143含有一个量词的命题的否定

题型一 全称命题的否定及真假判断
【例1】 写出下列全称命题的否定 ,并判断其否定的真假. (1)p:一切分数都是有理数;
(2)q:直线l垂直于平面α ,则对任意l′? α ,l⊥l′;
(3)s:? x∈Q,使得 1 x2+ 1 x+1 是有理数 .
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解:(1)﹁p:存在一个分数不是有理数,假命题.
答案:(1)上述特称命题的否定分别为①对任意一个数 ,它的绝对值都是正 数.②? x∈Z,x2-1≥0.其否定都变成了全称命题. (2)特称命题的否定与原特称命题的真假性相反 .
梳理 特称命题p
? x0∈M,p(x0)
﹁p ? x∈M,﹁p(x)
结论 特称命题的否定是 全称 命题
课堂探究 素养提升
即时训练1-1:(2018·龙海市程溪中学高二期中)已知命题p:? x1,x2∈R, (f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则﹁p是( ) (A)? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 (B)? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 (C)? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 (D)? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0
解析:(2)命题是全称命题,则命题的否定是? x0∈(0,+∞),等式ln x0=a不 成立,故选C.
题型二 特称命题的否定及真假判断 【例2】 写出下列特称命题的否定 ,并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数; (2)某些平行四边形是菱形; (3)? x0∈R, x0+2 1<0. 解:(1)命题的否定是:“不存在一个实数,它的绝对值是正数” ,也即“所 有实数的绝对值都不是正数”.由于|-2|=2,因此命题的否定为假命题. (2)命题的否定是:“没有一个平行四边形是菱形”,也即“每一个平行四 边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题 .
梳理 全称命题p ? x∈M,p(x)
﹁p ? x0∈M,﹁p(x0)
结论 全称命题的否定是 特称 命题
知识点二 特称命题的否定
问题2:观察下面的两个特称命题,完成以下问题: ①存在一个数,它的绝对值不是正数; ②? x0∈Z, x02-1<0. (1)写出上述特称命题的否定,其否定还是特称命题吗? (2)特称命题否定的命题与原特称命题的真假性有什么关系 ?
(C)? x0∈R, x03 - x02 +1≤0 (D)? x∈R,x3-x2+1>0
(2)(2018·潍坊高二期末)命题 p:“? x0∈R, x02 +2<0”,则﹁ p 为( )
(A)? x∈R,x2+2≥0
(2) 特称命题否定后的真假判断方法 :特称命题的否定是全称命题 ,其真假性
与特称命题相反 ;要说明一个特称命题是真命题 ,只需要找到一个实例即可 .
即时训练 2-1:(1) (2018·潮州市高二期末)命题“? x0∈R, x03 - x02 +1>0”的否定是( )
(A)? x0∈R, x03 - x02 +1<0 (B)? x∈R,x3-x2+1≤0
(2)﹁q:直线l垂直于平面α,则? l′0? α,使l 与l′0不垂直,假命题.
(3)﹁s:?
x0∈Q,使得 1
3
x02
+
1 2
x0+1
不是有理数 , 假命题.
方法技巧 (1)对全称命题否定的两个步骤:①改变量词:把全称量词换 为恰当的存在量词.②否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不 是”“不成立”等. (2)全称命题否定后的真假判断方法 :全称命题的否定是特称命题 ,其真假 性与全称命题相反;要说明一个全称命题是假命题 ,只需举一个反例即可.
(3)命题的否定是 :“不存在 x0∈R, x02 +1<0”, 也即“? x∈R,x2+1≥0”.由于 x2+1≥1>0, 因此命题的否定是真命题 .
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方法技巧
(1)对特称命题否定的两个步骤 :①改变量词:把存在量词换为
恰当的全称量词 . ②否定结论 :原命题中的“有”“存在”等改为“没
有”“不存在”等.
①每一个负数的平方都是正数 . ②? x∈R,x2-2x+3>0. (1)写出上述全称命题的否定 ,其否定还是全称命题吗 ? (2)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗 ?
答案:(1)上述全称命题的否定分别为 ①存在一个负数的平方不是正数 .
②? x0∈R, x02-2x0+3≤0.
其否定都变成了特称命题 . (2)不惟一,如“所有的菱形都是平行四边形” ,它的否定是“并不是所有的菱形都 是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形” .
解析:命题p:? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0是一个全称命题,其否定 是一个特称命题,故﹁p:? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.故选C.
【备用例 1】 (1) 已知命题 p:? x∈R,sin x> 3 ,则( ) 2
(A)﹁p:? x0∈R,sin x 0≤ 3 2
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
课标要求
素养达成
1.理解对含有一个量词的命 题的否定. 2.掌握对含有量词的命题的 真假判断.
通过对含有一个量词的命题的否定的学习 , 使学生体会从具体到一般的认知过程 ,提升 学生的抽象、概括能力.
新知探求 素养养成
知识点一 全称命题的否定
问题1:观察下面两个全称命题 ,完成以下问题:
(B)﹁p:? x0∈R,sin x 0< 3 2
(C)﹁p:? x∈R,sin x< 3 2
(D)﹁p:? x∈R,sin x ≤ 3 2
解析:(1)因为命题 p:? x∈R,sin x> 3 , 2
所以命题 ﹁p:? x0∈R,sin x 0≤ 3 ,故选 A. 2
(2)已知a∈R,命题“? x∈(0,+∞),等式ln x=a成立”的否定形式是( ) (A)? x∈(0,+∞),等式ln x=a不成立 (B)? x∈(-∞,0),等式ln x=a不成立 (C)? x0∈(0,+∞),等式ln x0=a不成立 (D)? x0∈(-∞,0),等式ln x0=a不成立