数学解题真经(二)认知结构的层次

认知结构的层次
一、认知结构与认知活动的联系
心理学认为：认知结构就是个人将自己所认识的信息组织起来的心理系统。

即人们将所获得的信息经过有效的组织、提炼并储藏于大脑之中的知识结构,又不同于学科知识体系的新结构。

下面谈谈与问题解决有关的认知结构。

心理学认为：我们解决问题的过程就是一个认知活动的过程，它包含感觉、知觉、思维等一系列心理活动。

研究表明：人的认知结构对我们的心理活动有直接影响。

1．认知结构对知觉的影响，表现在知觉信息组织成整体形象和知觉的速度以及知觉的准确性上。

我们的知识经验越丰富，就越能迅速的知觉一件事物，就越能从事物的部分信息对事物作出整体的全面的正确的解释。

当然，知觉的速度与人的思维品质也有关。

2．认知结构对思维过程的影响，主要表现在对问题信息的回想和联想上，认知结构中知识经验越丰富，回想和联想的内容就越广泛。

有利于把问题呈现的信息与认知经验联系起来，有利于对问题信息和知识经验进行比较，寻找二者之间的异同，对问题信息进行合理的有效的加工处理。

3．认知结构对问题解决也有影响，主要表现为迁移作用。

认知经验贫乏的人，其迁移力差，容易受思维定势影响，解题策略贫乏。

认知经验丰富的人，迁移作用积极，其解决问题的方法和途径是多向的，受思维定势的影响较小。

当然，认知经验丰富的人，也可能产生思维定势，较认知经验贫乏的人，其频率必然要小一些。

二、认知结构层次的划分
由于认知结构直接影响着人的认知活动。

而认知活动又直接作用于问题解决，我们有必要对认知结构进行细化。

目前最有影响的美国数学家A•schoenfeld 认为人们在解决数学问题的认知资源包括以下几个方面：
1．与问题领域相关的数学定义、定理等知识以及这些知识的基本应用。

2．推理和论证的法则。

3．算法、法则、操作程序；如基本作图程序。

4．常规的解题策略。

由于人的大脑装着各种各样的知识经验，有自然科学的，有人文科学的，还有不成体系的零散经验。

A•schoenfeld 是根据数学学科要素对认知结构进行分类的。

但是，在问题解决的过程中，并不仅仅依赖于单学科知识，常常是多学科知识的综合运用，而且认知结构中各种知识经验的活性也不相同。

事实上，认知经验的活性才直接影响着解题策略的产生、解题策略的广泛性和解题思维的敏捷性。

鉴于此，我们根据认知结构中的知识经验在解题过程中使用的频率，分为以下三类。

1．习惯结构。

指认知结构中的一些常识、一些习惯，为大多数人所共识的知识经验。

例如：某些公理(如两点确定一直线)，常见的几何图形，常见的位置关系、大小关系（如垂直、平行、5＞3等）。

这些知识经验虽然浅显，但活性强，在解题中使用频率较高，通常是自发性的，无需进行逻辑推理，仅凭习惯经验和直觉就能快速作出判断。

例如，教师让学生作两条互相垂直的直线，绝大部分学生不假思索就会作成图1的样子，很少有人作成图2这种形式。

又如，教师指着正四面体模型问学生：“它的顶点在底面的射影落在什么位置？”即使学生未学习《立体几何》，也能爽快地说出答案。

因为生活中的垂直现象和几何模型经常作用于我们的大脑，形成了习惯结构。

所以，大脑接受信息、加工信息、作出反应的速度快，常常可以迅速找到问题的原形，思维活动不由自主地被习惯结构所支配。

图1 图2 2．熟悉结构。

就是认知结构中熟练的知识经验，是我们通过解题实践和再学习形成的，在解题实践中使用效率最高、活性强。

它是个人体会，为个人专有。

熟悉结构在解题中常常表现出积极主动，我们在解决问题时首先联想到的总是自己的熟悉结构。

一个数学工作者遇到问题时总是首先想到利用自己熟悉的数学知识来解决，很少想到物理、化学、医学、法学、交通规则等这些对他比较陌生的知识经验，是因为数学知识比其他学科的知识更熟悉。

当然，熟悉结构的知识经验不是单学科的，而是多学科的、综合的，在问题解决时总是集体合作。

例如，《中学数学教学》（皖）有奖解题擂台（20）：已知两定点A 、B 与一定圆O ，P 为定圆上的任一点，求∣PA ∣+∣PB ∣的最值。

易知，当线段AB 与⊙O 有交点时，则交点处取最小值。

那么，当线段AB 与⊙O 无交点时，是否存在极值点，如何求极值？至今无人给出求最值的方法。

笔者用数学方法研究数载，丝毫没有进展。

南开中学戴永恒同学苦苦思索，寻找数学方法，也无结果。

后来构造物理模型解决了问题的存在性，找到了最小值点。

解答如下：
如图，我们假设圆为光滑的圆圈，用一条光滑的绳子，一端固定在A 点，另一端绕过圆圈，靠在B 点用力拉紧，直到绳子拉不动为止. 此时A 、B 之间的绳子长就是最小值，圆圈上的绕点就是最小值P 点。

此时，A 、B 的大小相等，其合力等于O ，由平行四边形法则可知BPO APO ∠=∠. 值得说明的是，虽然找到最小值点P 与⊙O 、A 、B 的关系，但仍没有找到求最小值方法.有兴趣的读者可以继续研究.
对于这个数学问题，笔者用数学方法研究数年，屡次失败也未想到用物理方法。

因为长期从事数学教学，其熟悉结构被数学知识垄断，其他学科知识的活性减退。

而戴同学的熟悉结构是多学科的、综合的，除了丰富的数学知识外，还有活性较强的其它学科知识，当一个数学问题在求解途中遇到障碍时，其熟悉结构中的物理知识被激活了，促使数理知识集体合作，积极参与问题解决。

可见，对于一个问题的解决，我们对方法的选择并不是受学科问题的限制，而是受认知结构的熟悉结构所支配。

从我的失败和戴同学的成功已清楚表明：单学科的熟悉结构对于问题解决是软弱的，多学科的综合性的熟悉结构才有利于问题解决。

所以，一个人的知识越多越好，只有知识广博的人才会有优秀的解题能力。

另外，不同的人熟悉结构是不同的。

同一个人的熟悉结构常常不断发生改变，一位数学爱好者如果长期从事物理问题的研究，其熟悉结构必将趋向物理化。

3．存在结构。

就是存在于我们记忆之中，又非熟悉结构的知识经验。

在外界信息的刺激下，通过有意识的回想可以再现出来的知识结构。

对于前面的数学擂台题，笔者苦苦研究数年没有想到用物理方法，并非认知结构中没有物理知识，只是物理知识不在熟悉结构之中，当学生提出物理方
法时，我的思维也豁然开朗，立即肯定了学生解答的优点，同时也指出了求极值时的错误。

显然，我的物理知识在存在结构之中，当外界信息（与学生交流）刺激后，立即就从存在结构中激发出来。

另外，存在结构中各项知识的活性也不一样，有时我们已经发现问题解决必需某一个物理公式，但苦思冥想也写不出公式的原样，只有通过查阅书籍才能复述公式的细节。

显然，这些知识的活性很差，已隐藏在记忆的深处。

三、三类认知结构的关系
1．在问题解决过程中，熟悉结构总是处于优先地位。

我们在寻找问题与认知结构之间的联系时，总是首先想到自己的习惯结构和熟悉结构。

2．熟悉结构和存在结构非一成不变，如果长时间熟悉结构得不到强化就会自动消退，转化为存在结构。

而存在结构的知识通过再学习和强化，也会变得系统有序而充满活力，逐渐转化为熟悉结构。

有一位教师文革期间在铁窗下度过十多年，平反后几乎已成数学废人，后来努力学习，如今又是优秀的教授。

3．认知结构中的知识经验是多学科的，熟悉结构也是多学科的，具有系统性和有序性，在问题解决过程中不是孤立单干，而是集体行动协同合作。

四、熟悉结构说明
对于数学、物理、化学等学科的熟练结构的形成，仅靠识记是不行的。

有些后进生能将教材上的公式、定理朗朗成诵，当独立解题时却一筹莫展。

而数学学习优秀的学生虽不能背诵公式、定理原文，却能灵活解题。

所以，机械识记最多只能将知识符号储存于记忆之中，缺乏与旧的知识结构有机结合，机械孤立没有活性。

熟悉结构通常具有以下特点：
1．熟悉结构是由许多活性较强的知识块组成，每一块知识结构都有一个复杂的网络系统，网络中的点、线都是学科中的概念、公式、方法、解题策略、问题模型和典型个案。

块与块之间并非孤立无关，而是相互交织、紧密联系、协同合作。

2．各项知识和解题策略也是互相联系的。

当我们感知一个新问题后，只要问题的信息传送到熟悉结构中的某一网点，立即向周围辐射，使整个熟悉结构一起工作起来，寻找问题信息的链接点，以求与旧的解题策略联系起来。

可谓“触及一点，全面行动”。

一个人的熟悉结构中的块系统越多，熟悉结构中的网络系统越复杂，问题解决的途径和策略就广泛，问题解决的成功率就越大。

鉴于此，学生必须进行解题实践和再学习，不断充实自己的熟悉结构，这对问题解决大有裨益。

但是，知识多未必就有很强的解题能力，如果这些知识都储藏于存在结构之中，缺乏活性，只是一个知识仓库。

所以，博学的人未必就是创造者。