第八章 多元函数微分学思考题
第八章 多元函数微分学思考题
多元函数微分学思考题１．表达式224y x z +=，其中}1|),{(),(22=+∈y x y x y x ，问这是否为二元函数？其图形是什么样子的？是，圆柱面与椭圆抛物面的交线．２．x y x f z ==),(可以是二元函数吗？如可以，定义域为何？图象是什么可以．定义域为平面上所有点的集合，图象是过y 轴的平面．３．若多元函数能用一个式子表达，则为初等函数．对吗？为什么？非．必须为基本初等函数经有限次．．．四则运算及有限次．．．的复合而成． ４．若),(lim lim 00y x f y y x x →→),(lim lim 00y x f x x y y →→=A =， 则必定有),(lim 00y x f y y x x →→A =． 非．例如考察⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(422y x y x y x xy y x f 在（0，0）点的情况，可知),(lim lim 00y x f y x →→0),(lim lim 00==→→y x f x y ，但),(lim 00y x f y x →→不存在． ５．当把y 看作常数时，),(y x f z =为x 的连续函数；当把x 看作常数时，),(y x f z =为y 的连续函数，则),(y x f z =必为二元连续函数？非．考察),(y x f z =⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,22y x y x y x xy 在)0,0(点的情况．６．若),(y x f z =在点),(000y x P 连续，则),(lim 00y x f y y x x →→必存在？ 是．),(lim 00y x f y y x x →→),(00y x f =．７．多元函数在其定义域内必连续吗？非．考察第5题的例子．８．二元函数),(y x f z=的全增量z ∆等于其两个偏增量z z y x ∆∆,之和? 否．),,(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆),(),(y x f y x x f z x -∆+=∆,),(),(y x f y y x f z y -∆+=∆ 显然 z z z y x ∆+∆≠∆．９．既然x z ∂∂叫偏微商，则是两个对象的商，从而经约分后，⋅∂∂y x ⋅∂∂z y xz ∂∂＝１． 非．偏微商的记号是一个整体，是不能拆分开的．１０．),(u x f z =，而),(y x u u =，那么x z ∂∂xf ∂∂=，对不对？ 不对．x z ∂∂表示的是函数复合以后)],(,[y x u x f z =对x 的偏导数；xf ∂∂ 表示的是复合以前的函数),(u x f z=对x 的偏导数（此时u 看作常数）． １１．已知0),,(=z y x F ，有x z ∂∂z x F F ''-=，从而22xz ∂∂zz xx F F ""-=． 非．二阶偏导数不能套用这样的公式．１２．如果),(y x f z=在点),(000y x P 可微分，则在该点必连续？是．１３．如果),(y x f z =在点),(000y x P 存在两个偏导数，则),(y x f z =在点),(000y x P 必连续？非．见讲课笔记．１４．如果),(y x f z =在点),(000y x P 存在两个偏导数，则),(y x f z =在点),(000y x P 必可微？非．由12和13题可知．１５．如果),(y x f z =在点),(000y x P 存在两个连续偏导数，则),(y x f z =在点),(000y x P 必可微？是．这是全微分存在的充分条件．１６．如果),(y x f z =在点),(000y x P 可微分，则),(y x f z =在点),(000y x P 必存在两个连续偏导数？非．考察),(y x f z =⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1s i n )(2222y x y x y x y x 在)0,0(点的情况．１７．多元函数的一阶微分具有“形式不变性”？是． １８．若存在二阶偏导数，则必有xy z y x z ∂∂∂=∂∂∂22？ 非．当两个二阶混合偏导数都连续，则结论成立． 考察⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(),(2222y x y x y x y x xy y x f 在)0,0(点的情况．１９．若),(y x f z =在点),(000y x P 有极值．则在该点必有0=∂∂=∂∂yz x z 非．如22y x z +=在)0,0(点取得极小值，但两个偏导数都不存在． 若偏导数都存在，则上述结论成立．２０．),(y x f z =在点),(000y x P 有0=∂∂=∂∂yz x z ，则该点必是极值点？ 非．如xy z =在)0,0(点，有0=∂∂=∂∂yz x z ，但该点不是极值点． ２１．若二元连续函数存在多个极值点，则必定是既有极大值点，也有极小值点． 非．考察y y ye x e z-+=cos )1(，有无穷多个极大值点，但无极小值点． ２２．),(y x f z =在点),(000y x P 存在偏导数，则曲面),(y x f z =上的点)),(,,(0000y x f y x 处必有切平面？ 非．可能不连续，当然谈不上切平面．２３．由Lagrange 乘数法决定的点),(y x 一定是极值点吗？ 非．只是可疑的极值点．。
多元函数微分学教学的一些思考
—
在（ ｏ Ｉ Ｏ ） 处 沿 ＝ 方向的 方向 导 数 存在 ，
：
）
。 ｏ
ｏ
由定义 ，
） 在 （ ０ ， ０ ） 处的偏导数都存在 ， （ Ｏ ， Ｏ ） ＝ Ｏ，
（ Ｏ ， Ｏ ） ＝０。
—
Ｔ＿ ＋ ０
ｚ
ｒ 一 ０ Ｚ
ห้องสมุดไป่ตู้
ｌ Ｉ ｍ
：１ ， 而偏 导数 Ｌ（ ｏ ， ｏ ） 不存 在 ， ＮＮ ￥ Ｉ ￣
续。
例 ４ 考 虑 ＝ ｛ Ｉ ＿
其在 （ ０ ， ０ ） 处 的偏导数都存在 ，
ｆ Ａｏ ． Ｏ ） ＝ ＝
ｍ ＝ ｌ ｉ 。
—
。 时 ，
＿ｌ ，
ｙ－ ０
，
） 在（ 。 ， ） 处 不 一 定连
例 例考 考虑 虑 ， ） ＝ ＝ ｂ 。 ｎ 南 √ ＋ ， ２ ｆ （ ｘ
多 元函数微 分学教学硇一些思 考
浙 江树人 大 学基础部 苏久亮
［ 摘 要］ 本文就多元函数 可微 、 偏 导数存在 、 偏 导数连 续、 方向导数 等概 念之 间的关 系分组进行 了比较 、 讨论 。 ［ 关键词 ］ 可微 偏导数 偏导数连续 方向导数 本 文就 多元 函数微分学这块教学 内容 中学生容易混淆 的一些 概念 分组进行 比较 、 讨论 ：
－ 厂 ） 在 （ ｚ 。 ， Ｙ ｏ ） 处 的 偏 导 数 （ ｚ ｏ ）
的偏导数 Ｌ（ ｚ ｏ ） 、 ｆ ｙ （ ｘ Ｙ 。 ） 都存在时， 该 函数在 （ 。 ｏ ） 处不一定可
微。
：
ｌ ｉ ｍ— Ｊ （ ｘ， ｙ ｏ ） － Ｊ（ ｘ ｏ ， ｙ ｏ ）
高等数学课后习题答案--第八章
第八章 多元函数积分学 §3 三重积分的计算及其应用 习 题
1. 计算下列三重积分 （1） ∫∫∫ xy 2 z 3 dσ ，其中 Ω 是曲面 z = xy 和平面 y = x, x = 1, z = 0 所围成的区域；
Ω
（2） ∫∫∫ xzdσ ，其中 Ω 是由平面 z = 0 ， x = y, y = z 以及抛物柱面 y = x 2 所围成的
D D
的大小。 【解】 利用 sin 2 x ≤ x 2 .则 sin 2 ( x + 2 y + 3z ) ≤ ( x + 2 y + 3z ) 2 积分得
∫∫∫ sin
D
2
( x + 2 y + 3 z )dσ ≤ ∫∫∫ ( x + 2 y + 3 z ) 2 dσ
D
4. 利用重积分的性质，估计积分值
（1） ∫∫ sin( x 2 + y 2 )dσ ，其中 D = {( x, y ) |
D
π
4
≤ x2 + y2 ≤
3π }; 4
dxdy , 其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 8}; ln(4 + x + y ) D 2 2 1 （3） ∫∫ e x + y dσ ，其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ }. 4 D
习题参考资料
第八章 多元函数积分学 §2 二重积分的计算 习 题
1. 计算二重积分
（1） ∫∫ xye xy dσ ，其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1};
2
D
（2） ∫∫
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。
解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在 。
(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。
高等数学第八章多元微分第七节方向导数与梯度
证 由于函数可微，
j
P
故增量
o
x
f(x x ,y y ) f(x ,y ) f x f y o () x y 两边同除以 , 得到
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f( x x ,y y ) f( x ,y ) f x f y o () x y
分析：在(3,2)点处，沿不同方向温度的变化率不同， 蚂蚁应沿由热变冷变化最快的方向（梯度方向）
爬行． 如何确定这个方向？ 利用方向导数！
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一、方向导数的定义与计算
意义：确定函数 zf(x,y)在点 P 处沿某一方向
的变化率．
设函数 zf(x,y)在点 P(x, y) y
l
r rr ( 2 x 3 ) i ( 4 y 2 ) j 6 z k ,
rr r 故 gu r( 1 ,1 a ,2 ) d 5 i 2 j 1 k .2
在
P0
(
3 2
,
1 2
,0)处梯度为0.
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内容小结
1. 方向导数
• 三元函数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)沿方向 l (方向角
2 l x
推广: 若三元函数 u = f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 可微,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,
l
且 ffco sfco sfco s
l x
y
z
P(x,y,z)
其中 , , 为 l 的方向角.
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f(x,y)c1
而梯度的模等于函数在该法线 o
多元函数微分法及其应用.doc
第八章多元函数微分法及其应用一、本章教学目标：1.使学生掌握多元函数的基本概念2.使学生掌握多元函数的微分求解关系3.使学生掌握多元函数各知识点之间的联系二、本章基本要求：1.使学生掌握多元函数连续的计算2.使学生掌握多元函数微分的计算三、本章各节的教学内容：第一节多元函数的基本概念教学内容：①平面点集，n维空间②多元函数的概念③多元函数的极限④多元函数的连续性第二节偏导数教学内容：①偏导数的定义及计算法②高阶偏导数第三节全微分教学内容：①全微分的定义②全微分在近似计算中的应用第四节多元复合函数的求导法则教学内容：①多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导法则教学内容：①一个方程的情形②方程组的情形第六节多元函数微分学的几何应用教学内容：①空间曲线的切线与法平面②曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度教学内容：①方向导数②梯度第八节多元函数的极值及其求法教学内容：①多元函数极值、最大值和最小值②条件极值，拉格朗日乘数法四、本章教学重点：1.使学生掌握多元函数的连续2.使学生掌握多元函数的微分3.使学生掌握多元函数微分学的应用五、本章教学内容的深化和拓宽：使学生深化对多元函数知识点间的联系六、本章教学方式：多媒体七、本章教学过程中应注意的问题：培养学生用发展变化的观点看待问题八、本章主要参考书目：1.同济大学数学教研室主编.1996年.北京：高等教育出版社2.华东师范大学数学系主编.1990年.北京：高等教育出版社3.惠淑荣主编.2002年.北京：中国农业出版社4.李喜霞主编.2003年.北京：中国农业出版社九、本章思考题：1.多元函数极限，连续，可微之间的关系2.多元函数求导的法则及应用3.多元函数微分学及应用§8-1多元函数的基本概念一、区域 1.邻域设0P 是XOY 平面上的一点，δ是一个正数，与点0P 的距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点0P 的δ邻域。
记作()0,U P δ，即(){}00,U PP PP δδ=<，也就是 ()({}0,,U P x y δδ=<。
(完整版)多元函数微分学复习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是 （C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是 （A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为 （D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为 （A ） （A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ） （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点 （B ）点P 0是函数z 的极小值点 （C ）点P 0非函数z 的极值点 （D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。
多元函数微分学习题解知识点与课后习题答案
第8章 多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。
解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。
解： 2(,,)()()xy x f x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()zx y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。
解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u =解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤★★★（4）z =解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。
思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。
解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。
思路： 应用有理化方法去根号。
第八章(理工)多元函数的微分学
4、过曲面 z − e + 2 xy = 3 上点 (1, 2, 0) 处的切平面方程为 解析：切点的方向向量为 n = (2 y , 2 x,1 − e ) ⇒ n
z
G
G
(1,2,0)
= (4, 2, 0) = (2,1, 0) ，则有点向式 2( x −1) + ( y − 2) = 0
⇒ 2x + y − 4 = 0
∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w 2 = − − − − = − − − ∂x 2 ∂u 2 ∂x ∂u∂v ∂x ∂u∂v ∂x ∂v 2 ∂x ∂u 2 ∂u∂v ∂v 2 ∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w 2 = − − + + = − + + − = − + − ∂y 2 ∂u 2 ∂y ∂u∂v ∂y ∂u∂v ∂y ∂v 2 ∂y ∂u 2 ∂u∂v ∂u∂v ∂v 2 ∂u 2 ∂u∂v ∂v 2 ∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w = 1− 2 − + + = 1− 2 − + + = 1− 2 + 2 ∂x∂y ∂u ∂x ∂u∂v ∂x ∂u∂v ∂x ∂v 2 ∂x ∂u ∂u∂v ∂u∂v ∂v 2 ∂u ∂v ∂2 z ∂2 z ∂2 z ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w +2 + = − 2 −2 − + 2(1 − 2 + 2 ） − 2 +2 − ＝− 4 2 + 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂u ∂u∂v ∂v 2 ∂u ∂v ∂u ∂u∂v ∂v 2 ∂u
吴第8章多元函数微分学-习题课
【解】 lim f(x,y)0f(0,0)所以f 在(0,0)点连续,故否B .
x 0
y 0
f( x ,0 ) f( 0 ,0 ) x 2 s1 ix n 2 ) (
f x ( 0 ,0 ) l x 0 im x
lim 0 x 0 x
fy (0 ,0 ) ly 0 ifm (y ,0 ) yf(0 ,0 ) ly 0 iy m 2 sy i 1y n 2 ) ( 0 偏导数存在, 否A .
第八章 习题课
多元函数微分法及其应用
一、关于多元函数极限的题类 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 三、关于复合函数求导、隐函数求导，全微分计算题类 四、关于多元函数极(最)值的题类
一、关于多元函数极限的题类
【例1】 求
lim
x0
xy x2 y2
y0
【解】
xy
lim
x 0
x2
【例8】 设x2z2y(fz)其 , f中 可微z， . 求
y
y
【解Ⅰ】公式法
抽象函数隐函数求导
令F(x,y,z)x2z2y(fz), y
则
Fz
2zf(z), y
Fyf(zy)zyf(zy),
z y
Fy Fz
yf( z) zf ( z)
y
y
2yz yf(z)
.
y
【例8】 设x2z2y(fz)其 , f中 可微z， . 求
y
y
抽象函数隐函数求导
【解Ⅱ】（求导直接法） z是x,y的函数
zyz 两边同时对y求导 2zyzf(zy)yf(zy)yy2 ,
yf(z) zf (z)
解得
（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案
（完整版）多元函数微分法及其应⽤习题及答案第⼋章多元函数微分法及其应⽤(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z 2，xy z2 ，则在D 上，xy zy x z =22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z 23及23y x z。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线??=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾⾓是多少？9．求⽅程1222222=++c11．设()y x f z ,=是由⽅程y z z x ln =确定的隐函数，求xz，y z ??。
12．设x y e e xy =+，求dxdy 。
13．设()y x f z ,=是由⽅程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz，y z ??，y x z 2。
14．设y ye z x cos 2+=，求全微分dz 。
15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。
Ch8多元函数微分学 释疑解难
Ch8多元函数微分学释疑解难1．怎样理解二元函数的概念？解析：设有三个变量x 、y 和z ．如果变量x ，y 在一定范围内任意取定一对值时，变量z 按照一定的法则，总有确定的数值和它们对应，那么变量z 叫做变量x 、y 的二元函数，记作),(y x f z =，其中变量x 、y 叫做自变量，而变量z 叫做因变量．自变量x 、y 的变化范围叫做函数的定义域．二元函数的定义域，可以是整个xoy 平面，也可以是xoy 平面的一部分．例如函数221y x z --=的定义域是满足不等式122≤+y x 的点的全体，即xoy 平面内以原点为圆心，以1为半径的闭圆域；又如函数2ln(1)z x =-，作为二元函数，它的定义域是满足+∞<<-∞<<-y x ,11的点的全体，即xoy 平面内介于两条直线1±=x 之间的带形开区域．二元函数),(y x f z =的图形，我们可以用空间直角坐标系来表示它．设函数),(y x f z =在xoy 平面上某一区域D 内有定义，在区域D 内任取一点),(y x P ，由),(y x f z =求出相应的函数值z ，于是确定了空间一点),,(z y x M ，当点P 在区域D 内变动时，点M 就在空间相应变动，一般说来，它的轨迹是一个曲面．例如，22y x z +=是以原点为顶点，开口向上的圆锥面；又如)(x f z =是母线平行于y 轴的柱面．2．怎样理解二元函数的极限的概念？解析：设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 某一去心邻域内有定义．如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在一个正数δ，使得对于适合不等式00||PP δ<=的一切点，都有|(,)|f x y A ε-<成立，那么常数A 叫做函数值),(y x f 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作0lim (,)x xy y f x y A →→=，或),(),(00y y x x A y x f →→→．在上述二元函数极限的定义中，无论点),(y x P 以何种方式趋向点),(000y x P ，只要当点P 与点0P 的距离2020)()(y y x x -+-大于0小于δ时，所对应的函数值),(y x f 都满足不等式ε<-A y x f ),(，就能保证常数A 是函数),(y x f 当00(,)(,)x y x y →时的极限．即所谓二元函数),(y x f 当00(,)(,)x y x y →时存在极限A ，是指点P 以任何方式趋近于点0P 时，函数),(y x f 都无限接近于同一数值A ，这里P 是点0P 的某一邻域内异于0P 的任意一点．如果点P 以某一特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋近于点0P 时，即使函数无限接近于某一数值，我们还不能由此断定二元函数的极限存在．例如，分析函数yx yx y x f -+=),(．当点),(y x P 沿x 轴趋近于点)0,0(时，1lim )0,(lim 0==→→xxx f x x ；当点),(y x P 沿y 轴趋近于点)0,0(时，11lim),0(lim 00-=-=→→yy f x y ．一般地，点),(y x P 沿直线kx y =趋近于点)0,0(时，有)1(11lim ),(lim 0≠-+=-+==→→=→k kkkx x kx x y x f x kx y x ．显然，k k -+11是随着直线的斜率k的不同而改变其数值的，因此，当(,)(0,0)x y →时，函数),(y x f 的极限不存在．3．如果一元函数0(,)f x y 和0(,)f x y 分别在0x 和0y 连续，那么二元函数),(y x f 在00(,)x y 一定连续吗？解析：不一定．我们知道，如果当00(,)(,)x y x y →时，函数),(y x f 的极限存在，并且等于它在点00(,)x y 处的函数值，即000lim (,)(,)x xy y f x y f x y →→=，那么二元函数),(y x f 在点00(,)x y 处连续．这时，就有0000lim (,)(,)x x f x y f x y →=，0000lim (,)(,)y yf x y f x y →=，即一元函数0(,)f x y 和0(,)f x y 分别在0x 和0y 连续．反之，如果0(,)f x y 和0(,)f x y 分别在0x 和0y 连续，那么函数),(y x f 在00(,)x y 不一定连续．例如，函数2222,0(,)0,0xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪==⎩．因(,0)f x 恒等于零，它在0x =处连续，同样(0,)f y 也恒等于零，它在0y =处也连续；但是当点),(y x P 沿直线kx y =趋近于点)0,0(时，有001lim (,)lim 1)1x x y kx x kx kf x y k x kx k→→=→++==≠--，21k k +是随着k 的不同而改变的，因此，当(,)(0,0)x y →时，函数),(y x f 的极限不存在，所以函数),(y x f 在)0,0(是不连续的．4．任何二元连续函数都存在偏导数吗？解析：不一定．例如多元初等函数22(,)f x y x y =+在点)0,0(处连续且偏导数存在，但函数(,)f x y =在)0,0(连续但偏导数不存在．因为(,0)(0,0)x f x f x x∆∆∆∆-==，当0x ∆→+时，上式趋近于1；当0x ∆→-时，上式趋近于-1，所以偏导数(0,0)x f 不存在．同理，偏导数(0,0)y f 也不存在．5．如果函数),(y x f z =的偏导数z x ∂∂和zy∂∂在点),(000y x P 处都存在，那么),(y x f 在点0P 处一定连续吗？解析：我们知道，如果一元函数在某点有导数，那么它在该点一定连续．但是对于二元函数),(y x f z =来说，即使偏导数z x ∂∂和z y∂∂在点0P 处都存在，也不能保证),(y x f 在点0P 处一定连续．这时因为偏导数存在能保证点(,)P x y 沿着平行于坐标轴的方向趋近于点0P 时，),(y x f 无限接近于000(,)f x y ，而不能保证点(,)P x y 沿任何方式趋近点0P 时，),(y x f 都无限接近于000(,)f x y ．例如函数22222,0(,)0,0x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪==⎩，在点)0,0(对x 的偏导数为(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x∆∆∆∆∆→→--===，同样有(0,0)0y f =．但是，当(,)(0,0)x y →时，函数),(y x f 的极限不存在，所以函数),(y x f 在)0,0(是不连续的．如果函数),(y x f z =的偏导数z x ∂∂和z y∂∂在点),(000y x P 处存在且连续，那么),(y x f在点0P 处一定连续．这时因为根据拉格朗日中值定理，函数的全增量[][]00000000001000212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(0,1)x y z f x x y y f x y f x x y y f x y y f x y y f x y f x x y y x f x y y y ∆∆∆∆∆∆∆θ∆∆∆θ∆∆θθ=++-=++-+++-=++++<<当0ρ=，即0,0x y ∆∆→→时，有0z ∆→，所以，函数),(y x f 在点0P 处是连续的．6．如果函数),(y x f z =在点),(000y x P 的偏导数z x ∂∂和z y∂∂都存在，那么),(y x f 在点0P 全微分一定存在吗？解析：不一定．一元函数在某点可导与可微是等价的．但是，对于二元函数来说，情况就不同了，即使函数的偏导数存在，全微分可能不存在．全微分的定义可以理解为：如果函数),(y x f z =在点0P 的全增量z ∆与0000(,)(,)x y f x y x f x y y ∆∆+之差，当0ρ=时是一个比ρ较高阶的无穷小量，那么函数),(y x f 在点0P 可微；反之，如果z ∆与0000(,)(,)x y f x y x f x y y ∆∆+之差，当0ρ→时不是比ρ较高阶的无穷小量，那么函数),(y x f 在点0P 的全微分就不存在．例如函数(,)f x y =(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x∆∆∆∆∆→→--'===，同样(0,0)0y f '=．但是由于(0,0)(0,0)x y z f x f y ∆∆∆-+=，当以特殊方式0x y ∆∆=→0=，即不是比ρ较高阶的无穷小量，从而),(y x f 在点(0,0)的全微分就不存在，也就是),(y x f 在点(0,0)处是不可微的．7．多元函数全微分的运算法则是怎样的？解析：多元函数全微分的运算法则与一元函数全微分的运算法则在形式上是相同的．即当u 与v 都是同一组自变量的具有连续偏导数的多元函数时，有()d cu cdu =（c 是常数）；()d u v du dv ±=±；()+d uv udv vdu =；2((0)u vdu udv d v v v -=≠．使用上述运算法则，可以计算多元函数的全微分．例如，22xz x y =+.22222222222222222222()()()()(22)()2.()()x y dx xd x y dz x y x y dx x xdx ydy x y y x xy dx dy x y x y +-+=++-+=+-=-++8．二元函数的极值点一定是驻点吗？解析：不一定．函数(,)f x y 的极值点是指使(,)f x y 取得极值的点；而函数(,)f x y 的驻点是指使00(,)x f x y ，00(,)y f x y 同时成立的点．可微函数),(y x f z =在点00(,)x y 有极值的必要条件为00(,)0x f x y '=、00(,)0y f x y '=，即可微函数),(y x f z =的极值点一定是驻点．但函数的偏导数中至少有一个不存在的点也可能是极值点．例如，在xoy平面下方的锥面方程z =(0,0)处有极大值，但在点(0,0)处的偏导数z x ∂∂和zy∂∂都不存在，点(0,0)并非函数的驻点，而是函数的偏导数不存在的点．9．二元函数的驻点一定是极值点吗？解析：不一定．例如，点(0,0)是函数z xy =的驻点，但不是极值点．这是因为z xy =在点(0,0)的任何邻域内总有函数值为正的点，也总有函数值为负的点；点(0,0)是函数22z x y =+的驻点，也是极值点，函数在这点有极小值．10．如果二元函数在某区域内只有一个极值，并且是极大（小）值，那么这个极大（小）值一定是函数在该区域的最大（小）值吗？解析：不一定．我们知道，如果一元函数在某区域内只有一个极值，并且是极大（小）值，那么这个极大（小）值就函数在该区域是的最大（小）值．但对于二元函数，却没有与之类似的结论．如果二元函数在某区域内只有一个极值，并且是极大（小）值，那么这个极大（小）值不一定是函数在该区域的最大（小）值．例如，考察函数322(,)42f x y x x xy y =-+-在矩形区域66x -≤≤，11y -≤≤上的最大值．令23820220x y f x x y f x y =-+=⎧⎨=-=⎩解这个方程组，得0,0;2, 2.x y x y ====但是点(2,2)不在所讨论的矩形区域内，于是函数(,)f x y 在该矩形区域内只有一个驻点．再求出二阶偏导数68xxf x ''=-，2xy f =，2xy f =-，在点(0,0)上，有(0,0)8xx A f ==-，=(0,0)2xy B f =，(0,0)2yy C f ==-因为2120B AC -=-<，而8A =-．根据二元函数极值的充分条件，函数(,)f x y 在点(0,0)处有极大值(0,0)0f =．然而，极大值零并不是函数(,)f x y 在矩形区域上的最大值，因为，例如在点(5,0)，有(5,0)250f =>．。
多元函数的基本概念
多 元 函 数 的 基 本 概 念
纯数学问题的函数: 定义域为使运算有意义的 定义域为使运算有意义 运算有意义的
自变量取值的全体. 自变量取值的全体
10
例 求下面函数的定义域
多 元 函 数 的 基 本 概 念
1. z =
xy
x ≥ 0 x ≤ 0 解 xy ≥ 0, 即定义域为 和 y ≥ 0 y ≤ 0
•M
多 元 函 数 的 基 本 概 念
y
O
y
P
x
x
D
二元函数的图形通常是一张曲面 曲面.
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由空间解析几何知, 由空间解析几何知 函数 如,
多 元 函 数 的 基 本 概 念
z = R2 − x2 − y2
的图形是以原点为中心, 为半径的上半球面 的图形是以原点为中心 R为半径的上半球面 为半径的上半球面. 最后指出, 从一元函数到二元函数, 在内容 最后指出 从一元函数到二元函数 和方法上都会出现一些实质性的差别, 和方法上都会出现一些实质性的差别 而多元 函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 函数之间差异不大 因此研究多元函数时 将以 二元函数为主. 二元函数为主
25
多
同一元函数一样, 多元函数的和、 同一元函数一样 多元函数的和、差、 积、商（分母不为零）及复合仍是连续的. 分母不为零）及复合仍是连续的 每个自变量的基本初等函数经有限次四则 运算和有限次复合, 运算和有限次复合, 由一个式子表达的函数 称为多元初等函数, 在它们的定义域的内点 称为多元初等函数 处均连续. 处均连续
P → P0
0 , y0 )
f ( x , y ) = A 或 lim f ( x, y )
x → x0 y → y0
(完整版)多元函数微分学复习题及答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题 1. 极限= （提示：令22y k x =） （ B ）(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于(D) 存在且不等于0或2、设函数，则极限= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设，则= （ B ）(A)(B)(C)(D)6、设，则 （ A ）（A ） （B ） （C ） （D ）7、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若，则= （ D ） (A) (B)(C)(D)9、设，则（ A ）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设，则 （ D ）(A) (B)(C) (D)11、曲线在点处的法平面方程是 （C ） (A) (B)(C)(D)12、曲线在点处的切线方程是 （A ）(A) 842204x z y --=-=(B) (C) (D)13、曲面在点处的切平面方程为 （D ）（A ） （B ）（C ）（D ）14、曲面在点处的法线方程为 （A ）（A ） （B ） （C ） （D ）15、设函数，则点是函数 的 （ B ）（A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数具有二阶连续偏导数，在处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点是函数的极大值点 （B ）点是函数的极小值点（C ）点非函数的极值点 （D ）条件不够，无法判定17、函数在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) (B) (C) (D)二、填空题 1、极限= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：2、极限=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：3、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：4、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：，5、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：6、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-）7、设，要使处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：8、设，要使在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：19、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线及11、设，则_________ .答：3cos5 12、设，则= _________ .答：1 13、设，则=_________ .答：14、设，则在极坐标系下，= _________ .答：015、设，则= _________.答：16、设，则= ___________ .答：17、函数由所确定，则= ___________ .答：18、设函数由方程所确定，则= _______ .答：19、由方程所确定的函数在点（1，0，－1）处的全微分= _________ .答：20、曲线在点处的切线方程是_________.答：21、曲线在对应于点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x22、曲面在点处的法线方程为_________ .答：eze y x 22212=-+=- 23、曲面在点处的切平面方程是_________.答：24、设函数由方程确定，则函数的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数在点处取得极值，则常数_________，_________.答：0，426、函数在条件下的极大值是_______答：三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.4 2、求极限 .解：= 43、求极限 .解：原式=4、求极限 .解：= -85、设，求.解：6、设，求.解：7、设函数由所确定，试求（其中）.解一：原式两边对求导得，则同理可得：解二：xy xz F F y z xy yz F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数的极值.解：由，得驻点074334>=--==yyyxxy xx z z z z D，函数在点处取极小值.9、设，而，求.解：=-++(sin )3432t t e x y10、设，求.解：11、设，求.解：，，12、求函数的全微分.解：四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为米.水池底部的单位造价为. 则水池造价 且令由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e x z y x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+- 2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx ekn xy k tkn sin 2222--=∂∂, 所以22xy k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。
经济数学(多元函数的微分法及其应用习题及答案)
第八章 多元函数的微分法及其应用习题 8－11. 指出下列平面位置的特殊性质：（1）23200x y -+= （2）320x -=（3）470y z -= （4）0x y z ++= 解 （1）因为方程中缺变量z , 所以该平面平行于z 轴.（2）因为方程中缺变量y 、z , 所以该平面平行于yz 平面即垂直于x 轴.（3）因为方程中缺变量x 且不含常数项, 所以该平面平行于x 轴且经过原点（0，0，0）. （4）因为方程中缺常数, 所以该平面通过原点（0，0，0）.2. 求下列轨迹的方程：（1）与点(3,0,2)-的距离为4个单位的点的轨迹;（2）与两定点)0,0,(c P 和)0,0,(c Q -的距离之和等于2(0)a a >的点的轨迹; （3）与z 轴和点(1,3,1)-等距离的点之轨迹;（4）与yz 平面的距离为4，且与点)1,2,5(-的距离为3的点之轨迹.。
解 设动点为),,(z y x M ，则（1）点(,,)M x y z 与点(3,0,2)-的距离为4 整理得动点),,(z y x M 的轨迹为2226430x y z x z ++-+-=.（2）动点),,(z y x M 与两定点)0,0,(c P 和)0,0,(c Q -的距离之和等于a 2，即2a整理得动点),,(z y x M 的轨迹为2222222222()()0a c x a y a z a a c -++--=.(3) 动点),,(z y x M 与z 轴和点)1,3,1(-等距离为整理得动点),,(z y x M 的轨迹为2262110z x y z --++=.(4) 由动点),,(z y x M 与yz 平面的距离为4，得4||=x ， 由动点),,(z y x M 与点)1,2,5(-的距离为3, 得3=故),,(z y x M 点的轨迹为⎩⎨⎧=++-=8)1()2(422z y x . 3. 求下列各曲面的方程：(1) 中心在点)2,3,1(--且通过点)1,1,1(-的球面方程;(2) 过点)1,1,2(-而在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1的平面方程; (3) 平行于xz 平面并过点（2，-5，3）的平面方程;(4) 一动点与点)0,0,1(的距离是与平面4=x 的距离之一半，求该动点之方程.解 （1）设),,(z y x 为所求球面上的任意一点且球面半径为R ，则 2222(1)(3)(2)x y z R ++++-=将点)1,1,1(-代入上式，得3=R . 故所求球面方程为 9)2()3()1(222=-++++z y x .（2）设所求的平面方程为0=+++D Cz By Ax （*）将点)0,0,2(,)0,1,0(,)1,1,2(-代入上式，得20020A D B D A B C D +=⎧⎪+=⎨⎪+-+=⎩解得0.5,,A D B D C D =-=-=-. 代入方程（*）整理得平面方程为2220x y z ++-=.（3）设所求平面方程为0By D += （**）将点)3,5,2(-代入上式，得B D 5=.代入方程（**）整理得平面方程为 50y +=.(4) (4) 设动点为),,(z y x ，则0.5|4|x =-22234412x y z ++=.4.作出下列方程之图形：（1）01=-+-z y x （2）03=-z y（3）02=x （4）12=y（5）1222=++z y x （6）022=-y x（7）223049y x z +-= （8）22149y x +=解 （1） （2）(图8－1) (图8－2)（3） （4）4）(图8－3) (图8－4)（5） （6）(图8－5) (图8－6)（7） （8）习题 8－21. 已知y xxy y x y x f tan),(22-+=，求),(ty tx f .解2222(,)()()tantx f tx ty t x t y tx ty ty =+-2222(tan )(,)xt x y xy t f x y y =+-=.2.已知vu wwu w v u f ++=),,(，求),,(xy y x y x f -+.解 ),,(xy y x y x f -+=yx y x xy xy y x -++++)()(=xxy xy y x 2)()(++.3. 已知2332),(y xy x y x f +-=，求),(xy y x f .解 32(()x x f y y =-+333x xyy =-+.4*.设)(y x f y z --=且1=y 时x z =，试求)(x f 和z .解 由1=y 时x z =，得 )1(1--=x f x令1-=x t ，则)(1)1(2t f t -=+，即22()1(1)2f t t t t =-+=--所以 2()(2)f x x x =-+222)[))] 22 )).z f y y y x y yy y ==---=+-=+-5 .（1）2ln(21)z y x =-+ （2）z =+（3）ln(1)z x y =-- （4）z =解 （1）当2210y x -+>时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－9所示)为2{(,)|210}D x y y x =-+>.（2）当0,0x y x y +>->时, 函数有意义,故函数的定义域(如图8－10所示)为 图8－9 {(,)|00}D x y x y x y =+>->且（3）当240x y -≥和0122>--y x 且2211x y --≠时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－11所示)为222{(,)|401}D x y y x x y =≤<+<，（4）当0,0y x ≥，即0,0x y ≥≥且2x y ≥时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－12所示)为 图8－10|),{(y x D =0≥x ，0≥y ，y x ≥2}.图8－11图8－126. 求下列各极限：(,)limy x y →（1）22(,)(0,1)1limx y xyx y →-+ （2）（3）(,)limx y → （4）(,)(2,0)sin limx y xyy →解（1）)1,0(),(lim→y x 221y x xy +-=1.（2）)0,1(),(lim→y x 22)ln(y x e x y ++=2ln . （3）)0,0(),(lim→y x 11-+xy xy=)0,0(),(lim →y x xy xy xy )11(++=2.(4) )0,2(),(lim→y x y xy sin =)0,2(),(lim→y x xy xyx sin =2.7. 证明下列极限不存在：（1）)0,0(),(lim →y x y x yx -+ （2）)0,0(),(lim →y x 222)(y x y x - 证 （1）因为当点(,)x y 沿直线x y 2=趋向)0,0(点，得020lim →=→x y x y x yx -+=0lim→x x x x x 22-+=3- 当点(,)x y 沿直线y x 2=趋向)0,0(点，得020limy x y x y x y →=→+-=0lim →y yy3=3所以 )0,0(),(lim→y x y x yx -+不存在.（2）因为当点(,)x y 沿直线kx y =)1(≠k 趋向)0,0(点，得00lim→=→kx y x 222)(y x y x -=00lim →=→kx y x 222)()(kx x kx x -=0lim →x 22)1()(k kx -=0当点(,)x y 沿曲线x x y +=2趋向)0,0(点，得x x y x +=→20l i m222)(y x y x -=x x y x +=→20lim 22222)()(x x x x x x --+=0lim →x 2)1(x +=1所以)0,0(),(lim →y x 222)(y x y x -不存在. 8. 求下列函数的不连续点：（1）221y x z +=（2）y x xy z +=（3）xy z 1sin = 解 （1）因为在)0,0(点处, 函数无意义, 所以函数不连续点为)0,0(.（2）因为当0x y +=时, 函数无意义, 所以函数不连续点为直线0x y +=上的一切点.（3）因为当00x y ==或时, 函数无意义, 所以函数不连续点为坐标轴上的一切点. 9.求函数(,)ln(1)f x y x y =--的定义域及1(,)(,0)2lim (,)x y f x y →.解 要使该函数有意义，则恒有22222401011x y x y x y ⎧-≥⎪⎪-->⎨⎪--≠⎪⎩成立, 则函数的定义域为222{(,)|4001}D x y x y x y =-≥<+<，又因为函数),(y x f 是初等函数且在1(,0)2点处有定义, 所以函数),(y x f 在点1(,0)2处连续.故1(,)(,0)21lim(,)(,0)2x y f x y f →==.习题 8－31. 求下列函数的偏导数：（1）33xy y x z -= （2）)ln(xy z =（3）)(cos )arcsin(2xy xy z += （4）yxy z )1(+=解 （1）23323, 3z z x y y x xy x y ∂∂=-=-∂∂.（2）z x x ∂∂==∂∂同理z y ∂=∂（3）sin(2)z y xy x ∂=-∂同理sin(2)z x xy y ∂-∂.（4） 21(1)y zy xy x -∂=+∂设在已知函数两端取对数，有 l n l n (1)z y x y =+ 两边对y 求导，得11ln(1)1z xy y x z y xy ∂⋅=++⋅⋅∂+故 =∂∂y zyxy )1(+]1)1[ln(xy xy xy +++. 2.设ln x y y u x y x -=+，验证0u ux y x y ∂∂+=∂∂.证 因为221ln ()y y x y u x x x x y x y -∂=-⋅∂++221ln ()y x y u x y x y x y x y -∂=-+⋅∂++所以0u u xy x y ∂∂+=∂∂.3.设)11(yx ez +-=，验证+∂∂x z x 2z y z y 22=∂∂.证 因为 1111()()22, x y x y z z e x e y x y -+-+--∂∂==∂∂所以+∂∂xz x 2=∂∂y z y 2)11(y x e +-+)11(y x e +-=)11(2y x e +-z 2=. 4. 设=),(y x f y xy x arcsin)1(-+，求'(,1)x f x .解 因为=),('y x fx 11y +=所以 '(,1)1x f x =.5.设=),(y x f 22y x y x +-+，求)4,3('x f . 解 因为'(,)x f x y ==-所以'2(3,4)5x f =. 6.求下列函数的二阶偏导： （1）x yz arctan= （2）xy z =解 （1）22221()1()y y z y xx x y x ∂=⋅-=-∂++22211()1()z x y y x x y x ∂=⋅=∂++22222222222()2()()y y xy z x x x x y x y x y -∂∂=-=-⋅=∂∂+++22222222()()xy z xy y x y x y ∂∂==-∂∂++22222222()()y x z xx y y x y x y -∂∂==∂∂∂++.（2） ''1ln , x x x y z y y z xy -== ''2''2(ln ), (1)x x xx yy z y y z x x y -==-=''xy z 1-x xy y ln +y y x1= 1-x y )1ln (+y x .7. 设=),,(z y x f z x yz xy 222++，求)1,0,0('x f ,)0,1,0('y f , ''(0,0,1)x x f ,''(1,0,2)x z f ,''(0,1,0)y z f -和'''(2,0,1)z z x f .解 因为'2'2'22,2,2x y zf y x z fx yzf y z x=+=+=+'''''''''''2,2,2,2,0xx xz yz zz zzx f z f x f z f y f ===== 所以 ''''(0,0,1)0,(0,1,0)0,(0,0,1)2x y x x f f f === '''''''(1,0,2)2,(0,1,0)0,(2,0,1)x z y z z z xf f f=-==. 8. 设)ln(xy x z =，求32z x y ∂∂∂与32zx y ∂∂∂.解 因为 1l n ()l n ()1z x y x y x y x x y ∂=+⋅⋅=+∂22211(ln 1)11(ln 1)z xy y x xy xx z xy x x y yxy y ∂∂=+=⋅=∂∂∂∂=+=⋅=∂∂∂ 所以 3322210,z z x yx y y ∂∂==-∂∂∂∂. 9. 验证2sin kn ty e nx -=满足22x yk t y ∂∂=∂∂. 证 因为=∂∂t y2222sin ()sin kn t kn t e nx kn kn e nx ---=- 22222cos , sin kn t kn t y y ne nx n e nxx x --∂∂==-∂∂=∂∂22xy k 22sin kn t kn e nx --=t y∂∂ 所以22x y k t y ∂∂=∂∂. 10. 设),(y x u 有一阶连续偏导数，且x x u=∂∂, 2(,)(,)|1x x u x y =, 求y u ∂∂.解 由x x u =∂∂，两边对x 积分，得21(,)()2u x y x g y =+?? 由 2(,)(,)|1x x u x y =，得 =),(2x x u 1)(2122=+x g x即=)(2x g 2211x - 于是 ),(y x u =+221x y211-故 12u y∂=-∂. 11. 设33222222,0(,)0, 0x y x y f x y x yx y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩，求)0,0('xf )0,0('y f . 解 由在一点的偏导数定义，得'00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x f x f xf x x ∆→∆→+∆-∆===∆∆'00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 1y y y f y f yf y y ∆→∆→+∆--∆===-∆∆. 12 .设1()()y z f xy xf y x =+，f 具有连续二阶偏导数，求''x y z .解 设,y u xy v x ==, 则1()()z f u xf v y =+于是'''21()()()()x u v y z f u y f v xf v y x =⋅⋅++⋅-''()()()u v y f u f v f v x =+=-故''''''''111()()()()xy y z f u x f v f v f v x x x x =+⋅-⋅-⋅⋅''''2()()y yf xy x f x x =⋅-⋅.习题 8－41. 求下列函数的全微分：（1）xz xy y =+（2）y x e z 2-= （3）z （4）y z u x =（5）2ln()z x xy = （6）221z x y =- 解 （1）因为 21, z z x y x xy y y ∂∂=+=-∂∂ 所以 21d ()d ()d xz y x x yy y =++-.（2）因为 =∂∂x z yx e 2-，=∂∂y z y x e 22--所以 222d d 2d (d 2d ).x yx y x y z ex e y e x y ---=-=- （3）因为223222()y xy zx x y x y ∂=-=-∂++23222()z x y x y ∂==∂+ 所以233222222d d d ()()xy x z x yx y x y =-+++3222(d d ).()x y x x y x y =--+（4）因为=∂∂x u 1y z yzx -， =∂∂y u ln y z zx x ， =∂∂zu ln y z yx x 所以 1d d ln d ln d y z y z y z u yzxx zx x y yx x z -=++. （5）因为 22l n ()2l n ()y zx x y x x x y x x x y ∂=+=+∂22z x x x y xy y ∂=⋅=∂ 所以 2d [2ln()]d d x z x xy x x yy =++.（6） 因为 22222222, ()()y z x zxy x y x y ∂∂=-=∂∂--所以22222222d d d ()()y x z x yx y x y =-+--2222(d d ).()x x y y x y =---2 .求函数)1ln(22y x z ++=在1,2x y ==的全微分.解 因为 2221z x x x y ∂=∂++， 2221y zy x y ∂=∂++所以 1213x y z x==∂=∂， 1223x y z y==∂=∂故1212d d d 33x y z x y ===+.3. 求函数x yz =, 当2,1x y ==、0.1x ∆=、0.2y ∆=-的全增量z ∆和全微分d z . 解 因为 x y x x y y z -∆+∆+=∆， 21d y z x y x x =-∆+∆所以, 当2,2x y ==、0.1x ∆=、0.2y ∆=-时1(0.2)10.11920.12z +-∆=-=-+ 11d 0.1(0.2)0.12542z =-⨯+⨯-=-.*4. 已知(cos )d (sin )d ay by x x x x y +++是函数(,)u x y 的全微分，求,a b 及(,)u x y .解 因为 d u =(c o s )d a y b y x x +(s i n )d x x y ++所以 x by ay u x cos '+=， ='y u x x sin +则 =''xy u x b a cos +， =''yx u x c o s 1+ 而''xy u 与''yx u 均为连续函数，则必有≡+x b a cos x cos 1+ 解得 1,1==b a .故 ),(y x u =d ux x ∂∂⎰=(cos )d y y x x +⎰=c x y xy ++sin （c 为任意常数）.5.在例3的条件下, 求产品B 的边际成本,并阐明其经济意义.解 因为 30.010.04Cx y y ∂=++∂所以 (100,50)30.011000.04506Cy ∂=+⨯+⨯=∂其经济意义为：当产品A 的产量x = 100不变时, 产品B 的产量在y = 50的基础上, 再增加一个单位, 成本C 将增加6个单位.6.已知某商品的需求量Q 是该商品的价格p 1、另一相关商品的价格p 2及消费者收入y的函数, 且325852121200Q p p y--=，试求需求量分别关于自身价格p 1、、相关价格p 2及消费者收入y 的弹性, 并阐明其经济意义.解1112511852121133()20088p p p Q p p y Q p Q η--∂=⋅=⋅⋅-=-∂375228522122122()20055p p p Q p p y Q p Q η--∂=⋅=⋅⋅-=-∂32385212155()20022y y Q y p p y Q y Q η--∂=⋅=⋅⋅=∂其经济意义分别为：在相关商品的价格p 2及消费者收入y 不变时, 该商品的价格p 1上涨(或下降)1%,需求量下降(或上升)37.5%; 在某商品的价格p 1及消费者收入y 不变时, 相关商品的价格p 2上涨(或下降)1%,需求量下降(或上升)40%; 在某商品的价格p 1及相关商品的价格p 2不变时, 消费者收入y 上涨(或下降)1%, 需求量上升 (或下降)250%.7*. 在边长为6,8x m y m ==的矩形中，若x 增加5cm ，y 减少10cm ，试求该矩形的对角线和面积变化的近似值.解 设对角线长为l ，面积为s ，则有22y x l +=， xy s = 于是d )z z l l x y x x y y x y ∂∂∆≈=∆+∆=∆+∆∂∂d ()s s y x x y ∆≈=∆+∆当6,8,0.05,0.1x m y m x m y m ==∆=∆=-时，有680.05(0.1)0.051010l m ∆≈⨯+-=-280.056(0.01)0.2s m ∆≈⨯+⨯-=- .8*. 设有一无盖圆柱形容器, 其壁与底厚均为0.1cm, 内高为20cm, 内半径为4cm, 求该容器外壳体积的近似值.解 设容器的内半径为r ,高为h ,体积为V , 则圆柱体的体积为 2V r h π=因为圆柱形容器的外壳就是圆柱体积的增量V ∆，所以2d 2V V rh r r h ππ∆≈=∆+∆ 于是当4,20,0.1r h r h ==∆=∆=,时, 有2324200.140.155.3()V cm πππ∆≈⨯⨯⨯⨯+⨯⨯≈.故该容器外壳体积大约为355.3().cm π9*. 求下列各式的近似值：(2) 1.05(1.07)(ln 20.693)=(3) 00sin 29tan 46解 (1)设(,)f x y =2f x ∂=∂，2f y ∂=∂于是(,)f x x y y +∆+∆f fx yx y ∂∂≈+∆+∆∂∂22=+当1,2,x y x ==∆=时, 有(1.02,1.97)f =2 2.95≈=.(2) 设(,)f x y =yx ，则'1y x f yx -=， 'ln y yf x x =于是 (,)f x x y y +∆+∆()y y x x +∆=+∆≈y x ''x y f x f y +∆+∆=yx 1ln y y yx x x x y -+∆+∆当1,1,0.07,0.05x y x y ==∆=∆=时, 有(1.07,1.05)10.07 1.07f =+=. (3) 设(,)f x y =sin tan x y ，则'cos tan x f x y =，'2sin sec y f x y = 于是00sin 29tan 46sin()tan()61804180ππππ=-+ 当,,,64180180x y x y ππππ==∆=-∆=时, 有00''(29,46)(,)(,)(,)646464x y f f f x f y ππππππ=+∆+∆2sintancostan()sinsec646418064180ππππππππ=+-+ = 0.50235.10*. 设222232222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎩ 求证：(,)f x y 在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微分.证 设cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩, 则43(,)(0,0)cos sin lim (,)lim0(0,0)x y r r f x y f r θθ→→===故(,)f x y 在点(0,0)处连续. 而'0(0,0)(0,0)(0,0)limx x f x f f x →+-==同理 '(0,0)0y f =故(,)f x y 在点(0,0)处偏导数存在.由函数可微的定义和性质可知：f 可微的充要条件是''()x y f f x f y o ρ∆-∆-∆=其中ρ=而''0(0,0)(0,0)limx y f f x f yρρ→∆-∆-∆''0(,)(0,0)(0,0)(0,0)limx y f x y f f x f yρρ→∆∆--∆-∆=2222222222000()limlim[][()]x x y y k x x y x k x x y x k x ∆→∆→∆→∆=∆→∆∆∆∆==∆+∆∆+∆222lim0(0)(1)x y k x k k k ∆→∆=∆→=≠≠+故(,)f x y 在点(0,0)处不可微.习题 8－51. 设2ln ,32x z u v u v x y y ===-而求,.z z x y ∂∂∂∂ 解 212l n 3z z u z v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂22223ln(32)(32)x x x y yx y y =⋅-+- 222ln ()(2)z z u z v x u u v y u y v y v y ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅-+⋅-∂∂∂∂∂223222ln(32)(32)x x x y y x y y =-⋅---. 2.设2x yz e -=,而sin x t =, 3y t =,求d z .解 因为 3sin 2t t z e-=所以 3sin 23d d(sin 2)t tz et t -=- 32sin 2(cos 6)d t t t t et -=-.3. 设arctan()z xy =,而xy e =, 求d d zx .解d d d d d d d d y y z z z x z z x y x x x x y x ∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅∂∂∂∂22222222111(1).11xx x x xy x e x y x y x e xe e x yx e=+⋅++++==++4.设2()1ax e y z u a -=+, 而sin ,cos y a x z x ==, 求d d u x . 解 d d d d d d d d u u x u y u z x x x y x z x ∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂=222()cos (sin )111ax ax ax ae y z e e a x x a a a -=+⋅-⋅-+++=22(sin cos cos sin )1axe a x a x a x x a -+++=sin axe x .5.设arctanxz y =,而x u v =+,y u v =-,求证：z z u v ∂∂+=∂∂22u v u v -+.证 因为''22222221()()11x y xy x x xy y u y uy y x z ux x y x yy ∂∂-⋅+⋅∂∂-∂===∂+++''22222221()(1)()()11x y xy x x xy y v y vyy x z vx x y x y y ∂∂+-⋅-⋅+⋅∂∂+∂===∂+++所以 2222222y xy x y z zu v y xy x y x -+∂∂+=+=∂∂+++ 22222()()()u v u v u v u v u v --==++-+.6. 设f 具有一阶连续偏导数, 求下列函数的一阶偏导数： (1)222()u f x y z =++ (2) 22(,)xyu f x y e =-(3) (,)x y u f y z = (4) (,,)u f x xy xyz = 解 (1)'''2',2',,2'.x y z u xf u yf u zf === (2) ''22'''1212()()2xy xy x u f x y f e xf ye f x x ∂∂=⋅-+⋅=+∂∂ ''22'''1212()()2.xy xy y u f x y f e yf xe f y y ∂∂=⋅-+⋅=-+∂∂'''11'''''12122'''2221(3)()1()() ().x y z x u f f x y y x x x u f f f f y y y y z yyy u f f z z z∂==∂∂∂=+=-+∂∂∂==-∂, ,.'''''''123123'''''2323'''33(4)1 .x y z u f f y f yz f yf yzf u f x f xz xf xzf u f xy xyf =⋅+⋅+⋅=++=⋅+⋅=+=⋅= .7. 设f 具有二阶连续偏导数, 求下列函数的二阶偏导数：(1)(,)z f xy y = (2) (,)xz f x y =解 (1) '''11(),x z f xy yf x ∂=⋅=∂'''''1212d ()()d y y z f xy f xy xf f y y ∂=⋅+⋅=+∂ '''''2''11111()()xx z yf yf xy y f x x ∂∂==⋅=∂∂''''''''111112'''''11112d ()[()]d xy y z yf f y f xy f y x yf xyf yf ∂∂==+⋅+⋅∂∂=++''''12''''''''11122122''''''''''''2''211122122111222()d d [()][()]d d 2.yy z xf f yy y x f xy f f xy f y y y y x f xf xf f x f xf f ∂=+∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂=+++=++(2)'''''1212d 1()d x x x z f f f f x x y y ∂=⋅+⋅=+∂, '''222()y x x z f f y y y ∂=⋅=-∂ ''''12''''''''11122122''''''''''''''11122122111222221[]d 1d ()[()]d d 11121 .xx z f f x yx x x x f f f f x x y y x x y f f f f f f f y y y y y ∂=+∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂=+++=++ ''''12'''''''''2111221222'''''21222222'''''212222231[]11 ()()[()()]11 ()1xy z f f y yx x f x f f f x f y y y y y y y y x x f f f y y yy x xf f f y y y ∂=+∂∂∂∂∂=⋅+⋅-+⋅+⋅∂∂∂∂=--+-=---''''''''2221222322''''''222222322342()[()()]22 ().yyx x x x z f f f x f y y y y y y y x x x x x f f f f y y y y y ∂∂∂=-=⋅-⋅+⋅∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅8 .设()z xy xF u =+,而()F u 为可导函数且yu x =, 求证：z z x y z xy x y ∂∂+=+∂∂.证 因为 ''2()()()u u y y zy F u x F y F u F xx x ∂=++⋅-⋅=+-∂''1u u z x x F x F y x ∂=+⋅⋅=+∂ 所以''()u u z zxy xy x F u y F xy y F x y ∂∂+=+⋅-⋅++⋅∂∂=2().xy xF u z xy =+=+9. 设2()3y z xy x ϕ=+, 验证：220z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂.证 因为 2''22, 33y yz z y x x y x x ϕϕ∂∂=-+⋅=+⋅∂∂所以 2222''222()()33y y z z x xy y x y xy x yx y x x ϕϕ∂∂⋅-+=⋅-+-⋅++∂∂22'22'2233y x y y x y y ϕϕ=-+--+=10. 设sin()(,)xz xy x y ϕ=+,(,)u v ϕ有二阶偏导数, 求''xy z .解'''121cos()()x z y xy y ϕϕ=++⋅'''''''2122222211cos()sin()()()x y x xz xy xy xy y yy y ϕϕϕ=-+⋅--⋅+⋅-'''''222122231cos()sin().x x xy xy xy y y y ϕϕϕ=--⋅-⋅-⋅11. 设(,)()y xz f xy y x ϕ=+,且f 与ϕ具有二阶连续偏导数, 求''xy z .解 ''''1221x y z yf f y x ϕ=+⋅-⋅'''''''''''11211212222''2222'''''''''12112223321()()111 "11 .xy x x z f y f x f f x f y y yyf x y x xy x f xy f f f y y x x ϕϕϕϕ=+⋅-+⋅---⋅⋅-=+⋅-⋅-⋅-⋅-⋅习题 8－61 .设下列方程所确定的函数为()y f x =,求d d yx .(1)ln 0xy y -= (2)2sin 0x y e xy +-= (3)ln ln 0xy x y ++=解 (1)设(,)ln F x y xy y =-, 则'x F y =,'1y F x y =-故'2'd .1d 1x yF yyy x xy F x y =-=-=--(2) 设2(,)sin xF x y y e xy =+-, 则'2',cos 2x x y F e y F y xy =-=-故'22'd d cos 2cos 2x xx yF y e y y e x y xy y xy F --=-=-=--.(3) 设(,)ln ln F x y xy x y =++, 则''11, x y F y F x x y =+=+故 ''1d .1d x yy F y y x x x F x y +=-=-=-+2. 对下列隐函数, 求,,z z x x y y ∂∂∂∂∂∂及d z .(1)20x y z ++-= (2)0ze xyz -= (3)lnx z zy = 解 (1)设(,)2F x y x y z =++-, 则'121x F =-='222y F =-=-'zF=1-于是''x z F zx F∂=-=∂''y z F zy F ∂=-=∂''y x F xy F ∂=-=∂ 故d d d z z z x yx y ∂∂=+∂∂(2) 设(,)zF x y e xyz =-, 则'x F yz =-, 'y F xz =-, 'z F =z e xy -于是 ''x zz F z yz xF e xy ∂=-=∂- ''y z z F z xz y F e xy ∂=-=∂-''y x F x xz y yz F ∂=-=-∂ 故(d d )d d d zz z z y x x y z x y x y e xy ∂∂+=+=∂∂-. (3) 设(,)ln x zF x y z y =-, 则'''2111, , x y z x F F F z y z z===--, 于是 ''x z F z z xx z F ∂=-=∂+, '2'()y z F z z y y x z F ∂=-=∂+ ''y xF x z y y F ∂=-=-∂ 故 2d d d ()z z z x yx z y x z =+++.3 .设333z xyz a -=, 求2z x y ∂∂∂.解 设33(,,)3F x y z z xyz a =--, 则'''23,3,33x y z F yz F xz F z xy =-=-=-于是 ''22333x z F yz yz zxF z xy z xy -∂=-=-=∂-- ''22333y z F z xz xz y F z xy z xy ∂-=-=-=∂--故 22()()z z yzx y y x y z xy ∂∂∂∂==∂∂∂∂∂-222()()(2)()z zz y z xy yz z x y yz xy ∂∂+---∂∂=-2222222()()()()xyz xz z z xy yz x z xyz xyz xy +-----=-422223(2)()z z xyz x y z xy --=-.4.设0x e xyz -=, 求22zx ∂∂.解 设(,,)xF x y z e xyz =-, 则 'x x F e yz =-, 'y F xz =-, 'z F =xy -于是 z x ∂∂=''x z F F -=x e yz xy ---=xe yzxy - 故 222()()()()x x ze yxy e yz y zz xx xxxy ∂---∂∂∂∂==∂∂∂22()()(2)2()x xx x e yze y xy e yz yxyx e yzxy x y-----+==.5.设2sin(23)23x y z x y z +-=+-, 求证：1z z x y ∂∂+=∂∂. 证 设(,,)2sin(23)23F x y z x y z x y z =+---+, 则'2cos(23)1x F x y z =+--, '4cos(23)2y F x y z =+--'6cos(23)3z F x y z =-+-+于是''2cos(23)116cos(23)33x z F x y z zx x y z F +--∂=-=-=∂-+-+ ''4cos(23)226cos(23)33y zF x y z zy x y z F +--∂=-=-=∂-+-+ 故 1z z x y ∂∂+=∂∂.6 .设(,)x x y z =, (,)y y x z =, (,)z z x y =,都是由方程(,,)0F x y z =所确定的具有连续偏导数的函数, 求证：1y x zy z x ∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证 因为 ''y x F x y F ∂=-∂, ''z y F y z F ∂=-∂,''x z F z x F ∂=-∂ 所以''''''()()()1y x z x y zF F F y x zy z x F F F ∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-∂∂∂.7. 设(,)u v ϕ具有连续偏导数,证明由方程(,)0cx az cy bz ϕ--=所确定的函数(,)z f x y =满足 z z a b cx y ∂∂+=∂∂.证 设(,,)(,)F x y z cx az cy bz ϕ=--, 则''1x F c ϕ=, ''2y F c ϕ=, '''12z F a b ϕϕ=--于是 z x ∂∂=''1'''12x z F c F a b ϕϕϕ-=---='1''12c a b ϕϕϕ+zy ∂∂=''y z F F -='2''12c a b ϕϕϕ---='2''12c a b ϕϕϕ+ 故 ''12''''1212c c z za b a b c x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=+=∂∂++.习题 8－71.在点(1,2)-的邻域内, 根据泰勒公式, 展开函数22(,)2635f x y x xy y x y =----+解 因为''(1,2) 5 , 46, 23x y f f x y f x y -==--=--- ''''''4, 1, 2xx xy yy f f f ==-=-则(,)f x y 的3阶及3阶以上的各偏导数均为0, 且''(1,2)0 , (1,2)0x y f f -=-= 故函数(,)f x y 在点(1,2)-的邻域内的泰勒公式为(,)[1(1),2(2)]f x y f x y =+--++''2''''2''2222(1,2)(1)(1,2)(2)(1,2)1[(1)(1,2)2(1)(2)(1,2)2!(2)(1,2)]15[4(1)2(1)(2)2(2)]2!52(1)(1)(2)(2).x y xx xy yy f x f y f x f x y f y f x x y y x x y y =-+--++-+--+-+-++-=+---+-+=+---+-+2 .当自变量从5,6x y ==,变到115,6x h y k =+=+时,求函数32(,)639184f x y x y xy x y =+--++的增量.解 因为 (5,6)(5,6f f h k f ∆=++- 23639, 2618f f x y y x x y ∂∂=--=-+∂∂22232236, 6, 2, 6ff f fx x y x y x ∂∂∂∂==-==∂∂∂∂∂3332230, 0, 0f f fx y x y y ∂∂∂===∂∂∂∂∂则(,)f x y 的4阶及4阶以上的各阶偏导数均为0, 且225556660,8,30x x x y y y fff xyx======∂∂∂===∂∂∂故223110(8)[302(6)2]62!3!f h k h hk k h∆=⋅+-+⋅+-++⋅223156h hk k h=-++.3.设||x与||y均很小,求coscosxy的准确到二次项的近似表达式. 解设cos(,)cosxf x yy=, 则22sin cos,cos cosf fx xx y yx∂∂=-=-∂∂22cos sin1cos()(sin)cos cosf x yx yy y y∂=-⋅-=∂222sin sin1sin()(sin)cos cosf x yx yx y y y∂=--⋅-=-∂∂222423cos cos sin2cos(sin)coscoscos(cos2sin)cosf y y y y yxy yx y yy∂-⋅-=⋅∂+=于是()(0,0)(0,0)(0,0)0f fx y f x yx y x y∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂2()(0,0)x y fx y∂∂+∂∂222222222(0,0)(0,0)(0,0)2f f fx xy yx yx yy x∂∂∂=++∂∂∂∂=-故2(,)(0,0)()(0,0)()(0,0)f x y f x y f x y fx y x y∂∂∂∂≈++++∂∂∂∂2222110()12!2y xy x-=++-=+.4. 按1x-和2yπ-的正整数幂, 展开函数(,)sinf x y xy=, 到二次项为止. 解因为c o s,c o sf fy xy x xyx y∂∂==∂∂2222222sin,cos sin,sinf f fy xy xy xy xy x xyx yx y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂于是[(1)()](1,)22x y fx yππ∂∂-+-∂∂(1,)(1,)22(1)()02f fx yx yπππ∂∂=-+-=∂∂2[(1)()](1,)22x y f x y ππ∂∂-+-∂∂2222(1,)(1,)22(1)2(1)()2f f x x y x y x πππ∂∂=-+--∂∂∂ 222(1,)2()2f y y ππ∂+-∂ 222(1)2(1)()()()(1)4222x x y y ππππ=--+---+--故将(,)sin f x y xy =在(1,)2π处展开成含有2次幂的泰勒多项式为2222(,)(1,)[(1)()](1,)2221 [(1)()](1,)2!221 1[(1)(1)()()]2422f x y f x y f x y x y f x y x x y y πππππππππ∂∂=+-+-∂∂∂∂+-+-∂∂=+------- 22211 1(1)(1)()().82222x x y y ππππ=-------5.按x 和y 的乘幂展开函数(,)ln(1)xf x y e y =+到三次项为止.解 因为l n (1), 1x xf f e e y x y y ∂∂=+=∂∂+ 222222ln(1), , 1(1)x x xff f e e e y x y y x y y ∂∂∂=+==-∂∂+∂∂+3333222ln(1), , 1(1)x x xf f f e e e y y x x y x y y ∂∂∂=+==-+∂∂∂∂∂+3332(1)xf e y y ∂=∂+于是 (0,0)(0,0)[](0,0)f f x y f x y y x y x y ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂ 2222222223333332233223223[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 22[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 33 332x y f x yf f f x xy y xy y x y x yxy f x y f f f f xx yxyyxx yx yy x y xy y ∂∂+∂∂∂∂∂=++=-∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂=-+故 2223311(,)(2)(332)()2!3!f x y y xy y x y xy y R θ=+-+-++(01)θ<<.综合习题八1.选择题:(1) 设(,)ln ,(,)ln ln ,f x y xy g x y x y ==+则(,)f x y ( )(,).g x y ① > ② < ③ = ④ ≠ (2) 设00(,)(,)f x y x y 在点的偏导数存在，则00(,)( ).x f x y '=① 00000(,)(,)limx f x x y y f x y x ∆→+∆+∆-∆② 00000(,)(,)limx f x x y f x y x ∆→+∆-∆③ 0000(,)(,)limx x f x y f x y x x →--④ 00000(,)(,)limx x f x y f x y x x →--(3) 设0000(,)(,)0,x y f x y f x y ''==则( ).① 00(,)x y 为极值点 ② 00(,)x y 为驻点 ③ (,)f x y 在00(,)x y 有定义 ④ 00(,)x y 为连续点(4) 在空间中,下列方程( )为球面, ( )为抛物面, ( )为柱面.① 2425x y z -+= ② 2221444y x z ++=③ 2y x = ④ 221x y +=⑤ 2z y = ⑥ 22222x y y x z ++=-(5) 设(,)f x y 在00(,)x y 处偏导数存在,则(,)f x y 在该点( ).① 极限存在 ② 连续③ 可微 ④ 以上结论均不成立 解 (1) ④; (2) ②④; (3) ②③; (4) ②⑥、①③⑤、④; (5) ④.2．设(,)f x y 的定义域为1,1,x y <<试求(,)xf x y y 的定义域并在xy 平面上画出该定义域的图形.解 因(,)f x y 的定义域为11x y <<且所以(,)x f x y y 中的,x y 必须满足||1||1xy xy ⎧<⎪⎨⎪<⎩则函数(,)xf x y y 的定义域为(,)11,11xD x y xy y ⎧⎫=-<<-<<⎨⎬⎩⎭且D 在xy 平面上的图形如图8－13. 图8－133．计算下列极限：222(,)(0,0)22(,)(0,1)ln(2)(1) lim 1cos sin cos (2) limx y x y x y x y e y xyxy xy x x y x +→→+-+-解 222222(,)(0,0)(,)(0,0)2ln(2)ln(2)(1)lim lim 11cos ()2x y x y x y x y x y e y x y e y xyxy ++→→++=-2(,)(0,0)lim2ln(2)2ln 2.xyx y e y +→=+=22(,)(0,1)2(,)(0,1)(,)(0,1)(,)(0,1)(,)(0,1)sin cos (2) limsin lim lim cos lim sin lim 1 2.x y x y x y x y x y xy xy x x y xxyy x xy xxyy xy →→→→→+-=+-=⋅+= 4.已知()(),()()0,(,x y x f z y g z x f z y g z z z x y ''=++≠=且x y 是和 的函数.求证:())(()).z zx g z y f z x y ∂∂-=-∂∂(证 (,,)()(),F x y z xy xf z yg z =--令则(), (), ()()x y z F y f z F x g z F xf z yg z '''''=-=-=--于是 ()()()()()()x z F y f z y f z zxF xf z yg z xf z yg z '--∂=-=-='''''∂--+ ()()()()()()y z F x g z x g z z yF xf z yg z xf z yg z '--∂=-=-='''''∂--+ 故()[()][()]()()y f z zx g z x g z x xf z yg z -∂-=-''∂+ ()[()]()()[()].x g z y f z xf z yg z zy f z y -=-''+∂=-∂ 125. ,)0F x z y z F F z ''+++-≠设（可微且，求方程 2221,)()22F x z y z x y z ++-++=（(,)d .z z x y z =所确定的函数的微分解 2221(,,),)()2,2G x y z F x z y z x y z =++-++-令（则。
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多元函数微分学思考题
１．表达式224y x z +=，其中}1|),{(),(22=+∈y x y x y x ，问这是
否为二元函数？其图形是什么样子的？
是，圆柱面与椭圆抛物面的交线．
２．x y x f z ==),(可以是二元函数吗？如可以，定义域为何？图象是什么
可以．定义域为平面上所有点的集合，图象是过y 轴的平面．
３．若多元函数能用一个式子表达，则为初等函数．对吗？为什么？
非．必须为基本初等函数经有限次．．．四则运算及有限次．．．
的复合而成． ４．若),(lim lim 00y x f y y x x →→),(lim lim 0
0y x f x x y y →→=A =， 则必定有),(lim 00y x f y y x x →→A =． 非．例如考察⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(422
y x y x y x xy y x f
在（0，0）点的情况，可知
),(lim lim 00y x f y x →→0),(lim lim 00==→→y x f x y ，但),(lim 0
0y x f y x →→不存在． ５．当把y 看作常数时，),(y x f z =为x 的连续函数；当把x 看作常数时，
),(y x f z =为y 的连续函数，则),(y x f z =必为二元连续函数？
非．考察),(y x f z =⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,22y x y x y x xy
在)0,0(点的情况．
６．若),(y x f z =在点),(000y x P 连续，则),(lim 0
0y x f y y x x →→必存在？ 是．),(lim 00y x f y y x x →→),(00y x f =．
７．多元函数在其定义域内必连续吗？
非．考察第5题的例子．
８．二元函数),(y x f z
=的全增量z ∆等于其两个偏增量z z y x ∆∆,之和? 否．),,(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆
),(),(y x f y x x f z x -∆+=∆,),(),(y x f y y x f z y -∆+=∆ 显然 z z z y x ∆+∆≠∆．
９．既然x z ∂∂叫偏微商，则是两个对象的商，从而经约分后，⋅∂∂y x ⋅∂∂z y x
z ∂∂＝１． 非．偏微商的记号是一个整体，是不能拆分开的．
１０．),(u x f z =，而),(y x u u =，那么x z ∂∂x
f ∂∂=，对不对？ 不对．x z ∂∂表示的是函数复合以后)],(,[y x u x f z =对x 的偏导数；x
f ∂∂ 表示的是复合以前的函数),(u x f z
=对x 的偏导数（此时u 看作常数）． １１．已知0),,(=z y x F ，有x z ∂∂z x F F ''-=，从而22x
z ∂∂zz xx F F ""-=． 非．二阶偏导数不能套用这样的公式．
１２．如果),(y x f z
=在点),(000y x P 可微分，则在该点必连续？
是．
１３．如果),(y x f z =在点),(000y x P 存在两个偏导数，则),(y x f z =在点),(000y x P 必连续？
非．见讲课笔记．
１４．如果),(y x f z =在点),(000y x P 存在两个偏导数，
则),(y x f z =在点),(000y x P 必可微？
非．由12和13题可知．
１５．如果),(y x f z =在点),(000y x P 存在两个连续偏导数，则
),(y x f z =在点),(000y x P 必可微？
是．这是全微分存在的充分条件．
１６．如果),(y x f z =在点),(000y x P 可微分，则),(y x f z =在点
),(000y x P 必存在两个连续偏导数？
非．
考察),(y x f z =⎪⎩
⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1s i n )(2222y x y x y x y x 在)0,0(点的情况．
１７．多元函数的一阶微分具有“形式不变性”？
是． １８．若存在二阶偏导数，则必有x
y z y x z ∂∂∂=∂∂∂22？ 非．当两个二阶混合偏导数都连续，则结论成立． 考察⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(),(2222y x y x y x y x xy y x f 在)0,0(点的情况．
１９．若),(y x f z =在点),(000y x P 有极值．则在该点必有0=∂∂=∂∂y
z x z 非．如22y x z +=在)0,0(点取得极小值，但两个偏导数都不存在． 若偏导数都存在，则上述结论成立．
２０．),(y x f z =在点),(000y x P 有0=∂∂=∂∂y
z x z ，则该点必是极值点？ 非．如xy z =在)0,0(点，有0=∂∂=∂∂y
z x z ，但该点不是极值点． ２１．若二元连续函数存在多个极值点，则必定是既有极大值点，也有极小值点． 非．考察y y ye x e z
-+=cos )1(，有无穷多个极大值点，但无极小值点． ２２．),(y x f z =在点),(000y x P 存在偏导数，则曲面),(y x f z =上的
点)),(,
,(0000y x f y x 处必有切平面？ 非．可能不连续，当然谈不上切平面．
２３．由Lagrange 乘数法决定的点),
(y x 一定是极值点吗？ 非．只是可疑的极值点．。