第31讲容斥原理
小学五年级逻辑思维学习—容斥原理
小学五年级逻辑思维学习—容斥原理知识定位容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。
1. 充分理解和掌握容斥原理的基本概念2. 利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
用法：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1. 容斥原理的基本概念2. 与数论相结合的综合型题目例题精讲【题目】在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
其中6人买了汽水，6人买了可乐，4人买了果汁，有 3人既买了汽水又买了可乐，1人既买了汽水又买了果汁，2人既买了可乐又买了果汁。
问：(1)三样都买的有几人？(2)只买一样的有几人？【题目】某班有学生46人，在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现，有电子琴的22人，两种琴都没有的14人，只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。
小学奥数教程之容斥原理
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。
1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A 的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
用法：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1.容斥原理的基本概念2.与数论相结合的综合型题目例题精讲【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
初中数学重点梳理：容斥原理
容斥原理知识定位在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。
它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A个，属于集合B 的东西有B个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有BA 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有BA 个，则有：B A =A +B -BA 。
知识梳理知识梳理1.容斥原理容斥原理可以用一个直观的图形来解释。
如图，左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ，由图可知：B A =A +B -BA 。
容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。
例题精讲【试题来源】【题目】在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？ 【答案】67【解析】根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。
A BAB在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2⨯1，2⨯2，…，2⨯100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3⨯1，3⨯2，…，3⨯66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6⨯1，6⨯2，…，6⨯33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：200-100-66+33=67(个)【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S。
【答案】1633【解析】1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=50501到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：2⨯1+2⨯2+…+2⨯50=2⨯(1+2+3+…+50)= 2⨯1275=25501到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：3⨯1+3⨯2+…+3⨯33=3⨯(1+2+3+…+33)= 3⨯561=16831到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6⨯1+6⨯2+…+6⨯16=6⨯(1+2+3+…+16)= 6⨯136=816所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S=5050-2550-1683+816=1633【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。
三集合容斥原理问题
行测数学运算技巧：三集合容斥原理问题的解决方法容斥原理类型是目前国家、各地区公务员考试数学运算的“常客”题型，对于大部分应试者来说，还是比较头痛的一种类型。
这里我们介绍一下三集合容斥原理问题的解决方法。
1、三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C2、三个集合的容斥关系(三元)例题：假设有100人参加了三个兴趣小组。
其中参加数学兴趣小组的有55人，参加语文兴趣小组的有65人，参加英语兴趣小组的有70人，同时参加语文和数学兴趣小组的人数是31人，同时参加数学和英语兴趣小组的人数是40人，同时参加语文和英语兴趣小组的有25人，则三个兴趣小组都参加的人数是多少人?(1) A+B+T=至少参与一项的总人数(无重叠)(2) A+2B+3T=至少参与一项的总人数(含重叠部分)(3) B+3T=至少参与两项的总人数(含重叠)(4) T三项都参与的人数。
这里介绍一下A、B、T分别是什么A=x+y+z;表示只参加一个兴趣小组的人数，在图中反应的区域就是每个圆圈互不重叠的部分。
B=a+b+c;表示仅参加了两个兴趣兴趣小组的人数，是图中两两相交的部分总和(不含中间的T区域)T=全部都参加的人数。
也就是图形当中最中间的部分T。
例题通过公式有如下解法：(1) A+B+T=100;(2) A+2B+3T=55+65+70=190(3) B+3T=31+40+25=96实际上我们要求的是T， (1)+(3)-(2)=T。
即得到答案T=100+96-190=63、三元容斥公式应用实例三元容斥涉及的对象比较多。
我们通常建议考生根据不同提问情况区别对待。
本小节先对一般情况的题目做一些分析。
例：如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是：【09国考】A.15B.16C.14D.18【解析】参考答案为B。
高中数学竞赛讲义-容斥原理
§24容斥原理相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。
容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有，其中为n个集合称为A的阶。
n阶集合的全部子集数目为。
例题讲解1．对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。
那么，对于n=7。
求所有子集的“交替和”的总和。
2．某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：优秀的人数：数学21个，物理19个，化学20个，数学物理都优秀9人，物理化学都优秀7人。
化学数学都优秀8人。
这个班有5人任何一科都不优秀。
那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的三科分别有多少个人。
3．计算不超过120的合数的个数4．1992位科学家，每人至少与1329人合作过，那么，其中一定有四位数学家两两合作过。
5．把个元素的集合分为若干个两两不交的子集，按照下述规则将某一个子集中某些元素挪到另一个子集：从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数（前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数），证明：可以经过有限次挪动，使得到的子集与原集合相重合。
6．给定1978个集合，每个集合都含有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有一个公共元，证明：存在一个元素，它属于全部集合。
7．在个元素组成的集合中取个不同的三元子集。
证明：其中必有两个，它们恰有一个公共元。
例题答案：1．分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。
数学———容斥原理
数学———容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）（把A、B两个集合的元素个数相加，因为既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
）总数=两个圆内的-重合部分的（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C 类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B 类而且是C类的元素个数。
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C总数=三个圆内的—重合两次的+重合三次的【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( ) A.22B.18C.28D.26【解析】：设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A ∪B=50-28=22。
答案为A。
【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问两个频道都没看过的有多少人？【解析】：设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。
【例题3】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A ∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
小学数学奥林匹克辅导小升初专题容斥原理
小学奥林匹克数学辅导-----------容斥原理在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝.我们称一些事物的全体为一个集合.A ＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。
例1 B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，⋯｝是一个具体有无限多个元素的集合。
例2 C=｛在1，2，3，⋯，100中能被3整除的数｝＝（3，6，9，12，⋯，99｝是一个具有有限多个元素的集合。
集合通常用大写的英文字母A、B、C、⋯表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A 的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B 这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符|A| 、| B| |C|、⋯表示。
记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。
例3 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。
记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。
下面再举例介绍补集的概念。
例4 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。
补集（或余集），如右图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）.对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。
容斥原理(数学技巧点拨系列)
容斥原理【知识点讲解】1、原理容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
2、解释由图可以直接看出各部分之间的关系由Venn图可知：（A∪B=A+B-A∩B)由Venn图可知：（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）3、应用两类如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
三类如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
4、解题导语使用容斥原理一般用于集合相关问题中，但是此类思想在数学学习中仍有巨大作用。
例如在计数原理中使用间接法等等。
因此学习此类问题对数学能力的提升是有很大帮助的，它可以帮助你换一个角度看数学题，从而找到更简单的办法。
【例题详析】例1、（2020宁夏）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）A ．80B ．70C ．60D ．50【参考答案】B【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有90-60=30位，因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，所以只阅读过《红楼梦》的学生共有80-60=20位，所以只阅读过《西游记》的学生共有30-20=10位，故阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70位，【方法解析】由两类的容斥原理得：总人数=阅读过《西游记》+阅读过《红楼梦》-阅读过《红楼梦》和《西游记》的，由此得阅读过《西游记》的学生人数=90+60-80=70（位）例2：某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有（）名．A ．62B ．56C ．46D ．42【参考答案】C【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A ，B ，依题意，集合A ，B ，A B 中元素个数分别为：()60,()82,()96n A n B n A B ==⋃=，则()()()()60829646n A B n A n B n A B ⋂=+-⋃=+-=，所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有46名.例3．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（）A ．120B ．144C ．177D ．192【参考答案】A 【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ===⋂⋂=不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ⋂=+⋂=+⋂=+46x y z ++=，由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C -=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂638947(24)(24)(24)24x y z =++-+-+-++解得：120n =【跟踪训练】一、单选题1．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A ．27B ．23C ．15D ．72．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（）．A．25种B．27种C．29种D．31种3．为了丰富同学们的课外生活，某班58名同学在选课外兴趣小组时，选择篮球小组的有28人，选择乒乓球小组的有36人，既没有选择篮球小组又没有选择乒乓球小组的有12人，那么选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为（）A．8B．10C．18D．204．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修篮球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有（）名A．10B．12C．14D．165．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（）人A．240B．180C．120D．606．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级优秀合格合计项目除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5B．10C．15D．207．高考“33 ”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.48．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.89．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为45％，电视机拥有率为55％，洗衣机拥有率为65％，拥有上述三种电器的任意两种的占35％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的农户所占比例是（）A．20％B．10％C．15％D．12％10．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题11．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．12．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为__________．13．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.14．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．15．某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人.设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为x，则x的最小值是_________.16．网络流行词“新四大发明’’是指移动支付､高铁､网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________. 17．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________. 18．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为________19．某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.20．某班进行集体活动，为活跃气氛，班主任要求班上60名同学从唱歌、跳舞、讲故事三个节目中至少选择一个节目、至多选两个节目为大家表演，已知报名参加唱歌、跳舞、讲故事的人数分别为40，20,30，同时参加唱歌和讲故事的有15人，同时参加唱歌和跳舞的有10人，则同时只参加跳舞和讲故事的人数为__________．21．对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有________人. 22．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________【参考答案】1．B【详解】设高三（1）班有50名学生组成的集合为U ,参加田赛项目的学生组成的集合为A ，参加径赛项目的学生组成的集合为B由题意集合A 有15个元素，B 有20个元素，A B 中有8个元素所以A B 有15+20827-=个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为5027=23-故选：B2．C【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有19316-=（种)；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是1416129+-=（种)；分别用集合A 、B 、C 表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，如图所示．故选：C ．3．B【详解】设既选择篮球小组又选择乒乓球小组的有x 人，则选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的有()28x -人，选择乒乓球小组但没有选择篮球小组的有()36x -人.由题意可得()()12283658x x x +-+-+=，解得18x =，所以选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为2810x -=.【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有x 名，由容斥原理得20182850x ++-=，解得16x =.故选：D.5．B【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，由题意可得()102040x -+=，解的30x =，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为303000180500⨯=.6．C【详解】用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示植树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则U A ð表示除草合格的学生，则U B ð表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=．故选：C ．【详解】选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为200.2100=．故选：B8．C【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选C.9．A【详解】解：设农户总共为100家，则有55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65家农户有洗衣机，有25家农户同时拥有这三种电器，另外75家只有其中两种或一种或没有电器．设只有电冰箱和电视机的农户有a 家，只有电冰箱和洗衣机的农户有b 家，只有洗衣机和电视机的农户有c 家，只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有d 、e 、f 家，没有任何电器的农户有x 家．那么对于拥有电冰箱的农户可得出：2545a b e +++=①那么对于拥有电视机的农户可得出：2555a c d +++=②那么对于拥有洗衣机的农户可得出：2565b c f +++=③把上面三个式子相加可得：()290a b c d e f +++++=④对于拥有上述三种电器的任意两种的占35%，得到：35a b c ++=⑤把⑤代入④可得到20d e f ++=⑥因为农户共有100家，所以25100a b c d e f x +++++++=，把⑤和⑥代入上式得到20x =，即一种电器也没有的农户所占比例为20%，10．C【详解】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A ，B ，C ，集合A ，B ，C 中元素个数分别为n A ．，n B ．，n C ．，则n A ．14=，n B ．10=，n C ．8=，()20n A B C ⋃⋃=，因为()n A B C n ⋃⋃=A ．n +B ．n +C ．()()()()n A B n A C n B C n A B C -⋂-⋂-⋂+⋂⋂，且()()n A B n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n A C n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n B C n A B C ⋂⋂⋂ ，所以1410820()3()n A B C n A B C ++-+⋂⋂⋂⋂ ，即1410820()62n A B C ++-⋂⋂= ．故选：C ．11．52【详解】解：设参加羽毛球赛为集合A ，参加乒乓球赛为集合B ，依题意可得如下韦恩图：所以该班一共有1762952++=人；故答案为：5212．23【详解】由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的同学共有781227++=人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为502723-=人.13．12【详解】设会骑车的人组合的集合为A ，会驾车的人组成的集合为B ，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,易知A B C = ，记card()A 表示集合A 中的元素个数，则有()()()()68625773card A B card A card B card A B =+-=+-= ，所以既不会骑车也不会驾车的人为857312-=.故答案为：1214．20【详解】设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为x ，以集合U 表示该班集体，集合A 表示参加数学竞赛的学生组成的集合，集合B 表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：由题意可得()()322856545x x x x -++-+=-=，解得20x =.故答案为：20.15．7【详解】设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为y ，则352048x y +-+=，即7x y -=，因为0y，所以7x .因为20x ，所以720x .故答案为：7.16．710##0.7【详解】根据题意，将使用过移动支付､共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示，所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为6010710010+=.故答案为：710.17．5【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A ，B 、C ，同时参加数学和化学小组的人数为x ，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，如图所示：由图可知：20654939x x x -+++++-=，解得5x =，所以同时参加数学和化学小组有5人.故答案为：5.18．28【详解】6 人这两项运动都不喜欢，∴喜欢一项或两项运动的人数为40634-=人；∴喜欢两项运动的人数为：2416346+-=人，∴喜欢篮球的人数为24618-=人；喜欢乒乓球的人数为16610-=人；∴只喜欢其中一项运动的人数为181028+=人.故答案为：28.19．5【详解】以集合A 、B 、C 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：设同时参加这三个兴趣小组的同学有x 人，由图可得()()()209111555245x x x x x +-+-+-+=-=，解得5x =.故答案为：5.20．5【详解】参加唱歌、跳舞、讲故事的人分别用集合,,A B C 表示，作出Venn 图，如图，图中字母表示相应区域人数，则0n =，又40a b m ++=，20b c d ++=，30d e m ++=，15m =，10b =，60a b c d e m +++++=，则()()()a b m b c d d e m b m ++++++++--2a b c d e m =+++++，∴4020301510605d =++---=，∴同时只参加跳舞和讲故事的人数为5人．故答案为：5．21．18【详解】赞成A 的人数为340245⨯=，赞成B 的人数为24327+=，设对A 、B 都赞成的学生有x ，则112724403x x x x ++-++-=，解得18x =.故答案为：18.22．3【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)，因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)，-=所以没有观看任何一支短视频的人数为50473。
离散数学 31集合概念表示法
两个集合A和B相等，记作A=B，两个集合 不相等，记作AB。 {0，1}={x|x(x2-2x+1)=0，x I} {0，1}{1，2}
➢2.包含关系（子集） ➢定义3-1.1 设A、B是任意两个集合，如果A的每一 个元素都是B的元素，则称集合A是集合B的子集合（ 或子集，subsets），或称A包含在B内，记为AB ； 或称B包含A，记为BA 。 ➢即
所以|A1|+|A2|=|A1～A2|+|A1A2|+
|～A1A2|+|A1A2|
=|A1～A2|+|～A1A2|+2|A1A2|
而|A1～A2|+|～A1A2|+|A1A2|=|A1A2|
故|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|
例1：求从1到500的整数中，能被3或5除尽的数的个数。
3、差集、补集
定义3-2.3：设A、B是任意两个集合，所有属 于A而不属于B的元素组成的集合称为B对A 的补集，或相对补，(或A和B差集)记作A-B 。
A-B={x|xA∧xB} 文氏图
定义3-2.4：设E为全集，任一集合A关于E的补 ，称为A的绝对补，记作A。 A=E-A={x|xE∧xA}
文氏图
属于S，同样根据定义，S就 可以属说于，S这。一无悖论论如就何象都在平是静矛的盾的 数学。水面上投下了一块巨石，而
它所引起的巨大反响则导致了第 三次数学危机。
危机产生后，数学家纷纷提出自己的
解决方案：
人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过 对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新 的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一 切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合 论中一切有价值的内容得以保存下来。”
小学四年级奥数竞赛班作业第31讲：容斥原理初步(一)
容斥原理练习题一．夯实基础：1.实验小学五年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？2.有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，又83人懂俄语.那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人.3.在1至2011的自然数中，1)能被3或7整除的数有______个；2)既能被3整除，又能被7整除的有______个；3)能被3整除，但不能被7整除的有______个；4)能被7整除，但不能被3整除的有______个.4.在2至400 的偶数中，既不能被3整除，又不能被5整除，同时不能被7整除的整数有多少个？二．拓展提高：5.1-1001中，既不是7的倍数，也不是11的倍数，也不是13的倍数的数有多少个？6.1到1000的自然数中，既不是完全平方数，也不是完全立方数的有多少个？7.森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种.爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜.如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？8.体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人？三. 超常挑战9.如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?10.某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？11.(西城实验考题)新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人？三．杯赛演练：12.(101中学考题)一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出多少段？13.(西城实验考题)在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有多少个？14.(走美试题)2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，…，2006．将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下．拉完后亮着的灯数为几盏？15.（莫斯科市第四届小学数学竞赛试题）在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有______个。
小学奥数之容斥原理知识点
小学奥数之容斥原理知识点容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
容斥原理课
9、六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育培训班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。问三项都报的有多少人？
10、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的 3/5，其余不赞成；赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的1/3多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？
例9：甲、乙、丙同时给100盆花浇水。已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？
例10：某班同学参加期末测试，得优秀成绩的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科都是优秀成绩的有8人，数学、语文两科成绩都是优秀的有7人，语文、英语两科成绩都是优秀的有9人，三科都没得优秀成绩的有3人。请问：这个班最多有多少人？最少有多少人？
例1：一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？
例2：一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。问：两题都做错的有多少人？
例3：李老师出Biblioteka 两道题，全班40人中，第一道题有30人对，第2题有12人未做对，两题都做对的有20人。请问：
例6.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
例7.有128位旅客，其中25人既不懂英语、又不懂法语，有98人懂英语，75人懂法语，请问：既懂英语、又懂法语的有多少人？
小学奥数计数问题之容斥原理知识点
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3=26 由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解： 当a2=6、5、4、3、2、1时，a3=2、6、10、14、18、22 又根据a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有a2=6，a3=2。 然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a2=6人。
经典例题：
例1、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队，且每 人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队 的有()人. 考点：重叠问题. 分析：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30，解方程即可. 解答：解：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理， 有20+12+10-6-2-x=30， 解得x=4. 故答案为：4. 点评：此题考查学生依据容斥原理解答问题的能力. 例2、在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出 第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1 人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是() 解答：根据"每个人至少答出三题中的一道题"可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2 题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…① 由(2)知：a2+a23=(a3+a23)×2……② 由(3)知：a12+a13+a123=a1-1……③ 由(4)知：a1=a2+a3……④ 再由②得a23=a2-a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
容斥原理
广州卓越教育机构一对一六年级数学专题学案标题：容斥原理学生姓名年级授课时间教师姓名课时容斥原理在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
两量重叠问题例题1实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？28＋29-12=45（人）练习1：1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？2、四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人．⑴问语文数学都写完的有多少人？⑵只写完语文作业的有多少人？例2某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？46－（12＋23－5）=16（人）练习21、四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？2、实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？例3某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？[思路导航]如图所示，已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25-15=10（人）。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10+23=33（人）所以，两题都答得不对的有36-33=3（人）。
四年级第30讲容斥原理
容斥原理 专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。
【例1】一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
练 习 一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？Nab NbNa2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？【例2】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
小学奥数容斥原理教案
小学奥数容斥原理教课设计【篇一：四年级奥数讲义：容斥原理 (1)】四年级数学讲义奥数：容斥原理 (1)教课目的： 1、理解容斥原理，会绘图剖析此中关系，正确的找出答案。
2、培育学生的逻辑思想和数学思虑能力。
3、培育学生优异的书写习惯。
一、教课连接二、教课内容〔一〕知识介绍容斥问题波及到一个重要原理——包括与清除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数局部有重复包括时，为了不重复计数，应从它们的和中清除重复局部。
容斥原理：对 n 个事物，假如采纳不一样的分类标准，按性质 a 分类与性质 b 分类〔如图〕，那么拥有性质 a 或性质 b 的事物的个数=na ＋nb －nab 。
〔二〕例题精讲 nanb例 1、一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！〞有 37 人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！〞有 42 人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？〞没有人举手。
求这个班语文、数学作业都达成的人数。
【思路导航】达成语文作业的有 37 人，达成数学作业的有 42 人，一共有 37＋42=79 人，多于全班人数。
这是由于语文、数学作业都达成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都达成的有： 79－48=31 人。
例 2、某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的有 23 人，两题都答对的有 15 人。
问多少个同学两题都答得不对？【剖析与解答】答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，能够求出只答对第一题的有 25－15=10 人。
又答对第二题的有23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就获得起码有一题答对的人数： 10＋23=33 人。
所以，两题都答得不对的有 36－33=3 人。
例 3、某班有 56 人，参加语文比赛的有 28 人，参加数学比赛的有27 人，假如两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科比赛的有多少人？【剖析与解答】要求两科比赛同时参加的人数，应先求出起码参加一科比赛的人数： 56－25=31 人，再求两科比赛同时参加的人数：28＋27－31=24 人。
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第31讲容斥原理例题与方法例1 在1～100的自然数中，不能被3也不能被5整除的数有多少个？例2 某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人？例3 100名学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂两种外语的有多少人？例4 在1～143这143个自然数中，与143互质的自然数共有多少个？例5 某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语都得满分的分别有21人、19人、20人。
语文、数学都得满分的有9人；数学、英语都得满分的有7人；语文、英语都得满分的有8人；另有5人三科都未得满分。
这个班最多能有多少人？思考与练习1．某班有学生46名，其中爱好音乐的有17人，爱好美术的有14人，既爱好音乐又爱好美术的有5人。
问：两样都不爱好的有多少人？2．分母是105的最简真分数共有多少个？3．一个家电维修站有80%工人精通修彩电，有70%的人精通修空调，10%的人两项不熟悉。
问：两项都精通的人占白分之几？4．在1～100的自然数中，既不能被5整除也不能被9整除的数的和是多少？5．在1～200的自然数中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个？6．在100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好体育的有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人，最多有多少人？7．64人订A、B、C三种杂志，订A杂志的有28人，订B杂志的有41人，订C杂志的有20人，订A、B两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人。
三种杂志都订的有多少人？8．有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语，那么这100位旅客中既懂英语懂俄语的有多少人？9．70名学生参加体育比赛，短跑得奖的31人，投掷得奖的36人，跳远得奖的29人，短跑与投掷两项都得奖的12人，跑、跳、投三项都得奖的有5人，只得跳远奖的7人，只得投掷奖的15人，求：（1）只得短跑奖的人数；（2）得两项奖的人数；（3）一项奖都未得的人数。
10．如下图所示，甲、乙、丙三个正方形的面积分别为25平方厘米、16平方厘米和9平方厘米，它们叠在一起，盖住的面积为32平方厘米，且甲、乙公共部分为10平方厘米，乙、丙公共部分为6平方厘米，甲、丙公共部分为7平方厘米，求阴影部分的面积。
第30讲列表法和图解法例题与方法例1 甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局谁赢，如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，共有多少种可能呢？例2 从甲地到乙地，可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船。
某人从甲地经乙地到丙地，共有几种走法？例3 甲、乙、丙、丁、戊5人参加晚会后将帽子拿混了，没有人拿到自己的帽子。
现在知道甲拿的不是乙的，也不是丁的；乙拿的不是丙的，也不是丁的；丙拿的不是乙的，也不是戊的；丁拿的不是丙的，也不是戊的；戊拿的不是丁的，也不是甲的。
而且，没有两人互相拿错。
问：丙拿了谁得帽子，谁拿了丙的帽子？例4 将一个正整数分成若干个小于它的正整数之和，这叫分拆，例如：4 = 1 + 1 + 2，4 = 1 + 3。
如果加数只有顺序不同，不算一种分拆。
请问：6一共有多少种不同的拆法？例5 一根绳子对折三次，然后每隔一定的长度剪一刀，共剪了6刀，这样，原来的绳子被剪成了多少段？思考与练习1．有144颗糖块，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不得多于40颗，共有几种分法？2．新学期开学了，10名同学见面，如果每2名同学都握一次手，那么共握手几次？3．从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村经过乙村再到丙村，有几条不同的路可走？4．甲、乙、丙三人照相，如果乙一定要站在中间，可以照多少种不同的照片？如果没有规定，可照几种不同的照片？5．有一张表，写有从1～500的所有自然数。
在这张表里数字“5”共出现多少次？6．小军买了6张电影票（见下图），他想撕下相连的4张，共有几种不同的方法？7．一根绳子对折三次，然后每隔一定的长度剪一刀，共剪了5刀，这样，原来的绳子被剪成了多少段？8．如右图，等腰梯形的下底是上底的2倍，两个底角都是60度，如何将这个梯形分成大小、形状完全相同的4块？9．把边长是10厘米的正方形卡片按下图重叠起来（下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形的中心），10张这样的卡片重叠之后，所组成的图形周长是多少厘米？10．一块长方形布，长27分米，宽10分米，把它裁成直角边分别是5分米、2分米的三角巾，最多能裁多少块？怎样裁？第29讲数值代入法和玫举法例题与方法例1 有黄、红、绿、蓝、黑五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以配成不重复的几组？例2 有5、6。
现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，如例3 从3名男生、2名女生中选出3名值日生，其中至少要有1名女生，一共有多少种不同的选法？例4 对于任意自然数ｎ，当ｎ为奇数时加上121，当ｎ为偶数时除以2，这算一次操作。
现在对231连续进行操作，在操作的过程中是否可能出现100？为什么？例5 同一平面内的1988条直线，最多有多少个不同的交点？思考与练习1．从1～100的自然数中，每次取出2个不同的自然数想加，使其和大于100，共有几种不同的取法？2．把六个字母A、A、E、E、F、F排成一行，使同一字母不相邻，并且自左至右前三个字母各不相同，这样的排法有几种？3．由数字1、2、3、4、6、7，共可组成多少个没有重复数字的四位数？4．从3、5、7、13、17、19这六个数中，每次取两个数组成真分数，这样的真分数有多少个？5．黑板上有5和7两个数，现在规定：将黑板上任意两个数相加的和写在黑板上。
问：经过若干次操作后，黑板上能否出现23？6．广州至上海的某次列车，除起点和终点外，还要停靠4个站，应准备多少种不同的车票？若再考虑上海至广州的列车，总共应准备多少种不同的车票？7．书架上有6本不同的画报和10种不同的故事书，请你每次从书架上取出一本画报和一本故事书，共有多少种不同的取法？8．如图，从上往下，沿线读出“我们爱好学数学”，一共有多少种不同的路线？我们们爱爱爱好好好好学学学数数学9．4枚硬币都是国徽一面朝上放着，每次同时将其中3枚硬币翻面，至少要翻几次才能把所有的硬币都翻成另一面？10．平面上有8个圆，最多能把平面分成多少个部分？第28讲对策问题例题与方法例1 有一筐苹果共53个，甲、乙两人轮流从中拿走1个或2个苹果。
规定谁拿走最后一个苹果，谁获胜。
如果甲先拿，那么他有没有必胜的策略？例2 有一个3ｘ3的棋盘以及9张卡片，卡片上分别写有1，3，4，5，6，7，8，9，10这9个数。
甲、乙两人做游戏，轮流取一张卡片放到9格中的一格，由甲方计算上、下两行6个数的和；乙方计算左、右两列6个数的和，和数大的一方为胜。
试问：甲方如先取一定能胜吗？例3有9张卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7，8，9。
甲、乙两人轮流取一张，谁手上的3张卡片数字加起来等于15，谁就取胜。
问：保证不败的对策是什么？例4 黑板上写有1993个数：2，3，4，….1994。
甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦）。
如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。
问：谁必获胜？必获胜的对策是什么？例5 甲、乙两人进行游戏比赛，轮流在黑板上写上不超过10的自然数，并且规定：不允许写黑板上已写过的数的约数，轮到游戏人无法再写数时，就是输者。
现甲先写，乙后写，问：谁必获胜？必获胜的对策是什么？思考与练习1．两人轮流报数，规定每次报数都是不超过8的自然数，把两人报的数累加起来，谁先到88，谁就获胜。
问：先报数者有无必胜的策略？2．两人轮流数数，每人每次只能连续数1个或2个，不能不数，如果甲先数1，乙接着可数2或2、3，如此继续，谁先到30谁就获胜，问：如何取胜？3．小红、小民两人进行如下的游戏：取一块大的巧克力，上面有5条横线，9条竖线，这些线将巧克力分成60个小格。
小红先沿着一条线将巧克力掰成两块（两块不一定相等），吃掉其中一块，小民再沿着另一条线将剩下的巧克力掰成两块，吃掉其中一块…….这样继续下去，两人轮流掰吃这块巧克力，谁吃到最后一块算输掉。
问：小红、小民谁有必胜的策略？4．甲、乙两人在长方形桌上放一些大小相同的圆形硬币（不能重叠），甲先放，乙后放。
如果一方没有位置可放时，另一方就获胜。
问：谁能胜，需什么对策？5．两人轮流数数，每人每次可以数1个、2个或3个，但是不能不数，例如，第一个人数1、2，第二个人接着往下数3，也可以数3、4，也可以数3、4、5，如此继续。
谁数到100，谁就算胜。
请试一试，怎样才能获胜？6．甲、乙两人轮流从1993颗棋子中取走1颗、2颗、3颗，甲先取，乙后取，谁取到最后一颗棋子的就是胜利者。
问：甲、乙两人谁必胜？为了取胜，应采取怎样的策略？7．在黑板上写有2n+1个数：2，3，4，……., 2n+1, 2n+2, 甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。
问：谁必胜？必胜的策略是什么？8．甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过14的自然数，书写规则是：不允许写黑板上已写过的数的约数，轮到书写人无法再写时就是输者。
现甲先写，乙后写。
问：谁能获胜？应采取什么对策？9．甲、乙两人轮流在1994颗棋子中取走1颗或奇数颗，甲先取，乙后取，取到最后一颗棋子者为胜者。
问：甲、乙两人谁能获胜？要获胜的话，应采取什么对策？10．甲、乙两人轮流在如下图所示的空格内画符号，甲画“√” 或“Ｘ”，规定每人至少画1格，至多画3格；空格画满后计数，哪一方的总数为偶数，哪一方就获胜。
如何确保获胜？第27讲 近似值与估算例题与方法例1 已知两式：45678÷12345，56789÷23456。
只用心算，你能比较出这两个式子的值的大小吗？如果能，请说明理由。
例2 老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算它们的平均数（得数保留两位小数）。
小明算出的答案是12．43。
老师说：“最后一位数字错了，其他数字都对。
” 正确的答案是什么？例3 已知S=19911 (1982119811198011)++++ ，求S 的整数部分。
例4 设135791113151719212325÷523212917151311197531 = a ，则a 的小数点后的前5位数字是多少？例5 3001......102110111001++++的整数部分是多少？思考与练习1．A=33331÷33334，B=22221÷22223。