《优化探究》2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2-11
2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2-2
B．f(x)＝|x－1|
山
C．f(x)＝1x－x
D．f(x)＝ln(x＋1)
东 金 太
(2)函数 y＝xx＋ ＋21在(－1，＋∞)上是________(填“增函数”或“减函
阳 书 业
有
数”)．
限
公
司
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第十二页，编辑于星期五：二十点 十七分。
高考总复习 A 数学
抓主干
知识 回扣
解析 (1)由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 可知，f(x)在(0，＋∞)是减函数，
解析：要使 y＝log5(2x＋1)有意义，则 2x＋1>0，即 x>－12，而 y＝log5u
为(0，＋∞)上的增函数，当 x>－12时，u＝2x＋1 也为增函数，故原函数
山
的单调增区间是－21，＋∞.
东 金
太
答案：－12，＋∞
阳 书 业
有
限
公
司
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第九页，编辑于星期五：二十点 十七分。
高考总复习 A 数学
求导 → 判断f ′x正、负 → 单调性区间
(4)定义法
山
取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 单调性区间
东
金
求函数的单调区间，一定要注意定义域优先原则．
太 阳
书
业
有
限
公
司
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第十五页，编辑于星期五：二十点 十七分。
抓主干 知识 回扣
求函数的单调区间(师生共研)
研考向
考点
探究
例 2 求下列函数的单调区间：
阳
书
(4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题．
2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2-4
高效
训练
x2＋3xx≤－3或x≥0
解析 f(x)＝－x2－3x－3<x<0.
令 g(x)＝a|x－1|，
如图所示，
山
东
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
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第十三页，编辑于星期五：二十点 十七分。
高考总复习 A 数学
抓主干 知识 回扣
研考向
考点 探究
当 g(x)＝a|x－1|(x≤1)与 y＝f(x)有四个交点时，f(x)与 g(x)有四个交
域为[0，＋∞)知 n 为奇数，m 为偶数．在幂函数 y＝xα 中，当 α>1 时，
图象在第一象限的部分下凸，当 0<α<1 时，图象在第一象限的部分上凸， 山
故选 C.
东 金
太
答案：C
阳
书
业
有
限
公
司
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第二十三页，编辑于星期五：二十点 十七分。
抓主干 知识 回扣 研考向 考点 探究 提素能 高效 训练
点， 提素能
高效 训练
联立yy＝＝－a1x－2－x3 x 得 x2＋(3－a)x＋a＝0，
Δ＝(3－a)2－4a>0
得 a<1 或 a>9，由图可知 0<a<1.
山 东
当 g(x)＝a|x－1|(x>1)与 y＝f(x)＝x2＋3x(x>0)有两个交点时，又 y＝a(x
金 太
－1)(x<1)与 y＝f(x)一定有两个交点，故 y＝f(x)与 y＝g(x)一定有四个交点．
太 阳
(3)两根式：
．
书 业
f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2-12
山
(2)利用导数解决优化问题的步骤：
东
①审题，设未知数．②结合题意列出函数关系式．③确定函数的定
金 太
义域．④在定义域内求极值、最值．⑤下结论．
阳 书
业
有
限
公
司
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第二十页，编辑于星期五：二十点 十七分。
抓主干 知识 回扣
研考向 考点 探究
提素能 高效 训练
高考总复习 A 数学
2．(2014 年泰安模拟)某种产品每件成本为 6 元，每件售价为 x 元
0，不符合题意．
③当－2a>4，即 a<－8 时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x＝1 或 x＝4
山 东
处取得，而 f(1)≠8，由 f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8 得 a＝－10 或 a＝－6(舍
金 太
去)，当 a＝－10 时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)
所以当x＝40时，y有最小值．
阳
书
答案：40
业
有
限
公
司
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第七页，编辑于星期五：二十点 十七分。
抓主干 知识 回扣
研考向 考点 探究
提素能 高效 训练
高考总复习 A 数学 函数的最值与导数(师生共研)
例 1 (2014 年高考江西卷)已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2) x，其中
a<0.
抓主干 知识 回扣
研考向 考点 探究
提素能 高效 训练
高考总复习 A 数学
第十二节 导数的综合应用
最新考纲展示
1．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超
2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2-5
抓主干 知识 回扣
研考向
考点 探究
提素能
解析：在同一平面直角坐标系中分别作出 y＝x，y＝12x，y＝2x 的图
高效
训练
象(如图)，显然 x<0 时，x<2x<12x.
即 c<0 时，c<2c<12c.故选 C. 答案：C
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山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
第十七页，编辑于星期五：二十点 十八分。
抓主干
知识
回扣
研考向 考点
3．函数 y＝x|xa|x(0<a<1)的图象的大致形状是(
)
探究
提素能 高效 训练
解析：函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且 y＝x|xa|x＝a－x，ax，x>x0<，0.
当 x>0
山 东 金
太
时，函数是一个指数函数，其底数 0<a<1，所以函数递减；当 x<0 时， 阳 书
规律方法 y＝ax，y＝|ax|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系：
y＝ax与y＝|ax|是同一函数的不同表现形式．
函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，
当x≥0时两函数图象相同．
山 东
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
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第十五页，编辑于星期五：二十点 十八分。
提素能 高效 训练
1
1
2
33＝2×33－2×3×3－3
1
1
＝2×33－2×33＝0；
(2)原式＝29512＋0.112＋6247－23－3＋3478
2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2巧突破
高考总复习 A 数学
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋8ln x，令 F(x)＝f(x)－2x＝x2－2x＋8ln x.
因为 F(1)＝－1<0，f(2)＝8ln 2>0，所以 F(x)＝0 在(0，＋∞)至少有
一个根．
又因为 F′(x)＝2x－2＋8x≥2 16－2＝6>0，
山
所以 F(x)在(0，＋∞)上递增，
解析：(1)因为 f(x)＝a2ln x－x2＋ax，
其中 x>0，
所以 f′(x)＝ax2－2x＋a＝－x－ax2x＋a.
山 东
金
由于 a>0，所以 f(x)的递增区间为(0，a)，递减区间为(a，＋∞)． 太
阳
(2)要使 e－1≤f(x)≤e2 对 x∈[1，e]恒成立，则 f(1)≥e－1，得 a－1≥e 书
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高考总复习 A 数学
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
第十三页，编辑于星期五：二十点 十八分。
高考总复习 A 数学
2．设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0. (1)求f(x)的单调区间； (2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．(注：e为自 然对数的底数)
而 g′(x)＝2ax－a＋1x＝2ax2－xax＋1，
当 a＝0 时，g′(x)＝1x>0，此时 g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当 a≠0 时，只需 g′(x)≥0 在(0，＋∞)上恒成立，因为 x∈(0，＋
山
∞)，只要 2ax2－ax＋1≥0，则需要 a>0，
东
金
对于函数 y＝2ax2－ax＋1，过定点(0,1)，对称轴 x＝14>0，只需 Δ＝
2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2-1
抓主干 知识 回扣
高考总复习 A 数学
研考向 考点 探究
提素能
高效
训练
规律方法 简单函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求
解．
(3)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等
5，
太 阳 书 业
有
∴所求函数的定义域为1－ 2
Байду номын сангаас5，0∪1，1＋2
5.
限 公 司
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第十九页，编辑于星期五：二十点 十七分。
抓主干 知识 回扣
研考向 考点 探究
提素能 高效 训练
角度三 已知定义域确定参数问题
高考总复习 A 数学
3．若函数 f(x)＝ 2x2＋2ax－a－1的定义域为 R，则 a 的取值范围
析式；
(3)已知 f(x)＋2f1x＝x(x≠0)，求 f(x)的解析式．
山
解析 (1)f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x，
东 金
令t＝1－cos x，则cos x＝1－t，t∈[0,2]，
太 阳
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]，
书 业
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
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第六页，编辑于星期五：二十点 十七分。
抓主干 知识 回扣
研考向 考点 探究
提素能 高效 训练
高考总复习 A 数学
1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．
2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函
2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2-7
(1)y＝|x－2|(x＋1)；(2)y＝|x2－2|x|－3|.
解析：(1)函数化为
y＝－x－x12－221－2＋94x49≥x<22，，
图象如图．
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高考总复习 A 数学
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
第十九页，编辑于星期五：二十点 十八分。
高考总复习 A 数学
抓主干 知识 回扣
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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第二十五页，编辑于星期五：二十点 十八分。
抓主干 知识 回扣
研考向 考点 探究
考点
探究
①函数的定义域、值域．
提素能
高效 训练
②函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等)．
③函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点等)．
(2)对于给定函数的图象，要能从象的左右、上下分布范围、变化趋
势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周
期性，注意图象与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：
研考向 考点 探究
提素能 高效 训练
高考总复习 A 数学
角度一 确定方程根的个数等有关问题
1．函数 y＝1－1 x的图象与函数 y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交
点的横坐标之和等于( )
山 东
A．2
B．4
金 太
C．6
D．8
阳 书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第二十二页，编辑于星期五：二十点 十八分。
提素能
高效 训练
4．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为
()
A．3
2016届人教A版高考数学大一轮复习课件 探究课2
【训练1】 已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1，求函数f(x)的单调 区间．
解
f(x)
的
定
义
域
为
(0
，
＋
∞)
，
f′(x)
＝
a－1 x
＋
2ax
＝
2ax2＋x a－1．
(1)当 a≥1 时，f′(x)＞0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)当 a≤0 时，f′(x)＜0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
第十三页，编辑于星期五：十八点 四十一分。
【例 3】 已知函数 f(x)＝ax＋xln x 的图象在点 x＝e(e 为自然对 数的底数)处的切线斜率为 3． (1)求实数 a 的值； (2)若 k∈Z，且 k<xf－x1对任意 x>1 恒成立，求 k 的最大值． 解 (1)因为f(x)＝ax＋xln x， 所以f′(x)＝a＋ln x＋1． 因为函数f(x)＝ax＋xln x的图象在点x＝e处的切线斜率为3， 所以f′(e)＝3，即a＋ln e＋1＝3，所以a＝1．
第十二页，编辑于星期五：十八点 四十一分。
热点二 利用导数求解函数的极值、最值 用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之 一．对于此类问题的求解，首先，要理解函数极值的概 念，需要清楚导数为零的点不一定是极值点，只有在该点 两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反 时，该点才是函数的极值点；其次，要区分极值与最值， 函数的极值是一个局部概念，而最值是某个区间的整体性 概念．
第一页，编辑于星期五：十八点 四十一分。
热点一 利用导数解决函数的单调性问题 函数的单调性是函数在定义域内的局部性质，因此利用导 数讨论函数的单调性时，要先研究函数的定义域，再利用 导数f′(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性．这类问题 主要有两种考查方式：(1)判断函数f(x)的单调性或求单调区 间．(2)利用函数的单调性或单调区间，求参数的范围．
2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2-3
C．1
D．3
解析：解法一 ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋
x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3
山 东
＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1，故选C.
金 太
解法二 令f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，显然符合题意，
阳
书
∴f(1)＋g(1)＝12＋1－13＝1.选C.
业
答案：C
有 限
公
司
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第八页，编辑于星期五：二十点 十七分。
高考总复习 A 数学
抓主干 知识 回扣
研考向 考点 探究
提素能
高效 训练
3．函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x＋2)＝f1x，若 f(1)＝－5，
则 f(f(5))＝________.
是偶；
c．“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
(2)判断函数奇偶性时应注意问题：
①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分
山 东
段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式，判断f(x)与f(－x)的关 金
太
系，得出结论，也可以利用图象作判断．
阳
②“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－
x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，
山 东
|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错 金
2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2-11
A．[－1，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－1)
山
解析：f
′(x)＝－x＋x＋b 2≤0 在(－1，＋∞)上恒成立，即 b≤x(x
东 金 太
＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又 x(x＋2)＝(x＋1)2－1>－1，∴b≤－1，
阳 书
故选 C.
业 有
答案：C
限 公
司
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当 a<0 时，令 g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于 Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)．
①当 a＝－12时，Δ＝0，
山 东
f ′(x)＝－x21x＋x－1122≤0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
金 太 阳 书
业
②当 a<－21时，Δ<0，g(x)<0，
有 限 公
f ′(x)<0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
高考总复习 A 数学
研考向 考点 探究
提素能 高效 训练
解析 (1)由题意知 a＝0 时，f(x)＝xx－ ＋11，x∈(0，＋∞)，
此时 f ′(x)＝x＋212.
可得 f ′(1)＝12，又 f(1)＝0，
山 东 金
所以曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 x－2y－1＝0.
太 阳
司
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第十一页，编辑于星期五：二十点 十七分。
抓主干 知识 回扣
研考向
考点
探究
提素能 高效
③当－21<a<0 时，Δ>0，
训练
设 x1，x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个零点，
2016届高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第2章 函数、导数及其应用-2
而 y＝log1 u 在(0，＋∞)上是单调递减函数，
2
∴y＝log1 (x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增
2
区间为(－∞，1)．
第25页
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第二章 第二节 第二十五页，编辑于星期五：二十一点 十七分。
第12页
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第二章 第二节 第十二页，编辑于星期五：二十一点 十七分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
2 条结论——函数最值的有关结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭 区间上单调时最值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．
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第二章 第二节 第二十三页，编辑于星期五：二十一点 十七分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
画出函数图像如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1)， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)令 u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作 y＝log1 u 与 u＝x2－3x
2
＋2 的复合函数． 令 u＝x2－3x＋2＞0，则 x＜1 或 x＞2. ∴函数 y＝log1 (x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
2
又 u＝x2－3x＋2 的对称轴 x＝32，且开口向上．
第24页
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第二章 第二节 第二十四页，编辑于星期五：二十一点 十七分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
第16页
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第二章 第二节 第十六页，编辑于星期五：二十一点 十七分。
优化探究高考数学一轮复习 第二章 第八节 函数与方程课件 理 新人教A版
＝ex＋12x－2 的零点所在的
区间是( B )
A.0，12 C．(1,2)
B.12，1 D．(2,3)
试题
解析
∵f′(x)＝ex＋12＞0，∴f(x)
在 R 上单调递增，又 f12＝
e－74＜ 3－74＜0，f(1)＝e
－
3 2
＞
0
，
∴
零
点
在
区
间
12，1上．
的零点所在的区
间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
法二：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)＝ ln x，h(x)＝－x＋2 图象交点的横坐标所在的范围， 如图所示， 可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
考点一
题组训练
确定函数 f(x)的零点所在区间的两种常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b) ＜0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴 在给定区间上是否有交点来判断．
必记结论 有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x) 至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值 保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号， 也可能不变号．
知识点一
知识点一 知识点二
[自测练习]
试题
解析
1．函数 y＝|log2x|－12x 的零
用．令 f(x)＝ex－x－2，
则由表中数据可得 f(1)
《优化探究》高考数学总复习(人教A文)配套课件2-13
1．已知 a 为实数，且函数 f(x)＝(x2－4)· (x－a)． (1)求导函数 f′(x)； (2)若 f′(－1)＝0，求函数 f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
解析：(1)由 f(x)＝x3－ax2－4x＋4a， ∴f′(x)＝3x2－2ax－4. 1 (2)因为 f′(－1)＝0，所以 a＝ ， 2 1 2 有 f(x)＝ x － x － 4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4. 2
• 解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9(x ＝－9舍去)． • 当0<x<9时，y′>0； • 当 x>9 时， y′<0 ，则当 x ＝ 9 时， y 取得最大 值． • 答案：C
• 3 ．(课本习题改编 ) 函数f(x) ＝12x－x3在区 间[－3,3]上的最小值是( ) • A．－9 B．－16 • C．－12 D．－11 • 解析：由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝－2或 x＝2. • 又f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝ 16， f(3)＝9， • ∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值为－16. • 答案：B
• 5．(2013年广州模拟)设函数f(x)＝ax3－3x ＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有 (构造法 )若 x＝0，则不论 a 取何值， f(x)≥0 显然成立； f解析： (x )≥ 0 成立，则实数 a的值为 ________ ．
3 1 当 x>0， 即 x∈ (0,1]时， f(x)＝ax －3x＋1≥0 可化为 a≥ 2 － 3.设 g(x) x x
答案：4
• 考向一 函数的最值问题 • [例1] (2012年高考江西卷)已知函数f(x)＝ (ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0) ＝1，f(1)＝0. • (1)求a的取值范围； • (2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最 大值和最小值．
优化探究高三一轮人教A文科数学复习第二章函数、导数
A 组 考点基础演练一、选择题1．(2015年大同模拟)幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f ⎝⎛⎭⎫14的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设幂函数为y ＝x α，∵幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，∴4α＝12，∴α＝－12，∴y ＝x －12，则f ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫14－12＝2.答案：B2．幂函数f (x )的图象在第一、三象限，且f (3)<f (2)，则下列各式中一定成立的是( ) A ．f (－3)<f (－2) B ．f (－3)>f (－2) C ．f (－3)>f (2)D ．f (3)<f (－2)解析：幂函数f (x )的图象在第一、三象限，则f (x )为奇函数，∵f (3)<f (2)，∴－f (3)>－f (2)，即f (－3)>f (－2)．答案：B3．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a解析：由y ＝x 25在(0，＋∞)上递增知a >c ，由y ＝⎝⎛⎭⎫25x 在R 上递减知c >b . 答案：A4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上． 答案：D5．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由二次函数的图象和性质知f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增，只需f (x )的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1a <0，整理得a ≤0，而当a ≤0时，结合图象可知f (x )在(0，＋∞)上为增函数．故a ≤0是f (x )在(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.答案：C 二、填空题6．(2015年海口模拟)二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意x 恒有f (2＋x )＝f (2－x )，若f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，则x 的取值范围是________．解析：由f (2＋x )＝f (2－x )，知x ＝2为对称轴，由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|<|1＋2x －x 2－2|，即|2x 2＋1|<|x 2－2x ＋1|，∴2x 2＋1<x 2－2x ＋1，∴－2<x <0.答案：(－2,0)7．(2014年高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：据题意，⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0解得－22<m <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－22，0 8．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________． 解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a <0时，y max ＝1－a .根据已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1－a ＝2，解得a ＝2，或a ＝－1. 答案：2或－1三、解答题9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1为偶函数，且f (－1)＝－1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )＋(2－k )x 在区间[－2,2]上单调递减，求实数k 的取值范围． 解析：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1为偶函数， ∴对称轴x ＝－b2a ＝0，得b ＝0，由f (－1)＝a ＋1＝－1，得a ＝－2， ∴f (x )＝－2x 2＋1.(2)g (x )＝－2x 2＋(2－k )x ＋1∵抛物线g (x )的开口向下，对称轴x ＝2－k4，∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－k 4，＋∞上单调递减． 依题意可得2－k4≤－2，解得k ≥10，∴实数k 的取值范围为[10，＋∞)．10．已知二次函数y ＝f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(1,13)，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －12是偶函数． (1)求f (x )的解析式；(2)已知t <2，g (x )＝[f (x )－x 2－13]·|x |，求函数g (x )在[t,2]上的最大值和最小值．解析：(1)因为函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －12是偶函数，所以二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴方程为x ＝－12，故b ＝1.又因为二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(1,13)，所以1＋b ＋c ＝13，故c ＝11，因此，f (x )的解析式为f (x )＝x 2＋x ＋11.(2)g (x )＝(x －2)·|x |，当x ≤0时，g (x )＝－(x －1)2＋1，当x >0时，g (x )＝(x －1)2－1， 由此可知g (x )max ＝0，当1≤t <2，g (x )min ＝t 2－2t ； 当1－2≤t <1，g (x )min ＝－1； 当t <1－2，g (x )min ＝－t 2＋2t .B 组 高考题型专练1．(2014年揭阳测试)已知f (x )＝2x 2＋px ＋q ，g (x )＝x ＋4x 是定义在集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1≤x ≤52上的两个函数．对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得f (x )≥f (x 0)，g (x )≥g (x 0)，且f (x 0)＝g (x 0)．则函数f (x )在集合M 上的最大值为( )A.92 B ．4 C ．6D.892解析：利用导数可知函数g (x )＝x ＋4x 在区间⎣⎡⎦⎤1，52上的最小值为4，最大值为5，对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得g (x )≥g (x 0)，则g (x 0)＝g (x )min ＝4，此时x 0＝2，根据题意知，f (x )min ＝f (x 0)＝4，根据题意知f (x )min ＝f (2)＝4，即二次函数f (x )＝2x 2＋px ＋q 的顶点坐标为(2,4)，因此－p4＝2⇒p＝－8，∴f (x )＝2x 2－8x ＋q ，f (2)＝2×22－2×8＋q ＝q －8＝4⇒q ＝12，∴f (x )＝2x 2－8x ＋12＝2(x －2)2＋4，因此函数f (x )在集合M 上的最大值为f (x )max ＝f (1)＝6，故选C.答案：C2．(2015年潍坊模拟)对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)解析：当x 2－1－(4＋x )≥1时，x ≥3或x ≤－2；当x 2－1－(4＋x )<1时－2<x <3，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x ，x ≥3或x ≤－2x 2－1，－2<x <3，f (x )的图象如下图所示，y ＝f (x ) ＋k 的图象与x 轴有三个不同交点转化为y ＝f (x )与y ＝－k 有三个不同交点，由图可知－1<－k ≤2，故－2≤k <1.答案：D3．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，∴f (x )＝x 2＋ax ＋14a 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋12a 2.又∵f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)， ∴m ＋m ＋6＝－a ，∴m ＝－12a －3，∴c ＝f (m )＝⎝⎛⎭⎫－12a －32＋a ⎝⎛⎭⎫－12a －3＋14a 2＝9.答案：94．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象和直线y ＝x 无交点，现有下列结论： ①方程f [f (x )]＝x 一定没有实数根；②若a >0，则不等式f [f (x )]>x 对一切实数x 都成立； ③若a <0，则必存在实数x 0，使f [f (x 0)]>x 0；④函数g (x )＝ax 2－bx ＋c (a ≠0)的图象与直线y ＝－x 一定没有交点， 其中正确的结论是________(写出所有正确结论的编号)．解析：因为函数f (x )的图象与直线y ＝x 没有交点，所以f (x )>x (a >0)或f (x )<x (a <0)恒成立． 因为f [f (x )]>f (x )>x 或f [f (x )]<f (x )<x 恒成立，所以f [f (x )]＝x 没有实数根，故①正确； 若a >0，则不等式f [f (x )]>f (x )>x 对一切实数x 都成立，故②正确；若a <0，则不等式f [f (x )]<x 对一切实数x 都成立，所以不存在实数x 0，使f [f (x 0)]>x 0，故③错误； 由函数g (x )＝f (－x )，与f (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )和直线y ＝－x 也一定没有交点，故④正确．答案为①②④.答案：①②④5．(2015年聊城模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (－1＋x )＝f (－1－x )；②函数f (x )的图象与直线y ＝x 只有一个公共点．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式πf (x )>⎝⎛⎭⎫1π2－tx在t ∈[－2,2]时恒成立，求实数x 的取值范围． 解析：(1)∵由①知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴是直线x ＝－1，∴b ＝2a .∵函数f (x )的图象与直线y ＝x 只有一个公共点，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋bx ，y ＝x 有且只有一个解，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相同的实根，∴Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12x 2＋x .(2)∵π>1，∴πf (x )>⎝⎛⎭⎫1π2－tx 等价于f (x )>tx －2，即12x 2＋x >tx －2在t ∈[－2,2]时恒成立⇔函数g (t )＝xt －⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ＋2<0在t ∈[－2,2]时恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<0，g (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4>0，x 2＋6x ＋4>0，解得x <－3－5或x >－3＋5，故实数x 的取值范围是(－∞，－3－5)∪(－3＋5，＋∞)．。
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则f(x)在这个区间上为常数函数；若f
调函数．
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f 山 东 减，则f ′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立． 金 太 3．使f ′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性． 阳 4．f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的非充分非必要条件．例如，f(x)＝ 书 业 x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；又如 f(x)＝|x|，x＝0是它的极小值点， 有 限 但f′(0)不存在． 公 司 b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递
例1 x－1 (2014 年高考山东卷)设函数 f(x)＝aln x＋ ， 其中 a 为常数． x＋1
(1)若 a＝0，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数 f(x)的单调性．
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已知函数的单调性求参数的取值范围(高频研析) 考情分析 利用导数根据函数的单调性 (区间) 求参数的取值范围， 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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二、利用导数研究函数的极值 1．函数的极大值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都 小于 x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0) _______ 为函数的极大值． 2．函数的极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都 大于 x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0) _______ 为函数的极小值．极大值与极小值统称为 极值 ，极大值点与极小值 点统称为极值点． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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1 1．函数 y＝2x2－ln x 的单调递减区间为( A．(－1,1] C．[1，＋∞) B．(0,1]
)
D．(0，＋∞)
山 1 2 1 解析： 函数 y ＝ 2 x － ln x 的定义域为 (0 ，＋ ∞) ， y′ ＝ x － x ＝ 东 金 太 x－1x＋1 阳 ，令 y ′≤ 0 ，可得 0< x ≤ 1. x 书 业 答案：B 有 限 公 司
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规律方法
(1) 当f(x) 不含参数时，可以通过解不等式 f
′(x)>0(或 f
′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间．
(2)导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤： ①求f ′(x)．
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1．在某个区间(a，b)上，若f
增；若f
′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递
′(x)＝0恒成立， ′(x)的符号不确定，则f(x)不是单 ′(x)≥0，且在(a，
′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f
(1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围．
解析：(1)f ′(x)＝3ax2＋6x＋3，f ′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．
①若a≥1，则Δ≤0，因此f ′(x)≥0，且f ′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝ －1.故此时f(x)在R上是增函数．
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是高考考查函数单调性的一个重要考向，常与函数、不等式、最值等
知识综合以解答题的形式出现，考查根据函数在某区间上单调递增(减) 或存在单调区间或为单调函数求参数的取值范围等问题．
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角度一 已知函数在某区间上的单调递增(减)，求参数的取值范围 1 1．若 f(x)＝－2x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则 b 的取值 范围是( ) B．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.
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4 ．若函数 f(x) ＝ x3 ＋ ax2 ＋ 3x － 9 在 x ＝－ 3 时取得极值，则 a 等于 ( )
A．2
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第十一节
最新考纲展示
导数在函数研究中的应用
1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，
会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
2.了解函数
在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、
f
1 ②当 a<－2时，Δ<0，g(x)<0， f ′(x)<0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
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1 ③当－2<a<0 时，Δ>0， 设 x1，x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个零点， －a＋1＋ 2a＋1 －a＋1－ 2a＋1 则 x1＝ ，x2＝ . a a a＋1－ 2a＋1 a2＋2a＋1－ 2a＋1 由于 x1＝ ＝ >0， －a －a 所以 x∈(0，x1)时，g(x)<0，f ′(x)<0，函数 f(x)单调递减， x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f ′(x)>0，函数 f(x)单调递增， x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f ′(x)<0，函数 f(x)单调递减．
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2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f ′(x)的图象可能是(
)
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解析：据函数的图象易知，x<0时恒有 f ′(x)<0. 答案：D
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′(x)>0，当x>0时，恒有 f
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②由于 a≠0，故当 a＜1 时，f ′(x)＝0 有两个根 －1＋ 1－a －1－ 1－a x1＝ ，x2＝ . a a 若 0＜a＜1，则当 x∈(－∞，x2)或 x∈(x1，＋∞)时，f ′(x)＞0， 故 f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；
②确认f ′(x)在(a，b)内的符号．
③得出结论：f ′(x)>0时为增函数；f ′(x)<0时为减函数．
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1．(2014年高考全国大纲卷)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
C．4 解析：f 答案：D
B．3
D．5 ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
＋2×(－3)a＋3＝0，解得a＝5.
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利用导数研究函数的单调性(师生共研)
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综上可得： 当 a≥0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 1 当 a≤－2时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
1 －a＋1＋ 2a＋1 ， 当－2<a<0 时，f(x)在0， a －a＋1－ 2a＋1 ，＋∞上单调递减， a －a＋1＋ 2a＋1 －a＋1－ 2a＋1 上单调递增． 在 ， a a
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3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f
′(x)在(a，b)内的图
象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(
)
A ．1 个 C．3个 解析：导函数f 答案：A
B．2个 D．4个 ′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，
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(2)当 a＞0，x＞0 时，f ′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0，故当 a＞0 时，f(x) 在区间(1,2)是增函数． 当 a＜0 时， f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当 f′(1)≥0 且 f′(2)≥0， 5 解得－4≤a＜0. 5 综上，a 的取值范围是 －4，0 ∪(0，＋∞)．