北师大版必修2高中数学2.1.3《两条直线的位置关系》课时训练
(北师大版)数学必修二课时作业：2.1.3两条直线的位置关系(含答案)
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课时提升作业(十八)两条直线的位置关系一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2018·铜川高一检测)直线l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )A. B.- C. D.-【解析】选B.设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2.则k1=tan 30°=.因为l1⊥l2，所以×k2=-1，即k2=-.2.已知点A(1，2)，B(m，1)，直线AB与直线y=0垂直，则m的值为( )A.2B.1C.0D.-1【解析】选B.由题意知直线AB垂直x轴，斜率不存在，所以m=1.3.下列直线中与直线x-y-1=0平行的是( )A.x+y-1=0B.x-y+1=0C.ax-ay-a=0D.x-y+1=0或ax-ay-a=0【解析】选B.根据两条直线平行判定的条件知：A不正确，B正确，对于C，D：当a≠0时，与直线x-y-1=0重合，当a=0时，ax-ay-a=0不是直线方程.4.(2018·济源高一检测)直线(m+1)x+my+1=0与直线(m-1)x+(m+1)y-10=0垂直，则m的值为( )A.-1B.C.-D.-1或【解析】选D.由两直线垂直可得(m+1)(m-1)+m(m+1)=0，解得m=-1或.5.下列结论中不正确的是( )A.直线y=x+2和5x-3y+2=0互相平行B.直线x-6=0和y-9=0互相垂直C.直线3x+4y-12=0和+=1互相平行D.直线y=x和y=-x互相垂直【解析】选C.因为C中两直线重合.6.(2018·九江高二检测)已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )A.4x+2y-5=0B.4x-2y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y-5=0【解析】选B.k AB==-，设AB的垂直平分线的斜率为k，由k·k AB=-1，得k=2.又AB的中点为，故满足题意的方程为y-=2(x-2).即为4x-2y-5=0.二、填空题(每小题4分，共12分)7.若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x-1平行，则m=________.【解析】由题意，得y=-x-，因为l1∥l2，所以3=-，-≠-1，所以m=-.答案：-8.(2018·蚌埠高一检测)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a-2，-3)，直线l2经过点C(2，3)，D(-1，a-2).如果l1⊥l2，则a=________.【解题指南】【解析】直线l2的斜率为k2==，所以当a=5时，k2=0，k1无意义，即斜率不存在，两直线垂直；当a≠5时，k1=，因为两直线垂直，则有·=-1，解得a=-6.答案：-6或59.与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程为________________.【解析】所求直线与直线2x+3y+5=0平行，则其斜率为-，可设直线方程为y=-x+b，令y=0，得x=b，由题意可得b+b=，解得b=，所以所求直线的方程为y=-x+，即2x+3y-4=0.答案：2x+3y-4=0【一题多解】由题意设所求直线方程为2x+3y+c=0(c≠0)，化为截距式是+=1，因为直线在两坐标轴上截距之和为，所以--=，解得c=-4.故所求直线方程为2x+3y-4=0.【变式训练】(2018·铜川高一检测)垂直于直线3x-4y-7=0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l在x轴上的截距是________.【解析】由题意设直线l的方程为4x+3y+d=0.分别令x=0和y=0，得直线在两坐标轴上的截距分别是-，-.所以6=×|-|×|-|=，所以d=±12，所以-=±3.答案：3或-3三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0.试确定m，n的值，使(1)l1∥l2.(2)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.【解析】(1)因为l1∥l2，所以=≠，得：m=4，n≠-2，或m=-4，n≠2.(2)因为l1⊥l2，所以m×2+8×m=0，所以m=0，则l1：8y+n=0.又l1在y轴上的截距为-1，则n=8.综上知m=0，n=8.【拓展延伸】讨论l1∥l2时要排除两直线重合的情况.处理l1⊥l2时，利用l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0可避免对斜率是否存在的讨论.11.已知三点A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，分别求满足下列条件的m值.(1)三点构成直角三角形ABC.(2)A，B，C三点共线.【解析】(1)若角A为直角，则AC⊥AB，所以k AC·k AB=-1，即·=-1，得m=-7；若角B为直角，则AB⊥BC，所以k AB·k BC=-1，即-·=-1，得m=3；若角C为直角，则AC⊥BC，所以k AC·k BC=-1，即·=-1，得m=±2，综上可知，m=-7，或m=3，或m=±2.(2)因为A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，所以k AB==-，k AC==-，由k AB=k AC，得-=-，即m=.所以当m=时，A，B，C三点共线.【一题多解】点A(5，-1)与B(1，1)确定的直线方程为x+2y-3=0，将C(2，m)的坐标代入得m=，故m=时，A，B，C三点共线.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2018·赣州高一检测)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(-1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( )A.(3，0)B.(-3，0)C.(0，-3)D.(0，3)【解析】选D.设P(0，y)，因为l1∥l2，所以=2，所以y=3.2.以A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形【解题指南】在平面直角坐标系中描出三点的坐标，猜测其大致的形状，然后借助三边所在直线的斜率间的关系确定.【解析】选D.k AB==-，k BC==2，所以k AB·k BC=-1.所以AB⊥BC.故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.3.(2018·吉安高一检测)过点E(1，1)和点F(-1，0)的直线与过点M(-，0)和点N(0，)(k≠0)的直线的位置关系是( )A.平行B.重合C.平行或重合D.相交或重合【解析】选C.当k=2时，EF与MN重合；当k≠2时，k EF==，k MN==，EF与MN平行.4.(2018·亳州高一检测)已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，-1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于( )A.-4B.-2C.0D.2【解析】选B.依题意知，直线l的斜率为k=tan135°=-1，则直线l1的斜率为1，于是有=1，所以a=0，又直线l2与l1平行，所以1=-，即b=-2，所以a+b=-2.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2018·渭南高一检测)直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2，则b=________；若l1∥l2，则b=________.【解析】当l1⊥l2时，k1k2=-1，所以-=-1.即b=2.当l1∥l2时，k1=k2，所以Δ=(-3)2+4×2b=0.即b=-.答案：2 -6.(2018·咸阳高一检测)直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0平行，则m的值为________.【解题指南】两直线平行时，斜率相等，注意直线斜率不存在的情况.【解析】当m=0时，显然l1不平行于l2；当m≠0时，若l1∥l2需=≠.①由①式有m2+m-6=0，解得m=2，或m=-3.经检验m=2，或m=-3满足题意.答案：-3或2【一题多解】若l1∥l2，则A1B2-A2B1=2×3-m(m+1)=0，A1C2-A2C1=2×(-2)-m·4=-4-4m≠0.所以m=-3或2.答案：-3或2【举一反三】两直线垂直时，m的值为________.【解析】当m=-1时，直线l1的斜率不存在，显然直线l1与直线l2不垂直；当m≠-1时，直线l1的斜率为-，又直线l2的斜率为-，因为两直线垂直，所以-×-=-1，解得m=-.答案：-三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2018·宜春高一检测)已知四边形ABCD的顶点A (m，n)，B(5，-1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形.【解题指南】分类讨论直角梯形ABCD的腰和底，利用直线平行和垂直的斜率关系解决.【解析】(1)如图，当∠A=∠D=90°时，因为四边形ABCD为直角梯形，所以AB∥DC且AD⊥AB.因为k DC=0，所以m=2，n=-1.(2)如图，当∠A=∠B=90°时，因为四边形ABCD为直角梯形，所以AD∥BC，且AB⊥BC，所以k AD=k BC，k AB·k BC=-1.所以解得m=，n=-.综上所述，m=2，n=-1或m=，n=-.8.在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1-2t，2+t)，R(-2t，2)，其中t∈(0，+∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明.【解析】四边形OPQR是矩形.OP边所在直线的斜率k OP=t，QR边所在直线的斜率k QR==t，OR边所在直线的斜率k OR=-，PQ边所在直线的斜率k PQ==-.所以k OP=k QR，k OR=k PQ，所以OP∥QR，OR∥PQ，所以四边形OPQR是平行四边形.又k QR·k OR=t×(-)=-1，所以QR⊥OR，所以四边形OPQR是矩形.又因为k OQ=，k PR=，令k OQ·k PR=-1，得t不存在，所以OQ与PR不垂直，所以四边形OPQR不为正方形，故四边形OPQR是矩形.关闭Word文档返回原板块。
2021学年高中数学课时172.1.3两条直线的位置关系作业课件北师大版必修2.ppt
D．以上全错
解析：当两直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存在且两直线不重合 时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③正确；当两直线 都与 x 轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当 两直线中一条直线与 x 轴平行(或重合)，另一条直线与 x 轴垂直 时，它们垂直，但一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不 存在，故④错．
6．过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( A )
A．x＋2yx＋y－5＝0
解析：由平面几何知识知，所求直线与 OA 垂直，故其斜 率为－12，由点斜式方程得所求直线为 y－2＝－12(x－1)，即 x ＋2y－5＝0.
7．两条直线 A1x＋B1y＋C1＝0 与 A2x＋B2y＋C2＝0 垂直等价
线 l2 平行，则 x＝ 0 .
解析：设直线 l1 的斜率为 k，则 k＝3－3 x. ∵l1∥l2，且 l2 的斜率为 1，∴k＝1＝3－3 x，∴x＝0.
10．已知 A(2,5)，B(－1,3)，C(－2,7)，则△ABC 中 BC 边上
的高所在直线的方程为 x－4y＋18＝0 .
解析：∵kBC＝－7－ 2＋31＝－4，∴k 高＝－k1BC＝14.∴BC 边上高 所在直线的方程为 y－5＝14(x－2)，即 x－4y＋18＝0.
解：利用两条直线位置关系的条件去判定． (1)设两直线的斜率分别为 k1，k2.在 y 轴上的截距分别为 b1， b2，则 k1＝3，b1＝－1，k2＝3，b2＝4，因为 k1＝k2 且 b1≠b2， 所以 l1∥l2. (2)设两直线的斜率分别为 k1，k2，在 y 轴上的截距分别为 b1，b2，则 k1＝1，b1＝0，k2＝2，b2＝－1，因为 k1≠k2，所以 l1 与 l2 不平行． (3)由方程可知，l1⊥x 轴，l2 就是 x 轴，从而 l1⊥l2.
2019-2020学年高中北师大版数学必修2精练：第二章 1.3 两条直线的位置关系 课后课时精练 Word版含解析
时间：25分钟1．下列命题中，正确的是( ) A ．斜率相等的两条直线一定平行B ．若两条不重合的直线l 1，l 2平行，则它们的斜率一定相等C ．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝2不平行D ．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3平行 答案 D解析 A 错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B 错误，当两条不重合的直线l 1，l 2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C 错误，直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D 正确，由于直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的斜率分别为k 1＝1－2，k 2＝－12＋1＝1－2，则k 1＝k 2，且在y 轴截距不相等，所以l 1∥l 2.2．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m 的值是( )A ．－8B ．0C ．2D ．10 答案 A解析 由题意可知k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8.3．下列直线中，与直线l ：y ＝3x ＋1垂直的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．y ＝3x －1 C ．y ＝13x －1 D ．y ＝－13x －1 答案 D解析 因为直线l ：y ＝3x ＋1的斜率为3，所以与直线l ：y ＝3x ＋1垂直的直线的斜率为－13，经观察只有选项D 中的直线的斜率为－13，故选D.4．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(6，y )，且l 1⊥l 2，则y ＝( )A ．－2B ．1C ．2D ．4 答案 B解析 因为l 1⊥l 2，且直线l 1的斜率k 1不存在，所以直线l 2的斜率k 2＝0，则y ＝1.5．已知平面内有A (5，－1)，B (1,1)，C (2,3)三点，则( ) A ．△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝90° B ．△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90° C ．△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90° D ．△ABC 不是直角三角形 答案 B 解析 ∵k AB ＝1－(－1)1－5＝－12，k BC ＝3－12－1＝2， ∴k AB ·k BC ＝－1，∴AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°.6．将直线l ：x －y ＋1＝0绕点A (2,3)逆时针旋转90°，得到的直线l 1的方程是( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝0答案 C解析 根据题意，知直线l 1与直线l 垂直，而直线l ：x －y ＋1＝0的斜率为1，所以直线l 1的斜率为－1.又直线l 1也过点A (2,3)，故直线l 1的方程是y －3＝－1×(x －2)，即x ＋y －5＝0.7．已知在平行四边形ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)，则点D 的坐标为________．答案 (－1,6)解析 设D (a ，b )，由平行四边形ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝6，所以D (－1,6)．8．与直线y ＝－3x ＋1平行，且在x 轴上的截距为－3的直线l 的方程为________．答案 3x ＋y ＋9＝0解析 由题意，知直线l 的斜率为－3，且在x 轴上的截距为－3，所以直线l 的方程为y －0＝－3[x －(－3)]，即3x ＋y ＋9＝0.9．求经过下列各点且与已知直线平行的直线方程． (1)A (1,2)，直线y ＝23x ＋53； (2)B (2，－3)，直线2x ＋y －5＝0.解 (1)解法一：因为所求直线与直线y ＝23x ＋53平行，所以它们的斜率相等，都为23，而所求直线过A (1,2)，所以所求直线的方程为y －2＝23(x －1)，即2x －3y ＋4＝0.解法二：因为所求直线与直线y ＝23x ＋53平行，所以它们的斜率相等，都为23. 故所求直线的方程为y ＝23x ＋b ，由于所求直线过A (1,2)，将其代入方程，解得b ＝43， 故所求直线方程为y ＝23x ＋43，即2x －3y ＋4＝0. (2)解法一：直线2x ＋y －5＝0可化为y ＝－2x ＋5.因为所求直线与直线2x ＋y －5＝0平行，所以它们的斜率相等，都为－2，而所求直线过B (2，－3)，所以所求直线的方程为y －(－3)＝(－2)×(x －2)， 即2x ＋y －1＝0.解法二：直线2x ＋y －5＝0可化为y ＝－2x ＋5，因为所求直线与直线2x ＋y －5＝0平行，所以它们的斜率相等，都为－2，设所求直线的方程为y ＝－2x ＋b ，由于所求直线过B (2，－3)，将其代入方程，解得b ＝1， 故所求直线的方程为y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0.10．已知三角形的三个顶点分别是A (4,0)，B (6,6)，C (0,2)． (1)求AB 边上的高所在直线的方程； (2)求AC 边的垂直平分线所在的直线方程． 解 (1)∵A (4,0)，B (6,6)，C (0,2)， ∴k AB ＝6－06－4＝3， ∴AB 边上的高所在直线的斜率为－13. 又AB 边上的高所在的直线过点C ，∴AB 边上的高所在直线的方程为y －2＝－13(x －0)，即x ＋3y －6＝0. (2)∵直线AC 的斜率k AC ＝2－00－4＝－12，∴AC 边的垂直平分线所在直线的斜率为2. 又AC 边的中点为(2,1)，∴AC 边的垂直平分线所在直线的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.。
北师大版高中数学必修2课时练习-两条直线的位置关系
课时练习(十六) 两条直线的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1a B ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在D [若a ＝0，则l 2的斜率不存在；若a ≠0，则l 2的斜率为－1a .] 2．过点(－1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0B [设直线方程为x －2y ＋C ＝0，将(－1,0)代入上式，得C ＝1，所求方程为x －2y ＋1＝0.]3．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形 C [k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．]4．平行于直线4x ＋3y －3＝0，且不过第一象限的直线的方程是( ) A ．3x ＋4y ＋7＝0 B ．4x ＋3y ＋7＝0 C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0B [平行于直线4x ＋3y －3＝0的直线具有形式4x ＋3y ＋c ＝0，故排除A 、D.但选项C 中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选B.]5．直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a ，和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，a 等于( )A ．－7或－1B ．－7C ．7或1D ．－1B [因为两直线平行，所以(3＋a )·(5＋a )＝2×4，解得a ＝－1或－7. 当a ＝－1时，两直线重合，故a ＝－7.] 二、填空题6．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，给出下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)①④ [∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4， ∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .]7．与直线3x －2y ＋6＝0平行且纵截距为9的直线l 的方程为________． 3x －2y ＋18＝0 [设直线l 的方程为3x －2y ＋b ＝0，令x ＝0，y ＝b2＝9，得b ＝18，故所求的直线方程为3x －2y ＋18＝0.]8．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为________．0或1 [当m ＝0时，A (0,3)，B (0,4)，C (1,2)，D (1,0)，此时直线AB 与直线CD 的斜率均不存在，满足直线AB 与直线CD 平行；当m ≠0时，由题意，可得k AB ＝m ＋4－32m －m ＝m ＋1m ，k CD ＝2－0m ＋1－1＝2m .∵直线AB 与直线CD 平行，所以m ＋1m ＝2m ，解得m ＝1.综上m ＝0或1.]三、解答题9．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)； (2)∠MPN 是直角． [解] 设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP ，∴k OM ＝k NP . 又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5(x ≠5)，∴1＝2x －5，∴x ＝7，即P (7,0)． (2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ， ∴k MP ·k NP ＝－1.k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)，∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6， 即P (1,0)或(6,0)．10．已知直线l 1过点A (1,1)，B (3，a )，直线l 2过点M (2,2)，N (3＋a,4)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值． [解] kl 1＝k AB ＝a －13－1＝a －12.(1)若l 1∥l 2，则3＋a ≠2，且kl 2＝k MN ＝4－2(a ＋3)－2＝2a ＋1＝a －12，即a ≠－1且a 2＝5，∴a ＝±5.(2)当a ＋3＝2，即a ＝－1时，l 2无斜率， 此时kl 1＝－1，∴l 1与l 2不垂直； 当a ＋3≠2，即a ≠－1时，kl 2＝2a ＋1，由l 1⊥l 2，得kl 1·kl 2＝a －12·2a ＋1＝－1，即a ＝0.1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝0B [k BC ＝3－11－3＝－1，∴高所在直线斜率为1，∴方程为y －1＝1×(x ＋1)，即x －y ＋2＝0.]2．两直线的斜率分别是方程x 2＋2 019x －1＝0的两根，那么这两直线的位置关系是( )A ．垂直B ．相交但不垂直C ．平行D ．重合A [设两直线的斜率分别为k 1，k 2， ∵k 1，k 2是方程x 2＋2 019x －1＝0的两根， 利用根与系数的关系得，k 1k 2＝－1， ∴两直线的位置关系是垂直．]3．已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (－2,3)，C (0，－4)，则点D 的坐标为________．(3，－6) [设D (x ，y )，由题意可知，AB ∥CD 且AD ∥BC ， ∴k AB ＝k CD 且k AD ＝k BC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－1－2－1＝y ＋4x ，－4－30＋2＝y －1x －1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－6，∴D 点的坐标为(3，－6)．]4．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)且与直线2x ＋3y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．－23 [由题意知两直线的斜率均存在，且直线l 与斜率为－23的直线垂直，则直线l 的斜率为32，于是32＝1－(－1)(－a －2)－(a －2)＝2－2a ＝－1a ，解得a ＝－23.]5．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．[解] (1)当∠A ＝∠D ＝90°时，如图①所示，∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AB ∥DC 且AD ⊥AB .易求得m ＝2，n ＝－1.(2)当∠A ＝∠B ＝90°时，如图②所示，∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AD ∥BC 且AB ⊥BC . ∴k AD ＝k BC ，k AB ·k BC ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝－3，n ＋1m －5×(－3)＝－1，解得m ＝165，n ＝－85.综上所述，m ＝2，n ＝－1或m ＝165，n ＝－85.。
高中数学第二章解析几何初步1.3两条直线的位置关系课后课时精练北师大版必修2
高中数学第二章解析几何初步1.3两条直线的位置关系课后课时精练北师大版必修2时间：25分钟1．下列命题中，正确的是( )A ．斜率相等的两条直线一定平行B ．若两条不重合的直线l 1，l 2平行，则它们的斜率一定相等C ．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝2不平行D ．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3平行答案 D解析 A 错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B 错误，当两条不重合的直线l 1，l 2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C 错误，直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D 正确，由于直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的斜率分别为k 1＝1－2，k 2＝－12＋1＝1－2，则k 1＝k 2，且在y 轴截距不相等，所以l 1∥l 2. 2．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m 的值是( )A ．－8B ．0C ．2D ．10答案 A解析 由题意可知k AB ＝4－m m ＋2＝－2，所以m ＝－8. 3．下列直线中，与直线l ：y ＝3x ＋1垂直的是( )A ．y ＝－3x ＋1B ．y ＝3x －1C ．y ＝13x －1D ．y ＝－13x －1 答案 D解析 因为直线l ：y ＝3x ＋1的斜率为3，所以与直线l ：y ＝3x ＋1垂直的直线的斜率为－13，经观察只有选项D 中的直线的斜率为－13，故选D. 4．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(6，y )，且l 1⊥l 2，则y ＝( )A ．－2B ．1C ．2D ．4答案 B解析 因为l 1⊥l 2，且直线l 1的斜率k 1不存在，所以直线l 2的斜率k 2＝0，则y ＝1.5．已知平面内有A (5，－1)，B (1,1)，C (2,3)三点，则( )A ．△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝90°B ．△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°C ．△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°D ．△ABC 不是直角三角形答案 B解析 ∵k AB ＝1－－11－5＝－12，k BC ＝3－12－1＝2， ∴k AB ·k BC ＝－1，∴AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°.6．将直线l ：x －y ＋1＝0绕点A (2,3)逆时针旋转90°，得到的直线l 1的方程是( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝0 答案 C解析 根据题意，知直线l 1与直线l 垂直，而直线l ：x －y ＋1＝0的斜率为1，所以直线l 1的斜率为－1.又直线l 1也过点A (2,3)，故直线l 1的方程是y －3＝－1×(x －2)，即x ＋y －5＝0.7．已知在平行四边形ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)，则点D 的坐标为________． 答案 (－1,6)解析 设D (a ，b )，由平行四边形ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝6，所以D (－1,6)．8．与直线y ＝－3x ＋1平行，且在x 轴上的截距为－3的直线l 的方程为________． 答案 3x ＋y ＋9＝0解析 由题意，知直线l 的斜率为－3，且在x 轴上的截距为－3，所以直线l 的方程为y －0＝－3[x －(－3)]，即3x ＋y ＋9＝0.9．求经过下列各点且与已知直线平行的直线方程．(1)A (1,2)，直线y ＝23x ＋53； (2)B (2，－3)，直线2x ＋y －5＝0.解 (1)解法一：因为所求直线与直线y ＝23x ＋53平行，所以它们的斜率相等，都为23，而所求直线过A (1,2)，所以所求直线的方程为y －2＝23(x －1)，即2x －3y ＋4＝0. 解法二：因为所求直线与直线y ＝23x ＋53平行，所以它们的斜率相等，都为23. 故所求直线的方程为y ＝23x ＋b ， 由于所求直线过A (1,2)，将其代入方程，解得b ＝43， 故所求直线方程为y ＝23x ＋43，即2x －3y ＋4＝0. (2)解法一：直线2x ＋y －5＝0可化为y ＝－2x ＋5.因为所求直线与直线2x ＋y －5＝0平行，所以它们的斜率相等，都为－2，而所求直线过B (2，－3)，所以所求直线的方程为y －(－3)＝(－2)×(x －2)，即2x ＋y －1＝0.解法二：直线2x ＋y －5＝0可化为y ＝－2x ＋5，因为所求直线与直线2x ＋y －5＝0平行，所以它们的斜率相等，都为－2，设所求直线的方程为y ＝－2x ＋b ，由于所求直线过B (2，－3)，将其代入方程，解得b ＝1，故所求直线的方程为y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0.10．已知三角形的三个顶点分别是A (4,0)，B (6,6)，C (0,2)．(1)求AB 边上的高所在直线的方程；(2)求AC 边的垂直平分线所在的直线方程．解 (1)∵A (4,0)，B (6,6)，C (0,2)，∴k AB ＝6－06－4＝3， ∴AB 边上的高所在直线的斜率为－13. 又AB 边上的高所在的直线过点C ，∴AB 边上的高所在直线的方程为y －2＝－13(x －0)，即x ＋3y －6＝0. (2)∵直线AC 的斜率k AC ＝2－00－4＝－12， ∴AC 边的垂直平分线所在直线的斜率为2.又AC 边的中点为(2,1)，∴AC 边的垂直平分线所在直线的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.。
2016秋数学北师大版必修2练习：2.1.3 两条直线的位置关系 含解析
［A基础达标］1．下列说法正确的是( ）A．如果两条直线平行，则它们的斜率相等B．如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数C．如果两条直线斜率之积为－1,则这两条直线互相垂直D．如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴解析：选C。
不论两直线平行还是垂直都要考虑两直线斜率不存在的情况,A、B忽略斜率不存在,D忽略了直线与y轴重合．2．过点(1,0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ）A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0解析:选A。
直线x－2y－2＝0的斜率为错误!,所以所求直线的斜率为错误!.故所求直线方程为y－0＝错误!(x－1）,即x－2y－1＝0.3．已知点A（1，2)，B（3,1）,则线段AB的垂直平分线的方程是( ）A．4x＋2y－5＝0 B．4x－2y－5＝0C．x＋2y－5＝0 D．x－2y－5＝0解析:选B．因为k AB＝错误!＝－错误!，所以所求直线的斜率为2。
又线段AB的中点为错误!，故线段AB的垂直平分线方程为y－错误!＝2(x－2），即4x－2y－5＝0.4．直线l1的斜率k1＝错误!，直线l2经过点A（1，2），B（a－1，3）,l1∥l2，则a的值为( ）A．－3 B．1C。
错误!D．错误!解析:选C.因为l2的斜率k2＝错误!,且l1∥l2,所以k1＝k2，即错误!＝错误!，所以a＝错误!。
5．已知点A（2,3)，B（－2，6)，C(6，6），D(10，3），则以A,B,C，D为顶点的四边形是( )A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析:选B．如图所示,易知k AB＝－错误!，k BC＝0，k CD＝－错误!,k AD＝0，k BD＝－错误!,k AC＝错误!，所以k AB＝k CD，k BC＝k AD,k AB·k AD＝0，k AC·k BD＝－错误!，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直．所以四边形ABCD为平行四边形．6．已知直线l1：2x＋（λ＋1)y－2＝0，l2:λx＋y－1＝0，若l1∥l2，则λ的值是________．解析：因为l1∥l2，所以2×1－（λ＋1）λ＝0，即λ2＋λ－2＝0，解得λ＝－2或λ＝1。
2.1.3《两条直线的位置关系》课件(北师大版必修2),
1 1 ,kAB=2,∴kAD= ，kCD=2, 4 4 ∴边AD所在的直线方程为：
又kBC=
y-5= 1 (x-1),即x-4y+19=0. 4 边CD所在的直线方程为： y-2=2(x-3),即2x-y-4=0. 答案：x-4y+19=0 2x-y-4=0
三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·南阳高一检测）已知三角形的三个顶点是
一、选择题（每题4分，共16分）
1.（2010·兰州高一检测）和直线 x+ 3y-1=0 平行的直线的
倾斜角为( （A）30° ) （B）60° （C）120° （D）150°
【解析】选D.将直线 x+ 3y-1=0 化为斜截式得，
当x=2时，点P与点M重合，点P（2，3）Fra bibliotek坐标也满足方程
2x+3y-13=0，所以(x,y)满足的关系式为2x+3y-13=0.
-3 1 =-1, ∴x=0或x=2,即C为（0，0）或（2，0）. x+1 3-x
②设C（0,y），则由kAC·kBC=-1, 得 3-y 1-y =-1, -1 3 ∴y=0或y=4.即C为（0，0）或（0，4）. 故这样的点C有3个.
二、填空题（每题4分，共8分）
5.（2010·营口高一检测）已知过点A（-2,m)和B(m,4)的直
所以kAC·kAB=-1,即 即 1+1 m-1 =-1, 得m=3; 1-5 2-1 若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC=-1，
m+1 m-1 =-1, 得m=〒2. 2-5 2-1 综上可知，m=-7或m=3或m=〒2.
即
9.(10分)已知点A是x轴上的一动点，一条直线过点 M（2，3），且垂直于MA交y轴于点B，过A，B分别作x轴，y轴 的垂线交于点P，求点P的坐标(x,y)满足的关系式.
高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课时作业北师大版必修220180921171
2.1.3 两条直线的位置关系[学业水平训练]1.下列说法正确的是( )A ．如果两条直线平行，则它们的斜率相等B ．如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数C ．如果两条直线斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直D ．如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y 轴解析：选C.不论两直线平行还是垂直都要考虑两直线斜率不存在的情况，A 、B 忽略斜率不存在，D 忽略了直线与y 轴重合．2.若直线l 1的倾斜角为135°，直线l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，则直线l 1与l 2的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．平行或重合解析：选D.直线l 1的倾斜角为135°，所以kl 1＝tan 135°＝－1.k PQ ＝－6－（－1）3－（－2）＝－1， 所以l 1和l 2平行或重合．3.已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( )A ．0°B ．135°C ．90°D ．180°解析：选C.直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的斜率不存在，故其倾斜角为90°. 4.已知点A (m ，3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1，2)，D (1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1解析：选D.因为AB ∥CD ，所以m ＋4－32m －m ＝2－0m ＋1－1， 解得m ＝1.当m ＝0时，直线AB 为y 轴，直线CD 为x ＝1，两直线平行，故若两直线平行则m ＝0或1.5.若A (－4，2)，B (6，－4)，C (12，6)，D (2，12)，则下面结论正确的个数是( ) ①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③AC ⊥BD ；④AC ∥BD .A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由已知得，k AB ＝2＋4－4－6＝－35， k AC ＝6－212－（－4）＝14， k AD ＝12－22－（－4）＝53， k BD ＝12－（－4）2－6＝－4， k CD ＝12－62－12＝－35，所以AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD .6．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．解析：因为l 1的倾斜角为45°，则kl 1＝tan 45°＝1.又直线l 2∥l 1，所以a ＋13－（－2）＝1，解得a ＝4. 答案：47．过原点作直线l 的垂线，若垂足为(－2，3)，则直线l 的斜率是________．解析：过原点垂直于l 的垂线的斜率为k ＝－32， 则直线l 的斜率是23. 答案：238．已知直线l 1过点A (－2，3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1，0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是________．解析：由已知得k AB ＝m －34－（－2）＝m －36， k MN ＝m －4－1＝4－m . 因为AB ⊥MN ，所以m －36×(4－m )＝－1， 即m 2－7m ＋6＝0，解得m ＝1或m ＝6，经检验m ＝1或m ＝6适合题意．答案：1或69．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1，2)，直线l 2经过点C (1，2)，D (－2，a ＋2)．若l 1∥l 2，求a 的值．解：设直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则k 1＝2－a a －4，k 2＝2－（a ＋2）1－（－2）＝－a 3. 若l 1∥l 2，则2－a a －4＝－a 3，解得a ＝1或a ＝6， 经检验当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2.10．已知A (1，－1)，B (2，2)，C (3，0)三点，求点D 的坐标，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD . 解：设D (x ，y )，则k CD ＝yx －3，k AB ＝2＋12－1＝3，k CB ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1. ∵CD ⊥AB ，CB ∥AD ，∴k CD ·k AB ＝－1，k CB ＝k AD ， 即⎩⎪⎨⎪⎧yx －3·3＝－1，－2＝y ＋1x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即D (0，1)． [高考水平训练]1.过点P (1，4)和Q (a ，2a ＋2)的直线与直线2x －y －3＝0平行，则a 的值( )A ．a ＝1B ．a ≠1C ．a ＝－1D ．a ≠－1解析：选B.当a ＝1时，PQ 两点重合，不合题意，舍去；当a ≠1时，k PQ ＝2a ＋2－4a －1＝2，直线方程：y －4＝2(x －1)即2x －y ＋2＝0.2.已知点M (1，－3)，N (1，2)，P (5，y )，且∠NMP ＝90°，则log 8(7＋y )＝________． 解析：因为∠NMP ＝90°，所以MN ⊥MP .又因为M (1，－3)，N (1，2)，MN 垂直于x 轴，所以MP 平行于x 轴，所以y ＝－3，所以log 8(7＋y )＝log 8(7－3)＝log 84＝23. 答案：233.已知两定点A (2，5)，B (－2，1)，M 和N 是过原点的直线l 上的两个动点，且|MN |＝22，l ∥AB ，若直线AM 和BN 的交点C 在y 轴上，求M ，N ，C 点的坐标．解：因为A (2，5)，B (－2，1)，所以k AB ＝1.又l ∥AB ，所以k l ＝k AB ＝1，由l 过原点，得直线l 的方程为y ＝x .因为M ，N 在l 上，所以可设M (a ，a )，N (b ，b )， 由|MN |＝22得：（a －b ）2＋（a －b ）2＝22，所以|a －b |＝2，直线AM 的方程为：y －5＝a －5a －2(x －2)． 因为直线AM 在y 轴上的截距为3a a －2，所以C (0，3a a －2)． 又直线BN 的方程为y －1＝b －1b ＋2(x ＋2)，所以直线BN 在y 轴上的截距为3b b ＋2，所以C (0，3b b ＋2)， 则有3a a －2＝3b b ＋2，即a ＝－b . 于是⎩⎪⎨⎪⎧|a －b |＝2，a ＝－b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1， 所以M (1，1)，N (－1，－1)，C (0，－3)，或M (－1，－1)，N (1，1)，C (0，1)．4．直线l 的倾斜角为30°，点P (2，1)在直线l 上，直线l 绕点P (2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，且直线l 1与l 2平行，l 2是线段AB 的垂直平分线，A (1，m －1)，B (m ，2)，试求m 的值．解：因为直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.又直线AB 的斜率为m －1－21－m ＝m －31－m，所以AB 的垂直平分线l 2的斜率k 2＝m －1m －3. 因为直线l 1与l 2平行，所以k 1＝k 2， 即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.3 两条直线的位置关系练习 北师大版必修2
1.3 两条直线的位置关系A组1.下列直线中与直线x-y-1=0平行的是()A.x+y-1=0B.x-y+1=0C.ax-ay-a=0D.x-y+1=0或ax-ay-a=0解析:直线x-y+1=0显然与x-y-1=0平行,当a=1时,直线ax-ay-a=0与直线x-y-1=0重合,不合题意.答案:B2.与直线3x+4y-7=0垂直,并且在x轴上的截距为-2的直线方程是()A.4x-3y+8=0B.4x+3y+8=0C.4x-3y-8=0D.4x+3y-8=0解析:由题意可设所求直线方程为4x-3y+m=0,令y=0,得x=-,因此-=-2,解得m=8,故所求直线方程为4x-3y+8=0.答案:A3l1:2x+(λ+1)y-2=0,l2:λx+y-1=0,若l1∥l2,则λ的值是() A.-2 B.- C.-2或1 D.1解析:∵l1∥l2,∴2×1-(λ+1)λ=0,即λ2+λ-2=0,解得λ=-2或λ=1.当λ=1时,l1与l2重合,不符合题意.∴λ=-2.答案:A4.已知点A(1,2),B(3,1),线段AB的中点D,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y-5=0B.4x-2y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y-5=0解析:因为k AB==-,所以所求直线的斜率为2.又线段AB的中点D为,所以线段AB的垂直平分线方程为y-=2(x-2),即4x-2y-5=0.答案:B5.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是()A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对解析:由斜率公式可得k AB=k CD=,而k AD=-3,k BC=-.所以AB∥CD,且AD与BC不平行.所以四边形ABCD为梯形.又k AD·k AB=-1,则AD⊥AB,所以四边形ABCD为直角梯形.答案:B6.已知A(3,),B(2,0),直线l与AB平行,则直线l的倾斜角为.解析:由已知得k AB=,因此k l=k AB=.因为tan 60°=,所以直线l的倾斜角为60°.答案:60°7P(0,-1),点Q在直线x-y+1=0上,若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0,则点Q的坐标是.解析:依题意设点Q的坐标为(a,b),则有解得故点Q的坐标为(2,3).答案:(2,3)8.已知l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0,下列说法中正确的是(填序号即可).①若l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0②若l1⊥l2,则=-1③若A1A2+B1B2=0,则l1⊥l2④若=-1,则l1⊥l2.解析:当B1,B2均不为0时,由两条直线垂直可得-=-1,即A1A2+B1B2=0;当B1=0,A2=0或A1=0,B2=0时,两条直线也垂直,并满足A1A2+B1B2=0.由此可知①③④正确,②错.答案:①③④9.(1)求与直线5x+3y-10=0平行且与x轴的交点到原点的距离为2的直线方程;(2)求经过点(0,2)且与直线l:2x-3y-3=0垂直的直线方程.解:(1)设直线方程为5x+3y+m=0(m≠-10).因为直线与x轴的交点到原点的距离为2,且直线与x轴的交点为,所以=2,解得m=±10.又因为m≠-10,所以m=10,所以直线方程为5x+3y+10=0.(2)因为所求直线与直线l:2x-3y-3=0垂直,所以可设所求直线的方程为3x+2y+m=0.又因为所求直线过点(0,2),所以4+m=0,解得m=-4,故所求直线的方程为3x+2y-4=0.10.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点.(1)求点D,使直线CD⊥AB,且BC∥AD;(2)判断此时四边形ACBD的形状.解:(1)如图所示,设D(x,y),则由CD⊥AB,BC∥AD,可知得解得即点D坐标为(0,1).(2)∵k AC=,k BD=,∴k AC=k BD.∴AC∥BD,∴四边形ACBD为平行四边形.而k BC==-2,∴k BC·k AC=-1.∴AC⊥BC,∴四边形ACBD是矩形.又DC⊥AB,∴四边形ACBD是正方形.B组1.已知直线x+3y-7=0,kx-y-2=0与x轴,y轴围成的四边形有外接圆,则实数k等于()A.-3B.3C.-6D.6解析:因四边形有外接圆,且x轴与y轴垂直,则直线x+3y-7=0和kx-y-2=0垂直,∴k·=-1,解得k=3.答案:B2.导学号62180104若过点A(-2,2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为()A.-1B.3C.2D.解析:由已知k AB=k PQ,得,解得m=3,故选B.答案:B3.已知直线l1:mx+4y-2=0与l2:2x-5y+n=0互相垂直且垂足为(1,p),则m-n+p的值为()A.24B.20C.0D.-8解析:因为l1⊥l2,所以2m+4×(-5)=0,解得m=10,又点(1,p)在l1上,所以10+4p-2=0,即p=-2,因为点(1,p)在l2上,所以2×1-5p+n=0,得n=-12.所以m-n+p=10-(-12)+(-2)=20.答案:B4.(辽宁高考)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析:若△OAB为直角三角形,则∠A=90°或∠B=90°.当∠A=90°时,有b=a3;当∠B=90°时,有=-1,得b=a3+.故(b-a3)=0,选C.答案:C5.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且直线l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于.解析:依题意知,直线l的斜率为k=tan 135°=-1,则直线l1的斜率为1,于是有=1,所以a=0.又直线l2与l1平行,所以1=-.即b=-2,所以a+b=-2.答案:-262x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程为.解析:所求直线与直线2x+3y+5=0平行,则其斜率为-,可设直线方程为y=-x+b,令y=0,得x=b,由题意可得b+b=,解得b=,所以所求直线的方程为y=-x+,即2x+3y-4=0.答案:2x+3y-4=07.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=. 解析:设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3⊥l1或l3⊥l2.由l3⊥l1得2×m=-1,∴m=-;由l3⊥l2得1×m=-1,∴m=-.答案:-或-8.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的点P的坐标.(1)∠MOP=∠OPN(O为坐标原点);(2)∠MPN是直角.解:设P(x,0),(1)∵∠MOP=∠OPN,∴MO∥PN,∴k OM=k NP,又k OM==1,k NP=.∴=1,解得x=7,即点P为(7,0).(2)∵∠MPN=90°,∴MP⊥NP,∴k MP·k NP=-1.∵k MP=,k NP=,∴=-1,解得x=1或x=6.∴P为(1,0)或(6,0).9.如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直?解:如图所示,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m.由|AD|=5 m,|AB|=3 m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0),∵AC⊥DM,∴k AC·k DM=-1,即=-1,解得x=.故当|BM|=3.2 m时,两条小路AC与DM互相垂直.。
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修二《两条直线的位置关系》课时提高训练及解析
2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二1.3 两条直线的位置关系问题导学1．由两条直线平行求参数值 活动与探究1已知直线l 1：(m ＋2)x ＋(m 2－3m )y ＋4＝0，l 2：2x ＋4(m －3)y －1＝0，如果l 1∥l 2，求m 的值．迁移与应用已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，求a 的值．1．已知两直线平行，求方程中的参数值时，通常有两种方法：一是对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况分别求解；二是直接根据条件A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1进行求解．2．求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除它们重合的情况．2．利用两直线平行求直线方程 活动与探究2求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程． 迁移与应用求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程． (1)A (1,2)，y ＝23x ＋53；(2)B (2，－3),2x ＋y －5＝0.平行直线的求法：(1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值．(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．3．由两条直线垂直求参数值 活动与探究3已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，求a 的值． 迁移与应用1．已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2：(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．22．过点P (6，m )和点Q (m,3)的直线与斜率为－2的直线垂直，则m 的值为( )． A ．5 B ．4 C ．9 D ．01．判断两直线是否垂直的方法：(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0判断； (2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1判断； (3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断． 2．已知两直线垂直求方程中的参数值时，通常也有两种方法，一是根据k 1k 2＝－1建立方程求解，但需注意斜率不存在的情况；二是直接利用A 1A 2＋B 1B 2＝0求解．4．利用两直线垂直求直线方程 活动与探究4直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，求直线l 的方程． 迁移与应用如图，在平行四边形OABC 中，点A (3,0)，点C (1,3)．(1)求AB 所在直线的方程；(2)过点C 作CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程．垂直直线的求法：(1)求与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可巧设为y ＝－1kx ＋m ，然后通过待定系数法，求参数m 的值；(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)垂直的直线时，可巧设为Bx －Ay ＋m ＝0，然后用待定系数法，求出m .当堂检测1．若直线2ay －1＝0与直线(3a －1)x ＋y －1＝0平行，则实数a 等于( )．A ．12B ．－12C ．13D ．－132．下列各选项中，两条直线互相平行的是( )． A ．2x ＋y －1＝0与x ＋2y －2＝0 B ．x ＋3y －2＝0与3x ＋9y －6＝0 C ．x ＋2＝0与y －3＝0 D ．3x ＋y ＝0与6x ＋2y －1＝03．若两条直线ax ＋2y ＝0和2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为( )． A ．－12 B ．12C ．0D ．－24．过点(2,1)且与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的直线方程为__________．5．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －2)y ＋a ＝0，求满足下列条件的a 的值： (1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案： 课前预习导学 预习导引1．(1)k 1＝k 2 k 1＝k 2 (2)90°预习交流1 提示：不一定，有可能两直线的斜率不存在．预习交流2 提示：当B 1，B 2均不为0时，两直线斜率都存在，分别是－A 1B 1和－A 2B 2，因此－A 1B 1＝－A 2B 2，所以A 1B 2＝A 2B 1.若B 1，B 2中有0，两直线平行，也满足A 1B 2＝A 2B 1，又两直线不能重合，截距不相等，因此－C 1B 1≠－C 2B 2，即B 1C 2≠B 2C 1，故两条直线平行的条件是A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1.2．－1 －1 l 1⊥l 2预习交流3 提示：(1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在；(2)使用时应注意l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1的前提条件是：l 1与l 2都有斜率且不等于零．若忽略此前提条件，容易导致错误结论．预习交流4 提示：当B 1，B 2均不为0时，由两直线垂直可得－A 1B 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A 2B 2＝－1，即A 1A 2＋B 1B 2＝0；当B 1＝0，A 2＝0或A 1＝0，B 2＝0时，两直线也垂直，并满足A 1A 2＋B 1B 2＝0.综上，l 1⊥l 2的条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.课堂合作探究 问题导学活动与探究1 思路分析：一种方法是对直线斜率是否存在进行讨论，分两种情况进行求解；另一种方法是直接利用一般式方程表示直线的前提下，由两直线平行的条件建立参数的方程求解．解：(方法1)(1)当l 1，l 2斜率都存在时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ≠0，4(m －3)≠0，所以m ≠0且m ≠3. 由l 1∥l 2，得－m ＋2m 2－3m ＝－24(m －3)，解得m ＝－4. 此时l 1：x －14y －2＝0，l 2：x －14y －12＝0，显然，l 1与l 2不重合，满足条件．(2)当l 1，l 2斜率不存在时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，4(m －3)＝0，解得m ＝3.此时l 1：x ＝－45，l 2：x ＝12，满足条件．综上所述，m ＝－4或m ＝3.(方法2)由于l 1∥l 2，所以(m ＋2)×4(m －3)＝(m 2－3m )×2， 整理得m 2＋m －12＝0，解得m ＝－4或m ＝3.当m ＝－4时，两直线为：x －14y －2＝0和x －14y －12＝0，满足条件；当m ＝3时，两直线为：x ＝－45和x ＝12，满足条件．故m 的值是－4或3.迁移与应用 解：当a ＝0时，显然两直线不平行． 当a ≠0时，由－a －2a ＝－23，得a ＝6. 活动与探究2 思路分析：根据条件，求出已知直线的斜率，再由两直线平行，斜率相等，可求出所求直线的方程，也可以用平行直线系的知识，设出直线方程，用待定系数法求解．解：方法一：已知直线的斜率为－23，∵所求直线与已知直线平行，∴它的斜率也是－23.根据点斜式，得到所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.方法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)， ∵所求直线经过点A (1，－4)， ∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.迁移与应用 解：(1)设所求直线方程为y ＝23x ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ≠53， 由于所求直线过点A (1,2)，代入方程，得b ＝43，故所求直线方程为y ＝23x ＋43，即2x －3y ＋4＝0.(2)设所求直线方程为2x ＋y ＋λ＝0(λ≠－5)． 将点(2，－3)代入上式，得λ＝－1. 因此所求直线方程为2x ＋y －1＝0.活动与探究3 思路分析：已知两直线垂直，可利用k 1·k 2＝－1，但要注意分类讨论；也可利用以下结论：设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.解：方法一：(1)当a ≠0时，l 1的斜率k 1＝a ，l 2的斜率k 2＝－2a －1a.∵l 1⊥l 2，∴a ·⎝⎛⎭⎪⎫－2a －1a＝－1， 即a ＝1.(2)当a ＝0时，直线l 1的斜率为0，l 2的斜率不存在，两直线垂直． 综上所述，a ＝0或a ＝1.方法二：∵A 1＝a ，B 1＝－1，A 2＝2a －1，B 2＝a ， ∴由A 1A 2＋B 1B 2＝0， 得a (2a －1)－a ＝0， 即a ＝0或a ＝1.迁移与应用 1．A 解析：依题意得a (a ＋2)＋1＝0，解得a ＝－1. 2．B 解析：由已知得k PQ ＝3－m m －6，所以3－mm －6×(－2)＝－1，解得m ＝4.活动与探究4 思路分析：求出l 的斜率，再利用点斜式求直线方程，也可以用待定系数法求解．解：方法一：直线2x －3y ＋4＝0的斜率k ′＝23，由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直可得其斜率k ＝－32.由直线的点斜式方程可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.方法二：设直线l 的方程为－3x －2y ＋D ＝0，因为直线l 过点(－1,2)，代入方程，得D ＝1.所以直线l 的方程为－3x －2y ＋1＝0，即3x ＋2y －1＝0. 迁移与应用 解：(1)由题意知B 点坐标为(4,3)，k AB ＝3－04－3＝3， ∴AB 所在直线的方程为y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0. (2)∵CD ⊥AB ，∴k CD ＝－13，∴CD 所在直线的方程为y －3＝－13(x －1)，即x ＋3y －10＝0.当堂检测1．C 2．D 3．A 4．x －2y ＝05．解：(1)对于l 1：y ＝－a 3x －13，若l 1∥l 2，则kl 2存在． ∴y ＝－1a －2x －aa －2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 3＝－1a －2，13≠aa －2，解得a ＝3.(2)若l 1⊥l 2，则kl 2也存在． ∴y ＝－1a －2x －aa －2.∴－a 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －2＝－1，解得a ＝32.。
(北师大版)高中数学必修2检测2.1.3两条直线的位置关系 Word版含解析
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．如果直线的斜率为，⊥，则直线的斜率为( )．．－或不存在．－解析：若＝，则的斜率不存在；若≠，则的斜率为－.答案：．已知直线：＋(λ＋)－＝，：λ＋－＝，若∥，则λ的值是( )．－．－．－或．解析：因∥，且的斜率存在，故－＝－λ.解得λ＝－或λ＝.因为当λ＝时两直线重合，故λ＝－.答案：．直线过点(－)且与直线－＋＝垂直，则的方程是( )．＋＋＝．＋－＝．－＋＝．－＋＝解析：直线－＋＝的斜率为＝.∴＝－.又过点(－)，故的方程为－＝－(＋)，化简得＋－＝.答案：．已知(－)，()，()，则△的边上的高所在直线方程为( )．－＋＝．＋＝．＋＋＝．－＝解析：＝＝－，∴高所在直线斜率为，∴方程为－＝×(＋)，即－＋＝.答案：二、填空题(每小题分，共分)．直线与直线－＝平行，且直线在轴上的截距比在轴上的截距大，则直线的方程为．解析：由题意知直线的斜率＝，设直线的方程为＝＋.令＝，得＝－.∴－－＝，解得＝－.∴直线的方程为＝－，即－－＝.答案：－－＝．点(，－)关于直线＋－＝的对称点的坐标是．解析：设关于直线＋－＝的对称点为′(，)，则直线＋－＝是线段′的垂直平分线，于是′的中点在直线上，且′＝.∴(\\((＋)＋(－)－＝，,(＋－)＝，))解得(\\(＝，＝.))答案：()三、解答题(每小题分，共分)．平行于直线＋－＝的直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的方程．解析：依题意，可设的方程为＋＋＝.它与，轴的交点分别为，.由已知条件得：·＝，∴＝，∴＝±，∴直线的方程为＋±＝.．已知点()，(，－)，点在轴上，分别求满足下列条件的点坐标．()∠＝∠(是坐标原点)；()∠是直角．解析：设()，()∵∠＝∠，∴∥.∴＝.又＝＝，＝＝(≠)，∴＝，∴＝，即()．()∵∠＝°，∴⊥，∴·＝－.＝(≠)，＝(≠)，∴×＝－，解得＝或＝，即()或()．☆☆☆．(分)已知(，－)，()，()三点．()求点，使直线⊥，且∥；()判断此时四边形的形状．解析：()如图，设(，)，则由⊥，∥可知(\\(·＝－，＝，))得(\\((－)·(＋－)＝－，,(－－)＝(＋－)，))解得(\\(＝，＝，))即点坐标为()．()∵＝＝，＝＝，∴＝，∴∥.∴四边形为平行四边形．而＝＝－，。
高中数学北师大必修2课时跟踪检测(十七) 两条直线的位置关系 Word版含解析
课时跟踪检测（十七）两条直线的位置关系层级一学业水平达标．直线，的斜率是方程－－＝的两根，则与的位置关系是( )．平行．重合．相交但不垂直．垂直解析：选设，的斜率分别为，，则·＝－.故两条直线垂直．．已知过点(－，)和()的直线与－－＝平行，则的值为( )．．．解析：选由题意＝＝，得＝.．下列说法中，正确的是( )．若直线与的斜率相等，则∥．若直线与互相平行，则它们的斜率相等．直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与一定相交．若直线与的斜率都不存在，则∥解析：选若与中一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与不平行，故与一定相交．．过点(－)，且平行于直线－＋＝的直线方程为( )．－＋＝．＋－＝．－－＝．＋－＝解析：选由点斜式－＝(＋)，得－＋＝，故选.．平行于直线＋－＝，且不过第一象限的直线的方程是( )．＋＋＝．＋＋＝．＋－＝．＋－＝解析：选平行于直线＋－＝的直线具有形式＋＋＝，故排除、.但选项中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选.．若(－)，(，－)，()，()，给出下面四个结论：①∥；②⊥；③∥；④⊥.其中正确的是．(把正确选项的序号填在横线上)解析：∵＝－，＝－，＝，＝－，∴∥，⊥.答案：①④．与直线－＋＝平行且纵截距为的直线的方程为．解析：设直线的方程为－＋＝，令＝，＝＝，得＝，故所求的直线方程为－＋＝.答案：－＋＝．已知()，(－，－)，()，则△的边上的高所在的直线方程为．解析：＝＝，∴边上的高所在直线的斜率＝－，∴所求直线方程为－＝－(－)，即＋－＝.答案：＋－＝．已知点(－)，()，以为直径的圆与轴交于点，求点的坐标．解：设()，∵是以为直径的圆与轴的交点，∴⊥，∴·＝－，即×＝－，∴－＋＝，∴＝或＝，∴()或()．．已知(－)，()，()，(－)四点，若顺次连接，，，四点，试判定图形的形状．解：由题意知，，，四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得，＝＝，＝＝，＝＝－，＝＝－.所以＝，由图可知与不重合，所以∥.由≠，所以与不平行．又因为·＝×(－)＝－，所以⊥，故四边形为直角梯形．层级二应试能力达标．已知直线的倾斜角为°，直线过点()，(－，－)，则与的位置关系是( )．平行．相交但不垂直．垂直．平行或重合解析：选∵的倾斜角为°，∴＝°＝，又∵过点()，(－，－)，∴＝＝，∴＝，∴与平行或重合，故选.．已知直线－＋＋＝与直线－－＝，则两直线的位置关系是( )．重合．平行．垂直．相交解析：选设两直线的斜率分别为，，在轴上的截距分别是，，则＝，＝，＝－，＝－，因为＝，≠，所以两直线平行．。
高中北师大版数学必修2：第2章1.3 两条直线的位置关系
1．3 两条直线的位置关系时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．下列命题中，正确的是( )A ．斜率相等的两条直线一定平行B ．若两条不重合的直线l 1，l 2平行，则它们的斜率一定相等C ．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝2不平行D ．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3平行★答案☆：D解析：A 错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B 错误，当两条不重合的直线l 1，l 2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C 错误，直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D 正确，由于直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的斜率分别为k 1＝1－2，k 2＝－12＋1＝1－2，则k 1＝k 2，所以l 1∥l 2. 2．由三条直线l 1：2x －y ＋2＝0，l 2：x －3y －3＝0和l 3：6x ＋2y ＋5＝0围成的三角形是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形★答案☆：A解析：kl 2＝13，kl 3＝－3，∴kl 2·kl 3＝－1，∴l 2⊥l 3. 3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m 的值是( )A ．－8B ．0C ．2D ．10★答案☆：A解析：由题意可知k AB ＝4－m m ＋2＝－2，所以m ＝－8. 4．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(6，y )，且l 1⊥l 2，则y ＝( )A ．－2B ．1C ．2D ．4★答案☆：B解析：因为l 1⊥l 2，且直线l 1的斜率k 1不存在，所以直线l 2的斜率k 2＝0，则y ＝1.5．下列直线中，与己知直线y ＝－43x ＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( ) A ．3x ＋4y ＋7＝0 B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0★答案☆：B解析：先看斜率，A 、D 选项中斜率为－34，排除掉；再看纵截距，要使纵截距小于0，才能使直线不过第一象限，只有B 选项符合．6．已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别是直线l 上和直线l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．与l 重合的直线B ．过点P 1且与l 垂直的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2但与l 平行的直线★答案☆：C解析：设f (x ，y )＝ax ＋by ＋c ＝0，则f (x 1，y 1)＝0，而f (x 2，y 2)＝m ≠0，则f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0可定为ax ＋by ＋c －m ＝0，显然与l 平行，且过点(x 2，y 2)．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知在平行四边形ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)，则点D 的坐标为________． ★答案☆：(－1,6)解析：设D (a ，b )，由平行四边形ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝6，所以D (－1,6)． 8．已知直线l 过点(－2，－3)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________． ★答案☆：3x ＋2y ＋12＝0解析：直线2x －3y ＋4＝0的斜率为23，又直线l 与该直线垂直，所以直线l 的斜率为－32.又直线l 过点(－2，－3)，因此直线l 的方程为y －(－3)＝－32×[x －(－2)]，即3x ＋2y ＋12＝0.9．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1,0)，B (0,2)，C (a,0)，若AB ⊥BC ，则a ＝________.★答案☆：4解析：因为k AB ＝2－00－(－1)＝2，所以直线BC 的斜率存在，且k BC ＝0－2a －0＝－2a .由2·⎝⎛⎭⎫－2a ＝－1，得a ＝4.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0与直线l 2：(3a －1)x －ay －1＝0平行，求实数a 的值． 解：①当a ＝0时，两直线的斜率不存在，直线l 1：x －1＝0，直线l 2：x ＋1＝0，此时l 1∥l 2，满足题意．②当a ≠0时，l 1：y ＝－12a x ＋12a ，l 2：y ＝3a －1a x －1a， 直线l 1的斜率为k 1＝－12a ，直线l 2的斜率为k 2＝3a －1a， 又两直线平行，则⎩⎨⎧ －12a ＝3a －1a 12a ≠－1a ，解得a ＝16. 综上，可得a ＝0或16. 11．已知直线l 1：(m ＋2)x ＋(m ＋3)y －5＝0和l 2：6x ＋(2m －1)y ＝5.求满足下列条件的实数m 的值．(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)由(m ＋2)(2m －1)＝6(m ＋3)，得m ＝4或m ＝－52. 当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y －5＝0，即l 1与l 2重合；当m ＝－52时，l 1：－12x ＋12y －5＝0，l 2：6x －6y －5＝0，即l 1∥l 2. ∴当m ＝－52时，l 1∥l 2. (2)由6(m ＋2)＋(m ＋3)(2m －1)＝0，得m ＝－1或－92. ∴当m ＝－1或－92时，l 1⊥l 2. 12．已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋b ＝0. ①又l 1过点(1,1)，∴a ＋b ＝0. ②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2. 当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去．∴a ＝2，b ＝－2.(2)∵l 1∥l 2，∴a －b (a －1)＝0， ③由题意知a >0，b >0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫4a ，0，⎝⎛⎭⎫0，4b .则12×4a ×4b＝2， 得ab ＝4， ④由③④，得a ＝2，b ＝2.。
北师大版数学高一必修二练习两条直线的位置关系(一)
2．1.3 两条直线的平行与垂直第一课时一、基础过关1． 已知点A (1,2)，B (m,1)，直线AB 与直线x ＝0平行，则m 的值为________．2． 两直线2x －y ＋k ＝0和4x －2y ＋1＝0的位置关系是____________．3． 下列说法中正确的有________．①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行．4． 若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则m ＝________.5． 直线Ax ＋4y －1＝0与直线3x －y －C ＝0重合，则A ＝________，C ＝________.6． 若直线mx ＋4y －1＝0与直线x ＋my －3＝0不平行，则实数m 的取值范围是___________．7． 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：(1)(－1,2)，y ＝12x ＋1； (2)(1，－4)，2x ＋3y ＋5＝0.8． 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2.二、能力提升9． 设集合A ＝{(x ，y )|y －3x －1＝2}，B ＝{(x ，y )|4x ＋ay －16＝0}，若A ∩B ＝∅，则a 的值为__________．10．P 1(x 1，y 1)是直线l ：f (x ，y )＝0上一点，P 2(x 2，y 2)是直线l 外一点，则方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0所表示的直线与l 的关系是________．11．已知直线l 1：(m ＋3)x ＋y －3m ＋4＝0，l 2：7x ＋(5－m )y －8＝0，问当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．12．求与直线3x ＋4y ＋9＝0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程．三、探究与拓展13．是否存在m ，使得三条直线3x －y ＋2＝0,2x ＋y ＋3＝0，mx ＋y ＝0能够构成三角形？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案1．12．平行或重合3．③4．－235．－12 －146. m ≠±27．解 (1)因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为y ＝12x ＋b .由于所求直线过点(－1,2)，代入方程，得b ＝52.因此所求方程为y ＝12x ＋52.即x －2y ＋5＝0. (2)设所求的直线方程为2x ＋3y ＋D ＝0.由于所求直线过点(1，－4)，代入方程，得D ＝10，因此，所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.8．解 (1)∵m 2－8＋n ＝0且2m －m －1＝0，∴m ＝1，n ＝7.(2)由m ·m －8×2＝0，得m ＝±4.由8×(－1)－n ×m ≠0，得n ≠∓2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.9. 4或－210．平行11．解 当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0.显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行．当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m ，∴m ＝－2.∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行．12．解 ∵直线3x ＋4y ＋9＝0的斜率为－34，∴设所求直线方程为y ＝－34x ＋b ， 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝4b 3， 由题意，b >0，4b 3>0，∴b >0， ∴12×b ×4b 3＝24，∴b ＝6， 故所求直线方程为y ＝－34x ＋6，即3x ＋4y －24＝0. 13．解 存在能够使直线mx ＋y ＝0,3x －y ＋2＝0,2x ＋y ＋3＝0构成三角形的m 值有无数个，因此我们考虑其反面情况，即三条直线不能构成三角形，有两种可能：有两条直线平行，或三条直线过同一点．由于3x －y ＋2＝0与2x ＋y ＋3＝0相交，且交点坐标为(－1，－1)，因此，mx ＋y ＝0与3x －y ＋2＝0平行时，m ＝－3；mx ＋y ＝0与2x ＋y ＋3＝0平行时，m ＝2；mx ＋y ＝0过3x －y ＋2＝0与2x ＋y ＋3＝0的交点时，m ＝－1.综上所述，三条直线不能构成三角形时，m ＝－3或m ＝2或m ＝－1.满足题意的m 值为{m |m ∈R 且m ≠－3且m ≠2且m ≠－1}．。
高中数学：两条直线的位置关系 课时训练 北师大必修
第二章 解析几何初步第1.3节 两条直线的位置关系1、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by-c=0，则ab=1是l 1||l 2的A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是A m=1B m=±1C ⎩⎨⎧-≠=11n mD ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 3、直线xsin α+ycos α+1=0与xcos α-ysin α+2=0直线的位置关系是A 平行B 相交但不垂直C 相交垂直D 视α的取值而定4、已知P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a ≠b-1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是A x+y=0B x-y=0C x+y-1=0D x-y+1=05、已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1,p)，则m-n+p=A 24B 20C 0D -46、与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为10/3的直线的方程为____ __；7、与直线2x-y+4=0的夹角为450，且与这直线的交点恰好在x 轴上的直线方程为 ；8、直线过点A （1，)33且与直线x-y 3=0成600的角，则直线的方程为 。
参考答案1、C ；2、D 111n m m -≠=； 3、C (1)0cos 0sin ==αα或(2)1sin cos cos sin -=-•αααα； 4、D 解：111-=---+=ab b a K PQ 又对称轴通过PQ 的中点(x 0,y 0),由中点公式可得⎪⎩⎪⎨⎧++=-+=212100b a y b a x ，利用点斜式可得 5、B 解：利用121-=k k 得m=10和⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+-=-+122052024n p n p p m ； 6、2x+3y-4=0;7、3x+y+6=0 或x-3y+2=08、x+3y-2=0或x=1。
2020学年高中数学课时训练(十七)两条直线的位置关系北师大版必修2(2021-2022学年)
课时跟踪检测(十七）两条直线的位置关系一、基本能力达标1．直线l1,l2的斜率是方程x２－3x-1=0的两根,则ｌ1与l2的位置关系是（)A．平行B．重合Ｃ．相交但不垂直ﻩＤ．垂直解析：选D 设l1,l２的斜率分别为ｋ1,k2,则k1·k2＝-1。
故两条直线垂直.2.已知直线l1：x＋my＋６=０和ｌ2：mx+４y+2＝0互相平行，则实数m的值为( )A．－２B．２C．±2 D.2或４解析:选Ｃ因为直线l2的斜率存在，故当l1∥l２时,直线l1的斜率也一定存在,所以－错误!＝－错误!,解得ｍ=±2.3.下列说法中,正确的是（ )Ａ.若直线l1与l２的斜率相等,则l1∥l2B.若直线l1与l２互相平行，则它们的斜率相等Ｃ.直线l１与l2中,若一条直线的斜率存在,另一条直线的斜率不存在，则l１与ｌ2一定相交D.若直线l1与ｌ2的斜率都不存在,则l1∥l2解析：选Ｃ若l1与l2中一条直线的斜率存在,另一条直线的斜率不存在,则l1与l2不平行,故l１与ｌ2一定相交.4．过点(-1,3）,且平行于直线x－2y+3＝0的直线方程为( ）Ａ.x-２ｙ＋7＝0 ﻩB．２ｘ+y－１=０C．ｘ-２ｙ－５=0 ﻩ D.2x＋y-５＝0解析：选Ａ由点斜式ｙ－3=错误!(x+1),得x-2ｙ＋7=０,故选Ａ.5．平行于直线4x＋3y-3＝0，且不过第一象限的直线的方程是（）A.３x＋４y＋7=0 ﻩB.4x+3y+7=０C.4x＋3y－42＝0D.3x+4y-42＝0解析:选Ｂ平行于直线4x+3y-3＝0的直线具有形式４ｘ＋3y＋ｃ＝０,故排除A、Ｄ。
但选项C 中直线的截距为正,直线过第一象限,不符合条件,故应选B.6.若A（-４,2）,B(6，－4），C（12,６),Ｄ(2，１2）,给出下面四个结论:①ＡB∥ＣＤ；②A Ｂ⊥CD;③ＡC∥BD;④AＣ⊥BD．其中正确的是________．（把正确选项的序号填在横线上)解析：∵k AB＝－＼f（３，5)，k CD=－3５，k AC＝＼f(1,４）,k BD＝-4，∴AB∥CＤ，ＡＣ⊥ＢＤ.答案：①④7．与直线3x－2y+6＝0平行且纵截距为9的直线l的方程为_＿_____＿．解析:设直线l的方程为３ｘ-２y＋b=０,令x=0,y=＼f(b，2)=９，得b=18,故所求的直线方程为3x-2y＋1８＝０。
2018-2019数学北师大版必修2作业：第二章 1.3 两条直线的位置关系
2018-2019数学北师大版必修2作业：第二章 1.3 两条直线的位置关系0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 3．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0解析：选B.因为k AB ＝2－11－3＝－12， 所以所求直线的斜率为2.又线段AB 的中点为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，32， 故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y －5＝0.4．已知点A (m ，3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1，2)，D (1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1解析：选D.因为AB ∥CD ，所以m ＋4－32m －m ＝2－0m ＋1－1，解得m ＝1.当m ＝0时，直线AB 为y 轴，直线CD 为x ＝1，两直线平行，故若两直线平行则m ＝0或1.5．已知点A (2，3)，B (－2，6)，C (6，6)，D (10，3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选 B.如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34， 所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316， 故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．6．已知直线l 1：2x ＋(λ＋1)y －2＝0，l 2：λx ＋y －1＝0，若l 1∥l 2，则λ的值是________．解析：因为l 1∥l 2，所以2×1－(λ＋1)λ＝0，即λ2＋λ－2＝0，解得λ＝－2或λ＝1. 当λ＝1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 所以λ＝－2.答案：－27．已知直线l 1过点A (－2，3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1，0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是________．解析：由已知得k AB ＝m －34－（－2）＝m －36， k MN ＝m －4－1＝4－m . 因为AB ⊥MN ，所以m －36×(4－m )＝－1， 即m 2－7m ＋6＝0，解得m ＝1或m ＝6，经检验m ＝1或m ＝6适合题意．答案：1或68．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：依题意设点Q 的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝0，b ＋1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－1， 解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.故点Q 的坐标为(2，3)． 答案：(2，3)9．已知定点A (－1，3)，B (4，2)，以A ，B 为直径作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．解：因为以线段AB 为直径的圆与x 轴相交于点C ，所以AC ⊥CB .据题设条件可知AC 与BC 的斜率均存在(如图)，设C (x ，0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4. 所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，解得x ＝1或2.所以C (1，0)或C (2，0)．10．已知在▱ABCD 中，A (1，2)，B (5，0)，C (3，4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5.解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝6.所以D (－1，6)．(2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， 所以k AC ·k BD ＝－1.所以AC ⊥BD .所以▱ABCD 为菱形．[B.能力提升]1．已知点A (－2，－5)，B (6，6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0，7)C ．(0，－6)或(0，7)D ．(－6，0)或(7，0)解析：选C.由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1， 故y ＋52·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－y －66＝－1， 解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0，7)．2．顺次连接A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点所组成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对解析：选B.观察知连接后各边所在直线斜率都存在．因为k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，所以AB ∥CD .又k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12，所以AD 与BC 不平行，且AD ⊥CD .所以四边形ABCD 为直角梯形．3．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2，1)且与经过点(－2，1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为________．解析：由题意知两直线的斜率均存在，且直线l 与斜率为－23的直线垂直，则直线l 的斜率为32，于是32＝1－（－1）（－a －2）－（a －2）＝2－2a＝－1a ，解得a ＝－23. 答案：－234．已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时k ＝18. 答案：185．已知A (－m －3，2)，B (－2m －4，4)，C (－m ，m )，D (3，3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得 k AB ＝4－2－2m －4－（－m －3）＝2－（m ＋1）， k CD ＝3m ＋2－m3－（－m ）＝2（m ＋1）m ＋3.因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.6．(选做题)直线l 的倾斜角为30°，点P (2，1)在直线l 上，直线l 绕点P (2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，且直线l 1与l 2平行，l 2是线段AB 的垂直平分线，A (1，m －1)，B (m ，2)，试求m 的值．解：因为直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°， 所以直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.又直线AB 的斜率为m －1－21－m ＝m －31－m， 所以AB 的垂直平分线l 2的斜率k 2＝m －1m －3. 因为直线l 1与l 2平行，所以k 1＝k 2， 即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。
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【课堂新坐标】（教师用书）2017-2018学年高中数学 2.1.3 两条直
线的位置关系课时训练 北师大版必修2
一、选择题
1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )
A ．x －2y －1＝0
B ．x －2y ＋1＝0
C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋2y －1＝0
【解析】 过点(1,0)且斜率为12的直线方程为y ＝12
(x －1)即x －2y －1＝0. 【答案】 A
2．两直线2x －a 2y －3＝0与ax －2y －1＝0互相垂直，则( )
A ．a ＝0
B ．a ＝－1
C ．a ＝0或a ＝－1
D ．不存在 【解析】 由2·a ＋(－a 2)·(－2)＝0得a 2＋a ＝0，
∴a ＝0或a ＝－1.
【答案】 C
3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( )
A ．0
B ．－8
C ．2
D ．10
【解析】 因为直线2x ＋y －1＝0的斜率是－2，
所以，若两直线平行，则有－2＝
4－m m －－，
解得m ＝－8.
【答案】 B
4．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2过点A (1,2)，B (－5，－4)，则l 1与l 2的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交但不垂直
C ．垂直
D ．平行或重合 【解析】 ∵l 1的倾斜角为45°，∴k 1＝tan 45°＝1，
又∵l 2过点A (1,2)，B (－5，－4)，
∴k 2＝2－－1－－＝66
＝1， ∴k 1＝k 2，∴l 1与l 2平行或重合，故选D.
【答案】 D
5．(2018·合肥高一检测)以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．以A 点为直角顶点的直角三角形
D ．以B 点为直角顶点的直角三角形
【解析】 ∵k AB ＝－23，k AC ＝32
， ∴k AB ·k AC ＝－1，即AB ⊥AC .
【答案】 C
二、填空题
6．(2018·海淀高一检测)若直线l 经过点(1,2)且与直线2x ＋y －1＝0平行，则直线l 的方程为________．
【解析】 由已知得直线l 的斜率为－2，则方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.
【答案】 2x ＋y －4＝0
7．若直线l 1：2x －5y ＋20＝0，l 2：mx －2y －10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为______．
【解析】 l 1、l 2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l 1⊥l 2，
即2m ＋10＝0，∴m ＝－5.
【答案】 －5
8．已知A (3,1)，B (－1，－1)，C (2,1)，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程为________．
【解析】 k BC ＝1－－2－－＝23
， ∴BC 边上的高所在直线的斜率k ＝－32
， ∴所求直线方程为y －1＝－32
(x －3)，即3x ＋2y －11＝0. 【答案】 3x ＋2y －11＝0
三、解答题
9．求经过点A (2,1)且与直线2x ＋ay －10＝0垂直的直线l 的方程．
【解】 设直线l 的方程为ax －2y ＋m ＝0.
∵直线l 经过A (2,1)，
∴2a －2＋m ＝0，m ＝2－2a ，
即直线l 的方程为ax －2y ＋2－2a ＝0.
10．已知点A (－1,3)，B (4,2)，以AB 为直径的圆与x 轴交于点M ，求点M 的坐标．
【解】 设M (x,0)
∴M 是以AB 为直径的圆与x 轴的交点，
∴AM ⊥BM ，∴k AM ·k BM ＝－1，
即3－0－1－x ×2－04－x
＝－1， ∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2，
∴M (1,0)或M (2,0)．
11．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －2)y ＋a ＝0，求满足下列条件的a 的值：
(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.
【解】 (1)对于l 1：y ＝－a 3x －13
， 若l 1∥l 2，则kl 2存在．
∴y ＝－1a －2x －a a －2
. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a 3＝－1a －2，
13≠a a －2，解得a ＝3.
(2)若l 1⊥l 2，则kl 2也存在．
∴y ＝－1a －2x －a a －2
. ∴－a 3×(－1a －2)＝－1，解得a ＝32
.。