高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十二节变化率与导数的概念、导数的运算 理

第十二节 变化率与导数的概念、导数的运算
知识梳理 一、导数的概念
1．平均变化率：已知函数y ＝f (x )，如果自变量x 在x 0处有改变量Δx ，那么函数y 相应地有改变量Δy ＝____________，比值Δy
Δx
就叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．
2．函数在x ＝x 0处导数的定义： 一般地，设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0的附近改变量为Δx 时，函数值的改变量为_______，如果Δx 趋近于0时，平均变化率______趋近于____，即_______＝li m Δx →0
f （x 0＋Δx ）－f （x 0）
Δx
＝m ，这个常数m 叫做函数f (x )在点x 0处的_______．函数f (x )在点x 0处的瞬时变化率又称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作_______或________，即____________．如果函数y ＝f (x )在x 0处有导数(即导数存在)，则说函数f (x )在x 0处可导．如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则说函数f (x )在区间(a ，b )内可导．
3．导函数的定义：Δy
Δx
表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表
示一个确定的数值，即f ′(x 0)＝li m Δx →0
Δy
Δx
.当x 在区间(a ，b )内变化时，f ′(x )便是x 的___________，我们称它为__________(简称导数)．y ＝f (x )导函数有时记作
y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0
f （x ＋Δx ）－f （x ）
Δx
.
二、导数的几何意义及物理意义
导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处导数的几何意义就是__________________．相应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
导数的物理意义：位移函数s ＝s (t )在t 0处的导数s ′(t 0)是________________________，即v ＝s ′(t 0)．速度函数v ＝v (t )在t 0处的导数v ′(t 0)是______________________________，即a ＝v ′(t 0)．
三、导数的运算
1．几种常见函数(基本初等函数)的导数：c ′＝______(c 为常数)；(x m
)′＝
______(m ∈Q 且m ≠0)；⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ′＝______；(x )′＝_____；(sin x )′＝_____；(cos
x )′＝________；(log a x )′＝______(a ＞0且a ≠1)；(ln x )′＝______(x ＞0)；
(a x
)′____(a ＞0且a ≠1)；(e x
)′＝ ____ .
2.导数四则运算法则．
(1)和、差的导数：[u (x )±v (x )]′＝______________(口诀：和与差的导数等于导数的和与差)；
(2)积的导数 ：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)，若c 为常数，则[]cu （x ）′＝cu ′(x )；
(3)商的导数：⎝ ⎛⎭
⎪⎫
u v ′＝________(v ≠0)(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)．
3．复合函数及其求导．
(1)复合函数的定义：对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示为x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做外层函数，u ＝g (x )叫做内层函数．
(2)理解复合函数的结构规律：判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向内
分析，最外层的函数结构是基本函数的形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析．例如，函数y＝esin2x是复合函数，它是由函数y＝e u，u＝v2，v＝sin x复合而成的．
(3)复合函数的求导法则：复合函数y＝f(g(x))对自变量x的导数y′x，等于外函数y＝f(u)对中间变量u的导数y′u乘以中间变量u对自变量x(即内函数)的导数u′x，即____________．
复合函数求导步骤：分解—求导—回代．
法则的推广：若函数y＝f(u)在点u处可导，u＝g(v)在点v处可导，v＝x的导数为( )
A．x sin x B．－x sin x
C．x cos x D．－x cos x
解析：y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x.
答案：B
3．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，
(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝__________，lim
Δx→0f（1＋Δx）－f（1）
Δx
＝______(用数
字作答)．
解析：f(0)＝4，f(4)＝2，由导数的几何意义知，
lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1)
Δx＝－2.
答案：2－2
4．(2013·开封调研)若函数f(x)＝1
2
x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则
实数a的取值范围是_______.
解析：∵f(x)＝1
2x
2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋
1
x.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，x＋1
x－a＝0，∴a＝x＋
1
x≥2.
答案：[2，＋∞)
1．在抛物线y＝x2＋ax－5(a≠0)上取横坐标为x1＝－4，x2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2＋5y2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )
A．(－2，－9) B．(0，－5)
C．(2，－9) D．(1，－6)
解析：令抛物线上横坐标为x1＝－4，x2＝2的点为A(－4，11－4a)，B(2,2a－1)，则k AB＝a－2，y′＝2x＋a＝a－2，所以x＝－1.故切点为(－1，－4－a)，切线方
程为(a－2)x－y－6＝0，该直线又和圆相切，则d＝
6
(a－2)2＋1
＝
6
5
，解得a＝4或
a＝0(舍去)，则抛物线为y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，顶点坐标为(－2，－9)．故选A.
答案：A
2．(2013·广东卷)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的线平行于x轴，则k＝__________.
解析：求导得y′＝k＋1
x，依题意k＋1＝0，所以k＝－1.
答案：－1
1．设曲线y ＝ax 2
在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－1
2
D ．－1
解析：y ′＝2ax ，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1.故选A. 答案：A
2．(2013·惠州一模)设P 为曲线C ：y ＝x 2
＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤
0，
π4，则点P 横坐标的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1
解析：设点P 的横坐标为x 0，
∵y ＝x 2＋2x ＋3，∴y ′|x ＝x 0 ＝2x 0＋2，
利用导数的几何意义得2x 0＋2＝tan α(α为点P 处切线的倾斜角)， 又∵α∈⎣⎡⎦⎤0，π4，∴0≤2x 0＋2≤1，∴x 0∈⎣⎡⎦⎤－1，－1
2，故选A. 答案：A。