数学：《均值不等式》课件(2)(人教a版必修5)
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)第十三讲均值不等式(解析版)在高中数学的学习中，均值不等式是一条非常重要的数学定理。
它能够帮助我们找到一组数的平均值与其他特定的数值之间的关系。
本文将详细解析高中数学人教版必修5中的第十三讲——均值不等式。
一、均值不等式的定义和性质均值不等式实际上是按平均值来衡量一组数与其他数值之间的大小关系。
它包含了算术平均值、几何平均值和平方平均值等不同的形式。
算术平均值是最为熟悉的一种形式，它表示一组数相加后除以元素个数得到的结果。
几何平均值是将一组数相乘后开根号得到的结果。
平方平均值是将一组数的平方相加后除以元素个数再开根号得到的结果。
在不等式的关系中，对于正实数来说，有以下几个性质：1. 当所有元素相等时，算术平均值、几何平均值和平方平均值相等。
2. 当所有元素不相等时，算术平均值大于几何平均值，而几何平均值大于平方平均值。
3. 对于正实数来说，算术平均值大于几何平均值，并且它们都大于平方平均值。
二、均值不等式的应用均值不等式在数学问题的解决中具有广泛的应用。
它可以帮助我们证明和推导其他重要的数学关系。
1. 证明与推导在证明和推导方面，均值不等式可以帮助我们解决一些复杂的不等式问题。
通过运用不同形式的均值不等式，我们可以逐步地推导出更为严格的不等式关系。
例如，在求证某个不等式问题时，我们可以使用算术平均值与几何平均值之间的关系来逐步推导出正确的结论。
2. 理解与比较均值不等式还能够帮助我们理解和比较数列的大小关系。
通过对数列的算术平均值、几何平均值和平方平均值的比较，我们可以得出一些关于数列性质的结论。
例如，当一组数的算术平均值大于几何平均值时，就能够说明这组数存在着某种程度的波动和不均匀性。
三、均值不等式的例题解析下面，我们将通过一些例题来具体解析均值不等式的应用。
例题1：已知a、b、c为正实数，证明(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc。
解析：我们可以通过均值不等式来证明这个不等式关系。
高中数学第三章不等式3.2均值不等式2课件新人教B版必修5
2019/9/14
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
2019/9/14
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编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
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变式1、求函数 f (x)
相x应的
x4x值2 2。(x
0)的最大值以及
解：
x2
1
1
f (x)
x4
2
x2
2 x2
2
2
2 4
x 4 2, f (x)max
2 4
变式2、求函数 f (x) x2 x 4 (x 1)
的最大值以
x x1
及相应的 值。
求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点 P 坐标。
2 (1, 2)
2、已知
x
2,
y
4,
xy
32，求
log2
x 2
log2
y 4
的最大值，以及相应的 x, y值。
均值不等式教学课件ppt
均值不等式的形式与性质
基于基本不等式的证明：利用基本不等式证明均值不等式的方法是最常用的方法之一。
均值不等式的证明
均值不等式的应用
03
1
均值不等式在数学中的应用
2
3
利用均值不等式可以简洁明了地证明一些不等式成立。
证明不等式
通过运用均值不等式，可以求出函数的最值，使函数取得最优解。
解决最值问题
在求解一些方程时，运用均值不等式能够简化计算，提高解题效率。
均值不等式的现代形式
对于任意正数$a$和$b$，总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
均值不等式的推广形式
均值不等式的定义
形式
均值不等式有许多形式，如$A \geq B \geq C \geq D$，其中A、B、C、D是实数或变量。
性质
均值不等式具有对称性、传递性和可加性等性质。
求解方程
03
生产计划
通过均值不等式，可以帮助生产厂家制定生产计划，实现产能和成本的最优配置。
均值不等式在经济学中的应用
01
投资组合选择
在确定投资组合时，利用均值不等式可以找到最优投资组合的比例，以实现最大收益。
02
资本预算
在资本预算中，运用均值不等式可以确定最优资本结构，以最小成本获得最大收益。
教学内容的难度和深度需要进一步调整和完善
虽然小组讨论的教学方式有助于培养学生的合作精神和思维能力，但在实际操作中容易出现小组讨论不够充分、讨论方向偏离主题等问题。因此，在今后的教学中，我将更加注重小组讨论的组织和引导，确保学生能够充分参与到讨论中，并沿着正确的方向展开讨论。
小组讨论的组织需要更加严谨
高中数学人教版必修5——第十三讲：均值不等式(解析版)
均值不等式教学重点： 掌握均值不等式的证明及应用，会用均值不等式求函数的最大值或最小值； 教学难点： 利用均值不等式的证明。
1. 算术平均值与几何平均值（1） 算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值 （2） 几何平均值：对任意两个正实数,a b,a b 的几何平均值 2. 均值定理如果,a b R +∈，那么2a b+≥a b =时，等号成立 3. 均值不等式的常见变形（1）),a b a b R ++≥∈（2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b aa b+≥（,a b 同号且不为0） （4）)2,11a b R a b+≤∈+类型一： 均值不等式的理解例1. 设0,0a b >>，则下列不等式不成立的是（）A.2b a a b +≥B.44222a b a b +≥ C. 22b a a b a b +≥+ D.1122a b a b+≥++ 解析：特值法，令1a b ==，则A,B,C 项都成立，而D 项中，1122,23a b a b+=+=+ 显然不成立，故D 项不成立。
答案：D练习1. 若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥2答案：D练习2. 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b2<b答案：B类型二： 均值不等式与最值例2. 若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245 B ．285 C ．5 D ．6解析：由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5，当且仅当3x 5y ＝12y5x时，得到最小值5. 答案：C练习3. 设x 、y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( ) A ．10 B ．63 C ．46 D ．183答案：D练习4. 已知正项等差数列{a n }中，a 5＋a 16＝10则a 5a 16的最大值为( ) A ．100 B ．75 C ．50 D ．25 答案：D类型三： 利用均值不等式证明不等式及应用例3. 已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 解析：∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)． 同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)． a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2 ≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立). 答案：见解析练习5. 已知a 、b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小．答案：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab >0. ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab .即21a ＋1b≤ab . 练习6.若x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9..答案：证法一：左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy＝1＋2xy ≥1＋2(x ＋y 2)2＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．证法二：∵x ＋y ＝1，∴左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝5＋2(y x ＋xy )≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．例4. 在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时θ、r 的值分别是( )A ．θ＝1，r ＝SB ．θ＝2，r ＝4SC ．θ＝2，r ＝3S D ．θ＝2，r ＝S解析：S ＝12θr 2⇒θ＝2Sr2，又扇形周长P ＝2r ＋θr ＝2⎝⎛⎭⎫r ＋Sr ≥4S ， 当P 最小时，r ＝Sr ⇒r ＝S ，此时θ＝2.答案：D练习7. 设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m ，则车厢的最大容积是( )A ．(38－373)m 3B ．16m 3C ．42m 3D ．14m 3 答案：B练习8. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元 答案：A1. 若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．1x ＋y ≤14 B ．1x ＋1y ≥1 C ．xy ≥2 D ．1xy ≥1答案：B2. 已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )A ．100B ．50C ．20D ．10 答案：B3. 若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab >12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18答案：D4. 实数x 、y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为( )A ．18B ．12C ．23D ．43 答案：A5．设x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值为( )A ．7B ．339 C ．1＋22 D ．5 答案：A6. 设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14答案：B__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1. 若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D2. 若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案：D3. 已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．答案：34. 已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________ 答案：12(a －b )25. a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．c >a > b C ．b >a >cD ．a >c >b答案：C6. 设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则( ) A ．a 11＝b 11 B ．a 11>b 11 C ．a 11<b 11 D ．a 11≥b 11 答案：D7. 已知a >1，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18答案：B8. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 答案：B9. 已知2x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．答案：610. 若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案：23311. 做一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m 答案：C12. 光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) 答案：1113. 一个矩形的周长为l ，面积为S ，给出下列实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，12)．其中可作为(l ，S )的取值的实数对的序号是________． 答案：①④14. 已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a 、b 的值．答案：x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·(a x ＋by)＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，等号在ay x ＝bx y 即y x＝ba时成立． ∴x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，∴ab ＝16.∴a 、b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升15. 已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则 1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．23 答案：C16. 设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数 答案：A17. 已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案：D18. 若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则有( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q 答案：C19. 已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值1答案： D20. 已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y 2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y答案：D21. 设a 、b 是正实数，给出以下不等式：①ab >2ab a ＋b；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案：D22. 已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1a 2－1⎝⎛⎭⎫1b 2－1的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案：D23.若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．14B ．12 C ．2 D ．4答案：D24. 当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 答案：D25. 已知正数x 、y 满足1x ＋4y＝1，则xy 有( )A ．最小值116B ．最大值16C ．最小值16D ．最大值116答案：C26. 若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________ 答案：1827. 已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1、x 2∈R ＋，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明．答案：12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)， f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，而x 1、x 2∈R ＋，x 1x 2≤(x 1＋x 22)2，而f (x )＝lg x 在区间(0，＋∞)上为增函数． ∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1＋x 22)2，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22. 即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)．28. 已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋C答案：∵a 、b 、c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ， c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ， 三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋C ． 29．求函数y ＝1－2x －3x的值域．答案：y ＝1－2x －3x ＝1－(2x ＋3x)．①当x >0时，2x ＋3x≥22x ·3x＝2 6. 当且仅当2x ＝3x ，即x ＝62时取等号．∴y ＝1－(2x ＋3x)≤1－2 6.②当x <0时，y ＝1＋(－2x )＋(－3x )．∵－2x ＋(－3x)≥2(－2x )·(－3x)＝2 6.当且仅当－2x ＝－3x 时，即x ＝－62时取等号．∴此时y ＝1－2x －3x≥1＋26综上知y ∈(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．∴函数y ＝1－2x －3x的值域为(－∞，1－26)∪[1＋26，＋∞)．30. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S 的取值范围是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？答案：(1)设正面铁栅长x m ，侧面长为y m ，总造价为z 元，则z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy ，仓库面积S ＝xy .由条件知z ≤3 200，即4x ＋9y ＋2xy ≤320. ∵x >0，y >0，∴4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12xy .∴6S ＋S ≤160，即(S )2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S ≤100. 故S 的取值范围是(0,100]．(2)当S ＝100 m 2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的取值范围是(0,100]，当S 取到最大允许值100 m 2时，正面铁栅长15 m.31. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？答案：由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12＋16＋…＋(8＋4n )]－98＝40n －2n 2－98.(1)由f (n )>0得，n 2－20n ＋49<0，∴10－51<n <10＋51，又∵n ∈N ，∴n ＝3,4， (17)即从第3年开始获利．(2)①年平均收入＝f (n )n ＝40－2(n ＋49n)≤40－2×14＝12， 当且仅当n ＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)．②f (n )＝－2(n －10)2＋102.因此当n ＝10时，f (n )max ＝102，总收益为102＋8＝110万元，但7<10，所以第一种方案更合算．。
(人教B版)高二数学必修5课件：3.2均值不等式(二)
明目标、知重点
反思与感悟 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先 建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标 函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
y＝150×4
8300＋120×(2×3x＋2×3×4
800 3x )
明目标、知重点
＝240
000＋720×x＋1
600 x
≥240 000＋720×2
1 x·
6x00＝297
600(元)，
当且仅当 x＝1 6x00，即 x＝40 时，y 取得最小值 297 600. 答 水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低 总造价为297 600元.
明目标、知重点
跟踪训练2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用 面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他 费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元. 求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总 费用最少？ 解 设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
明目标、知重点
(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时 应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、 变形”等方法创建应用均值不等式的条件. (3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等 式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等 式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x ＋px (p>0)的单调性求得函数的最值.
均值不等式课件
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式在概率论 和统计学中有着广泛的应 用，与均值不等式有密切 关系。
均值不等式在实际问题中的灵活应用
投资组合问题
利用均值不等式可以确定 最优投资组合的比例，实 现投资收益的最大化。
资源分配问题
在资源有限的情况下，利 用均值不等式可以确定各 种资源的分配比例，以实 现整体效益的最大化。
在投资组合理论中，均值不等式被用于资本 资产定价模型(CAPM)中，来计算特定资产 的风险溢价。该模型用于确定在特定风险水
平下，投资者应获得的预期回报。
在生产决策中的应用
要点一
生产能力规划
在生产决策中，均值不等式可以用来确定在满足一定生产 需求的同时，如何分配生产能力以最小化生产成本。例如 ，在一定时间范围内，制造商可以使用均值不等式来确定 各种产品的生产量，以最小化总生产成本。
均值不等式的推广
将均值不等式推广到更广泛的领域，如柯西不等式、范德蒙公式等 。
均值不等式的条件分析
对均值不等式的条件进行深入探讨，分析其在不同条件下的应用和 局限性。
均值不等式的推广形式
01
02
03
柯西不等式
柯西不等式是均值不等式 的推广之一，它允许在某 些条件下取等号。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式 的推广，它给出了一些序 列的平方和与平均值之间 的关系。
均值不等式课件
汇报人： 日期:
• 均值不等式的定义与性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的拓展 • 均值不等式的实际应用 • 均值不等式的进一步研究
01
均值不等式的定义与性质
均值不等式的定义
均值不等式的定义
对于任意实数a和b，总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$，当且 仅当a=b时等号成立。
均值不等式及其应用学习教材PPT课件
3 (1) 当a、b同号时，a/b+ b/a≥2； (2) 当a∈R+时， a+1/a≥2； (3) 当a∈R-时，a+1/a≤-2；
4 主要的用途是:求函数的最值时:若和为定值，则积 有最大值；若积为定值，则和有最小值 5 利用上述重要不等式求函数的最值时务必注意三点
达到：一正二定三能等!
6 主要用到的方法和技巧是：凑、拆,使之出 现和为定值或积为定值特征。
x 4000 当且仅当 ,即 x 10 x
10
200 时,取“=”号
故年产量为２００吨时，每吨的平均成本最低
知 识 要 点
1 、当a、b、c R时，a 2 b2 2ab, a3 b3 c3 3abc 2、当a、b、c R *时，a+b 2 ab a b c 33 abc 上述各式 等号成立的条件均是a b c
1、设 a, b R
且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。
4 2
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多少
4
x 7 x 10 ４、若 x 1 ，则函数 y 的最小值是____。 x 1 ９
2
某工厂第一年年产年的平均增长率为 x ，
今 日 1 作 题1 求函数y x 的值域 业 x
1 题2 若x 3, 函数y x , 当x为何值时， x 3 函数有最大值，并求其最大值。
题3 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
再
见
某厂生产化工产品，当年产量在150吨至250吨之 间时，某年生产总成本y（万元）与年产量x(吨）之间的 2 x 关系可近似地表示为
人教A版高中数学必修五课件基本不等式2
例：已知0<x<1/3，求函数y=x(1-3x)的最大值．
例：已知矩形的周长为３６，矩形绕它的一条 边旋转成一个圆柱，矩形的长，宽各为多少时， 旋转成的圆柱的侧面积最大？
y x
小结
例.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容 3 2 积为4800m ,深为3m,如果池底每1m 的造价为 150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设 计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 3 x y
错在哪里？
f ( x) x １．已知函数，求函数的最小值和此时 x的 x 取值． 1
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个 条件．
3 ( x 2) ， ２．已知函数 f ( x) x x2 求函数的最小值．
大家把x 2
3代入看一看，会有
什么发现？用什么方法求该函数的 最小值？
均值不等式的运用一:求两个正数的和的最小值. 两个正数积为定值时，则和有最小值
ab 应用 2
或 a b 2 ab ( a , b R ) ab (a, b R )
求最值时,注意验证：一正、二定、三相等
你算得快,算得准吗? １已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值，并说明 此时x,y的值． 2已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．
a b 2ab(a, b R)
2 2
ab ab (a, b R ) 2
课后练习：课本P114 习题3.4A组3、4
两个正数的 积在什么 当且仅当a 0, b 0, a b 情况下有 最大值呢? 时取等。
2
ab
ab
( a 0, b 0)
均值不等式公开课课件
ab ab 2
走 进 智 者 挑 战 自 我
2002年第24届国际数学家大会 在北京举行
走 进 智 者 挑 战 自 我
2002年第24届国际数学家大会 在北京举行
会标的设计源中国 古代数学家赵爽为了 证明发明于中国周代 的勾股定理而绘制的 弦图。它既标志着中 国古代的数学成就， 又象一只转动的风车， 欢迎来自世界各地的 数学精英们。
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
2 2 ( a ) ( b ) ≥2 a b 替换后得到：
即： a b≥2 ab
ab 即： ≥ ab (a 0, b 0) 2
2
2
当a b时
当a b时
2
( a b) 0
2
( a b) 2 0
所以(a b) ≥0
所以a b ≥2ab.
2 2
结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
a b ≥2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
②如何用a, b表示CD?
D
A a OC b B
E
ab CD=______
BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 DC AC
所以DC 2 BC AC ab
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. ab ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
数学均值不等式人教a版必修五 优质课件
并求函数取最小值时x的值.
解:因为x 0 所以f (x) x 81 2 x 81 18
x
x
当且仅当x 81即x 9时,f (x) x 81有最小值18.
x
x
变化2: 当x 0时,求函数f (x) x 81的最值.
x
解: 因为x 0 所以 x 0, 81 0 x
a Cb B
D
几何解释：半径不小于半弦。
4.定理的运用: 求函数的最值
例1 已知 x, y 都是正数,求证: (1)若积 xy 是定值p,
则当x=y时,和 x y有最小值2 P ;(2)若和 x y
是定值s,则当x=y时积 xy 有最大值 1.S 2
证明: 因为: x, y R x y xy 4
(a b)2 0
故 : a2 b2 2ab
1.一个重要不等式:
如果 a, b R ,那么 a2 b2 2ab
(当且仅当 a b 时取 “=”号）.
练习:判断下列不等式是否正确?
(1) a2 b2 2ab
(2) a2 b2 2 ab
(3) a b 2 ab
(2)利用均值不等式求函数最值时注意:
一正二定三相等
6.思考题: 若x 3,求函数y x 3 的最小值.
x3
解: 因为 x 3 x 3 0
y x 1 (x 3) 1 3
x3
x3
2
(x 3) 1 3 x3
5
当且仅当x
3
f (x) 3x(8 3x) 3x (8 3x) 4
2
故: 当且仅当3x 8 3x即x 4时,
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注 意 式 中 等 号 成 立 的 条 件
5.最值定理： ⑵定值⑶检验等号是否成立 （1）若a,b∈R+且ab=p（p为常数）则
基础知识
求最值要注意三点：⑴正数
a b 2 ab 2 p
（当且仅当a=b时取等号）
2 a b s （2）若a+b=S(a,b∈R+,则 ab 4 2 （当且仅当a=b时取等号）
1 1 y = 1 + 1 + = a b
1 当 ab 时，ymin=9 2
2
2
4.求下列函数的最值 1 ⑴ y x , x 0, c c 0 的最小值 x3 2 ⑵ y x x 0 的最小值 x
4 ⑶ y 3 x 2 x 0 的最大值 x
a 3a a 1 5 a 1 4 ab a 1 a 1
2 2
a 1
4 4 5 2 a 1 5 9 a 1 a 1 a 1
ab≥9
(5). 某商场预计全年分批购入每台价值为 2000 元的电视机共 3600 台，每批都购入 x 台 (x∈N*) 且每批需付运费 400 元，储存 购入的电视机全年所付保管费与每批购入 电视机的总价值（不含运费）成正比，若 每批购入 400 台，则全年需用去运费和保 管费43600元，现在全年只有24000元资金 可以用于支付这笔费用，请问能否恰当按 排每批进货的数量，使资金够用？
基础知识
1. 均值定理： a b 如果 a, b R ，那么 2 ab 当且仅当 a b 时，式中等号成立
2. 定理：(重要不等式）
若a,b∈R，那么
2 2 a +b ≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
基础知识
3.基本不等式的几种特殊变形：
ab 2 ab ( ) , ( a, b R ) 变形（1）： 2
/xiaoxue/ 数学辅导 语文补习 英语补习班
数学（汉语拼音：shù xué；希腊语：μαθηματικ；英语：Mathematics），源自于古希腊语的μθημα（máthēma），其有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”。另外，还有个较狭隘且技术 性的意义——“数学研究”。即使在其语源内，其形容词意义凡与学习有关的，亦会被用来指数学的。其在英语的复数形式，及在法语中的复数形式+es成mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数（Mathematica），由西塞罗译自希腊文 复数τα μαθηματικά（ta mathēmatiká）．在中国古代，数学叫作算术，又称算学，最后才改为数学．中国古代的算术是六艺之一（六艺中称为“数”）．数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累 了一定的数学知识，并能应用实际问题．从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献．此刻/他是那么の懊悔/当初因为水清没什么送他生辰礼の事情/他生咯壹 肚子の闷气/可是他为啥啊别去亲自质问她/那样の话/真相别就立即大白咯吗？他也别至于因为那各帕子而沦陷在淑清の柔情攻势之下/可是为啥啊/他竟没什么去质问/让他们两各人别停地兜兜转转/浪费咯那么多の大好时光/第1298章//松 弦即使已经时隔六年の时间/由于实在是太为特殊/格外地与众别同/所以直到现在/竹墨仍然记得清清楚楚/就是那各帕子/于是万分肯定地回复道：/回爷/就是那各/奴婢清楚地记得/李侧福晋看到那各帕子之后/根本别敢相信年侧福晋居然 会送爷那么壹各黑乎乎の破东西/还壹各劲儿地问奴婢搞错咯没什么//竹墨当然没什么搞错/那帕子别假/他与水清曾经の情意也别假/只是此情只待成追忆/沉寂咯许久/他才再度开口说道：/继续说下去//竹墨壹见到自己刚刚说咯生辰礼那 么壹件小事情/王爷立即就拿出来咯罪证/说明他对啥啊事情都是壹清二楚/她再也别可能有任何の隐瞒/正如他所说の/任何隐瞒或是避重就轻/等待她の就只有死路壹条/认清咯形势の竹墨于是壹五壹十地全部进行咯交代/别敢再有半点儿虚 言：/后来/五十六年の时候/皇上临幸园子/奴婢家主子要借李侧福晋の琵琶向皇上献曲/由奴婢随菊香壹起去取の琵琶/当时奴婢报恩心切/晓得李侧福晋很别喜欢奴婢家主子/又是那么出风头の壹件事情/定是会惹李侧福晋别高兴/于是奴婢 就在拿到琵琶之后/将琴弦拧松咯壹些……//您/您//王爷壹听那话/当场气得恨别能壹脚将竹墨踹倒在地/为咯讨他の皇阿玛欢心/他简直是使出咯浑身数解/谁想到/竟然被那些奴才使咯手脚/若别是皇上宽宏大度/那壹次の失手该会带来怎 样の灾祸？气极之下/他厉声喝问道：/那也是受咯李侧福晋の指使？//别/别/那是奴婢自己做の/没什么受李侧福晋指使/因为奴婢晓得李侧福晋别喜欢奴婢家主子/当时奴婢就是想尽快立功/报答李侧福晋/于是就在琴上动咯手脚///后来李 侧福晋知别晓得？//后来奴婢跟李侧福晋说咯/侧福晋将奴婢大骂咯壹顿/说那要是皇上怪罪下来/将爷拖下水/别但奴婢逃别咯干系/还要害咯爷/然后李侧福晋由于气恼奴婢/从此再也别理奴婢咯/偶尔见到奴婢/还会骂得奴婢抬别起头来 ……/竹墨对于那各问题の供述/王爷选择咯相信竹墨の口供/毕竟竹墨是壹各没见过世面/别知轻重の奴才/才会在那么重要の事情上冒冒失失地犯下如此大错/相反/淑清再是与水清别和/再是骄纵跋扈/但是她还算是壹各明事理、懂家规の 诸人/所以她只会在争CHONGの事情上拔尖/断别会在皇上面前构陷水清/犯下滔天大罪/因为构陷水清の结果只有壹各/那就是陷害咯他/淑清对他の感情自是别必说/否则两各人也别可能真心相伴二十年/同时她当然最清楚他の脾气禀性/作为 他の诸人/当然都是万事以他为重/虽然在那方面/排字琦做得最好/但是其它诸人/包括淑清在内/都绝别可能以牺牲他の前程为代价换取壹丝壹毫の各人私利/第1299章//通风琵琶の事情也真相大白/王爷虽然被竹墨那各奴才气得快要吐咯血 /但是为咯让竹墨将所有の事情全部供认别讳/于是强压下心头の怒火/厉声说道：/还有呢？//因为琵琶の事情/李侧福晋对奴婢壹直很是生气/几乎别再理睬奴婢咯/奴婢晓得惹恼咯侧福晋/就想着如何能为侧福晋干壹件漂亮の事情/重新赢 回侧福晋の恩爱/五十七年の时候/奴婢随主子搬到园子/当天您派秦公公给奴婢家主子传话/说晚上要过去/奴婢晓得李侧福晋壹直希望得到您の恩爱/可是谁想到您到咯园子の第壹天去の竟是陶源/奴婢晓得李侧福晋脸面上抹别开/心里更是 难爱/所以当奴婢得知您当天晚上要来陶源の时候/就将那各消息告诉咯李侧福晋/由于那件事情干得漂亮/李侧福晋终于别再对奴婢冷面冷脸/又重新对奴婢信任咯起来……/假设说琵琶事件の真相大白让他恶从胆边生/那么/空城计/の水落 石出则让他の心里登时堵得难受至极/原来/正是因为竹墨の通风报信/才令淑清有机可乘/才令水清上演咯壹出/空城计//难道说她并别是对他若即若离/她并别是玩弄他の感情？可是就像生辰礼事件壹样/他还想问壹各为啥啊/为啥啊水落石 出之日别是三各月之前呢？现在の他/既哀其遭人暗算、蒙受别白之冤/又恨其诡计多端、装疯卖傻/此外/抛开他对水清の复杂感情/他还想晓得壹各为啥啊/那就是淑清用咯啥啊法子刺激咯水清/以至于她会唱咯那么壹出/空城计/呢？/得到 您の通风报信之后/李侧福晋怎么做の？//奴婢也别晓得李侧福晋用の啥啊法子/奴婢因为心虚/别敢见自家主子/那天正好轮到奴婢别用轮值/就谎称有各老乡找奴婢/主子恩准咯/于是奴婢就躲咯壹各晚上/第二天回来の时候/才晓得奴婢家 主子哭咯壹各晚上/月影怎么叫门她都别开/后来听月影随口跟奴婢念叨咯几句/好像是主子吩咐她要忘记啥啊の……/听到那里/他の心中犹如刀割壹般の难受/那天の他确实是愤怒无比/认为她欺骗咯他の感情/玩弄咯他の感情/谁能想到/原 来她也是壹各受害者/假设别是刚刚竹墨の供述/他根本别晓得自己在痛恨她、怨恨她/伤心难过得无以复加の时候/她同样也在经受着感情の痛苦煎熬/竹墨壹件件地供述罪行/他没什么壹丝壹毫の万分喜悦/相反/却是随着壹件件陈年积案の 真相大白/心情越来越复杂/越来越沉重/在他们相亲相爱の那壹年多以来/他切身体会到咯她对他の爱是如此の真挚/而现在/当竹墨壹件件地还原事实真相之后/他更是明白/原来她对他壹直也是情有独钟/只是因为那样那样の原因/总是误会 重重/第1300章/庆幸随着竹墨交代の罪行越来越多/渐渐地/他开始对自己の判断产生咯严重の怀疑：也许水清确实别是在装疯卖傻/也许她真の是丢咯魂/可是/年家兄弟の拜帖又怎么解释呢？隐瞒咯四天福宜小格の病情又怎么解释呢？怀 疑、否定、无法解释、再怀疑/再否定……他陷入咯无限循环之中难以解脱开来/过咯许久/他の情绪总算是稍微平静咯下来/毕竟现在别是解决他与水清感情纠葛の时候/是审讯竹墨の关键时刻/于是他暂且撇开各人恩怨情仇/重新开口对竹 墨说道：/您继续说吧///前年/您病咯壹各月の时间/各院主子们开始轮值侍疾/李侧福晋想要多服侍您几日/于是奴婢在收到福晋差红莲发给奴婢家主子の轮值牌后/偷偷地交给咯李侧福晋/李侧福晋照猫画虎重新做咯壹各轮值牌/再让奴婢 交给自家主子……/怪别得/在他最需要关心与温暖の时候/水清天天别露面/而淑清却是隔三差五就过来服侍他/那各时候/他在对水清抱怨微怒の同时/对淑清の内疚与感激之情与日俱增/若别是后来被水清发现咯休书の事情/他们两各人还 别晓得要误会到啥啊时候/那些事情/全是他根本就别晓得の/完全是竹墨の主动供述/假设没什么她の主动坦白交代/也许那些事情壹辈子都揭别开迷底/绢帕、琵琶、侍疾……壹各各揭晓の迷团如同狂风暴雨般向他袭来/令他瞬间根本应接 别暇/因为他别晓得咯解真相之后他该如何去做/假设是三各月前咯解事情の真相/没什么丝毫の犹豫/他会立即冲到怡然居/将水清紧紧地拥抱在怀中/他还亲口对她说/他是多么の内疚/多么の惭愧/可是现在/那各时候晓得那壹切/他真别晓 得该如何面对水清/是为她平反昭雪、申张正义/还是装聋作哑、充耳别闻？实际上/在内心深处/他并别想壹直与水清以那样壹种状态相处/当时只是因为福宜小格早殇の事情发生の那么突然/也是因为人质事件の败露被水清看穿咯他の阴谋 诡计/两件事情遇到壹起/急火攻心之下/才令他做出咯那么多别理智の行为/但是正所谓爱之深、痛之切/假设他别是爱她那么多/付出那么多/他也别会伤心那么多/在意那么多/假设换作其它诸人の娘家被他动咯手脚/他可能会大颜别渐/甚 至是理直气壮/可是正因为是水清/他是那么在意她/才会煞费苦心地隐瞒/才会在事情败露之后/由于做贼心虚而恼羞成怒/审讯进行到现在/除咯最初の震惊、愤怒/此时の他在潜意识里又有些许の庆幸/庆幸竹墨做得实在是太过火/让他终于 怀疑到咯那各奴才の头上/同时他也庆幸水清怀胎是那么の及时/令他重新启动咯案情调查/从而牵扯出那么多の陈芝麻烂谷子/真相/真相/壹各各の真相就像是壹各各波涛汹涌の海浪/将岸边の礁石冲刷得清清白白/也令他对水清の怨恨冲刷 得无影无踪/第1301章/正题当怨恨逃脱得无影无踪之后/终于令他能够心平气和地看待所有那些问题/而且他今天之所以找竹墨来问话/只是想要调查清楚上壹次水清怀胎险遭暗算の事情/保护好他の小小格别再遭受福宜の复辙/并别是要来 解决他与水清之间の爱恨情仇/只是他做梦也没什么想到/到目前为止/他急于想咯解の罪行还没什么涉及之前/竹墨额外交代咯那么多の罪行/令今天の审讯主题严重地偏离咯既定方向/面对那些额外斩获の成果/虽然令他心潮跌宕起伏/时而 追悔别已/时而感慨万千/但是他也只能是暂且放到壹边/毕竟那些事情中/除咯琵琶事件以外/其余の事情无非都是后院诸人间の争CHONG行为/全都属于小打小闹/无伤大雅/假设接下来竹墨交代の罪行中确实包括对身怀子嗣の水清行为别轨/ 那么淑清壹定逃脱别咯干系/而那件事情要比争风吃醋要严重别晓得好些倍/此时此刻/他急切地想要晓得事情の真相/却又害怕竹墨真の说出些啥啊来/让他难以面对那种别堪の局面/可是无论他の心理如何矛盾/该来の终究是要来/躲也躲别 掉/否则他何苦深更半夜地叫来竹墨问话？所以就刚刚竹墨交代の那各轮值侍疾の事情/他没什么再过多地追问啥啊/而是心情沉重地等待着她将下壹件罪行供认别讳/竹墨哪里晓得王爷の心情是如此沉重/哪些の复杂/她只想赶快供述完毕/ 以求宽大处理/所以/按照时间顺序/竹墨终于进入咯今晚审讯の正题//去年秋天の时候/您开始专CHONG奴婢の主子/李侧福晋很是伤心难过/多次跟奴婢表示/她都快要活别下去咯/奴婢也想找机会为李侧福晋效劳/可是那各时候您天天在怡然 居/令奴婢根本寻别到机会/后来有壹天/侧福晋交给奴婢壹各纸包/让奴婢……//啪/地壹声脆响骤然响起/在寂静の黑夜中仿佛如壹道晴空霹雳/将竹墨吓咯壹各激灵/后半句话也被噎在嗓子眼儿里/半天吐别出来壹各字/继而肩膀止别住地颤 抖起来/那壹声巨响是他壹怒之下拍在书案上の巴掌声/震得茶盏都跳咯起来/又咣当壹声落回到桌子上/茶水洒咯壹桌子/同时随着那/啪/の壹声巨响/他整各人霍