2018版高中数学北师大版选修1-1学案:第一章 3-3 全称
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3.3全称命题与特称命题的否定
学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
知识点全称命题与特称命题的否定
思考1写出下列命题的否定:
①所有的矩形都是平行四边形;
②有些平行四边形是菱形.
思考2对①的否定能否写成:所有的矩形都不是平行四边形?
思考3对②的否定能否写成:有些平行四边形不是菱形?
梳理(1)全称命题的否定是__________;
(2)特称命题的否定是__________;
(3)常见的命题的否定形式有:
类型一全称命题的否定
例1写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)任意n∈Z,则n∈Q;
(2)等圆的面积相等,周长相等;
(3)偶数的平方是正数.
反思与感悟(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.跟踪训练1写出下列全称命题的否定:
(1)所有能被3整除的整数都是奇数;
(2)每一个四边形的四个顶点共圆;
(3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3.
类型二特称命题的否定
例2写出下列特称命题的否定:
(1)存在x∈R,x2+2x+2≤0;
(2)有的三角形是等边三角形;
(3)有一个素数含三个正因数.
反思与感悟与全称命题的否定的写法类似,要写出特称命题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到特称命题的否定.
跟踪训练2写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假:
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)某些平行四边形是菱形;
(3)存在x,y∈Z,使得2x+y=3.
类型三含有一个量词的命题的否定的应用
例3已知命题p(x):sin x+cos x>m,q(x):x2+mx+1>0.如果对于任意x∈R,p(x)为假命题且q(x)为真命题,求实数m的取值范围.
引申探究
若例3中“如果对于任意x∈R,p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于任意x∈R,p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
反思与感悟若全称命题为假命题,通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决,同理,若特称命题为假命题,通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决.
跟踪训练3已知函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使得f(c)>0.求实数p的取值范围.
1.全称命题“任意实数的平方是正数”的否定是()
A.任意实数的平方是负数
B.任意实数的平方不是正数
C.有的实数的平方是正数
D.有的实数的平方不是正数
2.特称命题“有的素数是偶数”的否定是()
A.有的素数不是偶数B.有的素数是奇数
C .所有的素数都是偶数
D .所有的素数都不是偶数
3.下列命题的否定为假命题的是( ) A .存在x ∈R ,x 2+2x +2≤0 B .任意x ∈R ,lg x <1
C .所有能被3整除的整数都是奇数
D .任意x ∈R ,sin 2x +cos 2x =1
4.若“存在x ∈⎣⎡⎦⎤0,π
2,sin x cos x >m ”为假命题,则实数m 的取值范围是________. 5.写出下列命题的否定并判断其真假.
(1)不论m 取何实数,方程x 2+mx -1=0必有实数根; (2)有些三角形的三条边相等; (3)余弦值为负数的角是钝角.
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题: (1)确定命题类型,是全称命题还是特称命题.
(2)改变量词:把全称量词改为恰当的存在量词;把存在量词改为恰当的全称量词. (3)否定结论:原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.
答案精析
问题导学 知识点
思考1 答案 ①并非所有的矩形都是平行四边形. ②每一个平行四边形都不是菱形. 思考2 不能. 思考3 不能.
梳理 (1)特称命题 (2)全称命题 (3)不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x ∈A 使p (x )为假 题型探究
例1 解 (1)存在n ∈Z ,使n ∉Q ,这是假命题. (2)存在等圆,其面积不相等或周长不相等,这是假命题. (3)存在偶数的平方不是正数,这是真命题.
跟踪训练1 解 (1)存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)存在一个四边形,它的四个顶点不共圆. (3)存在x ∈Z ,x 2的个位数字等于3. 例2 解 (1)任意x ∈R ,x 2+2x +2>0. (2)所有的三角形都不是等边三角形. (3)每一个素数都不含三个正因数.
跟踪训练2 解 (1)命题的否定:“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也即“所有实数的绝对值都不是正数”.由于|-2|=2,因此命题的否定为假命题.
(2)命题的否定:“没有一个平行四边形是菱形”,也即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题. (3)命题的否定:
“任意x ,y ∈Z ,2x +y ≠3”. ∵当x =0,y =3时,2x +y =3, 因此命题的否定是假命题. 例3 解 ∵sin x +cos x =2sin(x +π
4
)>m ,
若p (x )为真命题,则m <- 2. ∵p (x )为假命题,m ≥-2,①