5.常见连续型分布

2
3 0
因而有
2 2 3 2 2 P{Y 2} C 2 C3 1 3 1
20 . 27
3
3
3
3
6
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 e x , x 0, f ( x) x 0. 0, 其中 0 为常数, 则称 X 服从参数为 的指数 分布.

a o

b
3
分布函数
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
F ( x)
1
a o

b

x
4
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. 解 X 的分布密度函数为
10
1 P{ X 2000} 1 P{ X 1000}
1 F ( 2000) 1 F (1000)
e
1 2
0.607.
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
11
3. 正态分布(或高斯分布)
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
1 2σ 2 f ( x) e , x , 图形演示 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ ( x μ )2
解
P {1.25 X 2}
( 2) (1.25)
0.9772 0.8944 0.0828 .
21
已知 X ~ N (0,1),证明: ( x) P{X x} 1 ( x).
证
1 ( x) P( X x) e dt 2 2 2 u u t u x 1 2 1 2 e du e du x 2 2
n
n > 2.8
故至少要进行 3 次独立测量才能满足 要求.
(2)
已知 , 及P( X a)的值(a 已知), 求的值
28
例3.9
将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,
调节器整定在d 0C , 液体的温度X (以0C )记是一个随机变量, 且X ~ N (d ,0.52 ), 若要求保持液体的温度至少80的概率不低 于0.99,问d 至少为多少 ?
13
(5) 曲线以 x 轴为渐近线 ;
(6) 当固定 σ , 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变,只是沿 着 x 轴作平移变换;
p( x)
p( x)
μ—位置参数
14
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x ) 图形的对称轴 不变, 而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ 越大, 图形越矮越胖.
的正态分布或高斯分布, 记为
X ~ N ( μ, σ 2 ).
p( x)
12
正态概率密度函数的几何特征
p( x)
1 ( 2) 当x μ时, p( x )取 得 最 大 值 ; 2 πσ
(1) 曲线关于 x μ 对称;
(3) 当 x 时, p( x ) 0;
(4) 曲线在 x μ σ 处有拐点 ;
标准正态分布的概率密度表示为
1 ( x) e 2π
x2 2
, x ,
标准正态分布的分布函数表示为
( x)
x

1 e 2
t2 2
d t , x .
19
标准正态分布的图形
20
例6 已知 X ~ N (0,1), 求 P{1.25 X 2}.
2
4 2 2 2 P(2 X 4)
2 (0) 0.3 2 0.8
p( x)
3
1
12
指数分布密度 函数图形演示
7
分布函数
1 e x , x 0, F ( x) x 0. 0,
指数分布分布函数图形演示
3 12 1
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
x
t2 2
P( X x) 1 P( X x) 1 ( x)
x
x
22
Xμ 引理 若X ~ N ห้องสมุดไป่ตู้ μ, σ ), 则 Z ~ N (0,1). σ 证明 Z X μ 的分布函数为 σ Xμ P{ Z x } P x P{ X μ σx } σ
1 , 2 x 5, f ( x) 3 0, 其它. 设 A 表示“一次观测中X的值大于 3 ”,
即 A={ X >3 }.
5
由于 P ( A) P{ X 3}
1 2 dx , 33 3
5
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则
2 Y ~ B 3, . 3
80 d 0.99 P( X 80) 1 F (80) 1 ( ) 0.5
由题意X ~ N (d , 0.52 ), 则
又
80 d d 80 ( ) 1 ( ) 0.5 0.5
29
d 80 查表得 2.33, 故需d 81.165 0.5 (3) 已知的值, 及P( X a)(a 已知)的值, 求的值.
即
(
60

) 0.75, 查表得
60

0.675
又0.03 P X 80 1 P X 80 1 ( 即 ( 80
80

)

) 0.97, 查表得
80 u

0.1.88
60 0.675 由上两式得 , 90 1.88 解之, 48.7967; 16.5975
p( x)
0—尺度参数
15
正态分布的分布函数
x 1 F ( x) e 2σ ( t μ )2 2σ 2
dt
正态分布分布函数图形演示
16
正态分布的应用与背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如
测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;
正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量
X 的分布函数为
9
(1) P { X 1000 } 1 P { X 1000 } 1 F (1000 )
e

1 2
0.607.
( 2) P{ X 2000 X 1000}
P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
2
μ σx 1 e 2σ ( t μ )2 2σ 2
d t,
u2 2
1 x tμ e 令 u, 得 P { Z x } 2 σ Xμ 故 Z ~ N (0,1). σ
d u ( x ),
23
2 已知 X ~ N ( μ , σ ), X的分布函数为 F ( x), 例7 x 证明F ( x) . (t μ )2 x 1 2 2 σ 解 F ( x) P{X x} dt 2 σ e u2 x μ tμ 1 σ 令 u, e 2 σ du σ 2 σ


(
40

) (
40

) 2 (
40

) 1
即2 (
40

) 1 0.8,
(
40

) 0.9
30
40 查表得 1.28,即 31.25 1.28
40
(4) 已知P X a 及P X b的值(a, b已知), 欲求 , 2及P X C的值

x μ σ
1 e 2
u2 2
du
xμ . σ
证毕
24
因而 P{c X d } F (d ) F (c )
d μ c μ . σ σ
d μ c μ 即 P {c X d } . σ σ
1
二、常见连续型随机变量的分布
2
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, f ( x) b a 其它, 0, 则称 X 在区间 (a, b) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a, b).
p( x )
概率密度
函数图形
25
有关正态分布的计算问题
(1) 即:
已知 , , 求随机变量X的取值落入某区间的概率, b a P (a X b) ( ) ( )
2
26
例 设测量的误差 X ~ N(7.5,100)(单位:米) 问要进行多少次独立测量，才能使至 少有一次误差的绝对值不超过10米的 概率大于0.9 ? 解 10 7.5 10 7.5
P(| X | 10) 10
0.25 1.75 0.25 [1 1.75] 0.5586

10

27
设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次 误差的绝对值不超过10米
P( A) 1 (1 0.5586) 0.9
32
70 48.7967 故P X 70 1 ( ) 16.5975 1 (1.28) 10%