《不等式的基本性质》一元一次不等式和一元一次不等式组PPT课件
《不等式的性质》不等式与不等式组PPT课件
例1：
我是最棒的 ☞
判断下列各题的推导是否正确？为什么(学生口答)
(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7；
方向不变。
➢如式不果的等a两>式边b，基都c本乘<性0以质（那3或么：除ac以<b）c同(或一ac个负bc数，不)就等是号说的不方等向
改变。
等式性质与不等式性质的区别和联系
• 区别：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不 为0）时，结果仍相等；不等式两边都乘以（或除以） 同一个数（除数不为0）时，会出现两种情况，若是 正数，不等号方向不改变，若是负数不等号方向要改 变，而且不等式两边同乘以0，结果相等.
5. 8 x 1,两边都乘 7 ，得 _x____87_.
7
8
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小。 解法一：∵2＞1，a＜0， ∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法二： 在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0）， 如图.2a位于a的左边，所以2a＜a
∣a∣ ∣a∣
2a
a
想一想：还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗？
如果_a_>_b_,那么a±c>b±c _________.
不等式还有什么类似的性质呢？ ➢如果 7 ＞ 3
那么 7×5 _＞___ 3× 5 , 7÷5 __＞__ 3÷ 5 ,
➢如果-1< 3,
那么-1×2<____3×2,
-1÷2__<__3÷2,
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以
《一元一次不等式》完整版PPT1
变式:若x=2是不等式2x-a-2<0的一个解,则a可取的最小正整数为( ) 变式:不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有( ) 只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程.
移项
不等式的性质1
m≥2 B.
有一次，鲁班的手不慎被一片小草叶子割破了，他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产生联想，根据小草的结构发明了锯子.
73
64
7.(课本P124 T2)当x或y满足什么条件时,下列关系式成立? (1)2(x＋1)大于或等于1; (2)4x与7的和不小于6; (3)y与1的差不大于2y与3的差; (4)3y与7的和的四分之一小于－2.
拓展提升 8.解关于x的一元一次不等式 x＋8＞4x＋m(m是常数).
变式:不等式 x＋8＞4x＋m (m是常数) 的解集是 x＜3,则 m=_____.
A.±1 B. 1 C. -1 D. 0
问题思考 解一元一次方程
2(1+x)=3
解:去括号 2+2x=3
移项 2x=3－2
合并同类项 2x=1
系数化为1
x1 2
解一元一次不等式 2(1+x)<3
Hale Waihona Puke 在数轴上表示解集?典例分析
例 解下列不等式，并在数轴上表示解集. 变式:不等式 x＋8＞4x＋m (m是常数) 的解集是 x＜3,则 m=_____.
(1)x ＋1＞2x; (2) ＋2＞0; ③移项、合并同类项，得－x＞－13;
2 3个 D.
C.
1
①去分母，得5(x＋2)＞3(2x－1);
A.
(课本P124 T1)解下列不等式,并在数轴上表示解集:
x
一元一次不等式和一元一次不等式组
一元一次不等式和一元一次不等式组知识梳理（一）基本概念1．不等式：2．不等式的解：3．不等式的解集：4．一元一次不等式：5．一元一次不等式组的解集：（二）不等式的基本性质基本性质1：基本性质2：基本性质3：（三）基本方法1．不等式解集的表示方法：（１） （２）2．不等式的解法：【与解方程类似，不同之处就在：左右两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变。
】3．不等式组解法：“分开解，集中判”解出各个不等式，再判断所有解集的公共部分即为不等式组的解集。
4．不等式组解集规律：“同大取大，同小取小，不大不小中间找，又大又小无解了。
” 请用数轴展现：设 a > b ：⎩⎨⎧bx a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧bx a x（四）方法思想1．数形结合思想：不等式（组）解集的两种表示方法。
2．不等式与一次函数的关系，可以利用函数图像来分析解答。
如：一次函数y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2图像如右图所示，求不等式k 1x+b 1≤k 2x+b 2的解集。
专题一：不等式的有关概念与不等式的基本性质解不等式（组）（一）、不等式的基本性质练习1、已知a ＜b ，用“＜”或“＞”填空(1) a －3b －3；(2) 6a6b ；(3) －a －b ；(4) a －b 0；2aa+b2、若a <b ，则不等式○1a-5<b-5 ○2a+k <b+k ○32a <2b ○4ac <b 中成立的有（ ） Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个3、不等式7+5x 〈24 的正整数解的个数是（ ）A.1个B.3个C.无数个D.4个4、已知32,5221+-=-=x y x y ，如果21y y <，则x 的取值范围是（ ）A ．2>xB ．2<xC ．2->xD ．2-<x5、当x 时，能使x+4＞0和2x+1>0同时成立6、关于x 的方程632=-x a 的解是正数，那么a 的取值范围：__________（二）、解不等式（组）1（1）4352+>-x x （2）11237x x --≤2、解下列不等式组（1）⎪⎩⎪⎨⎧->->13132x x （2）⎩⎨⎧>+≤0312x x（3）⎩⎨⎧-≤+>+145321x x x x （4）24321<--<-x专题三、不等式组的特解1、求不等式x x 228)2(5-≤+的非负整数解2、解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧---+≥+-xx x x 81311323 并写出该不等式组的整数解当堂练习1、求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤+421121 x x 的整数解2、求不等式()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+3212352x x x x 的正整数专题三 用不等式或不等式组解答实际问题一、课堂练习1、小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本多少本？2、某校初一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，求住宿生人数．3、暑假，学校的老师将带领校、镇、市级“三好学生”去旅游.甲旅行社说：“其中一位带队老师买全票，全票价为240元，则其余老师和学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括带队老师和学生全部票价6折优惠”。
《不等式的基本性质》一元一次不等式和一元一次不等式组PPT课件3 (共22张PPT)
例1、已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
想一想：你能 用几种方法呢 ？
1 2 3
归纳
例1、已知a<0 ，试比较2a与a的大小. 解法一：
bc，
Hale Waihona Puke a b c c不等式的基本性质
： 性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c。 （传递性）
性质2：不等式的两边都加上(或减去)同一个数,所得到 （不等号方向不变） 的不等式仍成立. 性质3：不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,
所得到的不等式仍成立；
（不等号方向不变）
不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必须把
∵2＞1，a＜0，
∴2a＜a（不等式的基本性质3）
返回
例1、已知a<0 ，试比较2a与a的大小
解法二：在数轴上分别表示2a和a的点 （a＜0），如图.2a位于a的左边，
∣ a∣
2a
.
∣ a∣
a
0
所以2a＜a
返回
例1、已知a<0 ，试比较2a与a的大小. 解法三:
∵ a＜0,
∴ a+a ＜ a ∴2a<a
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
《不等式及其基本性质》课件
这个课件介绍了不等式的定义、运算性质、解集表示，还包括一元一次不等 式、多元一次不等式的求解方法，以及不等式组的求解方法和在实际问题中 的应用。
不等式的定义
1 概念解释
不等式是用不等号连接的两个数或两个式子，表示大小关系。
2 种类
常见的不等式类型有大于、小于、不大于、不小于等。
不等式在实际问题中的应用
1 金融领域
利用不等式来决材料强度、承重能力等问题。
3 生活领域
通过不等式来优化日常生活，如控制饮食、调整作息等。
图像法
将多元不等式的解集表示在平面直角坐标系上，求出解集的范围。
线性规划法
利用线性规划方法求解多元不等式问题，找到最优解。
不等式组的求解方法
1
代入法
2
通过代入变量的方式，逐个求解不等式
组的每个不等式。
3
图形解法
将不等式组在平面直角坐标系上展示， 找出满足所有不等式的交集。
矩阵解法
利用矩阵运算和线性方程组的方法求解 不等式组。
可以用数轴上的点或线段来表示解集的范围。
3
区间表示
可以用开区间、闭区间或半开半闭区间来表示解集的范围。
一元一次不等式的求解方法
图形法
将不等式在数轴上表示成线段或阴影部分，求出解 集。
代数法
使用代数方法进行计算和推导，求出解集。
多元一次不等式的求解方法
子代数法
将多元不等式化简为含有一个变量的式子，再进行求解。
3 示例
例如：2x + 3 > 7 是一个不等式。
不等式的运算性质
加减法性质
• 对不等式两边同时加减一个相同的数，不等 式方向不变。
一元一次不等式(公开课优秀课件)
实际应用中的一元一次不等式
一元一次不等式在实际生活中 有着广泛的应用，如购物、投 资、工程等领域的决策问题。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要将问题转化为数学模 型，然后运用代数法和图像法 求解。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要注意问题的实际情况 和限制条件，以及解的可行性 和最优性。
一元一次不等式(公开课优秀课件)
目 录
• 一元一次不等式的定义与性质 • 一元一次不等式的解法 • 一元一次不等式的应用 • 一元一次不等式的扩展
01 一元一次不等式的定义与 性质
一元一次不等式的定义
总结词
一元一次不等式是数学中一种简单的不等式，它只含有一个变量，且变量的指 数为1。
详细描述
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c 或 ax + b < c，其中 a、b、c 是常 数，a ≠ 0。这个不等式表示一个线性函数在某个区间内大于或小于另一个值。
在人口发展过程中，如何预测未来人 口数量，可以通过一元一次不等式来 建立数学模型。
交通流量问题
在道路交通中，如何合理规划红绿灯 时间，ห้องสมุดไป่ตู้保证交通流畅，可以通过一 元一次不等式来求解。
一元一次不等式与其他数学知识的结合
一元一次不等式与函数
一元一次不等式可以看作是函数的值大于或小于某个常数的情况， 因此可以结合函数的性质进行求解。
代数法解一元一次不等式的步骤 包括：去分母、去括号、移项、
合并同类项、化系数为1等。
代数法解一元一次不等式需要注 意不等式的性质，如不等式的可 加性、可乘性、可除性和同向不
《不等式的性质》不等式与不等式组PPT优秀课件
(2)6x＜5x－1;
x＜－1
(4)1－1x≥x－2.
3
x≤9
4
8.【例4】(创新题)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系是( D )
A.P＞R＞S＞Q C.S＞P＞Q＞R
B.Q＞S＞P＞R D.S＞P＞R＞Q
小结:关键是两两间大小关系要先表示或判定出来.
4
精典范例
5.【例1】利用不等式的性质,填“＞”或“＜”.
(1)若x＞y,则x－10 ＞ y－10;
(2)若－1.25y＜10,则y ＞ －8;
(3)若a＜b且k＞0,则k＋a ＜ k＋b;
(4)若－1m＞－1n,则 m ＜ n;
2
2
(5)若a＞b,则2a＋1 ＞ 2b＋1;
(6)若a＜b且c＞0,则ac＋c ＜ bc＋c.
第九章 不等式与不等式组
不等式的性质
学习目标
1.(课标)探索不等式的基本性质. 2.掌握不等式的三个性质并且能正确应用. 3.理解解不等式的概念. 4.(课标)能解数字系数的一元一次不等式.
知识要点
知识点一:不等式的性质 (1)不等式的性质1 文字语言:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方 向 不变 . 符号语言:如果a＞b,那么a±c ＞ b±c.
★.(新题速递)(人教7下P121改编)根据等式和不等式的基本 性质,我们可以得到比较两数大小的方法: 若a－b＞0,则a＞b;若a－b＝0,则a＝b; 若a－b＜0,则a＜b.反之也成立. 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”. 请运用这种方法尝试解决下面的问题: 比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小. 解:∵4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝b2＋3＞0, ∴4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
不等式的概念、性质及一元一次不等式的解法
第九章不等式与不等式组专题18不等式的概念、性质及一元一次不等式的解法知识要点1.不等式及其解集：2.不等式的性质（1）不等式的性质1：如果a>b，那么；（2）不等式的性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc或；（3）不等式的性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc或.由不等式和等式的性质可知，可以用求差法比较大小，当两数同号时，还可以用求商法比较大小3.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.4.解一元一次不等式即根据不等式的性质，将不等式化为x>a或x<a的形式，其一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.典例精析例1（1）不等式x<3的正整数解有；（2）关于x的不等式－x≥a的解集为x≤－1，则a的值是；（3）已知x>a的解集中最小整数为－2，则a的最小值是.【分析】在数轴上表示出不等式的解集，结合数轴解决与整数解相关的问题.【解】（1）依题意，如图18-1所示，可知正整数解有1，2.（2）依题意，x≤-a∴，.（3）依题意，如图18-2所示，可知a的最小值是－3.a cb c±>±a bc c>a bc c<0,0,0a b a b a b a b a b a b>⇔->=⇔--<⇔-<1a-=-1a=【点评】与不等式解集有关的问题特别是有整数解的问题要注意结合数轴，数形结合，同时要注意等号能否取到，可将取等的值代入原题中检验是否要取.拓展与变式1 （1）不等式的解集中的非负整数解为；（2）已知x≥a的解集中最小整数为－2，则a的最大值为.拓展与变式2关于x的不等式3m-2x<5的解集如图18-3所示，求m的值.拓展与变式3关于x的不等式解集是，则m的取值范围是.【反思】和不等式解集有关的问题注意结合数轴，利用数轴既直观又准确，同时注意等号能否取到.例2已知a<b，用“<”或“>”填空：（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】利用不等式的性质即可【解】（1）>；（2）<；（3）<；4）>.【点评】理解和掌握不等式的性质，才能熟练自如地应用拓展与变式4用拓展与变式4 用“<”或“>”填空：（1）若，则a b；（2）若-4a>-4b，则a b；（3）若，那么x y.拓展与变式5 若m，n为常数，则关于x的不等式的解集为.拓展与变式6 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数（式）大小的方法：（1）若A-B>0，则A>B；（2）若A-B=0，则A=B；（3）若A-B<0.则A<B.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法比较与的大小.【反思】不等式的性质和等式的性质类似，在利用性质3时注意不等号方向要改变.5x≤34mx x<+63xm>-7a-7b-3a-3b-52a+52b+ 21a--21b--22a b->-()()2211a x a y+>+()21m x n-->22336a b-+ 22242a b-+例3 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来. 【分析】为便于运算，首先去分母（不等式的两边同乘分母的最小公倍数“6”），然后移项（利用不等式的性质1将未知数项放在左边，常数项放在右边），再把系数化为1（利用不等式的性质2或3，将不等式化为x >a 或x <a 的形式）.【解】，，，..这个不等式的解集在数轴上的表示如图18-4所示.【点评】解一元一次不等式的步骤类似于解一元一次方程的步骤，不同的是前者利用不等式的性质，后者利用等式的性质.拓展与变式7 解不等式，并求出其正整数解.拓展与变式8 x 取什么值时，式子的值不小于的值.拓展与变式9 已知不等式6（x +1）-4x>3（5x +2）+5，化简：.【点评】熟练掌握解一元一次不等式的解法，同时要注意易错点，如：去分母要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数；去括号要注意是否漏乘和变号；系数化为1时若利用不等式的性质3时要注意不等号方向要改变. 2151132x x -+-≤()()2213516x x --+≤421536x x ---≤415623x x -≤++1111x -≤1x ≥-325164x x +->+134x --()3128x ++3113x x +--专题突破1.不等式4-3x ≥2x -6的非负整数解有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个·2.已知，用“<”，“>”填空：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .3.已知关于x 的不等式的解集是，试化简.4.解下列不等式：（1）； （2）.5.若关于x 的不等式的解集是，试求关于x 的不等式的解集.0a b c <<<ac bc 21a m +21b m +21a m --21b m --2a -2b -2ac 2bc ()12a x ->21x a <-12a a -++()21038137y y y ---≤+0.40.90.030.0250.50.032x x x ++-->0mx n ->14x <()n m x m n ->+。
《不等式与不等式组》课件
解不等式组可以通过图像法、代入法和
矩阵法等多种方法，选择合适的方法根
据实际情况来求解。
3
线性不等式组的图像表示
线性不等式组可以通过绘制不等式的图 像来直观地表示解集，有助于理解和分 析问题。
应用
不等式在几何中的应用
不等式在几何中有广泛应用，如 确定图形的特性、证明几何定理 和解决几何问题。
不等式在经济学中的应用
二元一次不等式
二元一次不等式是含有两个变 量的一次不等式，通过解析几 何的方法可以解决二元一次不 等式。
分式不等式
分式不等式是含有分式的不等 式，解分式不等式需要考虑分 母的正负和对不等式进行整体 约束。
不等式组
1
不等式组的概念
不等式组是由多个不等式组成的系统，
解不等式组的方法
2
通过求解多个不等式的公共解集来解决 不等式组问题。
《不等式与不等式组》 PPT课件
一、引言
基本概念
不等式的定义
不等式是数学中描述数值大小关系的一种数学表 达式，用不等于号（＞、＜、≥、≤）进行表示。
不等式的解集表示法
解集是使不等式成立的数的集合，可以用区间表 示法、集合表示法或图像表示法进行表示。
不等式的分类
不等式可分为一元不等式和二元不等式，以及复 杂的绝对值不等式和分式不等等。
不等式在经济学中用于描述资源 分配、市场供求关系和经济系统 的稳定性等问题。
不等式在物理中的应用
不等式在物理中用于描述力学、 电磁学和热力学等领域中的物理 规律和物理量的大小关系。
总结与展望
通过学习不等式与不等式组的基本概念、性质和解法，我们可以应用数学知识解决实际问题，并深入探索数学 的更多可能。
参考文献
《一元一次不等式》ppt全文课件
-16 0
《一元一次不等式》上课实用课件（P PT优秀 课件）
3．课堂练习
2(x 5) 3( x 5)
解：去括号，得：2x+10<3x-15 移项， 得：2x-3x<-15-10
合并同类项，得： -x < -25 系数化为1，得： x > 25 这个不等式的解集在数轴上的表示：
《一元一次不等式》上课实用课件（P PT优秀 课件）
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5．布置作业 教材 习题9.2 第1、2、3题
《一元一次不等式》上课实用课件（P PT优秀 课件）
问题4 解一元一次不等式和解一元一次方程 有哪些相同和不同之处？
相同之处： 基本步骤相同：去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1． 基本思想相同：都是运用化归思想，将一元一次方程 或一元一次不等式变形为最简形式．
不同之处： （1）解法依据不同：解一元一次不等式的依据是不 等式的性质，解一元一次方程的依据是等式的性质． （2）最简形式不同，一元一次不等式的最简形式是 x>a或x<a ，一元一次方程的最简形式是x=a．
（1） 2（1 x） 3
解：去括号，得 移项，得
合并同类项，得
系数化为１，得
2 2x 3 2x 3 2
2x 1 x 1
2
《一元一次不等式》上课实用课件（P PT优秀 课件）
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例 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（2） 2 x 2x 1
2
3
例 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1） 2（1 x） 3
问题（1） 解一元一次不等式的目标是什么？ 问题（2） 你能类比一元一次方程的步骤，解这个不等式吗？
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式PPT
通过观察函数值的正负变化，可以确定不等式解的范围。当函数值从负数变为正数时， 对应的x值范围即为不等式的解集。
函数图像与不等式解的关系
函数图像与不等式解的交点
一次函数图像与不等式的交点即为满足不等式条件的x值。在图像上表现为直线上的某些点。
函数图像与不等式解的个数
函数图像与不等式的交点个数即为满足不等式条件的x值的个数。若只有一个交点，则不等式有一个 解；若有多个交点，则不等式有多个解。
详细描述
一元一次方程的标准形式是 ax + b = 0， 其中 a 和 b 是常数，且 a ≠ 0。这个方 程只有一个未知数 x，且 x 的最高次数 为1。
一元一次方程的解法
总结词
求解一元一次方程通常涉及移项、合并同类项和系数化为1等 步骤。
详细描述
解一元一次方程时，首先将方程中的未知数项移到等式的一侧， 常数项移到另一侧。然后合并同类项，最后将方程两边的系数 化为1，即可得到未知数的解。
一次函数与一元一次方程、一元一 次不等式
目录
• 一次函数 • 一元一次方程 • 一元一次不等式 • 一次函数与一元一次方程、一元一次不等
式的关系 • 综合应用
01 一次函数
一次函数的定义
一次函数的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，
且 $k neq 0$。
$k$ 称为函数的斜率，$b$ 称为 函数的截距。
一元一次方程与一元一次不等式的综合应用
一元一次方程与一元一次不等式在形式上具有相似性，可 以通过对方程或不等式进行变形，转化为对方的形式，从 而利用对方的形式进行求解。
例如，对于方程 $y = kx + b$ 和不等式 $y < kx + b$，可 以通过将方程变形为 $y - kx - b = 0$，将不等式变形为 $y - kx - b < 0$，从而利用对方的形式进行求解。
一元一次不等式组(公开课课件)
形式
一元一次不等式组通常表 示为“{①，②，③...}”， 其中①，②，③...是一元 一次不等式。
特点
一元一次不等式组中至少 包含两个不等式，且每个 不等式只含有一个未知数 。
一元一次不等式组的解集
定义
满足一元一次不等式组中 所有不等式的未知数的取 值范围称为该不等式组的 解集。
性质
解集具有封闭性，即满足 所有不等式的解都在解集 中。
求法
通过解每个不等式，找出 满足所有不等式的解，再 确定解集。
一元一次不等式组的分类
分类标准
简单型
根据一元一次不等式组中不等式的个数和 形式，可以将一元一次不等式组分为简单 型、线性型、多项式型等。
由两个一元一次不等式组成的不等式组， 如“{2x > 3, x < 5}”。
线性型
多项式型
由两个或多个线性一元一次不等式组成的 不等式组，如“{3x + 2 > 0, 4x - 1 < 5}” 。
VS
解集关系
一元一次不等式组的解集与相应的一元一 次方程组的解集存在一定的包含关系，可 以根据方程组的解来推断不等式组的解。
一元一次不等式组在实际问题中的应用
资源分配问题
例如，在有限资源下如何分配任 务以达到最优效果。
最优化问题
例如，在一定条件下如何选择方案 以达到最优目标。
经济问题
例如，在预算限制下如何选择商品 或服务以实现最大效益。
生产问题
总结词
企业生产过程中的资源配置问题
详细描述
生产问题涉及到企业生产过程中的资源配置，如原材料、设备和人力资源的分配。一元 一次不等式组可以用来解决生产中的成本和效率问题，例如优化生产流程以降低成本和
《不等式的基本性质》一元一次不等式和一元一次不等式组PPT教学课件
2 不等式的基本性质
-.
知识回顾
等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？
性质1 性质2
文字语言
符号语言
等式两边加（或减）同 如果a=b
一个数（或式子），结 那么a+c=b+c
果仍相等.
a-c=b-c
如果a=b
等式两边乘同一个数， 那么ac=bc
或除以同一个不为0的 如果a=b (c≠0)
随堂演练
1.若a<b,则下列各式中一定成立的是( B
)A.-3a<-3b
B.a-3<b-
3C.a+c>b+c
D.2a>2b
7.若把不等式x+5>0化为x>-5,下列方法正确的是( B
)A.不等式两边都加5
B.不等式两边都加-5C.不
等式两边都减-5
D.不等式两边都乘5
3.有一道这样的题：“由★x＞1得到
归纳总结
不等式性质1：不等式两边都加（或减）同一个数 （或式子），不等号的方向不变.
如果a>b，那么a+c>b+c，a－c>b－c.
小组活动：先确定一个不等式，仿照等式的基本性质2， 在不等式的两边都乘同一个数，看结果有何特点.
例如：×
1 2
__＜____5×
如果a＞b，c>0，那么ac__＞__bc（或
a＞b cc
）.
不等式的性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个 负数，不等号的方向改变.
如果a＞b，c＜0，那么ac _﹤___bc（或
ab cc
）.
思考：上节课，我们猜想，无论绳长 l 取何值，圆的面积
不等式的基本性质-一元一次不等式和一元一次不等式组 优秀PPT课件4
合作交流 解读探究
在不等式12＞9的两边同时乘(或除以)-2，在 横线上填“＞”或“＜”号： 12＞9 ＜ ×(-2) 12×(-2)___9 ＜ ÷(-2) 12÷(-2)___9 自己写一个不等式，分别在它两边都乘以或除 以同一个负数，不等号方向有无变化？
不等式的基本性质二、三
不等式的基本性质二： 不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不 等号的方向不变． a b 即：如果a＞b，c＞0，则ac＞bc，且 > c c 不等式的基本性质三： 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不 等号的方向改变． a b 即：如果a＞b，c＜0，则ac＜bc，且 < c c
不等式的基本性质
不等式的概念
水果店的小王从水果批发市场购进100千克梨 和84千克苹果. 你能用“<”或“>”号连接梨 和苹果的进货量吗？ 100 > 84
不等式的概念
1、什么叫不等式？ 用不等号“＞”（或“＜”、“≥”、“≤”） 表示不等关系的式子叫做不等式. 符号“≥”读作“大于或等于”，也可读作 “不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”， 也可读作“不大于”. 如a≥0表示a＞0或a＝0. 形如3≠4、a≠b的式子, 也叫不等式. 它只表示 两边是不相等的关系，不能明确两边的大小.
(8) x的3倍与8的和比x的5倍大.
积极思考 解读教材
动脑筋： 在不等式5＞3的两边同时加上或减去2，在横 线上填“＞”或“＜”： 5+2 ___ ＞ 3+2 ＞ 3-2 5-2 ___ 自己写一个不等式，在它两边同时加上、减去 同一个数，看看有什么样的结果. 从中你可以发现什么规律？
不等式的基本性质一
拓展迁延
如果a-b＝0，那么a＝b； 如果a-b＞0，那么a＞b；
《不等式的基本性质》一元一次不等式和一元一次不等式组PPT课件7
学前练习 1. -7 ≤ -5, 3+4＞1+4 5+3≠12-5, x≥8 a+2＞a+1， x+3 ＜6
(1)上述式子有哪些表示数量关系的符号？ 这些符号表示什么关系？ (2)这些符号两侧的代数式可随意交换 位置吗？ (3)什么叫不等式？
问题探究
1.商场A种服装的价格为60元，B种服装的价格为80 元 （1）两种服装都涨价10元，哪种服装价格高？涨 价15元呢？ （2）两种服装都降价5元，哪种服装价格高？降价 15元呢？ （3）两种服装都打8折出售，哪种服装价格高？
解：设导火线的长度为 x cm，根据题意，得
x 10 , 0.02 100 4
即 x5 答：导火线的长度应大于5厘米.
想一想
(1)x=5,6,8能使x>5成立吗？ (2)你能找出几个使不等式x>5成立 的x的值吗？
定义
能使不等式成立的未知数的值， 叫做不等式的解. 一个含有未知数的不等式的所有 解组成这个不等式的解集.
小 结
1.本节重点
（1）掌握不等式的基本性质，尤其是性质3； （2）能正确应用性质对不等式进行变形； （3）不等式的解集及如何利用数轴表示。
2.注意事项
（1）要掌握不等式性质与等式性质的异同点； （2）当不等式两边都乘（或除以）同一个数时， 一定要看清是正数还是负数； 对于未给定范围的字母，应分情况讨论.
仍成立
？
不等号的方向改变才成立
典型例题
例1.根据不等式的基本性质，把下列不等 式化成x＜a或x＞a的形式： (1) x-2＜3
解:(1)根据不等式基本性质1，两边都加上2， 得： x-2+2＜3+2 x＜ 5
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单向性 双向性
(6) a b 0， n N ， n 1
n
a
n
b.
上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是正 确的吗？你能够给出它们的证明吗？ 注意： 1.注意公式成立的条件，要特别注意“符号问 题”；
2.要会用自然语言描述上述基本性质；
3.上述基本性质是我们处理不等式问题的理论基 础.
探究： 类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质呢？
a - b 0 a b； a - b 0 a b； a - b 0 a b.
不等式的基本性质：
(1) a b b a ( 对称性 )； (2) a b， b c a c (传递性 )；
练习:
2 若m 0 ，比较m 与2 的大小.
m m
3 已知a 0，试比较(a 2a 1)(a - 2a 1)
2 2
与(a a 1)(a - a 1)的大小.
2 2
【知识回顾】
1.不等式的概念: 同向不等式；异向不等式；同解不等式．
2.比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下 结论． 大多用于比较幂指式的大小．
同解不等式:
形式不同但解相同的不等式.
其它重要概念:
绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.
基本理论：
O
x
1.实数在数轴上的性质:
研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上 的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ
a a <b
Ｂ
b x
Ｂ
b a >b
Ａ
a x
设a 、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别 是A 、B ，那么，当点A在点B的左边时， a < b；当点A 在点B的右边时， a > b. 关于a，b的大小关系，有以下基本事实: 如果a > b， 那么a-b是正数；如果a=b，那么a-b等于零；如果a < b， 那么a-b是负数；反过来也对.
3 2 2
( x - 1) (2 x 2 x 1)
2 2
( x - 1) 2 x 1 2 技能：
2
2
1 0. 2
分组组合；添项、拆项；配方法.
x R，2 x 1 1 0， 2 2 2 4 3 2 若x 1，那么( x - 1) 0，则2 x 1 2 x x ； 若x 1，那么( x - 1) 0，则2 x 1 2 x x .
不等式的基本性质
基本概念： 观察以下四个不等式： a+2 > a+1 --------------(1) a+3 > 3a -------------(2) 3x+1< 2x+6 --------------(3) X<a --------------(4) 同向不等式: 在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边 或每一个的左边都小于右边(不等号的方向相同). 异向不等式： 在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右 边，而另一个的左边小于右边(不等号的方向相反).
用数学式子表示为:
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而 右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实 数的大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质 不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要 依据.
例2 比较M a 1 - a 和 N a - a - 1 a 1 的大小.
例3 比较以下两个实数的大小：
(1)18 16 与18 16 ； 1 * (2) 与2 n ( n N ) n1- n
18 16 16 18
【解题回顾】
本题的解答 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小．
思考： 从上述事实出发，你认为可以用什么方法比较 两个实数的大小？
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比较它 们的差a - b 与0的大小. 在这里，0为实数比较大 小提供了“标杆”.
例1 试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小.
解： (2 x 4 1) - (2 x 3 x 2 ) 2 x 4 1 - 2 x 3 - x 2 (2 x 4 - 2 x 3 ) - ( x 2 - 1) 2 x 3 ( x - 1) - ( x - 1)( x 1) 2 x 3 ( x - 1) - ( x - 1)( x 1) ( x - 1)[2 x 3 - ( x 1)] ( x - 1)[(2 x - 2 x ) (2 x - 2 x ) ( x - 1)]
(3) a b a c b c (可加性 )； a b， c d a c b d； (4) a b， c 0 ac bc ；a b ， c 0 ac bc ； a b 0， c d 0 ac bd ； (5) a b 0， n N ， n 1 a b ；
a b 例1 已知a b 0，c d 0，求证: . d c
2 4 3 2
2
综上所述：若x 1时，2 x 4 1 2 x 3 x 2； 若x 1时，2 x 4 1 2 x 3 x 2 .
作差比较大小： 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ④结论.
练习: 已知实数x、y，比较x2+y2与xy+x+y-1的大小． 【解题回顾】 用作差比较法比较两个实数的大小，其步骤是： 作差——变形——判断符号． 常见的变形手段是: 通分、因式分解或配方等； 变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平方 式等.