结构力学课件：第六章《结构位移计算》PPT精品课件
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《结构力学》第6章 位移法
结构力学
第6章 位移法
●第6章 位移法方程
● (1)关于内力符号的规定
● 对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩和杆端剪力，
分别称为固端弯矩和固端剪力，用
表示。
图6.1
●(2)关于杆端内力及杆端位移的正负号规定
图6.2 图6.3
表6.1 等截面直杆的杆端弯和剪力 表6.1(续表)
● (2)有侧移刚架的计算 ● 例6.3 用位移法计算图6.19(a)所示的刚架，并作内力图。
图6.19
图6.20
图6.21
●例6.4 计算图6.22(a)所示带 有斜横梁的刚架，绘M图。忽 略横梁的轴向变形。
图6.22
●*例6.5 计算图6.23(a)所示有斜柱的刚架。
图6.23
图6.24
●6.3 位移法的基本原理 ●6.3.1 位移法的基本假定 ●6.3.2 位移法的基本原理
图6.4
图6.5
●6.3.3 位移法的基本未知量和基本结构 ●(1)结点角位移
图6. 6
●(2)独立的结点线位移
图6.7
图6.8 图6.9
图6.10 图6.11
●6.3.4 位移法的典型方程
图6.12
图6. 13
图6.14
图6.15
● 6.4 位移法应用举例 ● 6.4.1 位移法计算步骤 ● 6.4.2 计算示例 ● (1)连续梁及无侧移刚架的计算 ● 例6.1 试用位移法求作图6.16(a)所示连续梁的内力图。
图6.16
●例6.2 求作图6.17(a)所示刚架的弯矩图。
图6.17
图6.25
●(3)有悬臂的处理 ●例6.6 计算图6.26(a)所示结构，绘M图。
图6.26
第6章 位移法
●第6章 位移法方程
● (1)关于内力符号的规定
● 对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩和杆端剪力，
分别称为固端弯矩和固端剪力，用
表示。
图6.1
●(2)关于杆端内力及杆端位移的正负号规定
图6.2 图6.3
表6.1 等截面直杆的杆端弯和剪力 表6.1(续表)
● (2)有侧移刚架的计算 ● 例6.3 用位移法计算图6.19(a)所示的刚架，并作内力图。
图6.19
图6.20
图6.21
●例6.4 计算图6.22(a)所示带 有斜横梁的刚架，绘M图。忽 略横梁的轴向变形。
图6.22
●*例6.5 计算图6.23(a)所示有斜柱的刚架。
图6.23
图6.24
●6.3 位移法的基本原理 ●6.3.1 位移法的基本假定 ●6.3.2 位移法的基本原理
图6.4
图6.5
●6.3.3 位移法的基本未知量和基本结构 ●(1)结点角位移
图6. 6
●(2)独立的结点线位移
图6.7
图6.8 图6.9
图6.10 图6.11
●6.3.4 位移法的典型方程
图6.12
图6. 13
图6.14
图6.15
● 6.4 位移法应用举例 ● 6.4.1 位移法计算步骤 ● 6.4.2 计算示例 ● (1)连续梁及无侧移刚架的计算 ● 例6.1 试用位移法求作图6.16(a)所示连续梁的内力图。
图6.16
●例6.2 求作图6.17(a)所示刚架的弯矩图。
图6.17
图6.25
●(3)有悬臂的处理 ●例6.6 计算图6.26(a)所示结构，绘M图。
图6.26
结构力静定结构位移ppt课件
dWi Md FQd FNd M ds FQ 0ds FNds
(M FQ 0 FN )ds
整根杆件的内虚功为：
Wi dWi (M FQ 0 FN )ds
14
根据虚功方程W=Wi，所以有：
q(s)w(s)ds FPii FRKCK
ΔCV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
19
2）正负号规则：
若 M 及 d ds 使杆件同侧纤维伸长，则乘积为
正，反之为负；
乘积 FQγ0ds 及 FNεds 的正负号分别由力与应变的 正负号确定。FQ 使隔离体产生顺时针转动为正，反
之为负，γ0以顺时针方向为正，反之为负；FN以拉力
=
1 B
M1, FQ1, FN1
+
M2, FQ2, FN 2
c) 虚设单位荷载1
d) 虚设单位荷载2 27
虚设单位载荷如上图c) ，d)所示。
1 AH
M1 ds
FQ1 0ds
FN1 ds
1 BH M2 ds FQ2 0ds FN 2ds
6
2）为超静定结构的内力和位移计算准备条件
求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求 得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。
如右图示单跨 梁，若只满足平衡 条件，内力可以由 无穷多组解答，例 如FyB可以取任意值 。
9kN.m
12kN
A
B
7.5kN.m
2m 2m
FyB 3.75kN
7
三、实功和虚功：
在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷
载FP1=1，则虚功方程为 ：
FP1 FRKCK (M FQ 0 FN )ds K
(M FQ 0 FN )ds
整根杆件的内虚功为：
Wi dWi (M FQ 0 FN )ds
14
根据虚功方程W=Wi，所以有：
q(s)w(s)ds FPii FRKCK
ΔCV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
19
2）正负号规则：
若 M 及 d ds 使杆件同侧纤维伸长，则乘积为
正，反之为负；
乘积 FQγ0ds 及 FNεds 的正负号分别由力与应变的 正负号确定。FQ 使隔离体产生顺时针转动为正，反
之为负，γ0以顺时针方向为正，反之为负；FN以拉力
=
1 B
M1, FQ1, FN1
+
M2, FQ2, FN 2
c) 虚设单位荷载1
d) 虚设单位荷载2 27
虚设单位载荷如上图c) ，d)所示。
1 AH
M1 ds
FQ1 0ds
FN1 ds
1 BH M2 ds FQ2 0ds FN 2ds
6
2）为超静定结构的内力和位移计算准备条件
求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求 得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。
如右图示单跨 梁，若只满足平衡 条件，内力可以由 无穷多组解答，例 如FyB可以取任意值 。
9kN.m
12kN
A
B
7.5kN.m
2m 2m
FyB 3.75kN
7
三、实功和虚功：
在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷
载FP1=1，则虚功方程为 ：
FP1 FRKCK (M FQ 0 FN )ds K
结构力学——第6章结构位移计算讲解
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
结构力学(位移计算)_图文(精)
（2）位移互等定理: 据功的互等定理1·δ12=1·δ21 位移互等定理: 第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。
即δ12= δ21 又如：ϕA 有↷ A C P1=1 B A C B ⌒ M=1 fC 36 ϕ A= f c（3）反力互等定理：据功的互等定理 1 △1=1 2 r12·△1= r21·△2 即 r21 1 2 △2=1 r12= r21 r12 上图表示支座1发生单位位移的状态，此时支座2产生的反力为r21。
下图表示支座2发生单位位移的状态，此时支座1产生的反力为r12。
反力互等定理：支座1发生单位位移所引起的支座2的反力，等于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力。
37（4）反力位移互等定理由功的互等定理 r12ϕ1 + F2 Δ 21 = r22 i0 + rb i0 r12ϕ1 + F2 Δ 21 = 0 ϕ1 = 1, F2 = 1 可得r1 2 = − Δ 2 1 图a表示F2=1作用时，支座1的反力偶为r12，方向如图。
图b表示支座1顺r12方向发生单位转角时，F2作用点沿其方向的位移为△21。
反力位移互等定理：单位力所引起的结构某支座反力，等于该支座发生单位位移时 38 所引起的单位力作用点沿其方向的位移，符号相反。
主要内容一、图乘法的应用条件：二、图乘法的计算公式: ● 直杆 MMP 1 d s = ∑ (± A y 0 Δ = ∑∫ ● EI不变EI EI ● 至少有一个直线弯矩图三、图乘法的注意事项（1）必须符合上述三个前提条件；（2）竖标yC只能取自直线图形；（3）ω与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。
（4）顶点的切线与基线平行，才能用抛物线图形的面积和形心进行计算;反之,要把抛物线图形进行分解,应用叠加法求解. 互等定理适用于线弹性结构（包括静定结构和超静定结构） 39。
结构力学课件(虚功原理与结构位移计算)
产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向
的位移 Q 。
i
B
d
A
Q
i
B
A
Q
1
A
B
a
a
Q
M 1 sin a
虚功方程：1 m M d 0 2019/11/22 m M d
Q 1 sin
1 Q Q d 0
8
Q Q d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在
实际变形状态
虚力状态
( M N Q )ds Rkck
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .N .Q .Rk 表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
2019/11/22
15
§4-3 荷载作用下的位移计算
3）若广义力是等值、反向的一对力P
T P A P B P( A B ) P P
AP t
B
P
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
mΔA
t
β ΔB Δ
表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。
m
A
Bm
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
T m A mB m( A B ) m
2019/11/22
1
第四章
2019/11/22
2
§4-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础
产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差
c
结构力学课件第六章 结构位移计算1
（实际状态） 实际状态） （虚拟状态） 虚拟状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程： 分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程：
1）写出虚拟状态弯矩表达式 ） AB段： M = − x1 段 BC段： M = −l 段 2）荷载作用下的弯矩表达式 ） qx12 AB段： M P = − 段
(2) 超静定、动力和稳定计算 超静定、 (3）施工要求 ）
建筑起拱
如屋架在竖向荷 载作用下， 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。 所示位移。
将各下弦杆做得 比实际长度短些， 比实际长度短些， 拼装后下弦向上 起拱。 起拱。
在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。 在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
∆
1 W = P∆ 2
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功 虚功：
+ t oC
P
∆ ∆t
W = P∆ t
在作功的过程中， 在作功的过程中，力 的大小保持不变， 的大小保持不变，这 样的功称为虚功。 样的功称为虚功。
∆ 21 ∆ 22
P2
P1
∆11
P1
∆12
力状态 （虚力状态）
P2
∆12
位移状态 （虚位移状态）
1.梁与刚架 只考虑弯曲变形 梁与刚架:只考虑弯曲变形 梁与刚架 MMP ∆ KP = ∑ ∫ ds EI 2.桁架 只有轴向变形 桁架:只有轴向变形 桁架
∆ KP F N FNP F N FNP = ∑∫ ds = ∑ ∫ ds EA EA
∆ KP
3.组合结构 组合结构
F N FNP l =∑ EA
几点注意： 1．该式可用来求弹性体系由荷载产生的位移； 2．该式既用于静定结构也用于超静定结构； 3．第一、二、三项分别表示弯曲变形、轴向变 形、剪切变形产生的位移； 4．E：弹性模量；G：剪切模量； 5．k：截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5；圆 形截面k=10/9。 6．结构的类型不同，三种变形对位移的影响有 很大的差别，位移计算公式可进行相应简化。
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0
qL2 dx 2 ) EI
5qL4 ()
8EI 1返4 回
§6—5 图 乘 法
1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
下面的积分
△KP=
MMPds EI
y
当结构符合下述条件时：
d=MPdx
A MP
面积
MP图 B
（1）杆轴为直线；
dx
（2）EI=常数； （3）M 和M两个弯矩图 O 中至少有一个是直线图形。
例如： 2021/3/1
W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小 虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段 上内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即
W外=W内 或写成 W=Wi
式(6—1）称为虚功方程，式中
W ——外力虚功
2021/3/1
Wi——内力虚功
内力虚这功便是W平i=面 杆N 系d结 u 构位M d 移 计 算Q 的d 一S 般公式，若计算结
果这可为种得2正方021/3 ，法/1K 所 又 求 称 位 为R C 移单 △位 K荷N 与d 载假 法设 。u 的M d P K = 1同Q 向d ，(反7－s 之5)反向10返。回
2. 虚拟状态的设置
1 2
P△ Cos
（c）
P
d
A
M=Pd
常力 W= M·
B
（d）
变力
W=
1 2
M·
P
返6回
（2）实功与虚功 实功：力在本身引起的位移上所作的功。
例如：
A
P1
1
B
W=
1 2
P1 1
△1
A
P2
2
B
虚功：力在其它
△2
因素引起的位移上所作
的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
的两种彼此无关的状态。
dS du dS
位移状态
dS 9返d回x
§6—3 位移计算的一般公式 单位荷载法
1. 位移计算的一般公式 t1 k K △K P2
k PK=1
设平面杆系结构由 于荷载、温度变化及支 座移动等因素引起位移 P1
t2
ds c3
K′ k
d、 ud、 dS
K ds
k
Ｒ３
N、M、Q
如图示。 求任一指定截面K
M
静定结构的位移计算。 2021/3/1
返4回
§6—2 变形体系的虚功原理 1. 功、实功与虚功
（1）功
P B
A
dW=P dS Cos
w= dW = P Cos dS
2021/3/1
s
s
（a）
返5回
常力功 变力功 力偶功
2021/3/1
P
A
B
△
W= P△ Cos (b)
由A→B, 力由0→P
W=
A
△D D′ D
B
返3 回
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为
基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论
N N P d s N N P d s N N P L （6－7） EAEA EA
3. 组合结构
△ = 2021/3/1 KP
MMPds NNPL
EI
EA
（6—8） 返13回
例 6—1 求图示刚架A点
q
的 竖 向位移△Ay。E、A、 B x
AB
x
1 A
I为常数。
A`
L
解：1. 设置虚拟状态 x
沿任一指定方向 k—k 上的位移△K 。
利用虚功原理计算
c1 c2
Ｒ１
Ｒ２
实际状态－位移状态 虚拟状态－力状态
c1、c2、c3、△K du、d、ds
N 、 M 、 Q 、 R i、 P K1
外力 虚K 功 WN =d P K K u R M 1 C d 1 R 2 C 2 Q R d 3 C 3 =R s K c (R6C －4)
选取坐标如图。 C
实际状态
则各杆弯矩方程为:
L
x 虚拟状态
C
AB段： Mx, BC段：ML
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段：
MP=
qx 2 ， BC段：
2
MP=
qL 2 2
3. 代入公式（6—6）得
△ = A20y21/3/1
MMPds=
EI
l
qx2
(-x)(- )
0
2
dx EI
+
l
(-L)(-
移△KP，此时没有支座位移，故式（6—4）为
△KP= M d P N dP u Q P d（sa）
式中：M、N、Q为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、
Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知
dP=
M Pd EI
s
duP=
N Pds EA
将以上诸式代入式（a）得
Pds=
kQPds GA
1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。
2. 位移的分类
线位移： AA' (△A)
角位移： A
△Ay △Ax
绝对位移 △C △D 相对位移 △CD= △C+ △D
2021/3/1
△C C C′ P A
P
A
△Ay △A
□
△Ax
A′
△KP= M M P d s N N P d s k Q Q P d（s6—5）
EI EA GA
这就202是1/3/1平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式返。12回
讨论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（6—5）
可以简化：
1. 梁和刚架
△KP= MMPds EI
2.桁架
（6－6）
△KP=
2021/3/1
1
第六章 结构位移计算
§6—1 概述
§6—2 变形体系的虚功原理
§6—3 位移计算的一般公式
A′
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§6—5 图乘法
§6—6 静定结构温度变化时的位移计算
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
§6—8 线弹性结构的互等定理
2021/3/1
2
§6—1 概 述
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设
置相应的虚拟力状态。
例如:
求△AH
❖ 求A
2021/3/1
A
实际状态
1 求△AB
B
A
1
虚拟状态
1A
虚拟状态
求AB
B1 A1
虚拟状态
1
A
虚拟状态
广义力与 广义位移
返11回
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位
（6—1）
返8回
内力虚功的计算
AP
M
给定力状态 给定位移状态
微段dS上内力的变形虚功为
dWi=Ndu+QdS+Md
RA
q
Q
N
整个结构内力的变形虚功为 力状态
ds
Wi=Nd u M d A
Qds （6—2)
虚功方程为
d
q B
dS
RB
N+dN Q+dQ
B dS
W= Nd u M d
2021/3/1Qds （6—3)
qL2 dx 2 ) EI
5qL4 ()
8EI 1返4 回
§6—5 图 乘 法
1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
下面的积分
△KP=
MMPds EI
y
当结构符合下述条件时：
d=MPdx
A MP
面积
MP图 B
（1）杆轴为直线；
dx
（2）EI=常数； （3）M 和M两个弯矩图 O 中至少有一个是直线图形。
例如： 2021/3/1
W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小 虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段 上内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即
W外=W内 或写成 W=Wi
式(6—1）称为虚功方程，式中
W ——外力虚功
2021/3/1
Wi——内力虚功
内力虚这功便是W平i=面 杆N 系d结 u 构位M d 移 计 算Q 的d 一S 般公式，若计算结
果这可为种得2正方021/3 ，法/1K 所 又 求 称 位 为R C 移单 △位 K荷N 与d 载假 法设 。u 的M d P K = 1同Q 向d ，(反7－s 之5)反向10返。回
2. 虚拟状态的设置
1 2
P△ Cos
（c）
P
d
A
M=Pd
常力 W= M·
B
（d）
变力
W=
1 2
M·
P
返6回
（2）实功与虚功 实功：力在本身引起的位移上所作的功。
例如：
A
P1
1
B
W=
1 2
P1 1
△1
A
P2
2
B
虚功：力在其它
△2
因素引起的位移上所作
的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
的两种彼此无关的状态。
dS du dS
位移状态
dS 9返d回x
§6—3 位移计算的一般公式 单位荷载法
1. 位移计算的一般公式 t1 k K △K P2
k PK=1
设平面杆系结构由 于荷载、温度变化及支 座移动等因素引起位移 P1
t2
ds c3
K′ k
d、 ud、 dS
K ds
k
Ｒ３
N、M、Q
如图示。 求任一指定截面K
M
静定结构的位移计算。 2021/3/1
返4回
§6—2 变形体系的虚功原理 1. 功、实功与虚功
（1）功
P B
A
dW=P dS Cos
w= dW = P Cos dS
2021/3/1
s
s
（a）
返5回
常力功 变力功 力偶功
2021/3/1
P
A
B
△
W= P△ Cos (b)
由A→B, 力由0→P
W=
A
△D D′ D
B
返3 回
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为
基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论
N N P d s N N P d s N N P L （6－7） EAEA EA
3. 组合结构
△ = 2021/3/1 KP
MMPds NNPL
EI
EA
（6—8） 返13回
例 6—1 求图示刚架A点
q
的 竖 向位移△Ay。E、A、 B x
AB
x
1 A
I为常数。
A`
L
解：1. 设置虚拟状态 x
沿任一指定方向 k—k 上的位移△K 。
利用虚功原理计算
c1 c2
Ｒ１
Ｒ２
实际状态－位移状态 虚拟状态－力状态
c1、c2、c3、△K du、d、ds
N 、 M 、 Q 、 R i、 P K1
外力 虚K 功 WN =d P K K u R M 1 C d 1 R 2 C 2 Q R d 3 C 3 =R s K c (R6C －4)
选取坐标如图。 C
实际状态
则各杆弯矩方程为:
L
x 虚拟状态
C
AB段： Mx, BC段：ML
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段：
MP=
qx 2 ， BC段：
2
MP=
qL 2 2
3. 代入公式（6—6）得
△ = A20y21/3/1
MMPds=
EI
l
qx2
(-x)(- )
0
2
dx EI
+
l
(-L)(-
移△KP，此时没有支座位移，故式（6—4）为
△KP= M d P N dP u Q P d（sa）
式中：M、N、Q为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、
Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知
dP=
M Pd EI
s
duP=
N Pds EA
将以上诸式代入式（a）得
Pds=
kQPds GA
1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。
2. 位移的分类
线位移： AA' (△A)
角位移： A
△Ay △Ax
绝对位移 △C △D 相对位移 △CD= △C+ △D
2021/3/1
△C C C′ P A
P
A
△Ay △A
□
△Ax
A′
△KP= M M P d s N N P d s k Q Q P d（s6—5）
EI EA GA
这就202是1/3/1平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式返。12回
讨论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（6—5）
可以简化：
1. 梁和刚架
△KP= MMPds EI
2.桁架
（6－6）
△KP=
2021/3/1
1
第六章 结构位移计算
§6—1 概述
§6—2 变形体系的虚功原理
§6—3 位移计算的一般公式
A′
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§6—5 图乘法
§6—6 静定结构温度变化时的位移计算
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
§6—8 线弹性结构的互等定理
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2
§6—1 概 述
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设
置相应的虚拟力状态。
例如:
求△AH
❖ 求A
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A
实际状态
1 求△AB
B
A
1
虚拟状态
1A
虚拟状态
求AB
B1 A1
虚拟状态
1
A
虚拟状态
广义力与 广义位移
返11回
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位
（6—1）
返8回
内力虚功的计算
AP
M
给定力状态 给定位移状态
微段dS上内力的变形虚功为
dWi=Ndu+QdS+Md
RA
q
Q
N
整个结构内力的变形虚功为 力状态
ds
Wi=Nd u M d A
Qds （6—2)
虚功方程为
d
q B
dS
RB
N+dN Q+dQ
B dS
W= Nd u M d
2021/3/1Qds （6—3)