2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第一章 3-3 全称

3.3全称命题与特称命题的否定
学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
知识点全称命题与特称命题的否定
思考1写出下列命题的否定：
①所有的矩形都是平行四边形；
②有些平行四边形是菱形．
思考2对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？
思考3对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？
梳理(1)全称命题的否定是__________；
(2)特称命题的否定是__________；
(3)常见的命题的否定形式有：
类型一全称命题的否定
例1写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任意n∈Z，则n∈Q；
(2)等圆的面积相等，周长相等；
(3)偶数的平方是正数．
反思与感悟(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．跟踪训练1写出下列全称命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
类型二特称命题的否定
例2写出下列特称命题的否定：
(1)存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)有一个素数含三个正因数．
反思与感悟与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定．
跟踪训练2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x，y∈Z，使得2x＋y＝3.
类型三含有一个量词的命题的否定的应用
例3已知命题p(x)：sin x＋cos x>m，q(x)：x2＋mx＋1>0.如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题，求实数m的取值范围．
引申探究
若例3中“如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于任意x∈R，p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
反思与感悟若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．
跟踪训练3已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．
1．全称命题“任意实数的平方是正数”的否定是()
A．任意实数的平方是负数
B．任意实数的平方不是正数
C．有的实数的平方是正数
D．有的实数的平方不是正数
2．特称命题“有的素数是偶数”的否定是()
A．有的素数不是偶数B．有的素数是奇数
C ．所有的素数都是偶数
D ．所有的素数都不是偶数
3．下列命题的否定为假命题的是( ) A ．存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0 B ．任意x ∈R ，lg x ＜1
C ．所有能被3整除的整数都是奇数
D ．任意x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1
4．若“存在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2，sin x cos x >m ”为假命题，则实数m 的取值范围是________． 5．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根； (2)有些三角形的三条边相等； (3)余弦值为负数的角是钝角．
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词． (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．
答案精析
问题导学 知识点
思考1 答案 ①并非所有的矩形都是平行四边形． ②每一个平行四边形都不是菱形． 思考2 不能． 思考3 不能．
梳理 (1)特称命题 (2)全称命题 (3)不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x ∈A 使p (x )为假 题型探究
例1 解 (1)存在n ∈Z ，使n ∉Q ，这是假命题． (2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题． (3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题．
跟踪训练1 解 (1)存在一个能被3整除的整数不是奇数． (2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆． (3)存在x ∈Z ，x 2的个位数字等于3. 例2 解 (1)任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. (2)所有的三角形都不是等边三角形． (3)每一个素数都不含三个正因数．
跟踪训练2 解 (1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定：
“任意x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”． ∵当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3， 因此命题的否定是假命题． 例3 解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π
4
)>m ，
若p (x )为真命题，则m <－ 2. ∵p (x )为假命题，m ≥－2，①
由q (x )为真命题，则Δ＝m 2－4<0， 即－2<m <2，② 由①②可得－2≤m <2.
引申探究 解 由例3知p (x )为真命题时，m <－2， q (x )为真命题时，－2<m <2.
由题意知p (x )与q (x )两命题有一真一假， 当p (x )为真，q (x )为假时，
⎩⎨
⎧
m <－2，
m ≤－2或m ≥2，
得m ≤－2.
当p (x )为假，q (x )为真时，⎩
⎨⎧
m ≥－2，
－2<m <2，
得－2≤m <2. 所以m 的取值范围是 (－∞，－2]∪[－2，2)．
跟踪训练3 解 在区间[－1,1]中至少存在一个实数c ，使得f (c )>0的否定是在区间[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立．又由二次函数的图像特征可知，
⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
4＋2(p －2)－2p 2
－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，
即⎩⎨⎧
p ≥1或p ≤－1
2，p ≥3
2或p ≤－3.
∴p ≥3
2
或p ≤－3.
故p 的取值范围是－3<p <3
2.
当堂训练
1．D 2.D 3.D 4.[1
2
，＋∞)
5．解 (1)这一命题可表述为对任意的实数m ， 方程x 2＋mx －1＝0必有实数根． 其否定：存在一个实数m ， 使方程x 2＋mx －1＝0没有实数根， 因为该方程的判别式Δ＝m 2＋4>0恒成立，
故为假命题．
(2)由于存在量词“有些”的否定的表述为“所有”，
因此，原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”，假命题．(3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角”，真命题．。