线性规划基本性质

2 1
f(x
1
) =1 2
O
1
2
3
4
D 5 6
7
H 8
)=0
x1
结论：若LP问题存在最优解，则必在 可行域的某个极点上找到。
一般的，当等值线沿目标函数法向量方向平行移 动时，目标函数值逐步增加；当等值线沿目标函数法 向量反方向 平行移动时，目标函数值逐步减少。
二、几种特殊情况 1、LP存在多个解
思考题
已知LP问题如下： max z c1 x1 c2 x2 s.t 5 x2 15 6 x1 2 x2 24 x1 x2 5 x1 , x2 0 讨论c1 , c2的值如何变化，该 LP 可行域的每个极点依次 使目标函数达到最优。
1 B b 1 3 若B b 0，则称x 为 LP 的基本可行解， 0 B称为可行基矩阵，xB1 , xB2 , , xBm 为一组可行基。
4
若B 1b 0，则称基本可行解是非退化的，否
则称为退化的。
x1 3 x2 6 例： 引入松弛变量化为 x1 2 x2 4 6 x1 3 x2 x3 1 3 -1 0 系数矩阵A x4 4 1 -2 0 1 x1 2 x2
1 3 1 B1 1 -2
1 1
求基本解。
1 2 3 B 5 1 1 24 2 3 6 1 5 B11b 5 1 1 4 2 5
T
24 2 基本解为x , , 0, 0 . 5 5
1
或 B1 X B1 b 1 3 x1 6 增广矩阵 1 -2 x2 4 1 3 6 初等变换 1 3 6 0 -5 -2 1 -2 4
x2 ) ( x3 1) min z 3x1 2( x2
s.t x2 ) x4 7 x1 ( x2
x2 ) x3 x5 4 x1 ( x2
x1 0, x2无非负约束
x6 5 x3
, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0 x1 , x2
令cx p min1 j k cx j , 则当 p 1, j 0 j p 时，f
x cx p 最小。
对任意x S , 由于
k
cx j cx
j 1 k
j
j cd j
j 1 k
l
j cx
j 1 k k j l
jd
j 1
j
代入标准型

j 1
j
1,
j 0, j 1, , k j 0, j 1, , l.
k l j j min cx cd f j j j 1 j 1 k s.t. j 1 j 1 j 0, j 1, , k j 0, j 1, , l.
三、基和基本解
min z cx s.t. Ax b x0 设 r A m, c1n Amn n m bm1 0 xn1 A
按列分块
P1 , P2 , , Pn
Ax b 等价于 P 1 x1 P 2 x2 P n xn b
1、系数矩阵A中任意m列所组成的m阶可逆子方阵B， 称为(LP)的一个基(矩阵)，变量xj，若它所对应的 列Pj包含在基B中，则称xj为基变量，否则称为非 基变量。基变量的全体称为一组基变量，记 xB1 , xB2 , , xBm . n! m 基矩阵的个数最多为 Cn m !(n m)!
z
x
max z min z
'
二、约束方程为不等式的转换 1、约束方程为 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi 等价于 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn yi bi yi 0 yi 称为松弛变量(slack variable)
2、约束方程为 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
等价于 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn yi bi yi 0 yi 称为剩余变量(surplus variable)
三、决策变量x j 无非负限制的转换
如：x j 无非负约束
基矩阵为： 1 3 B1 1 -2
1 -1 B2 1 0
1 0 B3 1 1
1 0 B6 0 1
3 -1 B4 -2 0
3 0 B5 -2 1
6 x1 3x2 x3 x4 4 x1 2 x2
3、LP问题存在无界解
例： min z 3 x1 4 x2 s.t x1 3 x1 , x2 0 l1 x1 x2 1 l2
x2
3 2 1
z
l1
l2
C B
2 3 4
O
A1
x1
判断：若LP的可行域无界，则该LP可能 存在无界解。
3. 图解法的作用
• 能解决少量问题 • 揭示了线性规划问题的若干规律 规律1： 有最优解 有可行解 LP问题 无可行解（无解） 唯一解 无穷多解 无最优解（可行域为无界）
令：z 3 x1 2x2 x3 , x2 , x3 x3 1 x2 x2
五．含有绝对值 规划问题为
min | x1 | | x2 | | xn | s.t. Ax b
T
其中 x x1 , x2 , , xn , A, b为相应维数的矩阵和向量
x2
150 C 100
B (30,80)
例： min z 10 x1 15 x2 s.t 2x1 3x2 300 x1 , x2 0 l1 2 x1 1.5 x2 180 l2
50
z=1260
O
50
z=500
A 100
z=1000
150
x1
l2
结论：以z为参数的直线族与可行域某一条边平行， 最终重合，则 该LP存在多个解。
第二章 线性规划(linear programming)的 基本性质
LP的标准形式
1、极小化型 2、约束方程为等式 3、所有的决策变量为非负值 4、约束方程的右端项系数为非负值
n
min z c j x j
j 1 n
min z cx
c1n bm1 0 xn1
s.t
a x
ij j 1
引入xj 0, x j 0, 令 x j x j x j
四、决策变量有上下界的转换
如： 1 x3 5, x3 1, x 3 5
' 0, x3 4 令 x3 x3 1, 则 x3
例： max z 3 x1 2 x2 x3 s.t x1 x2 7 x1 x2 x3 5 1 x3 6
3
0
4
8
Z=2x1+3x2
x1
例
x2
10 9 8 7 6 5 4 3
f(x
2
max Z 6 x1 4 x2 2 x1 x2 x x 1 2 s .t . x2 x1 , x2 10 8 7 0
F E A B G C
3
最优解 : x1 2 x2 6 Z 36
例
max Z 2 x1 3x2 4 x 1 s.t . x1 2 x2 8 16 4 x2 12 x1 , x1+2x2=8 Q(4,2) 4x2=12
做目标函数2x1+3x2的等值线，与 阴影部分的边界相交于Q(4,2)点， Q点为最优解。
xB 2 设A B N , 其中r B m, 设x . xN 由Ax b得，BxB NxN b xB B 1b B 1 NxN
称x为(LP)的基本解。
B 1b 令 xN 0，得x 0
x
1 若存在j, 使得cd j 0，则f x , 即该问题无界. 2 对任意j , cd j 0, 令 j 0, j 1, , l.得
k j min cx j j 1 k j 1 s.t. j 1 j 0, j 1, , k
x2
2、LP问题无可行解
例： min z 10 x1 12 x2 s.t 5 x1 6 x2 900 l1 2x1 3x2 300 l2 x1 , x2 0
150 100 50 O 50
l2 100
l1 150 x1
结论：若LP的可行域为空集，则该LP问题 无可行解。
第二节
LP问题的基本性质
一、可行解 满足LP模型的约束条件且满足非负条件的解。 例： max z 3 x 2 x
1 2
s.t
x1 3 x2 6 x1 2 x2 4 x1 , x2 0
T T T 判断 X （5 1）， X （ 1 3）， X （2 1）
是否为可行解？
定理1: 线性规划的可行域是凸集。
二．最优极点
min cx 考虑标准形式： s.t. Ax b x0 设可行域S x | Ax b, x 0 . 极点：x , x
1
1
2
, , x
2
k
l
极方向：d , d , , d . 由表示定理，对任意x S x j x