上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
2020年上海交通大学第二附属中学高二数学理上学期期末试题含解析
2020年上海交通大学第二附属中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义集合运算：A☆B=.设集合，，则集合A☆B的元素之和为（）A．2 B．1 C．3 D．4参考答案：C2. “a2+b2≠0”的含义为（）A．a和b都不为0B．a和b至少有一个为0C．a和b至少有一个不为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0参考答案：C【考点】逻辑联结词“或”．【专题】阅读型；探究型．【分析】对a2+b2≠0进行解释，找出其等价条件，由此等价条件对照四个选项可得正确选项．【解答】解：a2+b2≠0的等价条件是a≠0或b≠0，即两者中至少有一个不为0，对照四个选项，只有C与此意思同，C正确；A中a和b都不为0，是a2+b2≠0充分不必要条件；B中a和b至少有一个为0包括了两个数都是0，故不对；D中只是两个数仅有一个为0，概括不全面，故不对；故选C【点评】本题考查逻辑连接词“或”，求解的关键是对≠的正确理解与逻辑连接词至少有一个、和、或的意义的理解．3. 函数当x>2 时恒有>1，则a的取值范围是（）A． B．0 C． D．参考答案：A4. 已知复数若为实数，则实数m的值为（）A. B. C. D.参考答案：D略5. 若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称．则称点对是函数的一个“友好对点”（点对与看作同一个“友好对点”），已知函数，则函数的“友好对点”的个数为（）A．1 B． 2 C．3D．4参考答案：B6. 命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．【解答】解：命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为?x∈[1，2]，a≥x2，恒成立即只需a≥（x2）max=4，即“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选C【点评】本题为找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题．7. 为研究两变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别做了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程m和n，两人计算相同，也相同，则下列说法正确的是（）A．m与n重合B．m与n平行C．m与n交于点（，）D．无法判定m与n是否相交参考答案：C【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线经过样本的中心点，得到直线m和n交于点（，）．【解答】解：两个人在试验中求出变量x的观测数据的平均值都是，变量y的观测数据的平均值都是，∴这组数据的样本中心点是（，），∵回归直线经过样本的中心点，∴m和n都过（，），即回归直线m和n交于点（，）．故选：C．8. 设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么（A）（B）（C）（D）参考答案：C9. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。
2020-2021学年上海市上海交通大学附属中学高二上学期期末数学试题及答案
绝密★启用前2020-2021学年上海市上海交通大学附属中学高二上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件答案：B分析：本题首先可根据复数z 为纯虚数得出0a =以及0b ≠，然后根据充分条件以及必要条件的判定即可得出结果.解：若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠， 则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =， 故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：B.2．已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于1l ：1110a x b y +-=和2l ：2210a x b y +-=的交点情况是（）A ．存在k ，1P ，2P 使之无交点B ．存在k ，1P ，2P 使之有无穷多交点C ．无论k ，1P ，2P 如何，总是无交点D ．无论k ，1P ，2P 如何，总是唯一交点答案：D分析：根据12,P P 在直线1y kx =+上且不重合，得到12210a b a b -≠，由此分析两直线的位置关系，从而判断出直线的交点个数.解：因为直线1y kx =+经过点()0,1不经过原点，点12,P P 在直线1y kx =+上且不重合， 所以12,OP OP 不共线，所以12210a b a b -≠， 因为11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩，即112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩，方程组的系数矩阵为：1122a b a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以111221220a b D a b a b a b ==-≠，所以11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩有唯一解， 所以不论k ，1P ，2P 如何，12,l l 总是唯一交点，故选：D.点评：关键点点睛：二元一次方程组的解可以利用行列式去计算，未知数的系数比例关系决定了行列式的值也具有相应的比例关系.3．平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（）A ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心答案：C分析：将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心.解：三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1A O ⊥平面11AB D ， 所以222222*********1,,AA AO AO A D AO OD A B AO OB =+=+=+ 所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11A O ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心， 故选：C.点评：关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.4．正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DPD CPM ∠=∠，则P 的轨迹为（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分答案：A分析：先确定2PD PC =，再在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，求出P 的轨迹方程，即可得到结论．解：由1DPD CPM ∠=∠易知1Rt DPD Rt CPM ∽ 又M 为1CC 的中点，则12DD PD PC CM==，2PD PC ∴=，在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，设1DC =，(,)P x y ， 由2PD PC ==2244()39x y ∴+-=P 在底面ABCD 内运动， ∴轨迹为圆的一部分故选：A ．点评：关键点点睛：本题的关键是在底面内建立平面直角坐标系，设出点的坐标，求出曲线的轨迹方程，从而判断曲线的轨迹. 二、填空题 5．复数21i-的虚部为____________． 答案：1分析：根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部.解：因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1， 故答案为：1. 6．直线()121:44x t l t R y t =-⎧∈⎨=+⎩，2:30l ax y ++=，若12l l ⊥，则a =____________．答案：12分析：将直线1l 的方程化为普通方程，根据两直线垂直可得出关于a 的等式，即可求得实数a 的值. 解：将直线1l 的方程化为普通方程得260x y -+=，2:30l ax y ++=，且12l l ⊥，所以，210a -=，解得12a =. 故答案为：12. 7．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．答案：11试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．简单的线性规划．8．若方程2(3)40x k i x k ++++=有实数根，则实数k 的取值是____________． 答案：4-分析：将方程整理为：2430x kx k ix ++++=，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出k 的值.解：因为2(3)40x k i x k ++++=有实数根，所以2430x kx k ix ++++=有实根， 所以0x =，所以40k +=，所以4k =-， 故答案为：4-.9．抛物线24y x =的准线方程为______. 答案：116y =-试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是抛物线方程10．已知圆锥底面半径为13_____． 答案：2π分析：由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 解：由已知可得r=1，3132+=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π．点评：本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.11．已知三棱锥A BCD -中，2AB CD ==，3AC BC AD BD ====，则三棱锥A BCD -的体积是____________． 答案：23分析：取AB 中点O ，连接,CO DO ，由条件可证明AB ⊥平面CDO ，由此将三棱锥A BCD -的体积表示为13CDOAB S⨯⨯，计算可得结果.解：取AB 中点O ，连接,CO DO ，如下图所示：因为AC BC AD BD ===，所以,AB CO AB DO ⊥⊥，CO DO O =，CO ⊂平面CDO ，DO ⊂平面CDO ，所以AB ⊥平面CDO ，又因为3AC BC AD BD ====，2AB CD ==，所以()22210322CO DO ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22110221222CDOS⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为11221333A BCD CDOV AB S -=⨯⨯==， 故答案为：23. 点评：关键点点睛：解答本题的关键是通过找AB 的中点，证明出线面垂直，从而将三棱锥的体积表示为13CDO AB S ⨯⨯，区别于常规的13⨯底面积⨯高的计算方法，本例实际可看成是两个三棱锥的体积之和.12．在北纬45°东经30°有一座城市A ，在北纬45°东经120°有一座城市B ，设地球半径为R ，则A 、B 两地之间的距离是______； 答案：3R π 分析：由已知中在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045东经0120有一座城市B ，设地球半径为R ，我们可以求出北纬45︒的纬线圈半径，及连接AB 两点的弦的长，进而求出A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠，代入弦长公式即可得到答案．解：由已知地球半径为R ，则北纬45︒的纬线圈半径为2R ， 又两座城市的经度分别为东经30和东经120︒，故连接两座城市的弦长22L R R ==，则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角3AOB π∠=，所以A 、B 两地之间的距离是3R π. 故答案为：3R π. 点评：本题考查的知识点是球面距离及相关计算，要计算球面两点的球面距离要有两个关键的几何量，一是球的半径R ，一是A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠．13．设双曲线221916x y -=的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若17PF =，则2PF =_________.答案：13分析：根据双曲线定义12||2PF PF a -=，求解.解：由双曲线的定义得12||26PF PF a -==，又17PF =， 所以21PF =，或213PF =经检验21PF c a =-＜，舍去， 所以213PF =. 故答案为：13.14．设复数z ，满足11z =，22z =，123z z i +=-，则12z z -=____________． 答案：6分析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值.解：设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +=，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =12216z z Z Z -==， 6.点评：结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈； （2）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应平面向量OZ .15．已知异面直线a ，b 所成角为70°，过空间定点P 与a ，b 成55°角的直线共有____________条． 答案：3分析：根据条件先将直线,a b 平移至过点P ，然后根据直线,a b 所成角的角平分线以及直线,a b 所在平面的垂线分析与直线,a b 所成角均为55︒的直线的条数. 解：将直线,a b 平移，使两直线经过点P ，如下图所示：设直线,a b 所成角的角平分线为c ，过点P 垂直于直线,a b 所在平面的直线为d ，因为,a b 所成角为70︒，当直线l 经过点P 且直线l 在直线,a b 所在平面内且垂直于直线c ， 此时l 与直线,a b 所成角均为18070552︒-︒=︒； 当直线l 在直线,c d 所在平面内时，若l 绕着P 点旋转，此时l 与直线,a b 所成角相等， 且所成角从70=352︒︒变化到90︒，再从90︒变化到35︒，所以此时满足条件的l 有2条， 综上所述：过空间定点P 与,a b 成55︒角的直线共有3条， 故答案为：3.点评：结论点睛：已知异面直线,a b 所成角为0,2πθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过空间任意一点O 作直线l ，使得l 与,a b 成等角ϕ：（1）当0,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，此时l 不存在； （2）当2θϕ=时，此时l 有一条；（3）当22θπθϕ-<<，此时l 有两条；（4）当2πθϕ-=时，此时l 有三条；（5）当22πθπϕ-<<时，此时l 有四条.16．三角形ABC 的AB 边在平面α内，C 在平面α外，AC 和BC 分别与面α成30和45的角，且平面ABC 与平面α成60的二面角，那么ACB ∠的大小为____________．答案：90或22分析：对ABC ∠为锐角和钝角两种情况讨论，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ，过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，利用空间角的定义结合勾股定理可计算得出ABC 的三边边长，结合余弦定理可求得ACB ∠的大小. 解：分以下两种情况讨论：（1）若ABC ∠为锐角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，223AD AC CD a -=，BC 与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，222BC BD CD a +=，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan 3CD CED DE ∠==3DE ∴=， 2223CE CD DE ∴=+=， CE AB ⊥，22263AE AC CE ∴=-=，2263BE BC CE a =-=， 所以，6AB AE BE a =+=，222AC BC AB ∴+=，所以，90ACB ∠=；（2）若ABC ∠为钝角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，223AD AC CD a -=，BC 与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，222BC BD CD a +=，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan 3CD CED DE ∠==33DE a ∴=， 22233CE CD DE a ∴=+=， CE AB ⊥，2226AE AC CE ∴=-=，226BE BC CE =-=， 所以，6AB AE BE =-=， 在ABC 中，AC 2a =，2BC a =，6AB =， 由余弦定理可得22222cos 23AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅， 0180ACB <∠<，所以，22arccos3ACB ∠=. 综上所述，90ACB ∠=或2arccos3. 故答案为：90或22点评：关键点点睛：本题考查三角形内角的计算，需要对ABC ∠进行分类讨论，解题的关键就是利用线面角、二面角的定义求出ABC 三边的边长，并结合余弦定理求解. 三、解答题17．直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．(1)若1BM AC ⊥，求h 的值；(2)若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．答案：（1）1h =（2）10sin5arc 试题分析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BM ，1AC ，利用10BM AC ⋅=，求出h 的值；（2）求出直线1BA 的方向向量与平面ABM 的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,4A ，()0,2,0C ，()0,2,M h()2,2,BM h =-，()10,2,4AC =- 由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2240h ⨯-= 解得1h =．(2)解法一：此时()0,2,2M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-设平面ABM 的一个法向量为(),,n x y z = 由0{n AB n AM ⋅=⋅=得0{x y z =+=所以()0,1,1n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 52n BA n BA θ⋅===⋅所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C 1AB A M ∴⊥1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； 在1Rt A BM中，11AM A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===所以1arcsin5A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc 点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角θ与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为90或相减为90，且满足sin cos ,m n θ=〈〉.18．已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈． （1）若123x x -=，求实数p 的值； （2）若123x x +=，求实数p 的值． 答案：（1）52p =或2-；（2）2p =-或94．分析：（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值. 解：解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222xx x x x x x x x x x x +=++=+-+，1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==， 综上所述，2p =-或94. 点评：关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.19．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，EAD 和FBC 是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图3，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABEF 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形，点F 在平面ABCD 和BC 上射影分别为H ，M ，已知5HM =米，10BC =米，梯形ABEF 的面积是FBC 面积的2.2倍．设04FMH πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米．现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？ 答案：（1）160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6πθ=．分析：（1）由题意知FH HM ⊥，在Rt FHM 中，5cos FM θ=，得FBC 的面积为25cos θ，从而得屋顶面积为16022cos FBC ABFE S SS θ=+=； （2）别墅总造价为2sin 60096004800057600cos y s h θθ-⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，令()2sin cos f θθθ-=，求导求最值即可求解.解：（1）由题意知FH ⊥平面ABCD ，FM BC ⊥， 又因为HM ⊂平面ABCD ，所以FH HM ⊥， 在Rt FHM 中，5HM =，FMH θ∠=，所以5cos FM θ=，因此FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=， 从而得屋顶面积为25251602222 2.2cos cos cos FBC ABFE S S S θθθ=+=⨯+⨯⨯=， 所以屋顶面积S 关于θ的函数关系式160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）在Rt FHM 中，5tan FH θ=，所以主体的高度为65tan h θ=-， 所以()1605sin 600960065tan 60096006cos cos y s θθθθ⎛⎫=+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭ 2sin 4800057600cos θθ-⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭， 令()2sin cos f θθθ-=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()222cos sin 2sin 12sin cos cos f θθθθθθθ-+--+'==， 令()0f θ'>解得64ππθ<<，令()0f θ'<解得06πθ<<，所以()2sin cos fθθθ-=在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以当6πθ=时，()2sin cos fθθθ-=取得最小值，即当6πθ=时，总造价最低.点评：关键点点睛：本题解题的关键点是找出Rt FHM 的边角关系，表示出FBC 的面积，第二问的关键点是求出下部主体的高度65tan h θ=-即可表示出别墅总造价，利用导数求最值即可. 20．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．答案：（1）11113B F B A =，证明见解析；（2；（3）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．分析：（1）延长AE 交CD 于M ，在11C D 上取点N ，使得1D N DM =，连接1,MN A N ，可证得1//AM A N ，从而可得11//C F A N ，由此可得11113B F B A =，再由11113B F B A =证明线面平行即得； （2）用等体积法可求得点A 到平面BDF 的距离；（3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于E ，连接FQ ，FQP ∠是二面角F BD A --的平面角，设1B F x =，(02)x <<，求出平面角的正切值可得范围，从而得角的范围．解：（1）11113B F B A =时，//AE 平面1BC F ，证明如下： 延长AE 交CD 于M .因为AD ⊥平面11ABB A ，所以DBA ∠是直线BD 与平面11ABB A 所成的角，即30DBA ∠=︒，所以tan 30AD AB =︒=． 由AE BD ⊥，所以30DAE ∠=︒，2tan 303DM AD =︒=， 在11C D 上取点N ，使得123D N =，连接1,MN A N ， ∵11113B F B A =，则123B F =，1143A F C N ==，又11//A F C N ，∴11A FC N 是平行四边形， 11//A N FC ，11,//D N DM D N DM =，1D NMD 是平行四边形，∴1111////,MN DD AA MN DD AA ==，∴1A AMN 是平行四边形，∴1//AM A N∴1//AM C F ，又AM ⊄平面1BC F ，1C F ⊂平面1BC F ，∴//AM 平面1BC F ，即//AE 平面1BC F ．（2）1232322ABD S ==△，1232313F ABD V -=⨯=由长方体性质可得2BF =33BD =，303DF =，∵222BF FD BD +=，∴BF DF ⊥， ∴130152233BDF S ==△，设A 到平面BDF 的距离为h ，则由A BDF F ABD V V --=得 11523339h ⨯=，∴55h =． （3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于Q ，连接FQ ，则FP ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FP BD ⊥，同理FP PQ ⊥， ∵FPPQ P =，,FP PQ ⊂平面FPQ ，∴BD ⊥平面FPQ ，而FQ ⊂平面FPQ ，∴BD FQ ⊥，∴FQP ∠是二面角F BD A --的平面角， 设1B F x =，(02)x <<，则由1BB FP 是矩形得BP x =，11FP BB ==， 则1sin 302PQ BP x =︒=， ∴2tan FP FQP PQ x ∠==(1,)∈+∞，FQP ∠是锐角，∴,42FPQ ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭． ∴二面角F BD A --的范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 点评：方法点睛：本题考查线面平行的性质与判定，考查等体积法求点到平面的距离，考查二面角．求点到平面的距离的方法有三种：一是根据定义作出点到平面的垂线段，求出垂线段的长即得，二是等体积法，三是空间向量法．用定义法求二面角注意三个步骤：一是作出二面角的平面角，二是证明作出的角是二面角的平面角，三是计算．21．设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，左、右焦点分别是1F ，2F ，且122F F =，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4． （1）求E 的标准方程； （2）设椭圆上31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，判断以2PF （2F 为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆的位置关系并说明理由；（3）设点(,)N λμ为曲线E 上确定的一个点，若直线2l ：y kx m =+与曲线E 交于两点C ，D （C ，D 异于点N ），且满足NC ND NC ND +=-，请问直线2l 是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．答案：（1）22143x y +=；（2）内切；答案见解析；（3）2l 恒过定点；定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 分析：（1）根据椭圆的定义求解出,a c 的值，根据222a b c =+求解出22,a b 的值，则椭圆方程可求；（2）先求解出两圆的方程，然后通过计算圆心距和圆的半径，得到圆心距与圆的半径之间的关系，由此确定出两圆的位置关系；（3）根据条件NC ND NC ND +=-可得0NC ND ⋅=，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理形式表示出0NC ND ⋅=对应的坐标形式，由此得到,k m 之间的关系式，从而确定出直线2l 所过的定点.解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，由条件可知：2224c a =⎧⎨=⎩，所以12c a =⎧⎨=⎩，所以222243a b a c ⎧=⎨=-=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=； （2）内切，理由如下：因为31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,0F ，所以2PF 中点为M30,4⎛⎫⎪⎝⎭，且54PM ==， 因此，以2PF 为直径的圆的方程为：22325416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，半径154R =以椭圆E 的长轴为直径的圆的方程为：224x y +=，半径22R =，2134R R ==-， 因此，以2PF 为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆内切； （3）设()()1122,,,C x y D x y ，因为223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2223484120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++， 又因为NC ND NC ND+=-，所以NC ND ⋅=，所以()()()()12120x x y y λλμμ--+--=，所以()()()()12120x x kx m kx m λλμμ--++-+-=， 所以()()()()()222121210k x x k m x x m μλλμ++--+++-=，所以()()()()()()()2222214128340k m k m km m k μλλμ⎡⎤+-+---++-+=⎣⎦， 所以()()()222222271218334460m kkm k m λλμλμμ-++++++-=，又(,)N λμ在E 上，所以223412λμ+=， 所以()()()2222271218121260m kkm k m λμλμ-+++-++-=，所以22227860m km k m λμλμ+-+-=，所以()()2243k m m λμ+=+， 所以43k m m λμ+=+或()43k m m λμ+=-+，当43k m m λμ+=+时，m k λμ=-+，所以()2:l y k x λμ=-+过点(,)N λμ，不满足条件； 当()43k m m λμ+=-+时，77k m λμ=--，所以2:77l y k x λμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以2l 过定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上可知：直线2l 恒过定点,77λμ⎛⎫-⎪⎝⎭. 点评：方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略：（1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 与过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k与,x y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.。
上海交通大学附属中学高二数学上学期期末考试试题含解析
【答案】C
【解析】
【分析】
先对曲线进行转化，再画出曲线的图像，数形结合解决问题。
【详解】对方程:
等价于当 时， ,或
故画出该曲线对应的图像如下所示：
如图实线所示即为该方程表示的曲线，直线 即为满足题意的直线；
不妨联立方程 与
解得 ,即可得 ,
由图容易知当 或 时，
直线 与曲线有4个交点。
(3）设点 在直线 上运动，直线 是否恒过定点？若恒过定点,求出定点坐标；若不存在，请说明理由;
【答案】（1）证明见详解；（2） （3）是，
【解析】
【分析】
（1)联立直线方程与抛物线方程,由 ，即可证明；
（2）根据点 在抛物线上解得 ，进而写出 点坐标,再根据点 既在直线 上，又在抛物线上,联立方程组即可求得 的坐标;
【答案】
【解析】
【分析】
根据一般的结论，取特殊的点 ,结合点在椭圆上，以及圆心到直线的距离等于半径，联立方程组,即可求得结果。
【详解】因为 为椭圆上任意一点，都满足题意，
故设 点坐标为 ，设 。
则点 满足椭圆方程,即可得 ①
直线 方程为
因为该直线与圆相切,
故由圆心到直线的距离公式可得 ②
联立①②，消去 可得：
【详解】根据题意，抛物线的焦点坐标为 。
若直线的斜率不存在,则 两点关于焦点对称，故满足 ；
若直线的斜率不存在，设直线方程为
联立抛物线方程 ,可得
设 ，故 ，不可能等于2，
故此时不存在满足题意的直线.
综上所述，满足题意的直线只有1条.
故选:A。
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题。
16。曲线 ，要使直线 与曲线 有四个不同 交点，则实数 的取值范围是( ）
上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
上海中学高二上期末数学试卷一、填空题1.若复数()1231i z i +=-，则z =______.2.抛物线2y x =的准线方程是______.3.椭圆2236x y +=的焦距是______.4.已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.5.计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.6.已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______.7.已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.8.平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点)M且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.9.1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，P 为椭圆C 上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则椭圆的离心率是______.10.已知一族双曲线n E ：()22*,20192019nx y n N n -=∈≤，设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别是n B ，n C ，记n n n A B C ∆的面积是n a ，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=______. 11.已知点()0,1P ，椭圆()2214x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，当m =______时，点B 横坐标的绝对值最大.12.已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______.二、选择题13.“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要14.双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（）A. B.C.2D.215.给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（） A.1个B.2个C. 3个D.4个16.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 是坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆的面积之和的最小值是（）A. 2B. 3C.D.三、解答题17.已知复数z 满足2274z z i -=+，求z .18.已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.19.假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 20.已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）. （1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 21.由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C 称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，Q ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）线段AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.参考答案一、填空题2. 14x =-3. 44. 15. 56i +6. [)4,+∞7. (-∞8.9.10. 5052 11. 5 12. ①③二、选择题 13-16：BCBB 三、解答题17.32z i =+或12z i =-+. 18.()()211z m m i =++-，（1）12m =-；（2）1z -=5=≥. 19.（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即()320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线()32kx y k -+-的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.20.（1）2212y x -=；（2）点差法：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),M x y ，其中122x x x +=，122y y y +=，()()2211121222221212y x x x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒-+⎨⎪-=⎪⎩()()121212122PQ y y y y y y k x x -+-=⇒=-()121222x x x y y y +==+， 12MA y k x -=-，由PQ MA k k =，可得M 的轨迹方程为22240x x y y --+=.21.（1）1a =.（2）由题意得PQ 方程为()1y k x =-，代入21y x =-得：210x kx k -+-=，所以1x =或1x k =-，所以点Q 的坐标为()21,2k k k --.PQ 方程()1y k x =-代入221x y +=得()22221210k x k x k +-+-=，所以1x =或2211k x k -=+，所以点P 的坐标为22212,11k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 因为QBA PBA ∠=∠，所以BPBQ k k =-，即2222221111kk k k k kk --+=--++，即2210k k --=，解得1k =（负值舍去）.因此存在实数1k =，使QBA PBA ∠=∠. 22.椭圆的内准圆（1）2212x y +=；（2）由直线l 与圆2223x y +=3=，即223220m k --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，()2222222124220x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⇒⎨-⎪=⎪+⎩()121222212my y k x x m k ⇒+=++=+，由向量的平行四边形法则，知OP OA OB OQ λ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r且0λ≠. （0λ=，即0m =时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB ）∴()()1202012002412212km x x x x k y y m y y k λλλλ⎧-⎧+=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩，∵点Q 在椭圆上，∴()()222242221212km m k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得()222412m k λ=+① 由223220m k --=，得22232k m =-，代入①式，得2222441313m m m λ==--，由2320m -≥，得223m ≥，∴224483313m m <≤-，即24833λ<≤② 又0∆>，得2212k m +>③，由①③，得2224m m λ>，∵0m ≠，∴204λ<<④， 由②④，得24833λ<≤，解得3333λ⎡⎫⎛∈--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U ； （3）由（2）知，2222212i m x x k-=+， 而()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222212m k k-=+， ∴2212122322012m k OA OB x x y y k --⋅=+==+u u u r u u u r ，∴OA OB ⊥u u u r u u u r ， ∴223Rt AOT Rt OBT AT BT OT ∆∆⇒⋅==:.。
【精准解析】上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
1.复数 z 满足 i z 1，则 Im z _________. 【答案】 1
【解析】 【分析】 求出复数 z ，然后找出其虚部即可.
【详解】因为 i z 1，故 z 1 i i
故 Im z 1. 故答案为： 1.
【点睛】本题考查复数的化简，以及虚部的辨识，属于基础题.
【详解】根据题意,若直线 x 2 y 3 = 0 与直线 a 1 x by = 2 互相垂直,
则有 a 1 2b = 0 ,变形可得 a 2b =1,
则 ab 1 a 2b 1 ( a 2b )2 1 ,当且仅当 a = 2b 1 时,等号成立;
2
22
8
2
即 ab 的最大值为 1 , 8
PQ 的最小值为_________.
-3-
【答案】 2
【解析】 【分析】 先判断直线与圆的位置关系，再计算圆心到直线的距离，减去半径，即为所求.
【详解】由圆的方程 C : x2 y2 2x 4y 4 0 ，可得圆心为 1, 2 , r 4 16 16 1.
2 因为圆心到直线的距离 d 3 8 4 3 r 1，故直线与圆相离，
2 故答案为： arctan 1 .
2
【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题.
5.若方程 (k 1)x2 (5 2k) y 2 1 表示的曲线为双曲线，则实数 k 的取值范围为_________.
【答案】 (,1) ( 5 , ) 2
-2-
【解析】 【分析】 根据双曲线方程的特点，列出不等式，求解即可.
2.抛物线 y 4x2 的焦点坐标是___________．
上海市交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题Word版含解析
上海市交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题一.填空题1.若集合，，，则实数_______；【答案】【解析】【分析】根据并集定义求结果.【详解】因为，，，所以.【点睛】本题考查集合并集，考查基本求解能力.2.已知关于的二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______________；【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵定义列方程组，解得结果.【详解】【点睛】本题考查增广矩阵定义，考查基本求解能力.3.函数的定义域_______________；【答案】【解析】【分析】根据对数真数大于零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.【详解】由题意得.【点睛】本题考查函数定义域以及解对数不等式，考查基本求解能力.4.已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则等于___________；【答案】【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果.【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.5.函数的最小正周期为___________；【答案】【解析】【分析】先根据两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期. 【详解】，所以周期为；【点睛】本题考查两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式以及正弦函数性质，考查基本求解能力.6.等差数列中，，则该数列的前项的和__________.【答案】52【解析】由等差数列的性质可得+=2，代入已知式子可得3=12，故=4，故该数列前13项的和故答案为：527.已知函数，若函数为奇函数，则实数为_______；【答案】【解析】【分析】令,根据奇函数性质得,化简得结果.最后验证.【详解】令, 则为奇函数，因此当时，；满足条件.因此.【点睛】本题考查奇函数性质，考查基本求解能力.8.数列中，若，，则______；【答案】【解析】【分析】先分组求和得，再根据极限定义得结果.【详解】因为，，……，，所以则.【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.9.设函数在上有定义，对于任意给定正数，定义函数，则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，，则_______________.【答案】【解析】【分析】根据定义化简，再根据分段函数求结果.【详解】因为,因此.【点睛】本题考查分段函数解析式以及求分段函数值，考查基本求解能力.10.在中，边上的中线，若动点满足（），则的最小值是_____________；【答案】【解析】【分析】先根据向量共线得在线段上，再根据向量数量积化简，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】因为，所以三点共线，且在线段上，设，又因为，故最小值为.【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及二次函数性质，考查基本求解能力.11.定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，，令，给出以下四个命题：①若与共线，则；②；③对任意的，有；④（注：这里指与的数量积）其中所有真命题的序号是____________ 【答案】①③④【解析】【分析】根据向量共线、向量数量积以及新定义化简判断命题真假.【详解】因为若与共线，则，故①正确；因为，，故②错误；因为，故③正确；因为，，则化简为：，等式左右两边相等，故④正确；综上，正确的序号为：①③④；【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及新定义理解，考查基本求解判断能力.12.已知为的外心，且，，则实数_____【答案】【解析】【分析】先点乘向量，再根据向量数量积、向量投影化简，最后根据正弦定理、两角和余弦公式化简得结果. 【详解】两边同点乘向量，可得，，所以由向量投影得，所以，由正弦定理知：，【点睛】本题考查向量数量积、向量投影、正弦定理、两角和余弦公式，考查基本分析与求解能力.二.选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13.若平面向量和互相平行，其中，则（）A. B. 或 C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】先根据向量平行得方程解得x，再根据向量模的坐标表示得结果.【详解】因为向量和互相平行，所以，因为则或，选B.【点睛】本题考查向量平行、向量模的坐标表示，考查基本求解能力.14.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的 ( ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据“，得出，根据充分必要条件的定义可判断．【详解】∵中，角所对的边分别为，，或∴根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的充分不必要条件．故选A【点睛】本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．15.函数，若存在，使，那么（）A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理列不等式，解得结果，即得选项.【详解】由题意得或，选C【点睛】本题考查零点存在定理应用，考查基本求解能力.16.定义域为的函数图像的两个端点为，向量，是图像上任意一点，其中，。
上海市交大附中19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
上海市交大附中19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 设x ，y ∈R ，则“x 2+y 2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知复平面内的平行四边形ABCD 中，定点A 对应的复数为i ，向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+i ，则点D 对应的复数为( )A. 2B. 2+2iC. −2D. −2−2i3. 过抛物线y 2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A. 有且只有一条B. 有且只有两条C. 有且只有三条D. 有且只有四条4. 方程(x −y)2+(xy −1)2=0表示的曲线是( )A. 一条直线和一条双曲线B. 两条双曲线C. 两个点D. 以上答案都不对二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 若复数z =i(2−z)，则z = ______ ．6. 设抛物线y =4x 2的焦点为F ，则点F 的坐标为______ ．7. 已知z =1−3i 1+i(i 是虚数单位)，则|z|=________．8. 直线{x =−tcos20∘y =3+tsin20∘ (t 为参数)的倾斜角是______． 9. 方程x 2m+2+y 2m−2=1表示双曲线，则m 的取值范围是______．10. 已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y =0，且点P(−3,2√2)在双曲线上，则双曲线的方程为______ ．11. 点P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x −4y −10=0的距离的最小值为_________． 12. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9，则b =______．13. 已知经过点(m,3)和(2,m)的直线l 与斜率为−4的直线互相垂直，则m 的值是________． 14. 已知向量a ⃗ =(sinθ,−2)与b ⃗ =(1,cosθ)互相垂直，其中θ∈(0,π2).则cosθ=______．15.设定点A(a,a)，P是函数y=1x(x>0)图象上一动点.若点P，A之间的最短距离为√7，则满足条件的实数a的所有值为 ________16.设椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)右顶点和上顶点分别为A，B，直线AB与直线y=−x相交于点P，若P在抛物线y2=−ax上，则椭圆M的离心率等于__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知复数z满足|z|2+(z+z)i=3−i2+i(i为虚数单位)，求z．18.如图，在△ABC中，已知AB=4√2，且角A，B，C满足2sinA+sinC=2sinB，求顶点C的轨迹．19. 已知椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过A(−1,32)、B(√3,−√32)两点，过点P(0,1)的动直线l 与椭圆交于C 、D 两点(1)求椭圆E 的标准方程；(2)当CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，求直线l 的方程．20. 如图所示，抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 且斜率存在的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，已知当直线l 的斜率为1时，|AB|=8． (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点A 作抛物线C 的切线交直线x =p2于点D ，试问：是否存在定点M 在以AD 为直径的圆上？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由21. 椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，|OF⃗⃗⃗⃗⃗ |=1． (1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为 ΔPQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷(解析版)
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷一、填空题1．复数z 满足i •z ＝1．则Imz ＝ ． 2．已知抛物线y ＝4x 2，则焦点的坐标为 ．3．若z =|a a 12|（i 为虚数单位，a ＞0），|z 3|＝5√5，则a 的值为 ．4．直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）的倾斜角为 ．5．若方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为 ． 6．若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，且过点A （1，√10），则双曲线的方程是 ．7．点P 为直线3x +4y +4＝0上的动点，点Q 为圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +4＝0上的动点，则|PQ |的最小值为 ． 8．已知F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且aa 1→⊥aa 2→，若△PF 1F 2的面积为4，则b ＝ ．9．已知a ，b ∈R +，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直，则ab 的最大值等于 ． 10．已知曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．则aa→•aa →的最大值是 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A （a ，a ），P 是函数y =1a （x ＞0）图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 12．已知椭圆Γ：a 29+a 24=1和圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0），设点A 为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交椭圆Γ于B ，C 两点，若直线BC 与圆O 相切，则r ＝ ．二、选择题13．设z 为非零复数，则“z +1a∈R “是|z |＝1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）A ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }B ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a } C ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }D ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a }15．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在16．曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（−53，53） B ．（﹣3，3）C ．（﹣3，−53）∪（53，3）D ．（﹣3，−53）∪（−53，53）∪（53，3） 三、解答题17．已知实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0（a ，b ∈R ）的一根为﹣2i （i 为虚数单位），另一根为复数z ． （1）求复数z ，以及实数a ，b 的值；（2）设复数z 的一个平方根为λ，记λ、λ2、λ﹣λ2在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求（aa→+aa →）•aa→的值． 18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A 、B 、C ，且|OA |＝|OB |＝|OC |＝30km ，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒（注：信号每秒传播V 0千米）．（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O 的距离： （3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？19．已知椭圆Γ：a 2a +1+a 2a=1，过点D （﹣1，0）的直线l ：y ＝k （x +1）与椭圆Γ交于M 、N 两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ．（1）当m ＝1且k ＝1时，求点M 、N 的坐标；（2）当m ＝2时，设aa→=aaa →，aa →=aaa →，求证：λ+μ为定值，并求出该值； 20．设抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），D （x 0，y 0）满足y 02＞2px 0，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2．y 2）．（1）求证：直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切：（2）若点A 坐标为（4，4），点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标：（3）设点D 在直线x +p ＝0上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标：若不存在，请说明理由． 21．已知椭圆Ω：a 216+a 212=1．双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）设直线1经过点E （3，0）与椭圆Ω交于A 、B 两点，求△OAB 的面积的最大值；（3）设直线1：y ＝kx +m （其中k ，m 为整数）与椭圆Ω交于不同两点A 、B ，与双曲线Γ交于不同两点C 、D ，问是否存在直线l ，使得向量aa →+aa →=0→，若存在，指出这样的直线有多少条？若存在，请说明理由．一、填空题1．【详解详析】由i •z ＝1，得z =1a =−a−a 2=−a ， ∴Imz ＝﹣1． 故答案为：﹣1．2．【详解详析】抛物线y ＝4x 2的标准方程为x 2=14y ，焦点在y 轴的正半轴上，p =18，a 2=116， 故焦点坐标为（0，116）， 故答案为：（0，116）．3．【详解详析】z =|a a12|=2a ﹣i ，由|z 3|＝5√5，得|a |3=(√4a 2+1)3=5√5，即4a 2+1＝5，得a ＝1（a ＞0）． 故答案为：1． 4．【详解详析】直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）转换为直角坐标方程为：x ﹣2y ＝2﹣6，即x ﹣2y +4＝0，故直线的斜率为k =12，所以直线的倾斜角为aaaaaa 12． 故答案为：aaaaaa 125．【详解详析】方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线， 可得（k ﹣1）•（5﹣2k ）＜0，解得k ＜1或k ＞52． 故答案为：（﹣∞，1）∪（52，+∞）．6．【详解详析】由题意可知，可设双曲线的方程是x 2−a 29=k ，把点（1，√10）代入方程解得 k =−19，故所求的双曲线的方程是y 2﹣9x 2＝1， 故答案为：y 2﹣9x 2＝1．7．【详解详析】由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1得圆心坐标为C （1，2），半径R ＝1， 圆心到直线的距离d =31424√22=155=3，在|PQ |的最小值为d ﹣R ＝2； 故答案为：28．【详解详析】∵F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|•|PF 2|＝4， ∴（|PF 1|+|PF 2|）2＝4c 2+2|PF 1||PF 2|＝4a 2，∴16＝4（a 2﹣c 2）＝4b 2， ∴b ＝2． 故答案为：2．9．【详解详析】根据题意，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直， 则有（a ﹣1）+2b ＝0，变形可得a +2b ＝1， 则ab =12（a ×2b ）≤12×（a +2a 2）2=18，当且仅当a ＝2b =12时，等号成立；即ab 的最大值为18， 故答案为：18． 10．【详解详析】曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．2cos θ＝1⇒cos θ=12⇒θ=a3； ∴sin a =√32；即Q （1，√32）；∴aa →•aa →=（2cos θ，sin θ）•（1，√32）＝2cos θ+√32sin θ=√192sin （θ+φ）；tan φ=4√34；φ∈（0，a2）； ∴θ+φ∈（φ，φ+5a 6）； ∴θ+φ=a 2时，aa→•aa →取最大值且最大值为√192；故答案为：√19211．【详解详析】设点P (a，1a )(a＞0)，则|PA |=√(a −a )2+(1a −a )2=√a 2+1a 2−2a (a +1a )+2a 2=√(a +1a )2−2a (a +1a )+2a 2−2，令a =a +1a ，∵x ＞0，∴t ≥2，令g （t ）＝t 2﹣2at +2a 2﹣2＝（t ﹣a ）2+a 2﹣2，①当a ≤2时，t ＝2时g （t ）取得最小值g （2）＝2﹣4a +2a 2=(2√2)2，解得a ＝﹣1；②当a ＞2时，g （t ）在区间[2，a ）上单调递减，在（a ，+∞）单调递增，∴t ＝a ，g （t ）取得最小值g （a ）＝a 2﹣2，∴a 2﹣2=(2√2)2，解得a =√10．综上可知：a ＝﹣1或√10．故答案为﹣1或√10．12．【详解详析】不妨取A为椭圆左顶点，则A（﹣3，0），BC方程为x＝r，代入椭圆Γ：a29+a24=1，得y=±23√9−a2．设B（r，23√9−a2），则AB的方程为：23√2=a+3a+3，整理得：2√9−a2a−3(a+3)a+6√9−a2=0．由√2√4(9−a2)+9(a+3)2=a，得（5r﹣6）（r3+12r2+45r+54）＝0，则r=65．故答案为：65．二、选择题13．【详解详析】设z＝x+yi（x，y∈R，不同时为0），则z+1a =x+yi+1a+aa=x+1a2+a2+y（1−1a2+a2）i∈R，∴y（1−1a2+a2）＝0，∴y＝0，x≠0；或x2+y2＝1即|z|＝1．∴“z+1a∈R“是|z|＝1”的必要不充分条件．故选：B．14．【详解详析】由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），且复数对应点的纵坐标大于或等于12，故有|z|≤1，Imz≥12，故选：D．15．【详解详析】过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线y2＝4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0∵A、B两点的横坐标之和等于2，∴2(a 2+2)a2=2，∴方程无解，∴这样的直线不存在．故选：A．16．【详解详析】曲线Γ：（a 24−a25−1）√a2+a2−9=0，可知x，y∈[﹣3，3]，图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由{a 2+a 2=95a 2−4a 2=20，解得y ＝±53， 曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，可得m ∈（﹣3，−53）∪（53，3）． 故选：C ．三、解答题17．【详解详析】（1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数，得z ＝2i ； 利用根与系数的关系，得a ＝﹣2i +2i ＝0，b ＝﹣2i •2i ＝4； （2）复数z ＝2i ，则λ2＝2i ； 设λ＝x +yi ，x 、y ∈R ； 所以x 2﹣y 2+2xyi ＝2i ，即{a 2−a 2=02aa =2，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝﹣1； 所以λ＝1+i ，或λ＝﹣1﹣i ；当λ＝1+i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝1﹣i ； 所以A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），所以（aa →+aa →）•aa →=（1，3）•（1，﹣1）＝1﹣3＝﹣2； 当λ＝﹣1﹣i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝﹣1﹣3i ， 所以A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），所以（aa →+aa →）•aa →=（﹣1，1）•（﹣1，﹣3）＝1﹣3＝﹣2； 综上知，（aa →+aa →）•aa→的值为﹣2． 18．【详解详析】（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号的位置，在以AB 为焦点的双曲线的左支，所以c ＝30，2a ＝40，所以a ＝20，则b ＝10√5， 所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：a 2400−a 2500=1，x ≤0．（2）已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y ＝﹣x （x ＜0）上，所以{a =−aa 2400−a 2500=1，可得x ＝﹣10√20，y ＝10√20，观察员遇险地点坐标（﹣10√20，10√20），观察员遇险地点与监测中心O 的距离：√2000+2000=20√10．（3）由题意可得以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x 2+（y ﹣30）2＝r 2，与a 2400−a 2500=1，x≤0．联立，消去x 可得：9y 2﹣300y +6500﹣5r 2≥0，△＝90000﹣36（6500﹣5r 2）≥0，解得r ≥20√2． 为保证有救援希望，扫描半径r 至少是20√2公里． 19．【详解详析】（1）当m ＝1且k ＝1时，椭圆Γ方程为：a 22+a 2=1，直线l 方程为：y ＝x +1，联立方程{a 22+a 2=1a =a +1，消去y 得：3x 2+4x ＝0，解得：x ＝0或−43， ∵M 点在N 点的右侧， ∴M （0，1），N （−43，−13）； （2）当m ＝2时，椭圆Γ方程为：a 23+a 22=1，联立方程{a 23+a 22=1a =a (a +1)，消去y 得：（2+3k 2）x 2+6k 2x +3k 2﹣6＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴a 1+a 2=−6a 22+3a 2，a 1a 2=3a 2−62+3a 2， ∵E （0，k ），D （﹣1，0），∴aa →=(a 1，a 1−a )，aa →=(a 1+1，a 1)，aa →=(a 2，a 2−a )，aa →=(a 2+1，a 2)， 又∵aa→=aaa →，aa →=aaa →， ∴x 1＝λ（x 1+1），x 2＝μ（x 2+1）， ∴a =a 1a1+1，a =a 2a2+1，∴λ+μ=a 1a 1+1+a 2a 2+1=a 1(a 2+1)+a 2(a 1+1)(a 1+1)(a 2+1)=2a 1a 2+(a 1+a 2)a1a 2+(a 1+a 2)+1=−122+3a 2×2+3a 2−4=3，故λ+μ为定值3．20．【详解详析】（1）由方法一：抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），求导，2yy ′＝2p ，即a 1=aa， 所以在A （x 1，y 1）点的切线的斜率a =a′|a =a 1=aa 1， 所以切线方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，由y 12＝2px 1，整理得yy 1＝p （x +x 1），所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切； 方法二：由题意可知，{aa 1=a (a +a 1)a 2=2aa，消去x ，整理得y 2﹣2y 1y +2px 1＝0， 则△=(2a 1)2−4×2aa 1=4a 12−8aa 1=0， 所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切；（2）方法一：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ， 由D 在抛物线的准线上，所以直线AB 过抛物线的焦点F （1，0）， 所以x 1x 2=a 24=1，y 1y 2＝﹣1，所以x 2=14，y 2＝﹣1，所以B （14，﹣1）；方法二：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ，由（1）可知，直线AD 的方程4y ＝2（x +4），即y =12（x +4），则D （﹣1，32）， 直线BD 的方程yy 2＝p （x +x 2），所以{32a 2=2(−1+a 2)a 22=4a 2，解得{a 2=14a 2=−1，所以B （14，﹣1）；（3）AB 恒过定点（p ，0），理由如下：方法一：设D （﹣p ，y 0），由（1）可知直线AD 的方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，即a =a 1a a −a 122a直线BD 的方程a =a 2aa −a 222a ， 将D （﹣p ，y 0）代入切线方程a 122a −a 1aa 0−a =0，a 222a −a 2aa 0−a =0，所以y 1，y 2是方程a 22a −a0a a −a=0的两根，所以y 1+y 2＝2y 0，y 1y 2＝﹣2p 2．直线AB 的斜率a =a 1−a2a 1−a 2=2aa1+a 2，直线AB 的方程x ﹣x 1=a 1+a 22a（y ﹣y 1）， 即a =a 1+a 22a a −a 1a 22a=a 0aa +a ，所以直线AB 恒过定点（p ，0）．方法二：设D （﹣p ，y 0），由抛物线的极点极线的性质，可知直线AB 的方程为yy 0＝p （x ﹣p ），所以直线AB 恒过定点（p ，0）．21．【详解详析】（1）椭圆的焦点坐标为（±2，0），长轴长为8，设双曲线的方程a 2a 2−a 2a 2=1(a＞0，a＞0)，则a ＝2，c ＝4，则b 2＝12，双曲线的方程a 24−a 212=1；（2）由题意可知过点M 的直线斜率存在且不等于0，设直线l 方程为x ＝my +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组{a =aa +3a 216+a 212=1，消去x ，得（3m 2+4）y 2+18my ﹣21＝0，y 1+y 2=−18a 3a 2+4，y 1y 2=−213a 2+4，所以S △OAB =12×|OE |×|y 1﹣y 2|=12×3×√(a 1+a 2)2−4a 1a 2=12×3×4√3√12a 2+7(3a 2+4)2=6√3√12a 2+7(3a 2+4)2，令12m 2+7＝t ≥7，则a 2=a −712， 所以12a 2+7(3a 2+4)2=16a a 2+18a +81=16a +81a +18≤2√a ×a +18=49，当且仅当t ＝9，即a 2=16时，取等号， 则S △OAB ＝6√3√12a 2+7(3a 2+4)2≤6√3×23=4√3， 所以△OAB 面积的最大值为4√3． （3）存在这样的直线y ＝kx +m ，使得向量aa→+aa→=0→成立，且这样的直线有9条．由{a =aa +a a 216+a 212=1，消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣48＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8aa3+4a 2，△1＝（8km ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣48）＞0，①由{a =aa +a a 24−a 212=1，消去y ，整理得（3﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣m 2﹣12＝0，设C （x 3，y 4），D （x 4，y 4）， 则x 3+x 4=2aa 3−a 2，△2＝（﹣2km ）2+4（3﹣k 2）（m 2+12）＞0，② 因为aa →+aa→=0→，所以（y 4﹣y 2）+（y 3﹣y 1）＝0． 由x 1+x 2＝x 3+x 4得−8aa3+4a 2=2aa3−a 2． 所以2km ＝0或−43+4a 2=13−a 2． 由上式解得k ＝0或m ＝0．当k ＝0时， 由①和②得﹣2√3＜m ＜2√3．因为m 是整数，所以m 的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．当m＝0，由①和②得−√3＜k＜√3．因为k是整数，所以k＝﹣1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．。
【40套试卷合集】上海交通大学附属中学2019-2020学年数学高二上期末模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案数学试题（理科）一、选择题（本大题共有10个小题，每题4分，共40分.每个小题给出的四个选项中只有一个正确.）1．《几何原本》的作者是（）A.欧几里得B.阿基米德C.阿波罗尼奥斯D.托勒玫A. 1,6B. 2,12C. 2,4D. 4,16题图)3．为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( )A．中位数为83 B．众数为85 C．平均数为85 D．方差为194．下列说法中正确的是（）A．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率，因此频率就是概率.B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，每人被抽中概率为11000.C.事件A,B至少有一个发生的概率不一定比事件A,B中恰有一个发生的概率大.D.若事件A,B满足(A)P(B)1P+=，则事件A,B互为对立事件.5．若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为( )A.16B.13C.12D.236．已知双曲线2213xy-=的右焦点F为抛物线C：22(0)y px p=>的焦点，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．4 B．6 C．8 D．167．如下图程序执行后输出的结果是( )A．－1 B．0 C．1 D．2（7题图）（8题图）8.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分（如上图）中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( ) A.42π- B.22π- C.44π- D.24π- 9．已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）A ．4B 4C ．6-10.设A 为椭圆12222=+by a x (0>>b a )上一点, 点A 关于原点的对称点为B, F 为椭圆的右焦点, 且AF⊥BF .若∠ABF∈[12π,4π],则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.）11. 空间直角坐标系中与点(2,3,5)P 关于yoz 平面对称的点为P '， 则PP '= ．12.若直线1y ax =-a （为常数）与直线2cos sin 1+=（）ρθθ平行，则a = .13．如右图，输出结果为 . （13题图） 14. 已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)的右焦点为()4,0F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则a 的取值范围是 . 15.给出下列结论：169，设(),M x y 的动点(),Mx y 分别到两定点()()3,03,0-、连线的斜率之乘积为轨迹为曲线C ，1F 、2F 分别为曲线C 的左、右焦点，则下列命题中： （1）曲线C 的焦点坐标为()15,0F -、()25,0F ；（2）若01290F MF ∠=,则1232F MF S ∆=；（3）当0x <时，12F MF ∆的内切圆圆心在直线3x =-上；（4）设()6,1A，则2MA MF +的最小值为；其中正确命题的序号是： . 三、解答题（本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（1）请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位 数（精确到0.01）；（2）从成绩介于[13,14)和(17,18]两组的人中任取2人， 求两人分别来自不同组的概率.（16题图）17．三角形的三个顶点是(4,0)A -,(2,4)B ,(0,3)C ，点D 为AB 边所在直线上一点， （1）求AB 边的中线所在直线l 的方程；（2）若直线l 是ACD ∠的角平分线，求直线CD 的方程．18.已知圆228x y +=内有一点0(1,2)P -,AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦， （1）当0135α=时，求弦AB 的长；（2）当弦AB 被0P 平分时，圆M 经过点C(3,0)且与直线AB 相切于点0P ，求圆M 的标准方程．19. 已知12,F F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左、右焦点，点0(1,)P y 在椭圆上，且2PF x ⊥轴，12PF F ∆的周长为6；（1） 求椭圆的标准方程； （2）E F 、是曲线C 上异于点P 的两个动点，如果直线PE 与直线PF 的倾斜角互补，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．一、 选择题：1-5：ABCCD 6-10CBBAD 二、填空题：11.4 12.-1 13. 9 14. 02a << 15.（1）（3） 三、解答题16.解：（1） 由图可知众数落在第三组[)16,15是5.1521615=+0……….2分因为数据落在第一、二组的频率5.022.008.0104.01<=⨯+⨯= 数据落在第一、二、三组的频率5.06.038.0108.0104.01>=⨯+⨯+⨯= 所以中位数一定落在第三组[)16,15中.假设中位数是x ，所以()5.038.01522.0=⨯-+x 解得中位数74.157368.1519299≈≈=x ………….4分 （2）由题意，[13,14）组有2人，（17,18]组有3人；…………….6分设[13,14）组中2人分别为A,B;（17,18）组中3人分别为,Y,,，事件A 为抽取的两人来自不同组，则基本事件有：（AB ）,(A),(AY),(A),(B),(BY),(B),(Y),(),(Y)共10种；事件A 包含基本事件有(A),(AY),(A),(B),(BY),(B)共6种…………….8分 所以P(A)=0.6……………………………………………………..………..10分17.解（1）设AB 的中点D 坐标为（x ，y ），则D （-1，2）………2分 又C （0，3）,所以直线l 的方程为3230(1)y x --=--即：3y x =+…....5分（2）设A 点关于直线l 的对称点为(,)A a b '，则43322,0114a b a b b a -+⎧+=⎪=-⎧⎪∴⎨⎨-=-⎩⎪=-⎪+⎩；(3,1);A '-- ……….8分 4CD 33yx ∴=+直线：…………10分 18．解：（1）由题意：圆心O(0,0)，r =1,AB:1k y x =-=-+则直线；…2分 圆心到直线AB的距离d =，弦AB ==………5分 (2)由题意，弦AB 被0P 平分，则0OP AB ⊥…………6分0C 圆M 经过点且与直线AB 相切于点P00M M CP OP ∴圆的圆心为线段的中垂线与直线的交点000000221:2;2217211(,)82142911125(y )104216p c M P OP y x k P C P C y x y x M y x r MP M x ∴=-=-∴=-=-⎧∴-⎨=-⎩∴==∴-++=（-1，2），C(3,0)直线；线段中点为（1，1）线段中垂线：分分分圆的方程为（）分19．解：（1）由题意，12(10),(10)F F -，，，c ＝1, ．．．．．．1分 122228C PF PF c a c ∆=++=+= ．．．．．．2分2,a b ∴==．．．．．．3分∴椭圆方程为 22143x y +=． ．．．．．．4分 （2）由（1）知3(1,)2P ，设直线P Ｅ方程：得3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得22233+4+4(32)4()1202k x k k x k -+--=（） ．．．．．．6分设Ｅ（E x ，E y ），Ｆ（F x ，F y ）．因为点P （1，32）在椭圆上，所以 2234()12234E k x k--=+， 32E E y kx k =+-。
2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案
2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案一、单选题1．已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-,且平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】根据平面向量基本定理只需,a b 不共线即可. 【详解】由题意得,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则,a b 一定不共线,所以1(32)2m m ⨯-≠⨯,解得2m ≠, 所以m 的取值范围是(,2)(2,)-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.2．椭圆22:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交点情况是（ ）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点 D ．由m 的取值而确定【答案】C【解析】先将(21)(1)74,+++=+m x m y m 转化为：()2730x y m x y +-++-=，令30,270xy x y +-=+-=，解出直线过定点()3,1A ，再将()3,1A 代入22:1169x y C +=，判断点与椭圆的位置关系. 【详解】已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 可转化为：()2740x y m x y +-++-= ，令+-=+-=40,270xy x y ，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1A ，将()3,1A 代入22:1169x y C += 可得911169+<，所以点()3,1A 在椭圆的内部， 所以直线与椭圆必相交， 所以必有两个交点. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．过点(1,1)P 作直线与双曲线2212yx -=交于,A B 两点，使点P为AB 的中点，则这样的直线（ ）A ．存在一条，且方程为210x y --=B ．存在无数条C ．存在两条，且方程为2(1)0x y ±+=D ．不存在 【答案】D【解析】分当直线的斜率不存在时，将直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y =，与双曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，分220k -=和22k -≠0两种情况讨论求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y = ，与双曲线只有一个交点，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-，代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，当220k -=时，直线()11y x -=-与双曲线只有一个交点，不符合题意.当22k -≠0时，因为点P 为AB 的中点， 由韦达定理得()1222122k k x x k-+==- ，解得2k = 而当2k =时，222[2(1)]4(2)(32)24160k k k k k k ∆=----+-=-<，所以直线与双曲线不相交. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为A ．221λμ+=B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=【答案】A【解析】由题意得1OA OB OC ===，且0OA OB ⋅=.因为0OC OA uOB λ++=，即OC OA uOB λ=--.平方得：221λμ+=. 故选A.二、填空题5．直线l 的倾斜角范围是__________； 【答案】0,【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是_________；【答案】(0,【解析】根据方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，确定22,4a m b ==，再由,,a b c 的关系求出c ，写出坐标即可.【详解】因为方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b == ，所以c==所以焦点坐标为：(0,.故答案为：(0,.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．抛物线()20y ax a =<的焦点坐标为____________.【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a=，因此，该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基础题. 8i -对应点的直线的倾斜角为_________； 【答案】56π【解析】先利用复数的几何意义，i -对应点的坐标，直线又经过原点()0,0，根据斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】i -对应点)1- ，直线又经过原点()0,0 ，所以斜率103k ==-，所以tan α= ，又因为[0,)απ∈ ， 所以56πα=.故答案为：56π.【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角及其关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________； 【答案】④【解析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】 当0ab 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误. ③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0za bib =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确. 故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10．已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点在C 双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为_________； 【答案】【解析】根据题意得()1,0A -，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到AB k =AB 的方程，求出点(B ，从而可求ABC ∆的面积. 【详解】由题意得，()1,0A - ，因为点B 和C 在双曲线的右分支上，ABC ∆是等边三角形，根据对称性得，AB k =，所以直线AB 的方程是)1y x =+ ，代入双曲线方程，得220x x --= ， 解得2x = 或1x =- （舍去），所以(B ， 所以1233332∆ABCS .故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.11．直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______． 【答案】2x =-或4350x y ++=【解析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程． 【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++= ∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-， 得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=． 故答案为：2x =-或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题． 12．直线2y k =与曲线2222918(,0)k x y k x k R k +=∈≠的公共点的个数为_________； 【答案】4个【解析】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=k x y k x联立得，291840xx -+= ，根据方程根的个数来判断.【详解】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=kx y k x 联立得，291840x x -+=，解得13x =-或13x =+，所以13x=-或13x =-或13x =+或13x=--，故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．当实数,a b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程为_________； 【答案】226n m =-【解析】将(2)()()0++++-=a b x a b y a b 变形为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，令210x y ++=且10x y +-=，求得定点坐标，再代入直线2l 的方程求解. 【详解】因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，对任意的实数,a b 都成立，所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-， 因为 2l 也通过定点()2,3-， 将()2,3-代入220++=m x y n ， 得226n m =-. 故答案为：226n m =- 【点睛】本题主要考查了直线系及其应用，还考查了分析，解决问题的能力，属于基础题.14．动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是_________；【答案】20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【解析】设(),P x y 1x =+，两边平方化简，再去绝对值求解. 【详解】 设(),P x y ，1x =+， 两边平方化简整理得222y x x=- ，当0x > 时，20y =， 当0x ≤ 时，24y x =-，综上：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩.故答案为：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．椭圆2214x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是_________； 【答案】224x y +=【解析】先设1F 是椭圆的另一个焦点，M 是线段PF 的中点，根据三角形的中位线及椭圆的定义可得1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=- ，再根据两圆的位置关系得到结论. 【详解】设1F 是椭圆的另一个焦点，M是线段PF 的中点，根据题意得，1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=-，即以长轴长为直径的圆与以线段PF 为直径的圆相内切， 所以定圆的圆心是()0,0O ，半径r a 2== ，所以定圆的方程为224x y +=， 故答案为：224x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 16．若实数x 、y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是______.【答案】{}0[4,20]⋃ 【解析】【详解】 令(),0y a x y b a b =-=≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，且题设等式化为2242a b a b +-=. 于是，a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分，即点O 与弧ACB 并集. 故{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.从而，{}[]2204,20x ab =+∈⋃.三、解答题17．已知x ∈R ，设22log (3)log (3)z x i x =++-，当x 为何值时： （1）在复平面上z 对应的点在第二象限？ （2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上. 【答案】（1）32x -<<-；（2）5x =【解析】（1）由复平面上z 对应的点在第二象限，根据复数的几何意义，则有22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩求解.（2）由复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.，则复数对应点的坐标()22log (3),log (3)+-x x 在直线上，代入直线方程求解即可. 【详解】（1）因为复平面上z 对应的点在第二象限，所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩，所以03131x x <+<⎧⎨->⎩，解得32x -<<-.（2）因为在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上， 所以22log (3)(3)l 4og +-=x x ，所以3030(3)(3)4x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+-=⎩，解得x =.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及对数方程和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知直线与抛物线交于两点.（1）求证：若直线l 过抛物线的焦点，则212y y p ⋅=-； （2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断. 【答案】（1）证明见解析；（2）逆命题：若212y y p =-，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析【解析】（1）不妨设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =代入22y px =，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =- 代入22y px =，得2220ky py kp --=，再由韦达定理验证.（2）逆命题：直线l 过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0xm m =>代入22y px =，解得12y y == ，再由212y y p ⋅=-，求解.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+ 代入22y px =，得2220ky py pb -+= ，由韦达定理得122pby y k⋅=再由212y y p ⋅=-，求得k 与b 的关系现求解.【详解】（1）设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 两个交点()()1122,,,A x y B x y ，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =，代入22y px =，得1,2y p y p==- ，所以212y y p ⋅=-.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =-， 代入22y px =， 得2220ky py kp --= ，由韦达定理得 212y y p ⋅=-.所以若直线l 过抛物线的焦点时，则212y y p ⋅=-.（2）逆命题：若212y y p ⋅=-，则直线l 过抛物线的焦点. 是真命题证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x m m =>代入22y px =得12y y ==因为212y y p ⋅=-，所以22p -=-，解得2pm =，所以直线过抛物线的焦点.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+， 代入22y px =， 得2220ky py pb -+=，由韦达定理得122pby y k⋅=，又因为212y y p ⋅=-， 所以2pkb =-，所以直线的方程2p y kx b k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭即直线过抛物线的焦点. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．（1）若圆C 的方程是222x y r +=，求证：过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=.（2）若圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为_______，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）200()()()()x a x a y b y b r --+--=；证明见解析；【解析】（1）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x y =--=，再由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x a y b =--=--由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.【详解】（1）设(),P x y 为切线上任一点， 有()()0000,,,PMx x y y CM x y =--= ，因为PM CM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ， 即()()0000,,0x x y y x y --⋅=，又点00(,)M x y 在圆上， 所以22200+=x y r 整理得200x x y y r +=.（2）设(),P x y 为切线上任一点， 则()()0000,,,PMx x y y CM x a y b =--=--，因为PMCM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ， 即()()0000,,0x x y y x a y b --⋅--=，又点00(,)M x y 在圆上， 所以22200()()-+-=xa yb r .整理得200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程问题，还考查推理论证的能力，属于中档题.20．已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，4x =【解析】（1）根据124PF PF +=，且124F F >，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，再求出,a b ，写出方程.（2）先设直线的方程为1x my =+，如果存在，则对任意m 都成立，首先取特殊情况，当0m =时，探究出该直线为:4l x =，再通过一般性的证明即可. 【详解】（1）双曲线2212x y -=的两焦点为())12,F F ，设动点P (),x y ， 因为124PF PF +=，且124F F > ，所以动点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的椭圆.因为22,1ac b ===，所以的轨迹E 方程；2214x y +=.（2）由题意设直线的方程为1x my =+，取0m =，得,1,22R Q ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线1A R的方程是63y x =+，直线2A Q的方程是2y x =-交点为(1S .若1,,R Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知：交点为(24,S .若点S 在同一条直线上，则该直线只能为:4l x =. 以下证明 对任意的m ，直线1A R 与2A Q 交点S 均在直线:4l x =上.由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230m y my ++-= ，设()()1122,,,R x y Q x y ，由韦达定理得：12122223,44m y y y y m m +=-⋅=-++ 设直线1A R 与l 交点为()004,s y ，由011422y y x =++ ，得10162y y x =+.设直线1A R 与l 交点为()004,s y '' ， 由022422y y x '=-- ，得20222y y x '=-，因为()()()12121200121246622222my y y y y y y y x x x x -+'-=-=+-+-，()()2212121244022m m m m x x ---++==+- .所以()004,s y 与()004,s y ''重合.所以当直线l 在变化时，点S 恒在直线:4l x =上. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，还考查了特殊与一般的思想，运算求解的能力，属于难题. 21．已知椭圆E 两焦点12(1,0),(1,0)F F -，并经过点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上； 【解析】（1）已知焦点12(1,0),(1,0)F F -，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得2b ，写出方程即可.（2）设()(),,,M m n N m n -，得到直线AM 的方程为()11n y xx m x =--，直线BN的方程为()22n y x x X m=--，设设交点()00,P x y ，分别代入直线AM ，BN 的方程得()0100yn x my nx -=- ，()0200y n x my nx +=+，两式化简得到220022x y +=，说明交点在椭圆上.（3）根据（2）的论证过程，推知规律是212x x a =. 【详解】根据题意，椭圆的长轴长：2a =+，解得22a = ， 又2211b a =-=，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设()(),,,M m n N m n - ，则直线AM 的方程为()11n y x x m x =--①，直线BN的方程为()22ny xx X m=--②设交点()00,P x y ，代入①②得()0100y n x my nx -=-③，()0200yn x my nx +=+④，③与④两边分别相乘得()22222201200yn x x m y n x -=-，又因为2212m n +=，122x x =，所以220022x y +=，所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合椭圆的方程， 所以直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上.（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上； 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及点与椭圆的位置关系，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于难题.。
上海市上海大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(教师版)
上大附中高二期末数学试卷一．填空题1. 抛物线24y x =的准线方程为_____． 【答案】1x =- 【解析】【分析】本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程． 【详解】由抛物线方程可知，抛物线24y x =的准线方程为：1x =-． 故答案为1x =-．【点睛】本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题．2. 已知3a =，2b =，若3a b ⋅=-，则a 与b 夹角的大小为_________． 【答案】120° 【解析】【分析】直接使用平面向量夹角公式计算即可. 【详解】设a 与b 夹角为θ 所以31cos 322a b a bθ⋅-===-⨯ 由[]0,θπ∈，所以23πθ=，即120θ= 故答案为：1203. 设32iz i+=，期中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为__________________. 【答案】-3 【解析】【详解】试题分析：32i23,iz i +==-复数z 的虚部为3-。
考点：1.复数的运算；2.复数的概念.4. 直线l 在y 轴的截距是2，其方向方向为()1,3d =-，则直线l 的一个点方向式方程为__________．【答案】0213x y --=- 【解析】【分析】设直线l 上的任一点P (x ,y ), 由已知得直线l 经过A (0,2)，结合其方向向量，利用平面向量平行的坐标表示即可写出直线的点向式方程.【详解】设直线l 上的任一点P (x ,y ),由于直线在y 轴上的截距为2，所直线l 经过A (0,2)， 由于直线l 的方向向量为()1,3d =-， 向量()()0,21,3AP x y =---,∴0213x y --=-, 故答案为：0213x y --=-. 【点睛】本题考查直线的点向式方程：经过点()00,x y ，方向向量为(),a b 的直线的点向式方程为00x x y y a b--=. 5. 设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y xm -=的一个焦点，则m =___________【答案】16 【解析】【分析】根据双曲线的焦点坐标，判断出双曲线焦点所在的坐标轴，再根据222c a b =+列方程，求得m 的值.【详解】双曲线的焦点坐标为()0,5F ，故焦点在y 轴上，由222c a b =+得259,16m m =+=. 【点睛】本小题主要考查根据双曲线的焦点坐标求双曲线的方程，属于基础题.6. 圆心为()3,2-，且在x 轴上截得得弦长为2得圆的标准方程是__________． 【答案】()()22325x y -++= 【解析】【分析】先求出圆心到弦所在直线的距离，然后利用垂径定理和勾股定理求得圆的半径，即可写出圆的标准方程.【详解】设圆的半径为r ,∵圆心为()3,2-,∴圆心到x 轴的距离为2，∵圆在x 轴上截得的弦长为2，故半弦长为1， 由垂径定理和勾股定理得：∴222215r =+=， ∴所求圆的标准方程为()()22325x y -++=, 故答案为：()()22325x y -++=.【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，关键是利用垂径定理和勾股定理求得圆的半径.7. 已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则⋅OA OM 的取值范围是______. 【答案】[]0,2 【解析】【分析】因为⋅OA OM (1,1)(,)x y x y =-⋅=-+，令目标函数为z x y =-+，作出可行域，根据图形得到最优解即可得到结果.【详解】因为⋅OA OM (1,1)(,)x y x y =-⋅=-+，令目标函数为z x y =-+， 作出可行域，如图：由图可知，最小值最优解为(1,1)，最大值最优解为(0,2)， 所以02z ≤≤，即⋅OA OM 的取值范围是[]0,2.故答案为：[]0,2【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标表示，考查了线性规划求函数的最值，属于基础题. 8. 在复平面上，已知直线l 上的点所对应的复数z 满足3z i z i +=--，则直线l 的倾斜角为_____________（结果用反三角函数值表示） 【答案】3arctan 2π- 【解析】【分析】利用复数模的几何意义判断出直线l 的轨迹，由此求得直线l 的斜率，进而求得对应的倾斜角. 【详解】由题意得()()3z i z i --=-+，即z 的轨迹是到()0,1A -和()3,1B 两点的距离相等的点，也即线段AB 的垂直平分线，()112303AB k --==-，故32l k =-，斜率为负数，倾斜角为钝角，故倾斜角为3πtan 2arc -.【点睛】本题主要考查复数模的几何意义，考查两直线垂直时斜率的关系，考查反三角函数，属于基础题.9. P 是椭圆221169x y +=上的动点，作PD y ⊥轴，D 为垂足，则PD 中点的轨迹方程为_________．【答案】22149x y +=【解析】【分析】设点P 的坐标为()00,x y ，可得出点()00,D y ，设PD 的中点为(),M x y ，利用中点坐标公式可得出002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得002x x y y =⎧⎨=⎩，代入等式22001169x y +=化简可得PD 中点的轨迹方程.【详解】设点P 的坐标为()00,x y ，则22001169x y +=，由于PD y ⊥轴，D 为垂足，则()00,D y ，设PD 的中点为(),M x y ，则002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得002x x y y =⎧⎨=⎩， 将002x x y y =⎧⎨=⎩代入等式22001169x y +=可得()2221169x y +=，即22149x y +=.故答案为：22149x y +=.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 10. 关于x 的实系数一元二次方程220x px ++=的两个虚根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．【答案】 【解析】【分析】由题意两个虚数根1z ，2z 是共轭复数，可得椭圆的短轴长：122||||b z z p =+=，焦距为122||c z z =-，然后求出长轴长．【详解】因为p 为实数，0p ≠，1z ，2z 为虚数， 所以2420p -⨯<，即28p <，解得p -<由1z ，2z 为共轭复数，知1Z ，2Z 关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上，又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点，根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系， 可得椭圆的短轴长122||||b z z p ==+=，焦距122||c z z =-长轴长2a ==，故答案为：11. 已知i 、j 、k 表示共面的三个单位向量，i j ⊥，那么()()i k j k +⋅+的取值范围是__________．【答案】1⎡+⎣【解析】【分析】计算出i j +的值，利用平面向量的数量积的运算性质结合余弦函数的有界性可求得()()i k j k +⋅+的取值范围.【详解】已知i 、j 、k 表示共面的三个单位向量，i j ⊥，则0i j ⋅=，()22222i j i ji i j j +=+=+⋅+=，所以，()()()21cos ,12cos ,i k j k i j i j k ki j k i j k i j k +⋅+=⋅++⋅+=++⋅<+>=+<+>，而1cos ,1i j k -≤<+>≤，因此，()()112i k j k ≤+⋅+≤+故答案为：1⎡⎣.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．12. 已知圆22:4C x y +=，斜率为k 的直线l 过点()0,1F 与x 轴交于点E ，与圆C 交于点M 、N ，若EM pFM =，EN qFN =，则p q +的取值集合为__________．【答案】83⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】联立方程组，消去y ，得到关于x 的二次方程，设()()1122,,,M x y N x y ，利用向量的坐标运算，求得p ,q 关于12,x x 的表达式，求和并利用韦达定理进行化简可求得p +q=83. 【详解】当k =0时，直线l 与x 轴不相交，不合题意； ∴k ≠0，直线l 的方程为1y kx =+,令y =0得1x k =-,即1,0E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 由2241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得()221230k x kx ++-=, 设()()1122,,,M x y N x y ，则12122223,11k x x x x k k +=-=-++, 由EM pFM =,EN qFN =,得12112211111,1x x k k p q x kx x kx ++==+==+, ∴121212112822233x x p q kx kx kx x ++=++=+=+= ∴p +q 的取值集合为83⎧⎫⎨⎬⎩⎭,故答案为：83⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查直线与圆的相交问题，涉及向量的坐标运算，关键是利用向量的坐标运算求得p ,q 关于12,x x 的表达式，并利用韦达定理将12112p q kx kx +=++进行化简求值. 二．选择题13. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若a b =，则a b = B. 若a b =，则a b C. 若a b >，则a b > D. 若1=a ，则1a =【答案】B 【解析】【分析】根据向量的定义及向量共线的定义依次判断即可得解【详解】对于A ，当a b =，a 和b 的方向未必相同，不能得到a b =，A 不正确； 对于B ，当a b =时，a 和b 的长度相等，方向相同，所以a b 成立，B 正确； 对于C ，两向量长度可以比较大小，向量不能比较大小，C 不正确； 对于D ，1a =表示a 的长度为1，1a =不对，D 不正确.故选：B.【点睛】本题主要考查了对向量概念的理解，属于基础题. 14. 下面是关于复数21iz =-+的四个命题：①2z =；②22z i =；③z 的共轭复数为1i +；④z 的虚部为1-．其中正确的命题 （ ） A. ②③ B. ①②C. ②④D. ③④【答案】C 【解析】 【详解】2222(1)2,11z z z i i i i =⇒====+=-+-+， 22(1)11,12i z i z i i --===--∴=-+-+z 的虚部为1-．所以选②④，选C.15. 若直线2:14x tl y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是（ ） A. 2 B. 1C. 0D. 不确定【答案】A 【解析】【分析】将直线与曲线的参数方程，化为普通方程，通过两者联立或者根据直线是否过曲线内一点，这两种方法都可得出答案.【详解】直线2:14x tl y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程分别为2221,14x y x y =-++=，可知直线l 过点1(,0)2，此点在曲线C 内，所以直线l 与曲线C 有两个交点.故选：A .16. 点(),P x y ，定义()2222a b F x y P -=，如图为双曲线22221x y a b-=及渐近线，则关于点A 、B 、C ，下列结论正确的是（ ）A. ()()()F A F B F C >>B. ()()()F B F C F A >>C. ()()()F A F C F B >>D. ()()()F C F B F A >>【答案】D 【解析】【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，根据这三点与双曲线以及渐近线的位置关系比较()F A 、()F B 、()F C 与0、1的大小关系，由此可得出结论.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，则双曲线的两条渐近线方程为by x a=±， 点A 在直线by x a=的上方，则11b y x a >，则11x y a b <，即110x y a b -<点A 在直线by x a =-的上方，则11b y x a >-，则110x y a b+>，所以，()22111111220x y x y x y F A a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=-=-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，点B 在双曲线22221x y a b-=的外部，则()2222221x y F B a b =-<，B 在直线by x a=的上方，则22b y x a >，可得220x y a b -<，点B 在直线by x a =-的下方，则22b y x a <-，可得220x y a b+<，所以，()22222222220x y xy x y F B a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=-=-+> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()01F B <<；因为点C 在双曲线22221x y a b-=的内部，则()2233221x y F C a b =->.综上所述，()()()F C F B F A >>. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用点与双曲线及其渐近线的位置关系比较代数式的大小关系，解题的关键在于根据点与渐近线、双曲线的位置关系寻找中间值来比较.三．解答题17. 已知()3,1a =-，()1,2b =-．（1）确定实数k 的值，使a kb +与2a b -垂直； （2）求与2a b -同向的单位向量【答案】（1）53k =；（2）⎝⎭． 【解析】【分析】（1）计算()()20a b a kb +⋅=-即可.（2）代入坐标计算22a b a b--即可.【详解】（1）由a kb +与2a b -垂直，则()()20a b a kb +⋅=- 所以()221022a k a b kb +-⋅-=由()3,1a =-，()1,2b =-，所以10,5,5a b a b ==⋅=- 所以()()520215503k k +-⋅--=⇒（2）()25,4a b -=-，所以241a b -=所以与2a b -)5,44141⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭18. 已知z 是复数，2zi+为实数（i 为虚数单位），且4z z i -=． （1）求复数z ；（2）若5z mi -<，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）42z i =+；（2）()1,5-． 【解析】【分析】（1）设(),z a bi a b R =+∈，根据已知条件可得出关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，即可得出复数z 的值；（2）化简复数z mi -，利用复数的模长公式可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，所以，24z z bi i -==，可得2b =，()()()()()()2222422242222555a i i a a i z a i a ai i i i i +-++-++-====++++-为实数， 所以，405a-=，解得4a =，因此，42z i =+； （2）()42z mi m i -=+-，所以，()22425z mi m -=+-<，可得()229m -<，解得15m -<<，因此，实数m 的取值范围是()1,5-. 19. 已知圆()22:18C x y ++=．（1）求过点()3,0Q 的圆C 切线l 的方程；（2）如图，定点1,0A ，M 为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且CM 满足2AM AP =，0NP AM ⋅=，求点N 的轨迹方程．【答案】（1）30x y --=和30x y +-=；（2）2212x y +=.【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论：①直线l 的斜率不存在，写出直线l 的方程，计算圆心到直线l 的距离，可得出结论：②在直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为()3y k x =-，利用圆心到直线l 的距离等于半径可求得k 的值.综合可得出直线l 的方程；（2）求得222NA NC AC+=>=，利用椭圆的定义可知点N 的轨迹为椭圆，求出a 、b 的值，确定焦点的位置，由此可得出点N 的轨迹方程.【详解】（1）圆C 的圆心为()1,0C -，该圆的半径为22r =. 分以下两种情况讨论：①直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3x =，此时圆心C 到直线l 的距离为422d r =>=，不合乎题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()3y k x =-，即30kx y k --=， 由于直线l 与圆C 相切，则24221k k -=+，解得1k =±，此时，直线l 的方程为3y x =-或()3y x =--.综上所述，直线l 的方程为30x y --=或30x y +-=； （2）如下图所示，连接NA ，2AM AP =，则P 为线段AM 的中点，0NP AM ⋅=，NP AM ∴⊥，则直线NP 为线段AM 的垂直平分线，所以，NA NM =， 所以，222NA NC NM NC CM AC +=+==>=， 所以，点N 的轨迹是A 、C 为焦点，且长轴长为2的椭圆，设点N 的轨迹方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，则a =1c =，1b ==，因此，点N 的轨迹方程为2212x y +=.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 20. 已知曲线()()()22:95180C m x m y m -++=∈R ．（1）若曲线C 是椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 的左、右顶点为A 、B ，右焦点()4,0F ，P 是曲线C 上的点且满足PA PF ⊥，求点P 的坐标；（3）在（2）中，设Q 是线段AB 上的一点，Q 到直线AP 的距离等于它到点B 的距离，求曲线C 上的点到Q 的距离d 的最小值．【答案】（1）()()5,22,9-⋃；（2）3,2P ⎛ ⎝；（3）min d = 【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围；（2）设点(),P x y ，可得出225209x y =-，由PA PF ⊥，可得出0AP FP ⋅=，利用平面向量数量积坐标运算可得出关于x 的二次方程，结合66x -<≤可求得x 的值，进而可得出点P 的坐标；（3）设点(),0Q m ，则66-≤≤m ，求出直线AP 的方程，由已知条件可得得出关于m 的等式，解出m 的值，可得出点Q 的坐标，然后曲线C 上一点()00,E x y ，则2205209x y =-，利用二次函数的基本性质可求得d 的最小值.【详解】（1）由于曲线()()()22:95180C m x m y m -++=∈R 表示椭圆，则905095m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得59m -<<且2m ≠， 因此，实数m 的取值范围是()()5,22,9-⋃；（2）当4m =时，曲线C 的方程为2259180x y +=，即2213620x y +=， 则6a =，b =4c ==，所以，椭圆C 的左顶点为()6,0A -，右顶点为()6,0B ，设点P 的坐标为(),x y ，则225209x y =-，()6,AP x y =+，()4,FP x y =-，PA PF ⊥，则()()222254642242024099x x AP FP x x y x x x ⋅=+-+=+-+-=+-=， 整理可得229180x x +-=，66x -<≤，解得32x =，此时，2y =±， 因此，点P的坐标为3,2⎛±⎝⎭； （3）设点(),0Q m ，则66-≤≤m ，设点P在第一象限，则32P ⎛ ⎝⎭，直线AP的斜率为23362APk ==+，直线AP的方程为)63y x =+，即60x +=.由于Q 到直线AP 的距离等于它到点B 的距离，则662m m +=-， 66m -≤≤，662m m +∴=-，解得2m =，即点()2,0Q ， 设曲线C 上一点()00,E x y ，则2205209x y =-，所以，d QE =====当[]096,62x =∈-时，d取最小值，即min d =【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 21. 动圆C 过定点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >，设圆心C 的轨迹为Γ．（1）求轨迹Γ的方程；（2）设直线l 交轨迹Γ于不同的两个点()11,A x y 、()22,B x y ，当12y y p =-时，直线l 过定点，请求出定点坐标；（3）设轨迹Γ上的两个定点()000,P x y 、()000,Q x y ''，分别过点0P 、0Q 作倾斜角互补的两条直线0PM 、0Q N 分别与轨迹Γ交于M 、N 两点，求证：直线MN 的斜率为定值．【答案】（1）()220y px p =>；（2）1,02⎛⎫⎪⎝⎭；（3）002MN pk y y =-'+，证明见解析．【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义可知轨迹Γ为抛物线，确定该抛物线的焦点和准线方程，即可得出轨迹Γ的方程；（2）设直线l 的方程为x my t =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出t 的值，即可得出直线l 所过定点的坐标；（3）设点()33,M x y 、()44,N x y ，根据00P M Q N k k =-可得出()3400y y y y '+=-+，再利用直线的斜率公式可证得结论成立.【详解】（1）由题意可知，圆心C 到点F 的距离等于圆心C 到直线2px =-的距离， 所以，点C 的轨迹Γ是以点F 为焦点，以直线2px =-为准线的抛物线， 因此，轨迹Γ的方程为()220y px p =>；（2）若直线l 垂直于y 轴，则直线l 与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设直线l 的方程为x my t =+，联立22y pxx my t⎧=⎨=+⎩，消去x 可得2220y pmy pt --=，由韦达定理可得122y y pt p =-=-，0p >，解得12t =， 所以，直线l 的方程为12x my =+，因此，直线l 过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）设点()33,M x y 、()44,N x y ，则030302230303022P M y y y y pk y y x x y y p--===--+，同理可得0402Q N p k y y ='+，342MN p k y y =+，由于直线0P M 、0Q N 的倾斜角互补，则00P M Q N k k =-，可得30400y y y y '+++=， 所以，()3400y y y y '+=-+， 因此，直线MN 的斜率为340022MN p pk y y y y ==-'++（定值）.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。
上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
上海中学高二上期末数学试卷2020.01一、填空题1. 若复数()1231i z i +=-，则z =______.2. 抛物线2y x =的准线方程是______.3. 椭圆2236x y +=的焦距是______.4. 已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.5. 计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.6. 已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______.7. 已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.8. 平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不．．．到．过点)M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.9. 1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，P 为椭圆C 上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则椭圆的离心率是______.10. 已知一族双曲线n E ：()22*,20192019nx y n N n -=∈≤，设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别是n B ，n C ，记n n n A B C ∆的面积是n a ，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=______. 11. 已知点()0,1P ，椭圆()2214x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，当m =______时，点B 横坐标的绝对值最大.12. 已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______.二、选择题13. “1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要14. 双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（ ）A. B.C.2D.215. 给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 是坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆的面积之和的最小值是（ ）A. 2B. 3C.D.三、解答题17. 已知复数z 满足2274z z i -=+，求z .18. 已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.19. 假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 20. 已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）. （1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 21. 由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C 称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，Q ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）线段AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.参考答案一、填空题1.2. 14x =-3. 44. 15. 56i +6. [)4,+∞7. (-∞8.9.310. 5052 11. 5 12. ①③【第9题解析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为'1F ，由题意及椭圆对称性，可知'11F PF ∆为等边三角形，'1PF x ⊥轴且经过2F ，∵122F F c =，∴122c PF PF a a +==⇒=. 【第10题解析】设()(),0n n n n A x y y >，其中222019n n nx y -=， n E 为等轴双曲线，其渐近线方程为y x =±，∴2n n n B A C π∠=，∴1122n n n n n a A B A C =⋅⋅=2248076n n x y n -==， ∴12201912201950580762a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==. 【第11题解析】设直线AB 的方程为()1x t y =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r ，知122x x =-，()()()2222214844044x t y t x tx m t x y m⎧=-⇒+++-=⎨+=⎩， ∴()()122222222212222288444422244t t x x x x t t m t m t x x x x t t ⎧⎧+=-=-=⎪⎪++⎪⎪⇒⎨⎨--⎪⎪=-==⎪⎪++⎩⎩，①当0t =时，1m =，20x =； ②当0t ≠时，()()222222222264324414m t t xt t m t-==⇒+=+-+()236411mt m m -⇒=≠-， 此时()()2222364222213241mm m tm x t m ----==+-()22516109444m m m --+-+-==≤， 当5m =时，2x 取得最大值2；综上，5m =.【第12题解析】由题意，点P 为椭圆C ：22216x y m +=与椭圆Γ：222166y x m+=-的交点（共4个），①正确；②错误；点P 靠近坐标轴时（0m →或m →OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得23m =时，取得最小值，此时C ：22163x y +=，Γ：22163y x +=，两方程相加得222222x y +=⇒=，即OP 的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P不在坐标轴上，∴OP <.二、选择题 13-16：BCBB【第15题解析】①④正确，②可利用向量理解，设1z 、2z 在复平面上对应点1Z 、2Z ，则120OZ OZ ⋅=u u u u r u u u u r，反例可以是11z =，2z i =；③的反例0z =. 【第16题解析】1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ()120,0y y ><，其中211x y =，222x y =， 121212222OA OB x x y y y y ⋅=⇒+=⇒=-u u u r u u u r，()21122212121*********1ABO yy S y y y y y y y y ∆==-=-，21111111012481AFO y y S y ∆==， ∴112199288ABO AFO y y S S y y ∆∆+=-=+3≥=. 三、解答题17. 32z i =+或12z i =-+.18. ()()211z m m i =++-，（1）12m =-；（2）1z -=5=≥. 19.（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即()320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线()32kx y k -+-的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.20.（1）2212y x -=；（2）点差法：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),M x y ，其中122x x x +=，122y y y +=，()()2211121222221212y x x x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒-+⎨⎪-=⎪⎩()()121212122PQ y y y y y y k x x -+-=⇒=-()121222x x x y y y +==+， 12MA y k x -=-，由PQ MA k k =，可得M 的轨迹方程为22240x x y y --+=. 21.（1）1a =.（2）由题意得PQ 方程为()1y k x =-，代入21y x =-得：210x kx k -+-=，所以1x =或1x k =-，所以点Q 的坐标为()21,2k k k --.PQ 方程()1y k x =-代入221x y +=得()22221210k x k x k +-+-=，所以1x =或2211k x k -=+，所以点P 的坐标为22212,11k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 因为QBA PBA ∠=∠，所以BPBQ k k =-，即2222221111k k k k k kk --+=--++，即2210kk --=， 解得1k =（负值舍去）.因此存在实数1k =，使QBA PBA ∠=∠. 22. 椭圆的内准圆（1）2212x y +=；（2）由直线l 与圆2223x y +=3=，即223220m k --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，()2222222124220x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⇒⎨-⎪=⎪+⎩()121222212my y k x x m k ⇒+=++=+， 由向量的平行四边形法则，知OP OA OB OQ λ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r且0λ≠. （0λ=，即0m =时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB ）∴()()1202012002412212km x x x x k y y m y y k λλλλ⎧-⎧+=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩， ∵点Q 在椭圆上，∴()()222242221212km m k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得()222412m k λ=+① 由223220m k --=，得22232k m =-，代入①式，得2222441313m m m λ==--，由2320m -≥，得223m ≥，∴224483313m m <≤-，即24833λ<≤② 又0∆>，得2212k m +>③，由①③，得2224m m λ>，∵0m ≠，∴204λ<<④， 由②④，得24833λ<≤，解得3333λ⎡⎛∈--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U ；（3）由（2）知，2222212i m x x k -=+，而()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222212m k k-=+， ∴2212122322012m k OA OB x x y y k--⋅=+==+u u u r u u u r ，∴OA OB ⊥u u u r u u u r ， ∴223Rt AOT Rt OBT AT BT OT∆∆⇒⋅==:.。
上海市交通大学附属中学2019_2020学年高二数学上学期9月月考试题(含解析)
uuur AB
m
uuur uuur uuur 又因为 AP xAB y AC
xm
所以
y mm
uuur AP 即 x y m uuur AM
uuur
当 AP BC 时， AM min
1 , 此时 x y
m
AP uuur
2
2
AM
uuur AP 当 P 与 B ( 或 C ) 点重合时 , 此时 AM max 1 , 此时 x y m uuur 1 AM
3
2n 1
1
= 1 + 1 +……＋ 1
=2
22
2
1
4n 1
=2 (1 3
1 4n
)
，
4
2
1
∴ S2n = ( 1 3
4n) ；
Hale Waihona Puke 又 a1 a2 a3 a4 a5 +…… +（ a2n 2 a2n 1 ）
2
1
1
2
4
2n 2
=1+ 1 + 1 +……＋ 1
=1+ 2
1 4n 1
22
2
11
4
1 =1+ （ 1
的两个点，若对平面中任意的非零向量
r
ur uur
uur
a ，都可以唯一表示为 e1 、 e2 的线性组合，那么 e2 的
个数为 ______.
【答案】 8
【解析】
【分析】
ur uur 根据平面向量基本定理可知 , e1 与 e2 不平行 . 从 A 、 B 、 C 、 D 中任意选取两个点作为向量 ,
, 并集的运算 , 属于基础题 .
2020学年上海市交大附中高二上学期期末数学试题(解析版)
上海市交大附中高二上学期期末数学试题一、单选题1．对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c ∈R ，0a ≠）下列命题不正确的是（ ）A.两根12,x x 满足12bx x a +=-，12c x x a =；B.两根12,x x 满足12x x -C.若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根；D.若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根； 【答案】B【解析】根据一元二次方程根与判别式的关系可知,C D 正确；由韦达定理知A 正确；B 中若两根为虚根，则等式不成立，即B 错误. 【详解】若一元二次方程240b ac ∆=->，则方程有两个相异实根12,x x由韦达定理得：12bx x a +=-，12c x x a =，则,A C 正确；当12,x x 为虚根时，12x x -≠B 错误；若一元二次方程240b ac ∆=-=，方程有两个相等实根，D 正确. 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式之间的关系、韦达定理的应用，属于基础题.2．已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】将问题转化为圆的公切线条数的求解，根据两点间距离公式求得5AB =，可确定两圆外切，由此得到公切线为3条. 【详解】 由题意得：()()2214225AB =-++=∴以A 为圆心，半径为1的圆与以B 为圆心，半径为4的圆相外切 ∴满足条件的直线l 为两个圆的公切线，共有3条故选：C 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用，关键是能够根据两点间距离确定两圆的位置关系，考查了转化化归的数学思想.3．如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若AB a =，AD b =，则AC BD ⋅=（ ）A.22b a -B.22a b -C.22a b +D.ab【答案】A【解析】由AC AD DC =+，BD AD AB =-，根据平面向量数量积运算律、线性运算法则，结合垂直关系可将AC BD ⋅化为22AD AB -，从而得到结果.【详解】AC AD DC =+，BD AD AB =-()()()2AC BD AD DC AD AB AD AB AD DC AD DC ∴⋅=+⋅-=-⋅++⋅AD DC ⊥ 0AD DC ∴⋅=()()222AC BD AD AB AD DC AD AB AC AD AB AB BC∴⋅=-⋅+=-⋅=-⋅+22AD AB AB BC =--⋅AB BC ⊥ 0AB BC ∴⋅=222222AC BD AD AB AD AB b a ∴⋅=-=-=-故选：A 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解，关键是能够灵活应用平面向量的线性运算、向量垂直时数量积等于零的关系，将所求的数量积转化为已知模长的两个向量的形式.4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点， ,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有( ) A.0个 B.1个 C.3个 D.无数个【答案】D【解析】当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心，连接AF 并延长至D ，使12FD AF =，当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，利用“点差法”可证明总存在以D 为中点的弦BC ，从而可得结果. 【详解】抛物线方程为24,,,y x A B C =为曲线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心， 用如下办法构造ABC ∆， 连接AF 并延长至D ，使12FD AF =， 当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，若存在以D 为中点的弦BC ，设()()1122,,,B m n C m n ， 则12120120122,2,BC n n m m x n n y k m m -+=+==-则21122244n m n m ⎧=⎨=⎩，两式相减化为()1212124n n n n m m -+=-， 121202BC n n k m m y -==-，所以总存在以D 为中点的弦BC ， 所以这样的三角形有无数个，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解. 二、填空题5．复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，为纯虚数，i 为虚数单位，实数m =______；【答案】2【解析】根据纯虚数定义可知实部为零，虚部不等于零，由此构造方程组求得结果. 【详解】由纯虚数定义可知：2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得：2m =故答案为：2 【点睛】本题考查纯虚数的定义，易错点是忽略虚部不等于零的要求，属于基础题.6．复数(2)(1)z i i =+-，其中i 为虚数单位,则z 的虚部为_______. 【答案】-1【解析】()()21z i i =+-22i i 13i =-++=-，z ∴的虚部为1-，故答案为1-.7．抛物线212x y =的准线方程为__________.【答案】3y =-【解析】2212,32px py y ==∴=，∴抛物线212x y =的准线方程为32py =-=-，故答案为3y =-. 8．已知向量()1,2a =-，()1,1b =，m a b =-，n a b λ=+，如果m n ⊥，则实数λ=______； 【答案】2；【解析】根据向量垂直可得数量积等于零，由此构造方程求得结果. 【详解】由题意得：()0,3m =-，()1,2n λλ=+-+m n ⊥ 630m n λ∴⋅=-=，解得：2λ= 故答案为：2 【点睛】本题考查根据平面向量垂直关系求解参数值的问题，关键是明确向量垂直等价于数量积为零，属于基础题.9．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为 ． 【答案】3-或2【解析】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =． 【考点】两直线平行．10．设双曲线22219x y b-=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11 【解析】【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =.11．已知实数满足10{103x y x y x -+≥+-≥≤，则23z x y =-的最小值是______．【答案】6-【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线0:230l x y -=，平移直线0l ，当直线0l 过点(3,4)B 时，23z x y =-取得最小值6-.【考点】线性规划.12．若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =________.【答案】1【解析】设i,,z a b a b =+∈R ，则由22i 1z z ⋅=+，得2222i 1b a a b -+=++，则222120b a b a ⎧-=++⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩，即i z =-，即||1z =.13．（理）在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝2，求OC 的坐标为_____________________．【答案】( 【解析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得OA OB OC t OA OB ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭,再根据|OC |＝2，求t,即得结果. 【详解】由题意可设0OA OB OC t t OA OB ⎛⎫⎪=+> ⎪⎝⎭，，所以39(,)55t tOC =-， 因为|OC |＝22t =∴=,即OC 的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】与a 共线的向量为a λ，当0λ>时，为同向；当0λ<时，为反向；与a 共线的单位向量为||aa λ；与(,)a x y =垂直的向量为(,)y x λ-.与AOB ∠平分线共线的向量为()||||OA OBOA OB λ+. 14．参数方程231121t x tt y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______；【答案】()3703x y x +-=≠； 【解析】通过分离常数法可求得131x t =-+、1213y t +=+且3x ≠，由此构造关于,x y 的等式，整理可得结果.【详解】()3112313111t t x t t t +-+===-+++ 3x ∴≠且131x t =-+ ()2131232111t t y t t t-++-===-++++ 1213y t +∴=+ ()2333y x x +∴-=≠，即()3703x y x +-=≠ 故答案为：()3703x y x +-=≠ 【点睛】本题考查参数方程化普通方程的问题，易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误.15．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，1(2,1)e =、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量,任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是 ． 【答案】4ab=1 【解析】【详解】 因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为 ，又双曲线方程为，12OP ae be =+ = ，，化简得4ab=116．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈，且48OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______； 【答案】10；【解析】由()1AP OA λ=-可知,,O A P 三点共线，得到48OA OP ⋅=；根据投影的定义可将所求投影长度转化为248925xx +，当0x =时，cos 0OP θ=；当0x ≠时，利用基本不等式可求得最大值；综合可得最终结果. 【详解】()1AP OA λ=- OA AP OA OP λ∴+== ,,O A P ∴三点共线 48OA OP OA OP ∴⋅=⋅=设OP 与x 轴夹角为θ，(),A x y ，B 为点A 在x 轴上的投影OP ∴在x 轴上的投影长度为222484848cos cos OB xOP x y OAOAθθ===+A 在椭圆221259x y +=上 229925y x ∴=- 248cos 16925xOP x θ∴=+ 当0x =时，cos 0OP θ=当0x ≠时，48cos 1016925OP x x θ=≤=+ 当且仅当16925x x =，即154x =±时取等号综上所述：OP 在x 轴上的投影长度的最大值为10 故答案为：10 【点睛】本题考查平面向量投影长度的求解，关键是能够将所求的投影长度转化为关于某一变量的函数，利用函数最值的求解方法求得结果. 三、解答题17．设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.【答案】（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；【解析】（1）由z 可确定方程两根为,i i -，由韦达定理可求得结果； （2）可确定1z +，1z +为方程的两根，令z a bi =+，韦达定理可得()111z z +⋅+=；令1cos a θ=-+，sin b θ=，利用两点间距离公式可表示出PQ ，利用三角函数的知识求得范围. 【详解】（1）当1z i =-+时，1z i +=∴方程20x mx n ++=的两根分别为：,i i -()()i i m i i n ⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩，即0m =，1n = （2）当1n =时，方程为210x mx ++= 1z ∴+，1z +为方程的两根 设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-()()221111z z a b ∴+⋅+=++= 设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈πPQ ∴===其中3tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()[]sin 1,1θϕ+∈- []4,6PQ ∴∈ 即PQ 的取值范围为[]4,6 【点睛】本题考查复数的定义、几何意义的应用，涉及到复数对应的复平面当中的点的知识；关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根，利用韦达定理构造等量关系.18．（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21z z +都是实数，求虚数z .【答案】（1）1z =-±；（2）12z =-±； 【解析】（1）设z a bi =+，根据复数运算表示出4z z +，令虚部为零可求得0b =或224a b +=；当0b =时，可验证不满足题意；当224a b +=时，利用22z +=可得关于,a b 的方程，联立可求得,a b ，从而得到z ；（2）令21z m z =+，21z n z =+，得到()21z m z =+，()21z n z =+，设z a bi =+，代入整理后，根据复数相等条件可分别得到关于,a b 的方程，解方程组求得,a b ，进而得到z .【详解】（1）设,(,)z a bi a b R =+∈ 则()()22222244444a b z a bi a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫+=++=++-=++- ⎪++++⎝⎭4z R z +∈ 22224410b b b a b a b ⎛⎫∴-=-= ⎪++⎝⎭0b ∴=或224a b += 当0b =时，z a = 22a ∴+=，解得：0a =，与z 为非零复数矛盾，不合题意当224a b +=时，由222z a bi +=++=得：()22222444a b a b a ++=+++=844a ∴+=，解得：1a =-b ∴=1z ∴=-±（2）21z z +与21z z +都是实数 ∴可设21z m z =+，21z n z =+ ()21z m z ∴=+，()21z n z =+ 设()0(,)z a bi b a b R =+≠∈由()21z m z =+得：()()21a bi m a bi +=++，即()2221a b abi m a mbi -+=++()2212a b m a ab mb ⎧-=+∴⎨=⎩22220m a a b a =⎧∴⎨++=⎩由()21z n z =+得：()2212a bi n a b abi +=-++，即()2212a bi n a b abni +=-++()2212a n a b b abn ⎧=-+⎪∴⎨=⎪⎩ 221210n a a b ⎧=⎪∴⎨⎪+-=⎩ 21a ∴=-，解得：12a =-2b ∴==±122z ∴=-±【点睛】本题考查复数的定义及运算，涉及到实数的定义、复数的模长、复数相等的条件、复数运算等知识，关键是能够采用待定系数法，通过实数定义和复数相等构造出方程组求得未知数，进而得到所求复数.19．已知椭圆22142x y +=. （1）M 为直线:142x y l +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值； （2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =，求弦AB 所在的直线方程.【答案】（1；（2）x =或8100y +-=； 【解析】（1）设()2cos N θθ，可知所求最小值为N 到直线l 距离d 的最小值；利用点到直线距离公式表示出d ，利用三角函数知识可求得最小值； （2）设直线AB 参数方程，且,A B 对应参数为12,t t ，根据向量关系可知123t t -=；将参数方程代入椭圆方程，根据韦达定理可求得22t -和223t -，利用22t 构造方程可求得cos 0β=或tan 8β=-，从而得到直线方程.【详解】（1）设()2cos N θθ，∴MN 的最小值即为N 到直线l 距离d 的最小值，又:240l x y +-=d∴==tan 2φ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）∴当()sin 1θϕ+=时，d 取最小值min 5d ∴==即MN（2）设直线AB 的参数方程为：cos 1sin 2x t y t ββ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数且β为直线AB 倾斜角）设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则由3AP PB =得：123t t -=将AB 的参数方程代入椭圆方程化简得：()()2222sin 4sin 30t t βββ+++-=12222sin 21sin t t t βββ+∴+=-=-+，212223322sin t t t β=-=-+22122sin β∴=+⎝⎭，整理可得：2cos 3cos 0βββ+=解得：cos 0β=或tan 8β=-∴弦AB 所在的直线方程为x =12y x -=-即x 或8100y +-=【点睛】本题考查直线参数方程、椭圆参数方程的应用问题；涉及到椭圆上的点到直线距离的最值的求解、定点分弦成比例问题的求解；本题求解弦所在直线方程的关键是能够灵活运用直线参数方程中t 的几何意义，利用韦达定理构造等量关系，从而得到直线的倾斜角，属于较难题. 20．圆(22219:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2OAB π∠=，且2AB OA =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()2211y x y -=≥；（2）1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在)1k =±，m =【解析】（1）确定圆1M 和圆2M 的圆心与半径，根据两圆外切时圆心距和半径之间的关系可得1PM ，2PM ，可知P 点轨迹满足双曲线轨迹，为双曲线的上半支；从而根据定义可求得轨迹方程；（2）设()12:1N N y k x =-，结合渐近线斜率可确定10k -<<，联立直线方程与双曲线方程，利用>0∆即可求得k 的范围；（3）当0k =时，显然不成立；当0k ≠时，设1:OA y x k =-；与抛物线方程联立可求得22,A A x y ，从而表示出2OA ；将l 与抛物线联立，利用弦长公式可求得2AB ，由224AB OA =可整理得到2222m k =-；两直线方程联立可求得A 点坐标，利用A x 建立等式，可得()222211k m k+=-，从而得到方程组，解方程组可求得,m k 的值. 【详解】（1）由圆的方程可知，圆1M 的圆心(10,M ，半径194r =；圆2M 的圆心(2M ，半径214r =设(),P x y ，且动圆P 半径为R则194PM R ==+，214PM R ==+122PM PM ∴-==即P 到1M ，2M 的距离之差为定值2，且122M M >，满足双曲线定义P ∴点轨迹为双曲线的上半支，轨迹方程为：()2211y x y -=≥（2）设直线12N N 方程为：()1y k x =-双曲线渐近线方程为y x =±，且12N N 与双曲线上半支有两个交点10k ∴-<<联立()2211y k x y x ⎧=-⎨-=⎩得：()22221210k x k x k --+-=()2422441840k k k ∴∆=--=->，解得：2k <-或2k >（舍）1,k ⎛∴∈- ⎝⎭，即直线12N N斜率的取值范围为1,⎛- ⎝⎭（3）当0k =时，直线为y m =，显然不成立 当0k ≠时，直线OA 的方程为：1=-y x k 11k ∴->或11k-<- 10k ∴-<<或01k <<联立2211y x k y x ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩得：2221k x k =-，即2221A k x k =-，2211Ay k =- 2222211AAk OA x y k+∴=+=- 联立221y kx m y x =+⎧⎨-=⎩得：()2221210k x kmx m -++-= 则()()222244110k m k m ∆=--->，即2210k m +->设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221km x x k +=--，212211m x x k -=-()()()()()2222222121222241414111m k m AB k x x x x k k k ⎛⎫- ⎪⎡⎤∴=++-=+-⎣⎦ ⎪--⎝⎭2AB OA = 224AB OA ∴=即()()()222222222414441111m k m k k k kk ⎛⎫-+ ⎪+-= ⎪---⎝⎭，整理可得：2222m k =- 联立1y x k y kx m ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得：22,11km m A k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 222211k km k k ⎛⎫∴=- ⎪-+⎝⎭ 整理可得：()222211k m k+=-()22221221k kk+∴-=-，201k <<，解得：)1k =±m ∴=±当m =-l 与轨迹C 无交点，不合题意∴存在)1k =±，m =【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及到圆与圆的位置关系的应用、利用定义求解轨迹方程、根据直线与曲线交点个数求解参数范围、存在性问题的求解；求解存在性问题的关键是能够通过已知的等量关系构造出关于变量的方程，通过解方程的方式求得结果；本题整体计算难度和计算量较大，对于学生运算求解能力有较高的要求，属于难题.21．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-. （1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）3-；（2）存在， C 点的纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞；【解析】（1）设直线:2pMN x my =+，与抛物线联立，利用韦达定理可得2124y y p =-=-，解方程求得p 即可得到抛物线方程；（2）根据221212121216y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+，利用（1）中韦达定理的结论可求得结果；（3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据垂直关系可得0AB BC ⋅=，从而整理得到()43316222y y y =--+++，分别在320y +<和320y +>两种情况下利用基本不等式求得4y 的范围即可.【详解】（1）由22y px =得：,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线MN 方程为：2p x my =+ 与抛物线方程联立可得：2220y mpy p --=设()11,M x y ，()22,N x y ，则2124y y p =-=-，解得：2p =∴抛物线方程为：24y x =（2）由（1）知：221212121214316y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+=-=- （3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭则2334,24y AB y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，224343,4y y BC y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ AB BC ⊥ 0AB BC ∴⋅=，即()()()()22234334342016yy y y y y --+--=由题意知：32y ≠，43y y ≠ ()()3432160y y y ∴+++=()4333316162222y y y y y ∴=--=--++++ ①当320y +<时，4210y ≥= 当且仅当()331622y y -=-++，即36y =-时等号成立 ②当320y +>时，426y ≤-=- 当且仅当()331622y y -=-++，即32y =时取等号 又32y ≠ 46y ∴<-综上所述：存在点,B C ，使得AB BC ⊥；C 点纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、向量数量积的运算、垂直关系的向量表示、存在性问题的求解等知识；求解存在性问题的关键是能够利用已知的等量关系将问题转化为关于某一变量的方程，通过方程求得结果；本题易错点是在运用基本不等式求最值时，忽略等号成立的条件，造成范围求解错误.。
2019-2020学年上海市交通大学附属中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市交通大学附属中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()f x 的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π=【答案】A 【解析】【详解】函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，得cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令23x k ππ-=，可得()f x 的图象的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，则函数()f x 的图象的一条对称轴方程为6x π=，故选A.【考点】三角函数图象变换.2．在等差数列{}n a 中，设*,,,k l p r N ∈，则k l p r+>+是k l p r a a a a +>+的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分非必要条件【答案】D【解析】举出特殊数列的例子，即可排除选项。
【详解】若等差数列为123455,4,3,2,1..a a a a a =====⋯则当1,5,2,3k l p r ====时，k l p r +>+成立，但k l p r a a a a +>+不成立，所以非充分条件当1,2,3,4k l p r ====时，k l p r a a a a +>+成立，但k l p r +>+不成立，所以非必要条件综上可知，k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的既非充分非必要条件 所以选D. 【点睛】本题考查了等差数列的定义，充分必要条件的判定，注意特殊值法在选择题中的应用，属于基础题。