (mg )2，代入数据解得 v = 20m/s速度方向与电场方向夹角为θ，则tan θ =qE /mg ，代入数据解得θ = 60°．（2）方法一：撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a ，有a = m mg qE 22)(+)(；设撤去磁场后小球在初速度方向上的分位移为x ，有x = v t ；设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y ，有y = at 2/2；a 与mg 的夹角和v 与E 的夹角相同，均为θ，又 tan θ = y /x ；联立上述5θ θq m q v v式，代入数据解得t = 23s = 3.5s．方法二：撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P 为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其速度v y = v sinθ，若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需要小球在竖直方向上分位移为零，则有v y t–gt2/2 = 0，代入数据解得t = 23s = 3.5s．12．（1）I =Bd θmg 2sin（2）v=bdBθρmg222sin（3）磁铁做加速度逐渐减小的减速运动，直到F′ = mg sinθ时，磁铁重新达到平衡状态，将再次以较小速度匀速直滑．；本题考查了安培力；物体的平衡；电阻定律及欧姆定律．（1）磁铁在铝条间运动时，两根铝条受到的安培力大小相等，均为F A = Bid磁铁受到沿斜面向上的作用力为F，其大小F = 2F A磁铁匀速运动时受力平衡F–mg sinθ = 0解得I =Bd θmg2sin（2）磁铁穿过铝条时，在铝条中产生的感应电动势为E = Bd v铝条与磁铁正对部分的电阻为R，由电阻定律有R = ρdbd欧姆定律 I = E /R解得 v = b d B θρmg 222sin （3）磁铁以速度v 进入铝条间，恰好做匀速运动时，磁铁受到沿斜面向上的作用力F ，由（1）、（2）中的方程式联立解得 F = ρbvd B 222铝条的宽度为b ′，磁铁仍以速度v 进入铝条间，磁铁受到作用力F ′ = ρvb d B ′222由于b ′ > b ，则F ′ > F = mg sin θ，磁铁所受到合力沿斜面向上，获得与运动方向相反的加速度，磁铁将减速下滑，此时中加速度最大，随着运动速度的减小，F ′也减小，磁铁所受到的合力也减小，由于磁铁加速度与所受的合外成正比磁铁的加速度逐渐减小．所以，磁铁做加速度逐渐减小的减速运动，直到F ′ = mg sin θ时，磁铁重新达到平衡状态，将再次以较小速度匀速直滑．。

2007年普通高等学校招生考试天津文

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）全解全析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}12S x x =∈+≥R ，{}21012T =--，，，，，则ST =（）A ．{}2B ．{}12，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，1.B 【解析】(直接法){}{}121S x x S x x =∈+≥⇒=∈≥R R ,{}21012T =--，，，，, 故ST ={}12，.(排除法)由{}{}121S x x S x x =∈+≥⇒=∈≥R R 可知S T 中的元素比0要大, 而C 、D 项中有元素0，故排除C 、D 项，且S T 中含有元素比1，故排除A 项.故答案为B.（2）设变量x y ，满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，则目标函数24z x y =+的最大值为（）Ａ．10Ｂ．12Ｃ．13Ｄ．142.C 【解析】先画出约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，的可行域:如右图:得到当35,22x y ==时目标函数24z x y =+有最x 4大值为, max 35241322Z =⨯+⨯=．（3） “2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.C 【解析】当2a =则直线220x y +=平行于直线1x y +=,则是充分条件; 直线20ax y +=平行于直线1x y +=时有: 2a =,则是必要条件,故是充分必要条件.（4）(2007年天津文)设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<解析：∵由指、对函数的性质可知：1122log 3log 10a =<=, 0.21013b ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭ ,1321c => ∴有a b c <<.（5）(2007年天津文)函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是（）A ．24(2)xy x =+> B ．24(0)xy x =+> C ．24(2)x y x =->D ．24(0)xy x =->解析：由2log (4)y x =+得42y x +=,即24yx =-,故反函数是24xy =-,再根据原函数的值域为反函数的定义域则有: ∵0x >,则44x +>,∴2log (4)2y x =+>,故反函数的定义域为2x >,则有24(2)xy x =->.（6）设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥6.D 【解析】Ａ项中若a b ，与α所成的角相等，则a b ，可以平行、相交、异面故错；Ｂ项中若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ，可以平行、异面故错；Ｃ项中若a b ⊂⊂，，αβa b ∥则,αβ可以平行、相交；而D 项是对，因为此时a b ，所成的角与,αβ所成的角是相等或是互补的，则a b ⊥．（7）设双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的离心率为，且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 7.D 【解析】∵抛物线24y x =的准线为1x =-,故有21a c -=-------①又∵双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，,故有:ca=②,①⨯②得到a =进而求出23,6c b ==, ∴双曲线的方程为22136x y -= （8）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．88.B 【解析】由等差数列{}n a 且19a d =，得1(1)(8)k a a k d k d =+-=+21(21)(28)k a a k d k d =+-=+，又∵k a 是1a 与2k a 的等比中项，则有212kk a a a = 即：2[(8)]9[(28)]k d d k d +=⨯+得2280k k --=，解之得124,2k k ==-（舍去）．（9）设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数9.A 【解析】由函数图象的变换可知:()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象是将()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象x 轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为π,则函数在区间32k x k πππ≤+≤π+即36k x k πππ-≤≤π+上为增函数,当1k =时有: 2736x ππ≤≤,故在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上()f x 是增函数. （10）(2007年天津文)设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．)+∞B ．[)2+，∞C ．(]02，D ．120⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦，10.A 【解析】（排除法）当t =则2x ⎤∈⎦得(2()f x f x ≥,即222(220x x x ≥⇒--≤在2x ⎤∈⎦时恒成立,而22x --最大值,是当2x =时出现,故22x --的最大值为0,则()2()f x t f x +≥恒成立,排除B,C 项,同理再验证1t =-时, ()2()f x t f x +≥不成立,故排除D 项.第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．则这堆苹果中，质量不小于．．．120克的苹果数约占苹果总数的％．11.70【解析】由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为:2012314---= 故约占苹果总数的00140.707020==. （12）921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项是（用数字作答）．12.84【解析】根据二项式展开式通项公式到展开式中常数项是：9293199r r r r r r T C x x C x ---+==,令930r -=得3r =,故有:3984C =（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．13.14π【解析】长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径，设球的直径为D 则：222212314D =++=，由于球的表面积为:214S D =π=π.（14）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的方程是．14.30x y +=【解析】2222(1)(3)202610x y x x y y -+-=⇒-+-=--------①2210x y +=-------② 由①-②得到:26030x y x y +=+=即.（15）在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC = ． 15.83-【解析】根据向量的加减法法则有:BC AC AB =-112()333AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+-=+,此时2212122()()33333AD BC AC AB AC AB AC AC AB AB =+-=+-··18183333=--=-.（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．16.630【解析】分为三类:第一类是只用两种颜色则为:226230C A = 种,第二类是用三种颜色则为:22116242240C A C C =种, 第三类是用四种颜色则为:4464360C A =种,故共计为630种.三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-．（Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．（18）（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；AB DC（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，，60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．（20）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．（21）（本小题满分14分）设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．（22）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212A F F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．ABCDPE2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B （9）A （10）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．（11）70 （12）84 （13）14π （14）30x y +=（15）52（16）630三、解答题（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：在ABC △中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC ACA B=．所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=．（Ⅱ）解：因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos 5B ===，217cos 22cos 121525B B =-=⨯-=，2sin 22sin cos 25515B B B ==⨯⨯=．sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭171252=+⨯1750=．（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且2327C 1()C 7P A ==，2329C 5()C 18P B ==，故取出的4个球均为红球的概率是155()()()718126P A B P A P B ==⨯=．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且1123442279C C C 2()C C 21P C ==，1125242275C C C 10()C C 63P D ==．故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为21016()()()216363P C D P C P D +=+=+=．（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）解：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故P A A B ⊥．又AB AD ⊥，PA AD A =，从而AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt PAB △中，AB PA =，故45APB =∠．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45．（Ⅱ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故CD PA ⊥．由条件CD PC ⊥，PA AC A =，CD ∴⊥面PAC ．又AE ⊂面PAC ，AE CD ∴⊥．由PA AB BC =，60ABC =∠，可得AC PA =．E 是PC 的中点，AE PC ∴⊥，PC CD C ∴=．综上得AE ⊥平面PCD ．（Ⅲ）解：过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连结AM ．由（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM PD ⊥．因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角．由已知，可得30CAD =∠．设AC a =，可得PA a =，3AD a =，3PD a =，2AE a =．在Rt ADP △中，AM PD ⊥，AM PD PA AD ∴=，则ABCDPEM232aaPA ADAM a PD==．在Rt AEM △中，sinAE AME AM ==．所以二面角A PD C --的大小arcsin4．（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+．（Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．（Ⅰ）解：当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．（Ⅱ）解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=，解得3ax =或x a =．由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在3ax =处取得极小值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且 34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =．（2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3ax =处取得极大值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且 34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：由3a >，得13a >，当[]10k ∈-，时， cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤．由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤即 22cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ① 设2211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中 0y >，由于点A 在椭圆上，有22221c y a b+=， 222221a b y a b-+=，解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线2AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得 2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，即23c =，将222c a b =-代入原式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，过点O 作1OB AF ⊥，垂足为H ，易知112F BC F F A △∽△211BOF A OF F A = 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以 2212132F A F A F A a F A==-，解得22a F A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =．（Ⅱ）解法一：圆222x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为200x x y y t +=．当(0)t b ∈，时，圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ，因此点111()Q x y ，，222()Q x y ，的坐标是方程组 20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ① ②的解．当00y ≠时，由①式得 200t x x y y -= 代入②式，得22220022t x x x b y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22224220000(2)4220x y x t x x t b y +-+-=，于是2012220042t x x x x y +=+，4220122200222t b y x x x y -=+ 2201121201t x x t x x y y y y --=422012012201()t x t x x x x x y ⎡⎤=-++⎣⎦ 242242200002222200000422122t x t b y t x t x y x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭4220220022t b x x y -=+．若12OQ OQ ⊥，则42242242220000121222222200000022232()0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++．所以，42220032()0t b x y -+=．由22200x y t +=，得422320t b t -=．在区间(0)b ，内此方程的解为t =．当00y =时，必有00x ≠，同理求得在区间(0)b ，内的解为t =．另一方面，当3t =时，可推出12120x x y y +=，从而12OQ OQ ⊥．综上所述，(0)3t b =∈，使得所述命题成立．。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答

2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数　学（理工类）参考解答一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分,满分50分。

1．Ｃ2．Ｂ3．Ａ4．Ｄ5．Ｃ6．Ｄ7．Ｂ8．Ｂ9．Ａ10．Ａ二、填空题:本题考查基本知识和基本运算．每小题4分,满分24分．11．212．14π13．314．30x y +=15．83-16．390三、解答题17．（本小题满分12分）本小题考查三角函数中地诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+地性质等基础知识,考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解:π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此,函数()f x 地最小正周期为π．（Ⅱ）解法一:因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数,在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数,又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,最小值为1-．解法二:作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期地区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上地图象如下:由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．18．（本小题满分12分）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量地分布列和数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题地能力．满分12分．（Ⅰ）解:设"从甲盒内取出地2个球均为黑球"为事件A ,"从乙盒内取出地2个球均为黑球"为事件B ．由于事件A B ，相互独立,且23241()2C P A C ==,24262()5C P B C ==．故取出地4个球均为黑球地概率为121()()()255P AB P A P B ==⨯=··．（Ⅱ）解:设"从甲盒内取出地2个球均为黑球；从乙盒内取出地2个球中,1个是红球,1个是黑球"为事件C ,"从甲盒内取出地2个球中,1个是红球,1个是黑球；从乙盒内取出地2个球均为黑球"为事件D ．由于事件C D ，互斥,且21132422464()15C C C P C C C ==··,123422461()5C C PD C C ==·．故取出地4个球中恰有1个红球地概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=．（Ⅲ）解:ξ可能地取值为0123，，，．由（Ⅰ）,（Ⅱ）得1(0)5P ξ==,7(1)15P ξ==,13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ地分布列为ξ0123P157********ξ地数学期望17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明:在四棱锥P ABCD -中,因PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥= ，∵,CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ,CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明:由PA AB BC ==,60ABC ∠=°,可得AC PA =．E ∵是PC 地中点,AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知,AE CD ⊥,且PC CD C = ,所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ,AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内地射影是AD ,AB AD ⊥,AB PD ⊥∴．又AB AE A = ∵,综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一:过点A 作AM PD ⊥,垂足为M ,连结EM ．则（Ⅱ）知,AE ⊥　平面PCD ,AM 在平面PCD 内地射影是EM ,则EM PD ⊥．因此AME ∠是二面角A PD C --地平面角．由已知,得30CAD ∠=°．设AC a =,可得PA a AD PD AE a ====，，，．在ADP Rt △中,AM PD ⊥∵,AM PD PA AD =∴··,则PA ADAM PD===·．在AEM Rt △中,sin AE AME AM ==所以二面角A PD C --地大小是．解法二:由题设PA ⊥底面ABCD ,PA ⊂平面PAD ,则平面PAD ⊥平面ACD ,交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥,垂足为F ,故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥,垂足为M ,连结CM ,故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --地平面角．ABCDPEM由已知,可得30CAD ∠=°,设AC a =,可得12PA a AD PD CF a FD =====，，，，．FMD PAD ∵△∽△,FM FDPA PD=∴．于是,FD PA FM PD ===·．在CMF Rt △中,tan CFCMF FM ===．所以二面角A PD C --地大小是．20．（本小题满分12分）本小题考查导数地几何意义,两个函数地和、差、积、商地导数,利用导数研究函数地单调性和极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论地思想方法．满分12分．（Ⅰ）解:当1a =时,22()1x f x x =+,4(2)5f =,又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·,6(2)25f '=-．所以,曲线()y f x =在点(2(2))f ，处地切线方程为46(2)525y x -=--,即62320x y +-=．（Ⅱ）解:2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++．由于0a ≠,以下分两种情况讨论．（1）当0a >时,令()0f x '=,得到11x a=-,2x a =．当x 变化时,()()f x f x '，地变化情况如下表:x1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞1a1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭a()a +，∞()f x '-0+0-()f x +极小值极大值所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞,()a +，∞内为减函数,在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数．ABCDP EFM函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ,且()1f a =．（2）当0a <时,令()0f x '=,得到121x a x a==-，,当x 变化时,()()f x f x '，地变化情况如下表:x()a -，∞a1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1a-1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞()f x '+0-+()f x极大值极小值所以()f x 在区间()a -，∞,1a⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数,在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数．函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ,且()1f a =．函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．21．（本小题满分14分）本小题以数列地递推关系式为载体,主要考查等比数列地前n 项和公式、数列求和、不等式地证明等基础知识与基本方法,考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题地能力．满分14分．（Ⅰ）解法一:22222(2)22a λλλλ=++-=+,2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+,3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 地通项公式为(1)2nnn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时,12a =,等式成立．（2）假设当n k =时等式成立,即(1)2kkk a k λ=-+,那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说,当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知,等式(1)2nnn a n λ=-+　对任何n *∈N 都成立．解法二:由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ,0λ>,可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列,其公差为1,首项为0,故21nn n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以数列{}n a 地通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．（Ⅱ）解:设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+- , ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②当1λ≠时,①式减去②式,得212311(1)(1)(1)1n nn n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=--- ,21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---．这时数列{}n a 地前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--．当1λ=时,(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 地前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-．（Ⅲ）证明:通过分析,推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭地第一项21a a 最大,下面证明:21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③由0λ>知0n a >,要使③式成立,只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥,因为222(4)(4)(1)(1)2n nn a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立．因此,存在1k =,使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．22．（本小题满分14分）本小题主要考查椭圆地标准方程和几何性质、直线方程、求曲线地方程等基础知识,考查曲线和方程地关系等解析几何地基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一:由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，,2(0)F c ，,不妨设点()A c y ，,其中0y >．由于点A 在椭圆上,有22221c y a b +=,即222221a b y a b-+=．解得2b y a =,从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 地方程为2()2b y x c ac=+,整理得2220b x acy b c -+=．由题设,原点O 到直线1AF 地距离为113OF ,即3c =,将222c a b =-代入上式并化简得222a b =,即a =．证法二:同证法一,得到点A 地坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥,垂足为B ,易知1F BO △∽12F F A △,故211BO F AOF F A=．由椭圆定义得122AF AF a +=,又113BO OF =,所以2212132F AF A F A a F A==-,解得22aF A =,而22b F A a =,得22b a a =,即a =．（Ⅱ）解法一:设点D 地坐标为00()x y ，．当00y ≠时,由12OD Q Q ⊥知,直线12Q Q 地斜率为0x y -,所以直线12Q Q 地方程为0000()x y x x y y =--+,或y kx m =+,其中00x k y =-,200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，地坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式,得2222()2x kx m b ++=,整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=,于是122412kmx x k+=-+,21222212m b x x k -=+．由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k=++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k---=++=+++··．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+,22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+代入上式,整理得2220023x y b +=．当00y =时,直线12Q Q 地方程为0x x =,111222()()Q x y Q x y ，，，地坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，．所以120x x x ==,12y =，．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=,即2220202b x x --=,解得22023x b =．这时,点D 地坐标仍满足2220023x y b +=．综上,点D 地轨迹方程为　22223x y b +=．解法二:设点D 地坐标为00()x y ，,直线OD 地方程为000y x x y -=,由12OD Q Q ⊥,垂足为D ,可知直线12Q Q 地方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠）,点111222()()Q x y Q x y ，，，地坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，①．②由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=．整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=,于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤由①式得00x x m y y =-． ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=,整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=,于是22212220022m b x y y x y -=+． ⑧由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++,22220032()0m b x y -+=将2200m x y =+代入上式,得2220023x y b +=所以,点D 地轨迹方程为22223x y b +=。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)全解全析

20xx年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）全解全析xx年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分考试用时120分钟第卷1至2页第卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利第卷注意事项1答第卷前，考生务必将自己的姓名.准考号.科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效3本卷共10小题，每小题5分，共50分参考公式如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径一.选择题在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合，，则（） A B C D1.B【解析】直接法,, 故.排除法由可知中的元素比0要大, 而C.D项中有元素0，故排除C.D项，且中含有元素比1，故排除A项.故答案为B. （2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）213142.C【解析】先画出约束条件的可行域如右图得到当时目标函数有最大值为, （3）“”是“直线平行于直线”的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3.C【解析】当则直线平行于直线,则是充分条件; 直线平行于直线时有 ,则是必要条件,故是充分必要条件. （4）xx年天津文设，，，则（） A B C D 解析由指.对函数的性质可知,, 有. （5）xx年天津文函数的反函数是（） A B C D 解析由得,即,故反函数是,再根据原函数的值域为反函数的定义域则有 ,则, ,故反函数的定义域为,则有. （6）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（） A若与所成的角相等，则 B若，，，则 C若，，，则 D若，，，则6.D【解析】项中若与所成的角相等，则可以平行.相交.异面故错；项中若，，则可以平行.异面故错；项中若则可以平行.相交；而D项是对，因为此时所成的角与所成的角是相等或是互补的，则（7）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（）7.D【解析】抛物线的准线为,故有------ 又双曲线的离心率为,故有-------, 得到,进而求出, 双曲线的方程为（8）设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则（）24688.B【解析】由等差数列且，得，又是与的等比中项，则有即得，解之得（舍去）（9）设函数，则（） A在区间上是增函数 B在区间上是减函数 C在区间上是增函数 D在区间上是减函数9.A【解析】由函数图象的变换可知的图象是将的图象轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为,则函数在区间即上为增函数,当时有 ,故在区间上是增函数. （10）xx年天津文设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（） A B C D10.A【解析】（排除法）当则得, 即在时恒成立, 而最大值,是当时出现,故的最大值为0, 则恒成立,排除B,C项,同理再验证时, 不成立,故排除D项.第卷注意事项1答卷前将密封线内的项目填写清楚2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3本卷共12小题，共100分二.填空题本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在题中横线上（11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位克）数据分布表如下分组频数123 则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的11.70【解析】由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为故约占苹果总数的. （12）的二项展开式中常数项是（用数字作答）12.84【解析】根据二项式展开式通项公式到展开式中常数项是,令得,故有（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为13.【解析】长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径，设球的直径为则，由于球的表面积为. （14）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是14.【解析】----------- 由-得到. （15）在中，，，是边的中点，则15.【解析】根据向量的加减法法则有 ,此时 . （16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）16.630【解析】分为三类第一类是只用两种颜色则为种,第二类是用三种颜色则为种,第三类是用四种颜色则为种,故共计为630种.三.解答题本大题共6小题，共76分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）在中，已知，，（）求的值；（）求的值（18）（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球现从甲.乙两个盒内各任取2个球（）求取出的4个球均为红球的概率；（）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点（）求和平面所成的角的大小；（）证明平面；（）求二面角的大小（20）（本小题满分12分）在数列中，，，（）证明数列是等比数列；（）求数列的前项和；（）证明不等式，对任意皆成立（21）（本小题满分14分）设函数（），其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的极大值和极小值；（）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立（22）（本小题满分14分）设椭圆的左.右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为（）证明；（）求使得下述命题成立设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则 xx年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一.选择题本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B （9）A （10）A二.填空题本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分24分（11）（12）（13）（14）（15）（16）三.解答题（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式.两角和公式.倍角公式.正弦定理等的知识，考查基本运算能力满分12分（）解在中，，由正弦定理，所以（）解因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是，，（18）本小题主要考查互斥事件.相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分12分（）解设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件由于事件相互独立，且，，故取出的4个球均为红球的概率是（）解设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件由于事件互斥，且，故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为（19）本小题考查直线与平面垂直.直线和平面所成的角.二面角等基础知识考查空间想象能力.记忆能力和推理论证能力满分12分（）解在四棱锥中，因底面，平面，故又，，从而平面故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角在中，，故所以和平面所成的角的大小为（）证明在四棱锥中，因底面，平面，故由条件，，面又面，由，，可得是的中点，，综上得平面（）解过点作，垂足为，连结由（）知，平面，在平面内的射影是，则因此是二面角的平面角由已知，可得设，可得，，，在中，，，则在中，所以二面角的大小（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念.等比数列的通项公式及前项和公式.不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力满分12分（）证明由题设，得，又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列（）解由（）可知，于是数列的通项公式为所以数列的前项和（）证明对任意的，所以不等式，对任意皆成立（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质.曲线的切线方程，函数的极值.解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法满分14分（）解当时，，得，且，所以，曲线在点处的切线方程是，整理得（）解令，解得或由于，以下分两种情况讨论（1）若，当变化时，的正负如下表因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（2）若，当变化时，的正负如下表因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（）证明由，得，当时，，由（）知，在上是减函数，要使，只要即设，则函数在上的最大值为要使式恒成立，必须，即或所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质.直线方程.两条直线垂直.圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理.运算能力满分14分（）证法一由题设及，，不妨设点，其中，由于点在椭圆上，有，，解得，从而得到，直线的方程为，整理得由题设，原点到直线的距离为，即，将代入原式并化简得，即证法二同证法一，得到点的坐标为，过点作，垂足为，易知，故由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一圆上的任意点处的切线方程为当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组的解当时，由式得代入式，得，即，于是，若，则所以，由，得在区间内此方程的解为当时，必有，同理求得在区间内的解为另一方面，当时，可推出，从而综上所述，使得所述命题成立。

【天津高考真题及答案】2016年天津高考真题及答案汇总

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【天津高考真题及答案】2016年天津高考真题及答案汇总
青春美好却迷茫，我们往往不知去往何方，容易迷失方向。值此高考毕业之际，更需要梦想导航。高考栏目为大家提供2016年天津高考真题及答案汇总，大家可以参考一下！
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2016天津高考文科数学真题及答案已公布
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2016天津高考理科数学真题及答案已公布

天津市近五年高考数学真题分类汇总

天津市近五年高考数学试题分类汇总选择题1：—复数[2011·天津卷] i 是虚数单位，复数131ii--= A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i --【答案】A. 【解析】13(13)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --+-===---+. 【2010】（1）i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（）(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i 【2009,1】i 是虚数单位，52ii-=（）（A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i 【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。

解析：i i i i i 215)2(525+-=+=-，故选择D 。

【2008】1. i 是虚数单位，()=-+113i i i （） (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i A【2007】1. i 是虚数单位32,1i i=- ( )A.1i +B.1i -+C.1i -D.1i --【答案】C【分析】332(1)2(1)211(1)(1)2i i i i i i i i i +-+===-+--+，故选C 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。

复数运算技巧：2344414243123(1)1,,11,,1,,0nn n n nn n n i i i i i i iiii i iii++++++=-=-====-=-+++=2(2)2(1)i i =±±11(3),11i ii i i i+-==--+3223(4)1,,0ωωωωωωω===++=设选择题2：—充要条件与命题[2011·天津卷] 设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】当2y 2≥≥且x 时，一定有422≥+y x ；反过来当422≥+y x ，不一定有2y 2≥≥且x ，例如0,4=-=y x 也可以，故选A【2010】（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数（B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数（C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数（D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B【2009】（3）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（A ）不存在0x ∈R, 02x>0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x>0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。

2007年高考文科综合试题及参考答案(天津卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共300分，考试用时150分钟。

第Ⅰ卷1至8页，第Ⅱ卷9至16页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3.本卷共35题，每题4分，共140分。

在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

读图1回答1~2题。

图11.甲、乙两图所示大洲的人口特点是A.城市人口若悬河B.生育率较低C.人口平均密度大D.老龄化程度高2.李明同学发现乙、丙、丁三图所示现象有因果联系，地理老师认为有道理。

此因果顺序应该是A.乙→丙→丁B.丙→丁→乙C.丙→乙→丁D.丁→丙→乙读图2和图3，回答3~5题。

3.图2所示季节，一位俄罗斯专家在e地看到日落正西方，之后1小时下列各地发生的现象是A.a——日光直射B.b——夕阳西下C.c——旭日东升D.d——午阳低垂4.在之后的两个月中，下列变化规律符合实际的是A.a地白昼逐渐变长B.a、c两地气温都在下降C.b地牧草日益茂盛D.c、d两地河流水位升高5.俄罗斯专家发现图3中标示的某种地理事物与实际分布不符．．。

它是图4显示了2001年至2005年格陵兰岛某冰川末端不断消融后退的“足迹”。

读图4回答6~7题。

6.据图中M、N两点量算，此期间该冰川末端年平均后退的距离约为A.0.4 kmB.0.5kmC.1.2kmD.1.5km7.若全球冰川大规模融化，可能产生的影响有A.极地高压增强B.沿海平原扩大C.陆地淡水减少D.植被类型增多图5是喜马拉雅山区某交通不便谷地中的景观图。

读图回答8~9题。

8.图中地质构造形成并出露地表的主要原因是岩层A.受挤压，经侵蚀B.受挤压，经风化C.受张力，经搬运D.受张力，经沉积9.形成图中乡村聚落最基本的环境条件应该是A.地质灾害少B.土地可以耕牧C.河湖密度大D.旅游资源丰富景假，某地理小组在图6（冀东某地等高线地形图）所示地区野外考察。

2007年天津高考理科数学试卷含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分第I 卷(选择题)和第H 卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟•第I 卷1至2页，第n 卷3至10页•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1 •答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2 •每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3•本卷共10小题，每小题5分，共50分.3. “ J - 3”是“ tan v - 2cos n J ” 的( )3辽丿A ・充分而不必要条件必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2 2 _4・设双曲线令-占=1(a 0, b 0)的离心率为 .3 ,且它的一条准线与抛物线寸二4xa b参考公式：•如果事件A B 互斥，那么P(A B) =P(A) P(B)•如果事件A B 相互独立，那么P(A ・B) = P(A)・P(B)一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有 1. i 是虚数单位， 2i3“ 1 -i)A1+iB . -1+iC. 1X _ y > -12. 设变量x, y 满足约束条件*x + y > 1,3x - y c 3.A 4 B. 11 C. 12 球的表面积公式2S =4T R其中R 表示球的半径一项是符合题目要求的. -iD . -—i则目标函数z =4x • y 的最大值为( )• 14的准线重合，则此双曲线的方程为 )25.函数y =log 2( . x 4 2)( x - 0)的反函数是( )A. y =4x —2x “X 2)B. y =4x—2x "x1) C. y=4x —2x2(x2)D.y=4x —2x2(x1)6.设a, b 为两条直线，：为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( A. 若a, b 与j 所成的角相等，贝U a // b B. 若 a // :■, b // ：,：•// :，则 a // b c.若 a 一 .■■■', b !I ：;, a // b ，则:-/ :D. 若 a _ :■, b .丨，,：•_：,贝U a _ b7.在R 上定义的函数f (x)是偶函数，且f(x)=f(2-x)，若f(x)在区间［1,2］上是减函数，贝U f(x)( )&设等差数列！a n 的公差d 不为0, a^i =9d .若a k 是印与a 2k 的等比中项，则k =( )门屮(1辛9.设 a, b, c 均为正数，且 2a = log 1 a ,log 1 b ,log 2 c .则()2'<2 / 三 l2 丿r2210.设两个向量a = ('2, 1 - cos 〉)和b =A. 2 2 ［丄12 一24B.2 2 x y_ 48 一96C.X 22y 23 一 3D.x 2A.在区间［-2,-1］上是增函数，在区间［3,4］上是增函数B.在区间［-2,1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数C.在区间［-2,-1］上是减函数，在区间［3,4］上是增函数D.在区间［-2,-1］上是减函数，在区间［3,4］上是减函数A. 2B. 4C. 6D. 8A. a :: b ::cb. c ■ b :: ac.c ：： a ：：： bd. b ■ a ■■■ cmm,— sin J ,其中■, m,〉为实数.若a = 2b ，则一的取值范围是（） mA.B. [4,8]C. D.2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第口卷注意事项：1.答案前将密封线内的项目填写清楚. 2•用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上. 3 .本卷共12小题，共100分.二、填空题：本大题共 6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（1511. _______________________________________________________ 若x 2 — f 的二项展开式中 X 的系数为一，则a= ____________________________________ （用数字作答）.I ax 丿 2 12.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1 , 2, 3,则此球的表面积为 ___________ .「a n?的公差d 是2，前n 项的和为S n ，则limn -^C14. ________ 已知两圆 x 2 y 2 =10和(x-1)2 • (y -3)2 =20 相交于 A, 是 __________ .15. 如图，在 △ ABC 中，N BAC=120° AB =2, AC=1 ,D 是边 BC 上一点，DC =2BD ，则 AD^BC = ___________ .16. ________________________ 如图，用6种不同的颜色给图中的 4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用 3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 ____________________ 种（用数字作答）.三、解答题：本大题共 6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数 f (x) = 2cos x(sinx — cosx) 1, x R . （I ）求函数f （x ）的最小正周期;2 2 a n- n 13.设等差数列 S n(n)求函数f (x)在区间n,3n上的最小值和最大值.IL8 418.(本小题满分12分)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(I)求取出的4个球均为黑球的概率；(n)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(川)设•为取出的4个球中红球的个数，求'的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA_ 底面ABCD , AB _ AD, AC _ CD, ABC = 60°PA 二AB 二BC , E 是PC 的中点.(I)证明CD _ AE ；(n)证明PD _平面ABE ;(川)求二面角A - PD -C的大小.20.(本小题满分12分)2ax _a2十1已知函数f(x)二——厂—(x・R)，其中R .x +1(I)当a =1时，求曲线y = f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;(n)当a=0时，求函数f(x)的单调区间与极值.21.(本小题满分14分)在数列：a n沛，6=2, a n匸V a n * ' n 1• (2 -’ )2n(n • N )，其中’0 .(I)求数列^n 1的通项公式；(n)求数列〈a n［的前n项和S n；（川）证明存在k. N ,使得竝＜ ^^1对任意n. N ”均成立.anak22. （本小题满分14分）2 2设椭圆笃•珞=1（a b ■ 0）的左、右焦点分别为％ F 2, A 是椭圆上的一点， a b1AF 2丄F 1F 2，原点0到直线AF i 的距离为一 OF i .3（1）证明 a = 2b ；（n ）设Q i, Q 2为椭圆上的两个动点， OQ i _0Q 2，过原点0作直线Q 1Q 2的垂线0D ,垂足为D ，求点D 的轨迹方程.2007年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答17•本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数y = Asin(「x ：；m )的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分(I)解：f (x) = 2cos x(sin x — cosx) 1 二 sin 2x —cos2x = \ 2 sin 12x因此，函数f(x)的最小正周期为 n故函数f (x)在区间n 3n上的最大值为「2，最小值为-1.IL 8 4解法二作函数心「歸2-n 在长度为一个周期的区间上的图象如下一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5分，满分 1.C 2.B 3.A 4. D 5.C 6.D 7.B8.B9. A 10.A一、填空本题.考查基本知识和基本运每小题4分，满分 11. 2 12. 14 n13. 3 14. x 3y=015.—8316. 390三、解答题50分. 24分. 12分.(n)解法因为 f (x) =2 sin3n 3n上为减函数，又f n =0 , f I 3n?./2 ,18丿18丿* ~2sin 43 n n 小n2 cos — .244在区间由图象得函数f(x)在区间 n ,3n上的最大值为、2，最小值为f K - _1 . 〔8 4」 14丿18.本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力•满分 12分. (I)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件 A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B •由于事件 A B 相互独立，且P(A)二 C 3C ；1 2 ， P (B )C?1 2 故取出的4个球均为黑球的概率为 P(AB) = P(A)・P(B)：2 5 (n)解：设“从甲盒内取出的 2个球均为黑球；从乙盒内取出的 1个是黑球”为事件 C , “从甲盒内取出的 2个球中，1个是红球，出的2个球均为黑球”为事件 D •由于事件C, D 互斥，152个球中， 1个是黑球; 1个是红球,从乙盒内取冃 “、C ；C ；C4 …、C 3C ：1 且 P(C)3r-^，P(D) 2—4 二— 2 215r 2 J-C 4 C6 5 4 1=—+-15 51(川)解：■可能的取值为01,2,3 .由(I) , (n )得P( =0), P( 5故取出的4个球中恰有1个红球的概率为 p (C - D)二P(C) • P(D)157 =1)= 15C 113P( = 3)|2 •从而 P( =2)=1_P( =0)_P( =1)_P( =3) = C ： C ； 3010的分布列为的数学期望E =01 2 3 - 51510 30 619.本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力•满分 12分.(I)证明：在四棱锥P - ABCD 中，因PA_底面ABCD , CD 平面ABCD ，故PA _ CD •v AC _ CD , PA AC = A , /• CD _ 平面 PAC • 而 AE 平面 PAC , ••• CD _ AE .(n)证明：由 PA = AB = BC ，/ABC = 60 ° 可得 AC = PA . v E 是PC 的中点，• AE _ PC .由(I)知，AE _ CD ，且 PC CD =C ，所以 AE _ 平面 PCD . 而 PD 平面 PCD , • AE _ PD .v PA —底面 ABCD, PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD , AB — AD , • AB — PD . 又vAB AE = A ，综上得PD _平面ABE •(川)解法一：过点A 作AM _ PD ,垂足为M ,连结EM .则(n)知，AE _平面PCD ,AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM _ PD .因此.AME 是二面角A —PD -C 的平面角. 由已知，得 N CAD =30° .设AC =a ,所以二面角A-PD-C 的大小是arcsin — 4解法二：由题设 PA_底面ABCD , PA 平面PAD ，则平面PAD _平面ACD ，交线为AD . 过点C 作CF _ AD ,垂足为F ，故CF _平面PAD .过点F 作FM _ PD ,垂足为M , 连结CM ，故CM _ PD .因此.CMP 是二面角A - PD -C 的平面角.由已知，可得 NCAD =30°设CF 在 Rt △ CMF 中，tan CMF 二FM所以二面角 A - PD -C 的大小是arctan 、、7 .20•本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，禾U 用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法•满分12分.2x4 (I)解：当 a =1 时，f(x)二一,f(2)=—,x +15可得 PA =a , AD = ^a, PD 二迈 a, AE 3 3在 Rt △ ADP 中, ••• AM _ PD ，二 AM ・PD =PA ・AD 在 Rt △ AEM 中, 2、3a° a _ 3 .21 a 3sin AMEAE AM.14 4.、、14疋,PDa, PD _ 213.FM FDPAPD .a'a 6_ 7 21 - a 14AC = a ,1a 2a 14 D•••△ FMDPAD , •a 1 a, CF ■ a,2 可得PA",人卡曰FM 二丑A所以，曲线y 二f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为即 6x 2y _32 =0 .由于a = 0，以下分两种情况讨论.1( ( 1函数f (x)在Xr处取得极小值f，且fa 2,a I a 丿 I a 丿1函数f (x)在x 2处取得极大值f (a)，且f (a) = 1 .a1 (2)当a :: 0时，令f (x) = 0 ,得到捲=a, x2 ，当x 变化时，f (x), f (x)的变化a情况如下表：x(u , a ) a卜-a 」1 a1 -1, + s i I a ，丿f(x) + 0 —0 + f(x)Z极大值z极小值Z所以f(x)在区间(-s , a), -1, + s 内为增函数，在区间 a,-内为减函数.I a 丿I a 丿函数f (x)在人二a 处取得极大值f (a)，且f (a) =1 .又 f(x)/x 2 一2皿2曲2 2(x 1)25(n)解：f (x)=2 22a(x 1)-2x(2ax-a 1)-2(x- a)(ax 1)(x 21)2(x 21)2(1 )当a ■ 0时，令f (x) = 0,得到=a .当x 变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表:x(1)-s , 一 |Ia 丿 1 a，町a (a, + s)f (x) — 0 + 0 —f (x)+极小值z极大值z所以f(x)在区间i s,_1%X 2 a1,(a , s )内为减函数，在区间ia 内为增函数.函数f (x)在x 2 = -1处取得极小值f i -，且f i 1=_a 2 -aI a 丿 I a 丿21本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前 n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力•满分 14分.(I)解法一：a ? =2 ■ ■ 2(2 _ ■ )2」222,2232 33a 3 仝;■2 T)■(2 - -)2^2 -23,3 34 344a 4 =，(2 ■2 ) ■ (2 - ■ )2 =3' 2 •由此可猜想出数列订奁的通项公式为an =( n -1^ n 2n • 以下用数学归纳法证明.(1 )当n =1时，6=2，等式成立.(2)假设当n = k 时等式成立，即a k =(k-1)，k ，2k , 那么 a k 1=g ■ ■ k1 • (2 _ ■ )2k V (k _1) ■ k ■ ■ 2k ■ ■ k1 ■ 2k1 _ ■ 2k-[(k 1)-1] 'k 1■ 2k 1.这就是说，当n = k 1时等式也成立.根据(1 )和(2)可知，等式a n 二(n -1)，n - 2n 对任何n • N ”都成立.解法二：由 a n ^ = ^a n + 切十+(2—九)2n (n ^ N *)，人 >0,的通项公式为a n =(n -1)・n • 2n .(n)解：设 T n 二■2 • 2 ■3 3 4 亠亠(n -2) ■ n4 • (n -1)' n ,①T n =2 43，…(n _2)-n- (n -1)'n 1②当■ -1时，①式减去②式，■, 2- n 123...nn 1n '1得(1 - ' )T n(n~1)(n -1)，,1 -可得an 1a n所以an_n2 na2 1-2 为等差数列，其公差为1，首项为0，故旦1 - -UJJ打◎丿二n-1，所以数列〈务？2 n in in 亠2n i 2-■ (n _i)，(n _i)， _ n ，Tn22 ---------------(i _ ' ) i _ '(i _ ')「a 1 a(川)证明：通过分析，推测数列口的第一项 a 最大，下面证明:I a n j a ianai由，・0知a n 0，要使③式成立，只要 2an.i ：：(2 • 4)an(n > 2),因为(，2 4)a^(-24)(n -i) 'n(' 2• i)2n4 ‘ ・(n — i) ' n4 2n=4(n —i)‘ n i2n 2> 2n 'n i2n 2=2a nn > 2 .所以③式成立.因此，存在k = 1，使得0^w= 01对任意n N 均成立.ana k ai22.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力•满分14分.AF 2 —时2及 F i (-c ，)，F 2(c ，)，不妨设点 A(c, y)，其中y •由于点A 在椭圆上, 2 2 c_. y_ 2, 2a b 2,2 2即宁計-b 2 解得丫亠，从而得到a b2〕c,一-a 丿直线AF i 的方程为y 二b 22 2(x + c)，整理得 b x - 2acy + b c = 0 .2ac由题设，原点 0到直线AF 1的距离为 1-OF i3将c 2二a 2 - b 2代入上式并化简得 a 2= 2b 2,这时数列:a n 的前n 项和S n 二n 2n i(n -ir - nn -i ------------------ 2 ------- 十 2 — 2 .当r 时，T t.这时数列F 的前n项和―罟才-2.(I)证法一：由题设证法二：同证法一，得到点A的坐标为过点O作OB _ AF1，垂足为B ,易知△F1BO s △F1F2A，故BO F2A OF1F1A由椭圆定义得AF i + AF2 =2a ,F2A F2AF iA| —2a - |F2A「解得F2A =a，而2 F2A电a(n)解法一：设点D的坐标为又BO得—二a(Xo,y o)-当y0 =0时，由OD _Q J Q2知，直线X oQ1Q2的斜率为-—，所以直线Q1Q2的方程为y oxy o(x - x o) y o，或y = kx m，其中k y o2 X o X o—,m 二y。

天津近十年高考数学题型归类

高考数学试卷天津卷一、集合的考查(2010年)设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B,则实数 a,b 必满足（2009年）设全集{}*lg 1U A B x N x ==∈< ，若(){}21,0,1,2,3,4u A C B m m n n ==+= ，则集合B =___________（2008年）设集合{}08U x x =∈<N ≤，{}1245S =，，，，{}357T =，，，则()U S T = ð ___________（2007年）已知集合{}12S x x =∈+R ≥，{}21012T =--，，，，，则S T = （2006年）已知集合}13|{≤≤-=x x A ，}2|{≤=x x B ，则=⋂B A （2005年）集合A ＝{x |0≤x <3且x ∈N}的真子集的个数是（2004年）设集合{}6,5,4,3,2,1=P ，{}62≤≤∈=x R x Q ，那么下列结论正确的是（2002年）设集合}M x x k k Z ==+∈⎧⎨⎩214，，N x x k k Z ==+∈⎧⎨⎩⎫⎬⎭|412，，则M 与N 满足（2001年）设A=B A x x x B x x x 则},0|{},0|{22=+==-等于二、复数的基本运算（选择or 填空题）（2010年）i 是虚数单位，复数1312i i-+=+（2009年） i 是虚数单位，52i i=-_____________（2003年）=+-2)3(31i i三、命题的判断（2010年）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数（B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数（C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数（D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数（2009年）.设,x R ∈则"1"x=是3""x x =的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件（2007年） “2a=”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2006年）设)2,2(ππβα-∈、，那么“βα<”是“βαtan tan <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（2004年）对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是A.“bc ac >”是“b a >”的必要条件B.“bc ac =”是“b a =”的必要条件C.“bc ac >”是“b a >”的充分条件D.“bc ac =”是“b a =”的充分条件四、解不等式组或方程组或方程（2010年）若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（2009年）设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是（2008年）已知函数20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩，≤，，，则不等式2()f x x ≥的解集为（2007年）不等式组⎩⎨⎧-≥->+xx x x 410915465的解集是。

2007年高考真题试卷天津卷数学文科参考答案

2007年高考真题试卷天津卷数学文科参考答案2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C（6）D （7）D （8）B （9）A （10）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．（11）70 （12）84 （13）14π（14）30x y += （15）52 （16）630三、解答题（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：在ABC △中，3sin 5A ===，由正弦定理， sin sin BC AC A B=．所以232sin sin 355AC B A BC ==?=．（Ⅱ）解：因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos 5B ===，217cos 22cos 121525B B =-=?-=，2sin 22sin cos 25515B B B ==??=．sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ??+=+ ??171252=+?=（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且2327C 1()C 7P A ==，2329C 5()C 18P B ==，故取出的4个球均为红球的概率是 155()()()718126P A B P A P B ==?=．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且1123442279C C C 2()C C 21P C ==，1125242275C C C 10()C C 63 P D ==．故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为21016()()()216363P C D P C P D +=+=+=．（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）解：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，AB ?平面ABCD ，故P A A B ⊥．又AB AD ⊥，PA AD A =，从而AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt PAB △中，AB PA =，故45APB =∠．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45．（Ⅱ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ?平面ABCD ，故CD PA ⊥．由条件CD PC ⊥，PA AC A =，CD ∴⊥面PAC ．又AE ?面PAC ，AE CD ∴⊥．由PA AB BC =，60ABC =∠，可得AC PA =． E 是PC 的中点，AE PC ∴⊥，PC CD C ∴=．综上得AE ⊥平面PCD ．（Ⅲ）解：过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连结AM ．由（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM PD ⊥．因此AME ∠是二面角A PD C--的平面角．由已知，可得30CAD =∠．设AC a =，可得PA a =，3AD a =，PD =，2AE =．在Rt ADP △中，AM PD ⊥，AM PD PA AD ∴=，则 A B C DP E M。

2007年高考文科综合试题及参考答案(天津卷)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共300分，考试用时150分钟。

第Ⅰ卷1至8页，第Ⅱ卷9至16页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3.本卷共35题，每题4分，共140分。

在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

读图1回答1－2题。

此因果顺序应该是A.乙丙丁B.丙丁乙C.丙乙丁D.丁丙乙读图2和图3，回答3－5题。

3.图2所示季节，一位俄罗斯专家在e地看到日落正西方，之后1小时下列各地发生的现象是A.a——日光直射B.b——夕阳西下O.k.——旭日东升D.d——午阳低垂4.在之后的两个月中，下列变化规律符合实际的是A.a地白昼逐渐变长B.b、c两地气温都在下降C.b地牧草日益茂盛D.c、d两地河流水位升高5.俄罗斯专家发现图3中标示的某种地理事物与实际分布不符．．。

它是图4显示了2001年至2005年格陵兰岛某冰川末端不断消融后退的“足迹”。

读图4回答6~7题。

读图回答8－9题。

8.图中地质构造形成并出露地表的主要原因是岩层A.受挤压，经侵蚀B.受挤压，经风化C.受张力，经搬运D.受张力，经沉积9.形成图中乡村聚落最基本的环境条件应该是A.地质灾害少B.土地可以耕牧C.河湖密度大D.旅游资源丰富暑假，某地理小组在图6（冀东某地等高线地形图）所示地区野外考察。

07天津高考(题,答案)Microsoft Word 文档

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）第一节：单项填空（共15小题；每小题1分，满分15分）1．He didn’t make ____ clear when and where the meeting would be held.A．this B．that C．it D．these2．---Could you turn the TV down a little bit? ---______. Is it disturbing you?A．Take it easy. B．I’m sorry.C．Not a bit D．It depends3．I wanted to catch _____early train, but couldn’t get _____ride to the station.A．an；the B．/；the C．an；/ D．the；a4．_____fire, all exits must be kept clear.A．In place of B．Instead of C．In case of D．In spite of5．Hardly could he_____ this amount of work in such a short time.A．get through B．get off C．get into D．get down6．The glass doors have taken the place of the wooden ones at the entrance, ____ in the natural light during the day.A．to let B．letting C．let D．having let7．Lucy has ____ all of the goals she set for herself in high school and is ready for new challenges at university.A．acquired B．finished C．concluded D．achieved8．It is difficult for us to learn a lesson in life ____we’ve actually had that lesson.A．until B．after C．since D．when9．A new _____bus service to Tianjin Airport started to operate two months ago.A．normal B．usual C．regular D．common10．－I apologize for not being able to join you for dinner.－____.We’ll get together later.A．Go ahead B．Not to worry C．That’s right D．Don’t menti on it11．Those successful deaf dancers think that dancing is an activity _____sight matters more than hearing. A．when B．whose C．which D．where12．One thousand dollars a month is not a fortune but would help cover my living_____.A．bills B．expenses C．prices D．charges13．If Newton lived today, he would be surprise by what ____ in science and technology.A．had discovered B．had been discoveredC．has discovered D．has been discovered14．The final score of the basketball match was 93-94.We were only ____beaten.A．nearly B．slightly C．narrowly D．lightly15．The seaside here draws a lot of tourists every summer. Warm sunshine and soft sands make ____ it is.A．what B．which C．how D．where第二节：完形填空（共20小题，每小题1.5分，满分30分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从16－35各题所给的A.B.C.D四个选项中，选出最佳选项。

年高考天津语文试题和试题解析

2007 年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）第Ⅰ卷一、（ 12分）1.以下词语中加点的字的读音全都不同样的一组是A. 发霉懊悔欺侮风雨如晦不胜其烦．．．．．B. 疏浚皴裂逡巡光阴似箭怙恶不悛．．．．．C.犄角灿烂波折倚马可待风光旖旎．．．．．D. 弹劾苛刻隔阂垓下之围要言不烦．．．．．2.以下词语中没有错别字的一组是A. 模仿度假作客他乡螳螂捕蝉，黄雀在后B. 庇荫频律涣然冰释鞠躬尽悴，死此后已C. 磋商寥寂要言不繁人为刀俎，我为鱼肉D. 协迫相遇珠联璧合老骥伏枥，志在千里3.以下各句横线处应填入的词句，最合适的一组是①我们在送别朋友时，常常引用“”，以表达互相感情之深邃及对朋友的宽慰。

②欣赏是一种处世哲学，在你获得欣赏时，千万别你对别人的欣赏，由于人与人之间应该互相欣赏，共同进步。

③我们在从事某项工作时，若是进展顺利，，即使时间长一点，也很少感觉疲倦。

A. 莫愁前路无知己，天下谁人不识君吝啬驾轻就熟B. 国内存知己，天涯若比邻吝啬驾轻就熟C. 莫愁前路无知己，天下谁人不识君怜悯驾轻就熟D. 国内存知己，天涯若比邻怜悯驾轻就熟4.以下各句中没有语病且句意明确的一句是．．A.王维在继承传统的基础上，努力创立的拥有鲜亮个性的境地，丰富和提升了山川诗的表现技巧，对诗歌发展做出了贡献。

B.为保证大熊猫入港随俗，科研人员特地安排它们接受语言训练，提升一般话、广东话和英语能力，为在香港定居做好准备。

C.好多投资者不认识证券投资和基金产品的风险，没有差别股票和基金产品与存储、债券的差别，贸然进行证券和基金投资。

D.作为古海岸与湿地同处一地的国家级自然保护区，七里海是京津唐地带极其难得的一片绿洲，被誉为天津滨海地区既大又美的花园。

二、（ 18分）阅读下面的文字，完成5～ 7题。

发展中国家的一些企业家对专利有一种顶礼膜拜的心态。

对内以为只要有了专利就保护了自己的知识财富，对外则将人家注册的专利视为神圣不能入侵的。

2007年高考数学天津理科全解全析(包括选择填空都有详细解析)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）全解全析一.选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位32,1i i=-( )A.1i +B.1i -+C.1i -D.1i --【答案】C【分析】332(1)2(1)211(1)(1)2i i i i i i i i i +-+===-+--+，故选C 2. 设变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为 ( )A.4B.11C.12D.14【答案】B【分析】易判断公共区域为三角形区域，求三个顶点坐标为(0,1)、(2,3)、(1,0)，将(2,3)代入得到最大值为14.故选B3. 2""3πθ=是"tan 2cos "2πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】22tan tan 2cos 2sin()2sin 323πθπθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当0θ=︒时tan 0,2cos 02πθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可知不必要.故选A4. 设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为( )A.2211224y x -= B.2214896y x -= C.222133y x -=D.22136y x -=【答案】D【分析】由3,c a=21a c =可得3,6, 3.a b c ===故选D5. 函数()2log 42(0)y x x =++>的反函数是( )A.142(2)x x y x +=->B.142(1)x x y x +=->C.242(2)x x y x +=->D.242(1)x x y x +=->【答案】C【分析】原函数过(4,1)-故反函数过(1,4)-从而排除A 、B 、D ，故选C 6. 设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是 ( )A.若,a b 与α所成的角相等，则b a ∥B.若a ∥,b α∥β,α∥β，则b a ∥C.若,,a b a αβ⊂⊂∥b,则βα∥D.若,,,a b αβαβ⊥⊥⊥则a b ⊥【答案】D【分析】对于A 当,a b 与α均成0︒时就不一定；对于B 只需找个γαβ∥∥，且,a b γγ⊂⊂即可满足题设但,a b 不一定平行；对于C 可参考直三棱柱模型排除，故选D7. 在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( ) A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数【答案】B【分析】由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称，又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称，可得到()f x 为周期函数且最小正周期为2，结合()f x 在区间[1,2]上是减函数，可得如右()f x 草图.故选B8. 设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ( )A.2B.4C.6D.8【答案】B【分析】k a 是1a 与2k a 的等比中项可得12k k a a a =⨯(*)，由{}n a 为等差数列可得121(1),(21)k k a a k d a a k d =+-=+-及19a d =代入(*)式可得4k =.故选B9. 设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<【答案】A【分析】由122log aa =可知0a >21a⇒>121log 102a a ⇒>⇒<<，由121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0b >⇒120log 1b <<112b ⇒<<，由21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0c >20log 112c c ⇒<<⇒<<，从而a b c <<.故选A10. 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2m b m α=+r 其中,,m λα为实数.若2,a b =r r 则mλ的取值范围是 ( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2m b m α=+r 2,a b =r r 可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km m k m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.11. 若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________.(用数字作答) 【答案】2B ACD【分析】()621123166()rrrr r rr T C x ax C xa ----+⎡⎤==⎣⎦，当3r =时得到3x 项的系数336522C a a -=⇒= 12. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3则此球的表面积为__________. 【答案】14π【分析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R =2414S R ππ==13. 设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为,n S 则22limn n na n S →∞-=__________. 【答案】3【分析】根据题意知11(1)222n a a n n a =+-⨯=+-21,(1)n S n n a =+-代入极限式得22112134(2)(2)lim 3(1)n n a n a n n a →∞+-+-=+- 14. 已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是__________.【答案】30x y +=【分析】两圆方程作差得30x y +=15. 如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =则AD BC =u u u r u u u rg __________.【答案】83-【分析】由余弦定理得222222cos 22AB AC BC AB AD BD B AB AC AB BD+-+-==⨯⨯⨯⨯可得BC=,3AD =，又,AD BC u u u r u u u r 夹角大小为ADB ∠，22232cos 29BD AD AB ADB BD AD +-∠==-⨯=⨯⨯所以AD BC =u u u r u u u r g 8cos 3AD BC ADB ⨯⨯∠=-.16. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色.要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有__________种(用数字作答). 【标准答案】390【分析】用2色涂格子有26230C ⨯=种方法，用3色涂格子有()3263382360C C ⨯-⨯=种方法，故总共有390种方法.三.解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分) 已知函数()2cos (sin cos )1,f x x x x x =-+∈R . (I)求函数()f x 的最小正周期；(II)求函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.【分析】()2cos (sin cos )1f x x x x =-+sin 2cos2x x =-24x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 因此，函数()f x 的最小正周期为π.(II)解法一：因为()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间33,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，又3330,1,884244f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故函数()f x 在区间3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦最小值为1-.解法二：作函数()24f x x π⎛⎫-⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间9,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下：由图象得函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,最小值为314f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωφ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力. 18. (本小题满分12分)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球. (I)求取出的4个球均为黑色球的概率； (II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(III)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.【分析】(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B.由于事件A ，B 相互独立，且2234224612(),()25C C P A P B C C ====.故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=g g . (II)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C ，D 互斥，且211123324422224646.41().,().155C C C C C P C PD C C C C ====.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=. (III)解：ξ可能的取值为0,1,2,3.由(I)，(II)得17(0),(1),515P P ξξ====又13224611(3).,30C P C C ξ===从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==.ξ的分布列为ξ的数学期望17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【考点】本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,,60,ABCD AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=︒,PA AB BC ==E 是PC 的中点.(I)证明：CD AE ⊥； (II)证明：PD ⊥平面ABE ；(III)求二面角A PD C --的大小.【分析】(I)证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面,ABCD CD ⊂平面,ABCD 故PA CD ⊥.,,AC CD PA AC A CD ⊥=∴⊥Q I 平面PAC .而AE ⊂平面,PAC AE PC ∴⊥.(II)证明：由,60,PA AB BC ABC ==∠=︒可得AC PA =.E Q 是PC 的中点，AE PC ∴⊥.由(I)知，,AE CD ⊥且,PC CD C =I 所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面,PCD AE PD ∴⊥.PA ⊥Q 底面,ABCD PD 在底面ABCD 内射影是,,AD AB AD AB PD ⊥∴⊥.又,AB AE A =I 综上得PD ⊥平面ABE .(III)解法一：过点A 作,AM PD ⊥垂足为,M 连结EM .由(II)知，AE ⊥平面,PCD AM 在平面PCD 内的射影是,EM 则EM PD ⊥.因此AM E ∠是二面角A PD C --的平面角. 由已知，得30CAD ∠=︒.设,AC a =可得,,,.32PA a AD PD a AE ==== APEBCD在Rt ADP ∆中，,..AM PD AM PD PA AD ⊥∴=Q .则...a PA AD AM PD == 在Rt AEM ∆中，sin 4AE AME AM ==所以二面角A PD C --的大小是acr 解法二：由题设PA ⊥底面,ABCD PA ⊂平面,PAD 则平面PAD ⊥平面,ACD 交线为.AD过点C 作,CF AD ⊥垂足为,F 故CF ⊥平面.PAD 过点F 作,FM PD ⊥垂足为,M 连结,CM 故.CM PD ⊥因此CMF ∠是二面角A PD C --的平面角.由已知，可得30CAD ∠=︒.设,AC a =可得1,,,,.3326PA a AD a PD a CF a FD a =====FM D ∆Q ∽,.FMFD PAD PA PD∆∴=于是，...aFD PA FM PD ===在Rt CMF ∆中，1tan aCFCMF FM ==所以二面角A PD C --的大小是【考点】本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 20. (本小题满分12分) 已知函数2221()(1ax a f x x x -+=∈+R )，其中a ∈R .(I)当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(II)当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.【分析】(I)解：当1a =时，224(),(2).51x f x f x ==+又2222222(1)2.2226'(),'(2).25(1)(1)x x x x f x f x x +--===-++APEBCD M F所以，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为 46(2),525y x -=--即625320.x y +-=(II)解：22222(1)2(21)'()(1)a x x ax a f x x +--+=+222()(1).(1)x a ax x --+=+ 由于0,a ≠以下分两种情况讨论.(1)当0a >时，令'()0,f x =得到121,.x x a a=-=当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),,a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在11x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 函数()f x 在2x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.(2)当0a <时，令'()0,f x =得到121,x a x a==-.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间(),a -∞1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在1x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.函数()f x 在21x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.【考点】本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 21. (本小题满分14分) 在数列{}n a 中,1112,(2)2(n n n n a a a n λλλ++==++-∈N *),其中0λ>. (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)求数列{}n a 的前n 项和n S ；(III)证明存在k ∈N *,使得11n k n ka a a a ++≤对任意n ∈N *均成立. 【分析】(I)解法一：22222(2)22a λλλλ=++-⨯=+， 2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-⨯=+，3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-⨯=+.由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+. 以下用数学归纳法证明. (1)当1n =时1,2,a =等式成立.(2)假设当n k =时等式成立，即(1)2,k k k a k λ=-+那么，11(2)2k k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k k λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2.k k k λ++=+-+ 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式(1)2n n n a n λ=-+对任何n ∈N *都成立.解法二：由11(2)2(n nn n a a n λλλ++=++-∈N *),0,λ>可得111221,n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等数列，其公差为1，首项为0.故21,n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 所以数列{}n a 的通项公式为(1)2.n n n a n λ=-+(II)解：设234123...(2)(1),n n n T n n λλλλλ-=++++-+-①345123...(2)(1).n n n T n n λλλλλλ+=++++-+-②当1λ≠时，①式减去②式，得231(1)...(1)n n n T n λλλλλ+-=+++--211(1),1n n n λλλλ++-=---12122122(1)(1).1(1)(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++---+-=-=---这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)2 2.(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--当1λ= 时，(1).2n n n T -=这时数列{}n a 的前n 项和1(1)2 2.2n n n n S +-=+- (III)证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21aa 最大.下面证明：21214, 2.2n n a a n a a λ++<=≥ ③由0λ>知0.n a >要使③式成立，只要212(4)(2).n n a a n λ+<+≥因为222(4)(4)(1)(4)2n n n a n λλλλ+=+-++124.(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+121222, 2.n n n n a n λ+++≥+=>所以③式成立. 因此，存在1,k =使得1121n k n k a a a a a a ++≤=对任意n ∈N *均成立. 【考点】本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 22. (本小题满分14分)设椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F A 是椭圆上的一点,212AF F F ⊥,原点O 到直线1AF 的距离为11||3OF .(I)证明：a ；(II)设12,Q Q 为椭圆上的两个动点,12OQ OQ ⊥,过原点O 作直线12Q Q 的垂线,OD 垂足为,D 求点D 的轨迹方程.【分析】(I)证法一：由题设212AF F F ⊥及12(,0),(,0),F c F c -不妨设点(,),A c y 其中0.y >由于点A 在椭圆上，有22221,y c a b +=即 22222 1.y a b a b -+= 解得2,b y a =从而得到2,.b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭直线1AF 的方程为2(),2b y x c ac=+整理得2220.b x acy b c -+=由题设，原点O 到直线1AF 的距离为11||,3OF 即242234c b a c=+将222c a b =-代入上式并化简得222,a b =即2.a b =证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2,.b c a⎛⎫ ⎪⎝⎭过点O 作1,OB AF ⊥垂足为,b 易知1F BO ∆～12,F F A ∆故211||||.||||F A BO OF F A =由椭圆定义得12||||2,AF AF a +=又11||||,3BO OF =所以2212||||1,3||2||F A F A F A a F A ==-解得2||,2a F A =而2||,2a F A =而22||,b F A a =得2,2b aa =即2.ab =（II ）解法一：设点D 的坐标为00(,).x y 当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0,x y -所以直线12Q Q 的方程为0000(),x y x x y y =--+或,y kx m =+其中200000,.x x k m y y y =-=+点111222(,),(,)Q x y Q x y 的坐标满足方程组222,22.y kx m x y b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩①②将①式代入②式，得2222()2.x kx m b ++= 整理得2222(12)4220.k x kmx m b +++-=于是1224,12km x x k +=-+2212222..12m b x x k -=+ ③由①式得 1212()()y y kx m kx m =++221212()k x x km x x m =+++222222224..1212m b km k km m k k--=++++32222.12m b k k -=+ ④由12OQ OQ ⊥知12120.x x y y +=将③式和④式代入得222223220,12m b b k k --=+22232(1).m b k =+ 将200000,x x k m y y y =-=+代入上式，整理得222002.3x y b +=当00y =时，直线12Q Q 的方程为0.x x =点110222(,),(,)Q x y Q x y 的坐标满足方程组0222,22.x x x y b =⎧⎪⎨+=⎪⎩所以1201,2,x x x y === 由12OQ OQ ⊥知12120,x x y y +=即2220020,2b x x --=解得22023x b = 这时，点D 的坐标仍满足222002.3x y b +=综上，点D 的轨迹方程为2222.3x y b +=解法二：设点D 的坐标为00(,).x y 直线OD 的方程为000,y x x y -=由12,OD Q Q ⊥垂足为,D 可知直线12Q Q 的方程为220000.x x y y x y +=+记2200m x y =+（显然0).m ≠点110222(,),(,)Q x y Q x y 的坐标满足方程组00222,22.x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②由①式得00y y m x x =-③由②式得22222200022.y x y y y b += ④将③式代入④式得222220002()2,y x m x x y b +-=整理得222222000(2)4220.x y x mx x m b y +-+-=于是22212220022.2m b y x x x y -=+ ⑤ 由①式得 00.x x m y y =- ⑥由②式得22222200022.x x x y x b += ⑦将⑥式代入⑦式得22222000()22,m y y x y x b -+=整理得222222000(2)220.x y y my y m b x +-+-=于是2221222002.2m b x y y x y -=+ ⑧由12OQ OQ ⊥知12120.x x y y +=将⑤式和⑧式代入得22222200222200002220,22m b y m b x x y x y --+=++ 22220032()0.m b x y -+= 将2200m x y =+代入上式，得222002.3x y b +=所以，点D 的轨迹方程为2222.3x y b +=【考点】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.。

天津市近五年高考试卷知识点总结(理数)

天津近五年高考数学（理）知识点分类及分布一复数选择题5分，简单，占3.3%。

（2009年天津理）i 是虚数单位，52i i-= （A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i （2010年天津理）i 是虚数单位，复数1312ii-+=+(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i （2011年天津理）已知i 是虚数单位，复数131ii--= （） A 2i + B 2i - C 12i -+ D 12i -- （2012年天津理）复数73iz i-=+= （）（A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --（2013年天津理）(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .二线性规划（2009年天津理）（2）设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数23z x y =+的最小值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23 （2013年天津理）(2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2三程序框图选择题5分，简单，占3.3%。

（2009年天津理）（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=A. 26B. 35C. 40D. 57（2010年天津理）（4）阅读右边的程序框图，若输出s 的值为-7，则判断框内可填写(A)i ＜3? （B ）i ＜4? （C ）i ＜5? （D ）i ＜6?（2011年天津理）3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6（2012年天津理）（5）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（A ）1- （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）9四对数、指数比较大小（2011年天津理） 7．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>五集合与逻辑选择题，填空题，10分，简单，占6.6%。