143含有一个量词的命题的否定

全称命题p: ? x∈M ,p(x)， 它的否定? p: ? x0∈M,? p(x0)，
全称命题的否定是特称命题 .
1 4
例题
例1 :写出下列全称命题的否定,并判 断其真假： （1）p：? x∈ R, x2-x+? ≥0; （2）q：所有的正方形都是矩形.
答:（1）? p： ? x∈R, x2-x+?<0; 假
特称命题p: ? x0∈M ,p(x0)，
它的否定? p: ? x∈M,? p(x)，
特称命题的否定是全称命题
例题
例3 :写出下列特称命题的否定： （1）p： ? x0∈R, x02+2x0+2≤0; （2）p：有的三角形是等边三角形; （3）p：有一个素数含三个正因数.
答:（1）? p： ? x0∈R, x02+2x0+2>0; （2）? p：所有的三角形都不是等边三角形; （3）? p：每一个素数都不含三个正因数.
选修2-1
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
复习回顾：
? 全称命题 ? 特称命题 ? 命题的否定和否命题是不是同一概念？
命题的否定的真值与原来的命题（ 相反）. 而否命题的真值与原命题（ 无关 ）.
全称命题和特称命题的否定又是怎样的呢？今天 我们来一起学习一下这节内容：含有一个量词的 命题的否定
否定全称得特称，否定特称得全称，否定肯定得 否定，否定否定得肯定 .
全称命题 p: ? x∈M ,p(x)， 它的否定 ? p: ? x0∈M,? p(x0).
特称命题 p: ? x0∈M ,p(x0)， 它的否定? p: ? x∈M,? p(x).
关键量词的否定
是
相等 是
都是
大于
小于
且
词语 的否 定
探究
指出下列命题的形式，写出下列命题 的否定 :
(1) 所有的矩形都是平行四边形 ;
(2) 每一个素数都是奇数 ; (3) ? x∈R, x2-2x+1≥0.
这些命题和它们的否定在形式 上有什么变化?
以上三个命题都是全称命题,即具有形式 “? x∈M,p(x)”其中命题(1)的否定是“并非所有 的矩形都是平行四边形”, 也就是说,
不等
不是
不都是 小于或等于 大于或等于 或
词语
必有一 个
至少有 n个
至多有 一个
所有x成立
所有x不 成立
词语 的否
定
一个也 没有
至多 有n-1
个
至少有 两个
存在一个x 存在有一
不成立
个x成立
练习：1 写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有人都晨练； （2）p：? x? R，x2＋x+1>0； （3）p：平行四边形的对边相等； （4）p：? x∈R，x2－x+1＝0；
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? 三维目标
? 知识与技能:
?
（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量
词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．
?
（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的
命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命
题进行否定．
? 过程与方法:
?
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的
（1）? P：有的人不晨练； （2）? x ∈R，x2＋x+1≤0；
（3）存在平行四边形，它的对边不相等
（4）? x? R，x2－x+1≠0；
? 练习2 ，写出下列命题的否定 . ? （1） 所有自然数的平方是正数 . ? （2） 任何实数 x都是方程 5x-12=0的根. ? （3） 对任意实数 x，存在实数 y，使x+y＞0. ? （4） 有些质数是奇数 .
（2） ? q：至少存在一个正方形不是矩形;
假
例题
例2 :写出下列全称命题的否定： （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数; （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆; （3）p：对任意x∈Z, x2的个位数字不等于3.
答:（1）? p：存在一个能被3整除的整数不是奇数; （2）? p：存在一个四边形,它的四个顶点不共圆; （3）? p： ? x0∈Z, x02的个位数字等于3.
解（1）的否定：有些自然数的平方不是正数 .
（2）的否定：存在实数 x不是方程 5x-12=0的根. （3）的否定：存在实数 x,对所有实数 y，有 x+y≤0.
所有实数的绝对值都不是正数;
命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱 形” ,也就是说 ,
每一个平行四边形都不是菱形;
命题(3)的否定是“不存在 x∈R, x2+1<0”也, 就是说 ,
? x∈R, x2+1≥0 这三个特称命题的否定都变成了全称命题.
结论
一般地，对于含有一个量词 的特称命题的否定 ,有下面的结论：
探究
写出下列命题的否定:
(1)有些实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3) ? x0∈R, x02+1<0.
这些命题和它们的否定在形式上 有什么变化?
以上三个命题都是特称命题,即具有形式 “? x ∈M, p(x0)”其中命题(1)的否定是“不 存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,
例题
例4 :写出下列命题的否定,并判断其真假： （1）p：任意两个等边三角形都是相似的; （2）p：? x0∈R, x02+2x0+2=0.
（1）? p： 存在两个等边三角形,它们不相似; 假
（2）? p： ? x∈R, x2+2x+2≠0. 真
全称命题、特称命题否定的求法
在具体操作中就是从命题 P把全称性的量词改成存 在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并 把量词作用范围进行否定 .即须遵循下面法则：
能力．
? 情感、态度与价值观：
?
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的
思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
教学重点和难点
? 重 点： ? 1.通过探究，了解含有一个量词的命题与它
们的否定在形式上的变化规律，会正确地 对含有一个量词的命题进行否定． ? 2.会全称量词与存在量词命题间的转化。 ? 难 点： ? 正确地对含有一个量词的命题进行否定。
存在一个矩形不是平行四边形;
命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”,
也就是说, 存在一个素数不是奇数
命题(3)的否定是“并非所有的x∈ R, x2-2x+1≥0”
也就是说, ? x0∈R, x02-2x0+1<0 这三个全称命题的否定都变成了特称命题.
结论
一般地，对于含有一个量词 的全称命题的否定 ,有下面的结论：