结构力学2ppt课件
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《结构力学第2章》课件
《结构力学第2章》PPT 课件
结构力学是研究物体在外力作用下产生的应力和应变的学科。在建筑设计和 工程中，弹性力学有着广泛应用，本课件将带您深入了解弹性力学的基本理 论和应用。
弹性力学的基本概念
线弹性力学和平面弹性力学
介绍弹性力学研究的两个主要领域，涵盖了结 构力学的基础知识。
应力和应变的概念
引入应力和应变的概念，介绍了它们在弹性力 学中的重要性和计算方法。
应变-应力关系
介绍了弹性体中应变和应力之间的基本方 程，揭示了它们之间的关联。
平面弹性力学的基本理论
平面应力和平面应变 的基本方程
解释了平面弹性力学中应力和 应变的基本方程，为进一步的 研究提供基础。
平面问题的求解方法
介绍了平面问题的求解方法， 如解析法和数值计算方法，为 工程实践提供指导。
平面问题的应用
总结了弹性力学的核心概念和研究领域，强调 了它在物体力学研究中的重要性。
弹性力学在建筑设计和工程中有着广 泛应用
强调了弹性力学在建筑设计和工程实践中的重 要性，以及其对结构稳定性和变形控制的影响。
探讨了平面弹性力学在工程中 的应用，如桥梁设计和建筑物 承重分析。
建筑物中的弹性力学问题
弹性力学在建筑设计中的应用
探索了弹性力学在建筑物设计中的重要性，如结构 稳定性和变形控制。
建筑物的弹性问题和偏心受力
分析了建筑物中的弹性问题，以及由偏心受力引起 的应力分布和变形。
结论
弹性力学是研究物体在外力作用下ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 生的应力和应变的学科
弹性行为的特征
深入探讨物体在受力作用下的弹性变形，解释 了弹性体的特点和规律。
本构关系的定义和表示
讲解了本构关系的概念，以及在弹性力学中如 何表示不同物体的本构关系。
结构力学是研究物体在外力作用下产生的应力和应变的学科。在建筑设计和 工程中，弹性力学有着广泛应用，本课件将带您深入了解弹性力学的基本理 论和应用。
弹性力学的基本概念
线弹性力学和平面弹性力学
介绍弹性力学研究的两个主要领域，涵盖了结 构力学的基础知识。
应力和应变的概念
引入应力和应变的概念，介绍了它们在弹性力 学中的重要性和计算方法。
应变-应力关系
介绍了弹性体中应变和应力之间的基本方 程，揭示了它们之间的关联。
平面弹性力学的基本理论
平面应力和平面应变 的基本方程
解释了平面弹性力学中应力和 应变的基本方程，为进一步的 研究提供基础。
平面问题的求解方法
介绍了平面问题的求解方法， 如解析法和数值计算方法，为 工程实践提供指导。
平面问题的应用
总结了弹性力学的核心概念和研究领域，强调 了它在物体力学研究中的重要性。
弹性力学在建筑设计和工程中有着广 泛应用
强调了弹性力学在建筑设计和工程实践中的重 要性，以及其对结构稳定性和变形控制的影响。
探讨了平面弹性力学在工程中 的应用，如桥梁设计和建筑物 承重分析。
建筑物中的弹性力学问题
弹性力学在建筑设计中的应用
探索了弹性力学在建筑物设计中的重要性，如结构 稳定性和变形控制。
建筑物的弹性问题和偏心受力
分析了建筑物中的弹性问题，以及由偏心受力引起 的应力分布和变形。
结论
弹性力学是研究物体在外力作用下ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 生的应力和应变的学科
弹性行为的特征
深入探讨物体在受力作用下的弹性变形，解释 了弹性体的特点和规律。
本构关系的定义和表示
讲解了本构关系的概念，以及在弹性力学中如 何表示不同物体的本构关系。
结构力学(全套课件131P) ppt课件
的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延长线交于
一点。
当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时，两个刚
片绕该交点（瞬时中心，简称瞬心）作相对转动。
从微小运动角度考虑，虚铰的作用相当于在瞬时
中心的一个实铰的作用。
19
20
规则二 （三刚片规则）： 三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰（可以
是虚铰）两两相连，组成无多余约束的几何不变体 系。
两个平行链杆构成沿平行方向上的无穷远虚铰。
三个刚片由三个单铰两两相连，若三个铰都有交 点，容易由三个铰的位置得出体系几何组成的结论 。当三个单铰中有或者全部为无穷远虚铰时，可由 分析得出以下依据和结论：
１、当有一个无穷远虚铰时，若另两个铰心的连 线与该无穷远虚铰方向不平行，体系几何不变；若 平行，体系瞬变。
３、通过依次从外部拆除二元体或从内部（基础、 基本三角形）加二元体的方法，简化体系后再作分 析。
41
第一部分 静定结构内力计算
静定结构的特性： １、几何组成特性 ２、静力特性 静定结构的内力计算依据静力平衡原理。
第三章 静定梁和静定刚架
§3-1 单 跨 静 定 梁
单跨静定梁的类型：简支梁、伸臂梁、悬臂梁 一、截面法求某一指定截面的内力
15
１、单约束（见图２-2-2） 连接两个物体（刚片或点）的约束叫单约束。
１）单链杆（链杆）（上图） 一根单链杆或一个可动铰（一根支座链杆）具
有１个约束。 ２）单铰（下图）
一个单铰或一个固定铰支座（两个支座链杆） 具有两个约束。 ３）单刚结点
一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。
16
２、复约束 连接３个（含３个）以上物体的约束叫复约束。
三、对体系作几何组成分析的一般途径
结构力学 PPT课件
总复习
1
NaA 2
1 1m×4＝4m
解：取1-1以右为分离体 ∑Y=0 NC=－10kN 取2-2以右为分离体
O
∑Y=6+YB+YC=0
6kN
YB=0
∑MO=0 NA=0
a
2
6kN
8kN
6kN
总复习
第八章 静定结构影响线
一、影响线的定义：
定义：当单位荷载（P=1）在结构上移动时，表示结构某一指
定截面中某项内力变化规律的曲线，称为该项内力的影响线。
二、叠加法绘制弯矩图
Q M AB M BA Q0
AB
l
AB
•首先求出两杆端弯矩，连一虚线， •然后以该虚线为基线， •叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。
三、内力图形状特征 1、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截
面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
总复习
M M 0 Hy
Q Q0 cos H sin N Q0 sin H cos
2、在拱的左半跨取正右半跨取负；
3、仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值；
4、 M、Q、N图均不再为直线。
5、集中力作用处Q图将发生突变。
6、集中力偶作用处M图将发生突变。
四、三铰拱的合理轴线 在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩
2、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平 衡。两杆相交刚结点无m作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。
3、具有定向连结的杆端剪力等于零，如无横向荷载作用， 该端弯矩为零。
4.无何载区段 5.均布荷载区段 6.集中力作用处 7.集中力偶作用处
平行轴线
Q图
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
普通机械中使用的机构有一个自由度，即只有一种运 动方式；
一般工程结构都是几何不变体系，其自由度为零。 凡是自由度大于零的体系就是几何可变体系。
精品课件
8
2-1 几何构造分析的几个概念 四、约束 约束是指限制物体或体系运动的各种装置，可以分为外部约 束和内部约束两种。
外部约束：体系与基础之间的联系，也就是支座； 内部约束：体系内部各杆之间或结点之间的联系，比如铰结 点，刚结点和链杆等。
用铰和基础相连的运动情况完全相同。
从瞬时微小运动来看，两根链杆所起的约
束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起
I C
的约束作用，这个铰称为 瞬铰
A
在体系运动的过程中，瞬铰的位置随之变
1
2 化。
B
D 用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约
束的等效变换只适用于瞬时微小运动。
精品课件
20
2-1 几何构造分析的几个概念
精品课件
31
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配
1 从基础出发进行装配-【例2-1】
① A
② ④
⑤ C
⑥ ⑧
⑩ E
③ B ⑦D⑨
① A
② ④
③B
⑤ C
⑥ ⑧
⑩ E
⑦D ⑨
精品课件
32
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 1 从基础出发进行装配-【例2-2】
A
Ⅱ
B Ⅲ CⅣ D
A
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
一般工程结构都是几何不变体系，其自由度为零。 凡是自由度大于零的体系就是几何可变体系。
精品课件
8
2-1 几何构造分析的几个概念 四、约束 约束是指限制物体或体系运动的各种装置，可以分为外部约 束和内部约束两种。
外部约束：体系与基础之间的联系，也就是支座； 内部约束：体系内部各杆之间或结点之间的联系，比如铰结 点，刚结点和链杆等。
用铰和基础相连的运动情况完全相同。
从瞬时微小运动来看，两根链杆所起的约
束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起
I C
的约束作用，这个铰称为 瞬铰
A
在体系运动的过程中，瞬铰的位置随之变
1
2 化。
B
D 用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约
束的等效变换只适用于瞬时微小运动。
精品课件
20
2-1 几何构造分析的几个概念
精品课件
31
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配
1 从基础出发进行装配-【例2-1】
① A
② ④
⑤ C
⑥ ⑧
⑩ E
③ B ⑦D⑨
① A
② ④
③B
⑤ C
⑥ ⑧
⑩ E
⑦D ⑨
精品课件
32
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 1 从基础出发进行装配-【例2-2】
A
Ⅱ
B Ⅲ CⅣ D
A
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
《结构力学教材》课件
随着计算机技术的不断发展，结构力学将与数值 计算方法更加紧密地结合，实现对复杂结构的精 确模拟和分析。
多物理场耦合的研究
未来结构力学将更加注重与流体力学、热力学等 其他物理场的耦合研究，以解决多场耦合的复杂 工程问题。
智能化技术的应用
人工智能、机器学习等技术在结构力学中的应用 将逐渐普及，为结构设计和优化提供新的思路和 方法。
结构力学的重要性
结构力学是工程设计中的关键环节，能够确保结构的稳定性 、安全性和经济性。
通过结构力学分析，可以预测结构的性能，优化设计方案， 提高工程质量。
结构力学的历史与发展
结构力学的发展可以追溯到古代的建 筑实践，如中国的长城、埃及的金字 塔等。
随着科学技术的发展，结构力学不断 吸收新的理论和方法，如有限元方法 、计算机辅助设计等，推动了结构力 学的进步和应用。
结构力学在工程实践中的挑战与机遇
复杂结构的分析
随着工程结构的日益复杂化，对结构 力学在复杂结构分析方面的要求也越 来越高，这既是一个挑战也是一个机 遇。
耐久性与安全性
绿色与可持续发展
随着对环境保护的重视，结构力学在 绿色建筑、节能减排等领域的应用将 更加广泛，为可持续发展提供技术支 持。
工程结构的耐久性与安全性是结构力 学的重要研究内容，未来将面临更多 的挑战和机遇。
02
结构力学的基本原理
静力学原理
静力学原理总结
静力学是研究物体在静止状态下受力与变形 的关系。
静力学基本概念
静力学涉及到的基本概念包括力、力矩、力 偶、约束等。
静力学平衡条件
静力学平衡条件是物体在力的作用下保持静 止或匀速直线运动的状态。
静力学应用
静力学原理广泛应用于工程结构、机械系统 等领域。
多物理场耦合的研究
未来结构力学将更加注重与流体力学、热力学等 其他物理场的耦合研究，以解决多场耦合的复杂 工程问题。
智能化技术的应用
人工智能、机器学习等技术在结构力学中的应用 将逐渐普及，为结构设计和优化提供新的思路和 方法。
结构力学的重要性
结构力学是工程设计中的关键环节，能够确保结构的稳定性 、安全性和经济性。
通过结构力学分析，可以预测结构的性能，优化设计方案， 提高工程质量。
结构力学的历史与发展
结构力学的发展可以追溯到古代的建 筑实践，如中国的长城、埃及的金字 塔等。
随着科学技术的发展，结构力学不断 吸收新的理论和方法，如有限元方法 、计算机辅助设计等，推动了结构力 学的进步和应用。
结构力学在工程实践中的挑战与机遇
复杂结构的分析
随着工程结构的日益复杂化，对结构 力学在复杂结构分析方面的要求也越 来越高，这既是一个挑战也是一个机 遇。
耐久性与安全性
绿色与可持续发展
随着对环境保护的重视，结构力学在 绿色建筑、节能减排等领域的应用将 更加广泛，为可持续发展提供技术支 持。
工程结构的耐久性与安全性是结构力 学的重要研究内容，未来将面临更多 的挑战和机遇。
02
结构力学的基本原理
静力学原理
静力学原理总结
静力学是研究物体在静止状态下受力与变形 的关系。
静力学基本概念
静力学涉及到的基本概念包括力、力矩、力 偶、约束等。
静力学平衡条件
静力学平衡条件是物体在力的作用下保持静 止或匀速直线运动的状态。
静力学应用
静力学原理广泛应用于工程结构、机械系统 等领域。
结构力学课件 计算自由度
=3×7-(２×9 +3）=0
解答2（计算方法I） ： 刚片数m=9; 单铰结点： h=5 + 2 × 2=9； 单刚结点：g=2 支座约束：r=3 计算自由度W=3m-(2h+3g+r) =3×9-(２×9 +3 × 2+3）=0
第二种计算方法：对铰结链杆体系以结点的自由度为主体 j：结点数(joint)，b：杆件数(bar)，r：支座链杆数(rod)
A
B
EK F
C
D
A
B
EK F
A
B
EK F
C
D
体系看作由若干刚片通过
结点约束和支座约束构成
C
D
体系看作由许多铰结点通过链
杆约束及支座约束构成
一、计算自由度的定义
W(计算自由度)=(各刚片的自由度总数)-(约束总数) 计算较方便：只需
统计全部约束总数
S(自由度)=(各部件的自由度总数)-(必要约束总数) 计算较困难：要区分必要
解答(方法I)： 刚片数5 单铰数2 单刚数2 支座约束5
则计算自由度W=0
解答(方法I)： 刚片数5 单铰数2 单刚数2 支座约束7
则计算自由度W=-2
三、计算自由度说明 1、计算自由度与自由度： 实际上每个联系不一定都能使体系的体系度减少，这还与体系中是否有多 余约束有关。因此W不一定反映体系真实的自由度，称为计算自由度。
计算自由度W＝(各部件的自由度总和)－(约束总数) 自由度S＝(各部件的自由度总和)－(非多余约束数)
自由度S-计算自由度W＝n(多余约束数)
W=0，S=0
W=-1，S=0，n=1
2、计算自由度与几何组成之间的关系 计算自由度W＝(各部件的自由度总和)－(约束总数)
解答2（计算方法I） ： 刚片数m=9; 单铰结点： h=5 + 2 × 2=9； 单刚结点：g=2 支座约束：r=3 计算自由度W=3m-(2h+3g+r) =3×9-(２×9 +3 × 2+3）=0
第二种计算方法：对铰结链杆体系以结点的自由度为主体 j：结点数(joint)，b：杆件数(bar)，r：支座链杆数(rod)
A
B
EK F
C
D
A
B
EK F
A
B
EK F
C
D
体系看作由若干刚片通过
结点约束和支座约束构成
C
D
体系看作由许多铰结点通过链
杆约束及支座约束构成
一、计算自由度的定义
W(计算自由度)=(各刚片的自由度总数)-(约束总数) 计算较方便：只需
统计全部约束总数
S(自由度)=(各部件的自由度总数)-(必要约束总数) 计算较困难：要区分必要
解答(方法I)： 刚片数5 单铰数2 单刚数2 支座约束5
则计算自由度W=0
解答(方法I)： 刚片数5 单铰数2 单刚数2 支座约束7
则计算自由度W=-2
三、计算自由度说明 1、计算自由度与自由度： 实际上每个联系不一定都能使体系的体系度减少，这还与体系中是否有多 余约束有关。因此W不一定反映体系真实的自由度，称为计算自由度。
计算自由度W＝(各部件的自由度总和)－(约束总数) 自由度S＝(各部件的自由度总和)－(非多余约束数)
自由度S-计算自由度W＝n(多余约束数)
W=0，S=0
W=-1，S=0，n=1
2、计算自由度与几何组成之间的关系 计算自由度W＝(各部件的自由度总和)－(约束总数)
结构力学讲义ppt课件
x y
x
结点自由度
y
φ
x
y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参
数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
3. 辊轴支座
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
30
4. 滑动支座（定向支座）
A 实际构造
A
MA
FyA
A
MA
FyA
特点： 1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线 位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
17
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
高等教育出版社
4
第一章 绪 论
§1-1 结构力学的内容和学习方法
§1-2 结构计算简图
5
§1-1 结构力学的内容和学习方法
一、结构
建筑物或构筑物中 承受、传递荷载而起 骨架作用的部分称为 结构。如：房屋中的 框架结构、桥梁、大 坝等。
x
结点自由度
y
φ
x
y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参
数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
3. 辊轴支座
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
30
4. 滑动支座（定向支座）
A 实际构造
A
MA
FyA
A
MA
FyA
特点： 1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线 位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
17
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
高等教育出版社
4
第一章 绪 论
§1-1 结构力学的内容和学习方法
§1-2 结构计算简图
5
§1-1 结构力学的内容和学习方法
一、结构
建筑物或构筑物中 承受、传递荷载而起 骨架作用的部分称为 结构。如：房屋中的 框架结构、桥梁、大 坝等。
飞行器结构力学电子教案2ppt课件
每个自由单铰 有多少个 自由度呢？ N=2
第二章 结构的组成分析
每个自由刚片 有多少个 自由度呢？ N=3
第二章 结构的组成分析
每个单铰 起多少个 约束呢？
C=2
第二章 结构的组成分析
每个单链杆 起多少个 约束呢？
C=1
第二章 结构的组成分析
每个单刚结点 起多少个 约束呢？ C=3
第二章 结构的组成分析
3
有几个单铰？ 12个
还有3根单链杆
2
1
(外部约束)
C =2×12+3=27f = C－N 02有几
个 单
3
铰？
1
讨论
2
将等可杆于体变安多件系吗排少重f？？新
3
f = 0,体系
1
是否一定
几何不变呢？
f = (2×12+3)－3×9 = 0
除去约束后，体系的自由度将增加， 这类约束称为必要约束。
C ＝ 2（平面） C ＝ 3（空间）
C ＝ 3（平面） C ＝ 6（空间）
第二章 结构的组成分析
2.3 几何特性的判断方法
将组成系统的所有元件，分为自由体 和约束体，计算所有自由体的自由度 数和所有约束体的约束数，通过比较 和分析来判断结构的几何特性。
无硬性规定， 哪些元件作为自由体？ 需灵活运用。 哪些元件作为约束体？
第二章 结构的组成分析
复铰：连接两个以上刚片的铰
N=5
复铰 等于多少个
单铰？
1连接m个刚片的复铰 = (m-1)个单铰
第二章 结构的组成分析
A
A
B
单复刚结点 C = 3 m-1个
连接m个杆的 复刚结点等于多 少个单刚结点？
第二章 结构的组成分析
每个自由刚片 有多少个 自由度呢？ N=3
第二章 结构的组成分析
每个单铰 起多少个 约束呢？
C=2
第二章 结构的组成分析
每个单链杆 起多少个 约束呢？
C=1
第二章 结构的组成分析
每个单刚结点 起多少个 约束呢？ C=3
第二章 结构的组成分析
3
有几个单铰？ 12个
还有3根单链杆
2
1
(外部约束)
C =2×12+3=27f = C－N 02有几
个 单
3
铰？
1
讨论
2
将等可杆于体变安多件系吗排少重f？？新
3
f = 0,体系
1
是否一定
几何不变呢？
f = (2×12+3)－3×9 = 0
除去约束后，体系的自由度将增加， 这类约束称为必要约束。
C ＝ 2（平面） C ＝ 3（空间）
C ＝ 3（平面） C ＝ 6（空间）
第二章 结构的组成分析
2.3 几何特性的判断方法
将组成系统的所有元件，分为自由体 和约束体，计算所有自由体的自由度 数和所有约束体的约束数，通过比较 和分析来判断结构的几何特性。
无硬性规定， 哪些元件作为自由体？ 需灵活运用。 哪些元件作为约束体？
第二章 结构的组成分析
复铰：连接两个以上刚片的铰
N=5
复铰 等于多少个
单铰？
1连接m个刚片的复铰 = (m-1)个单铰
第二章 结构的组成分析
A
A
B
单复刚结点 C = 3 m-1个
连接m个杆的 复刚结点等于多 少个单刚结点？
结构力学课件 §2-3
W 2 j (b r)
j——铰结点数； b——链杆数
r——支杆数
b r)
解： j = 7， b = 11， r = 3， W ＝ 2×7－(11＋3)＝0
例 试求图示体系的计算自由度W。
W 2 j (b r)
解： j = 11， b = 18， r = 3， W＝2×11－(18＋3)＝1
例 试求图示体系的计算自由度W。 W 3m (3g 2h r)
解： m = 9， g = 5， h = 6， r = 5， W＝3×9－(3×5＋2×6＋5)＝﹣5
2、铰接链杆体系的计算自由度 铰结链杆体系——由两端铰结的杆件相互连接而成的体系
以铰结链杆体系为运动物体，地基为参照物，则铰接链 杆体系相对于地基的计算自由度为
以刚片系为运动物体，地基为参照物，则刚片系相对于地 基的计算自由度为：
W 3m (3g 2h r)
m—刚片数; g—单刚结数; h—单铰结数; r—支杆数;
例 试求图示体系的计算自由度W。 W 3m (3g 2h r)
解： m = 4， g = 0， h = 4， r = 4， W＝3×4－(3×0＋2×4＋4)＝0
三、 体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
W＝1＞0
体系缺少必要的约束 具有运动自由度
W＝0
具有成为几何不变体系 所必需的最少约束数目
W＝﹣1＜0
体系有多余约束但 不一定几何不变
若W ＞0，体系一定是几何可变； 若W ≤0，只表明体系具有成为几何不变体系的必要条件，但不是
充分条件。
§2-3 平面体系的计算自由度
一、体系的实际自由度S与计算自由度W
体系是由部件(刚片或铰结点)加上约束组成的。
体系的实际自由度S = 各部件的自由度总数－必要约束数 体系的计算自由度W = 各部件的自由度总数－全部约束数
j——铰结点数； b——链杆数
r——支杆数
b r)
解： j = 7， b = 11， r = 3， W ＝ 2×7－(11＋3)＝0
例 试求图示体系的计算自由度W。
W 2 j (b r)
解： j = 11， b = 18， r = 3， W＝2×11－(18＋3)＝1
例 试求图示体系的计算自由度W。 W 3m (3g 2h r)
解： m = 9， g = 5， h = 6， r = 5， W＝3×9－(3×5＋2×6＋5)＝﹣5
2、铰接链杆体系的计算自由度 铰结链杆体系——由两端铰结的杆件相互连接而成的体系
以铰结链杆体系为运动物体，地基为参照物，则铰接链 杆体系相对于地基的计算自由度为
以刚片系为运动物体，地基为参照物，则刚片系相对于地 基的计算自由度为：
W 3m (3g 2h r)
m—刚片数; g—单刚结数; h—单铰结数; r—支杆数;
例 试求图示体系的计算自由度W。 W 3m (3g 2h r)
解： m = 4， g = 0， h = 4， r = 4， W＝3×4－(3×0＋2×4＋4)＝0
三、 体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
W＝1＞0
体系缺少必要的约束 具有运动自由度
W＝0
具有成为几何不变体系 所必需的最少约束数目
W＝﹣1＜0
体系有多余约束但 不一定几何不变
若W ＞0，体系一定是几何可变； 若W ≤0，只表明体系具有成为几何不变体系的必要条件，但不是
充分条件。
§2-3 平面体系的计算自由度
一、体系的实际自由度S与计算自由度W
体系是由部件(刚片或铰结点)加上约束组成的。
体系的实际自由度S = 各部件的自由度总数－必要约束数 体系的计算自由度W = 各部件的自由度总数－全部约束数
第2章平面体系几何组成分析结构力学
结构力学多媒体课件2 平面体系的几何组成分析Geometric construction analysis基本要求：明确几何组成分析的目的，领会几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系和刚片、约束、自由度等概念。
掌握几何不变体系的简单组成规则，能灵活运用三个规则对平面体系进行组成分析。
重点：几何不变体系的简单组成规则难点：如何正确应用几何不变体系的简单组成规则对平面体系进行几何组成分析，二元体的概念。
教学内容：﹡几何不变体系、几何可变体系及几何组成分析的目的﹡刚片、自由度和约束的概念﹡平面体系的计算自由度﹡无多余约束几何不变体系的组成规则﹡几何组成分析举例﹡结构的几何组成和静定性的关系§2-1 概述结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座联接组成的。
结构是用来承受荷载的，因此必须保证结构的几何构造是不可变的。
问题：是不是若干杆件随意组合都能成为结构？1、几何不变体系和几何可变体系结构几何不变体系：体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，几何形状和位置保持不变的体系。
§2-1 概述1、几何不变体系和几何可变体系机构意荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，几何形状和位置可以改变的体系。
显然只有几何不变体系可作为结构，而几何可变体系是不可以作为结构的。
因此在选择或组成一个结构时必须掌握几何不变体系的组成规律。
§2-1 概述1、几何不变体系和几何可变体系P ∆瞬变体系：本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变体系。
这是几何可变体系的一种特殊情况。
ααA BCP F NCA FNCBCPαsin2PF NCA=因此瞬变体系是不能作为结构使用的。
§2-1 概述1、几何不变体系和几何可变体系⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧瞬变体系常变体系几何可变体系几何不变体系体系 （图1） P （图2） P P∆（图3）§2-1 概述2、几何组成分析几何组成分析（机动分析或构造分析）—判断一个杆系是否是几何不变体系，同时还要研究几何不变体系的组成规律。
结构力学(第二章)-三铰拱课件
稳定性分析对于结构的整体稳定性和安全性具有 重要意义。
03
三铰拱的设计与优化
设计原则与步骤
确定设计要求
明确三铰拱的设计目标，如承载能力、稳定性、 经济性等。
截面设计
根据计算出的内力和弯矩，设计三铰拱的截面尺 寸和形状。
结构分析
对三铰拱进行受力分析，计算出各截面的内力和 弯矩。
稳定性分析
对三铰拱进行稳定性分析，确保其在承载过程中 不会发生失稳。
3D打印技术
3D打印技术能够实现复杂结构的快速 、精确制造，为三铰拱的原型制作和 试验提供便利。
未来发展方向与趋势
跨学科融合
结构力学与材料科学、计算机科 学、人工智能等学科的交叉融合，
将推动三铰拱在理论和实践上的 创新。
绿色与可持续发展
在未来的发展中，三铰拱的设计和 建造将更加注重环保和可持续发展， 如采用可再生材料和节能技术。
智能化与自动化
随着智能化和自动化技术的发展， 三铰拱的设计、建造和监测将趋向 于智能化和自动化，提高效率和安 全性。
THANK YOU
感谢聆听
案例分析与实践
案例一
某桥梁的三铰拱设计，通过优 化设计，提高了桥梁的承载能 力和稳定性。
案例二
某工业厂房的三铰拱设计，采 用轻量化设计，降低了结构的 自重。
案例三
某大型场馆的三铰拱设计，通 过参数优化，实现了结构的优 化和美观。
04
三铰拱的施工与维护
施工工艺与要点
01
02
03
04
施工准备
确保施工场地安全，检查施工 材料质量，制定施工计划和安
100%
建筑工程
在建筑工程中，三铰拱可用于大 型工业厂房、仓库、展览馆等建 筑的屋盖结构。
03
三铰拱的设计与优化
设计原则与步骤
确定设计要求
明确三铰拱的设计目标，如承载能力、稳定性、 经济性等。
截面设计
根据计算出的内力和弯矩，设计三铰拱的截面尺 寸和形状。
结构分析
对三铰拱进行受力分析，计算出各截面的内力和 弯矩。
稳定性分析
对三铰拱进行稳定性分析，确保其在承载过程中 不会发生失稳。
3D打印技术
3D打印技术能够实现复杂结构的快速 、精确制造，为三铰拱的原型制作和 试验提供便利。
未来发展方向与趋势
跨学科融合
结构力学与材料科学、计算机科 学、人工智能等学科的交叉融合，
将推动三铰拱在理论和实践上的 创新。
绿色与可持续发展
在未来的发展中，三铰拱的设计和 建造将更加注重环保和可持续发展， 如采用可再生材料和节能技术。
智能化与自动化
随着智能化和自动化技术的发展， 三铰拱的设计、建造和监测将趋向 于智能化和自动化，提高效率和安 全性。
THANK YOU
感谢聆听
案例分析与实践
案例一
某桥梁的三铰拱设计，通过优 化设计，提高了桥梁的承载能 力和稳定性。
案例二
某工业厂房的三铰拱设计，采 用轻量化设计，降低了结构的 自重。
案例三
某大型场馆的三铰拱设计，通 过参数优化，实现了结构的优 化和美观。
04
三铰拱的施工与维护
施工工艺与要点
01
02
03
04
施工准备
确保施工场地安全，检查施工 材料质量，制定施工计划和安
100%
建筑工程
在建筑工程中，三铰拱可用于大 型工业厂房、仓库、展览馆等建 筑的屋盖结构。
结构力学复习 Microsoft PowerPoint 演示文稿
弯矩：等于截面一侧 所有外力对该截面形心力矩的代数和。
内力符号规定 FN FN FN FN FS FS FS FS
弯矩正负号无统一规定，对梁或拱，习惯上假定: M M
M
M
4）. 绘内力图 绘图规定: 弯矩图绘在受拉纤维的一侧，不必注明正负号 轴力图 剪力图 可绘在杆件任一侧，但需注明正负号
图中数字统一注绝对值
MCD=10kNm C
MDC=28kNm
D
q=16kN/m C D
MCD=10kNm
MDC=28kNm D
l=4m
28kNm
C
q=16kN/m
10kNm
C
l=4m
D
32kNm
要点：先求 叠 MCD=10kNm q=16kN/m MDC=28kNm 出杆两端截 加 面弯矩值， 法 C 然后在两端 D 作 l=4m 弯矩纵矩连 弯 线的基础上 矩 28kNm 叠加以同跨 图 32kNm 度，同荷载 的简支梁的 弯矩图
用节点法求各杆内力
20kN 10kN 1 F1 α 2m 3 10kN 4 7 2m 8 2m F8
2
2m
5
2m
6
a.求支座反力
F1=30kN F8=10kN b.取结点列投影方程求杆内力
平面汇交力系
∑Fix =0
∑ Fiy =0
20kN 10kN 1 F1
y
10kN 4
F87
7
2m 8 2m F8
2. 截面法
当脱离体包含多个结点时，称截面法 脱离体包含不少于两个结点的桁架部分时 脱离体上受到的是平面任意力系，应用三个独 立的平衡方程求解，故一般切断的未知轴力的 杆件不多于三根。
第4章 结构的位移计算
结构力学Ⅱ课件：结构刚度矩阵
2EllA
12 l
EI
3
6EI l2
12EI l3
6EI
l2
6EI l2
2EI
l
2142EI ll33
+
EA l
6EI l2
6lE20I
6lE2 I0
81E2IEI ll
6EI l2
2EI l
6EI l2
2EI
l
4EI
l
1 2 3 4 5 6 7 8
19
2（2,3, 4）
6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2
2EI l
0
6EI 4EI
l2
l
14
2（2,3, 4）
②
①
1（0, 0,1）
4（5, 6, 7) ④
③
（3 0,0,0）
（5 0,0,8）
EA
l
0
y
K(4) =
0
θx
0
0
12EI
l3
6EI l2
6EI l2
0
6EI l2
4EI
2
4EI l
+
8EI l
+
4EI l
6EI l2
3
6EI l2
12EI l3
4
9
例14：写出图示连续梁的整体刚度矩阵。
(0,1,0)
(0,0,2)
(0,0,3) (0,4,0)
定位向量
单元刚度矩阵：
1
12EI
K (1) =
l3 6EI
l 2
2 6EI 1 l2 4EI
l 2
《结构力学力法》课件
解题步骤
力法的解题步骤包括构建基本体系、选择基本未知量、建 立线性方程组和求解线性方程组等。
力法的应用范围
静定结构和超静定结构的分析
01
力法可以用于分析静定结构和超静定结构的内力和位移，特别
是对于超静定结构的分析具有重要意义。
复杂结构的分析
02
对于复杂结构，如组合结构、多跨连续结构和空间结构等，力
法同样适用，能够提供有效的解决方案。
边界条件和支座反力的处理
03
力法能够方便地处理结构的边界条件和支座反力，使得问题得
到完整的解决。
力法的解题步骤
构建基本体系
首先需要将原结构拆分成若干个基本体系，以便 于应用力法公式。
建立线性方程组
根据力的平衡和变形协调条件，建立线性方程组 ，并求解该方程组以得到位移和内力。
《结构力学力法》ppt课件
目录
• 引言 • 力法的基本原理 • 力法的实际应用 • 力法的扩展知识 • 总结与展望
01
引言
结构力学的重要性
1
结构力学是土木工程学科中的重要分支，是研究 结构在各种力和力矩作用下的响应和行为的学科 。
2
结构力学对于工程结构的稳定性、安全性和经济 性具有重要意义，是工程设计和施工的基础。
缺点总结
力法需要预先设定结构的初始应力状态，有时难以确定。 力法对于非线性问题的处理能力有限，对于高度非线性结构可能需要
采用其他方法。 力法在处理复杂边界条件和连接时可能存在困难，需要特别注意。
力法在未来的应用前景
随着科技的不断进步和应 用需求的不断提高，力法 在未来的应用前景广阔。
随着新材料和新结构的出 现，力法将面临更多的挑 战和机遇。
力法的计算机实现
力法的解题步骤包括构建基本体系、选择基本未知量、建 立线性方程组和求解线性方程组等。
力法的应用范围
静定结构和超静定结构的分析
01
力法可以用于分析静定结构和超静定结构的内力和位移，特别
是对于超静定结构的分析具有重要意义。
复杂结构的分析
02
对于复杂结构，如组合结构、多跨连续结构和空间结构等，力
法同样适用，能够提供有效的解决方案。
边界条件和支座反力的处理
03
力法能够方便地处理结构的边界条件和支座反力，使得问题得
到完整的解决。
力法的解题步骤
构建基本体系
首先需要将原结构拆分成若干个基本体系，以便 于应用力法公式。
建立线性方程组
根据力的平衡和变形协调条件，建立线性方程组 ，并求解该方程组以得到位移和内力。
《结构力学力法》ppt课件
目录
• 引言 • 力法的基本原理 • 力法的实际应用 • 力法的扩展知识 • 总结与展望
01
引言
结构力学的重要性
1
结构力学是土木工程学科中的重要分支，是研究 结构在各种力和力矩作用下的响应和行为的学科 。
2
结构力学对于工程结构的稳定性、安全性和经济 性具有重要意义，是工程设计和施工的基础。
缺点总结
力法需要预先设定结构的初始应力状态，有时难以确定。 力法对于非线性问题的处理能力有限，对于高度非线性结构可能需要
采用其他方法。 力法在处理复杂边界条件和连接时可能存在困难，需要特别注意。
力法在未来的应用前景
随着科技的不断进步和应 用需求的不断提高，力法 在未来的应用前景广阔。
随着新材料和新结构的出 现，力法将面临更多的挑 战和机遇。
力法的计算机实现
结构力学学习课件2
F MB
FP
F MBC F MB
A B
M
+
F CB
C
F MC ′
D
A
C MAB
MBA
B µ
MBC
F B
µ
A B
M ′
+
C MCB
C
F F MC + MC ′
D
M
C BC
+ …
µ MCB
C
D
µ MCD
C MDC
例：
用力矩分配法计算图示刚架，作弯矩图。 用力矩分配法计算图示刚架，作弯矩图。 80kN 30kN/m B i=2 3m 3m i=1 10m C i=1 3m 5m 160kN D
D iAD
M
A θA iAB iAB B
MAB =
SAB ⋅M ∑S
A
C
SAC MAC = ⋅M ∑S
A
µ MAj = µAj ⋅ M
MAB=SAB θA =4iAB θA MAC=SAC θA = iAC θA MAD=SAD θA =3iAD θA
（ 8-5 ） -
SAD MAD = ⋅M ∑S
CBA = MBA /MAB
µ MAj = µAj ⋅ M
C MBA = CBA ⋅ MAB
远端弯矩/近端弯矩 远端弯矩 近端弯矩
称为分配弯矩。 称为分配弯矩。 称为传递弯矩。 称为传递弯矩。
（8-10） ）
二、基本运算（单结点的力矩分配） 基本运算（单结点的力矩分配）
B MBA MAB A MAC θA C
综上所述，多结点力矩分配即为：每次只放松一个结点， 综上所述，多结点力矩分配即为：每次只放松一个结点，相当于单结 点分配传递。最后将各步骤所得的杆端弯矩（增量）叠加。 点分配传递。最后将各步骤所得的杆端弯矩（增量）叠加。
结构力学Ⅱ课件：坐标变换
4
矢量的坐标变换
且 λ 1 =λ T
λ =1
Fy
Fy
Fx sin
o
Fx cos sin Fx
= sin cos
Fy
Fy
cos sin
坐标变化矩阵： λ =
sin
cos
EA
或： δ
(2)
0
1
EA
80.04
3. 单元坐标下，利用刚度方程求
各单元的杆端内力 （一般方法）
δ (1) 0 0 85.98 309
1
EA
310.58 1
EA
T
δ (2) 0 0 80.04
K (1)
F
1
0
1
0
(1)
0 1
0 0
0 1
Fxi
0 Fyi
λ Fxj
Fyj
TeT Te1 正交矩阵
6
梁单元坐标变换矩阵
Fxi Fxi cos Fyi sin
假设已知整体坐标 求单元坐标：
y
Fyj
y
Fi
Fyi
Fyi
o
Fxi
F T F
杆端位移变换
δ T δ
cos
λ
sin
Fxj
Fi
Fyi
x
Fj
Fyj
单元
Fxj
Fxj
λ
Fyj
Fyj
Fxi
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A
B 1C
ⅡD
Ⅰ
2
3
结论：几何不变，无多 余约束。
.
例3：分析图示体系
解：
AB 与基础视为扩
大的刚片Ⅰ，BC视为 刚片Ⅱ，用铰B和链杆
1联结，满足规律4，视
为扩大的刚片Ⅰ’ ，CD 视为刚片Ⅲ，与Ⅰ’， 用铰C和链杆2，3联结。
Ⅱ
Ⅲ
1
23
Ⅰ
Ⅰ’
有一个多余约束。
结论：有一个多余约束的几何 不变体系。
.
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
1、一个点与一个刚片之间的联结方式
• 规律1 : 一个刚片
与一个点用两根链杆 相连，且三个铰不在 一直线上，则组成几 何不变的整体，并且 没有多余约束。
A
B
C
Ⅰ
.
引论: 二元体(片)规则
A 二元体
• 二元体(片）：由两根相
B
C
互不平行的链杆联接一个新结
Ⅰ
点的装置，称为二元体（片）。
• （2）、如果把Ⅰ（刚片I）看成为基础，
则规律1，说明一点的固定方式；规律2、4， 说明一个刚片的固定方式；规则3，说明两个 刚片个固定方式。（三种基本的装配方式）
.
• （3）、每个规律中均有限制条件，如不加 限制，则会有什么情况出现？
O
三杆不等长 瞬变
三杆等长 常变
Ⅱ Ⅱ
Ⅰ
瞬变体系
Ⅰ
.
• 瞬变体系
.
例4：分析图示体系
• 解： 两刚片装配方式。 • 从内部出发，
• ①、支座杆为3，可先不 考虑基础，分析体系本身。
第二章
结构的几何构造分析
（机动分析） ( 组成分析）
.
§2-1几何构造分析的几个概念
• 一．体系——杆件＋ 约束(联系)
• 杆件：不考虑材料应 变，视作刚体，平面刚 体称为“刚片”。
• 约束：限制刚片运动 的装置。
.
二、两种体系
几何不变体系——在不考虑 材料应变的条件下，体系 的位置和形状不能改变。
如图：n = 3 – 1=2个单铰。
.
• 4、实铰与虚铰（瞬 铰）。
• 从瞬时微小运动来看，
与A点有实铰的约束作用
一样。
相交在∞点
无穷远处的瞬铰
Ⅱ
Ⅰ
.
AⅡ
Ⅰ
图1
A A’
Ⅱ
Ⅰ
图2
5、必要（非多余）约束和多余约束
• 链杆1、2（不共线），
将A与地面相连接，为必 要约束。
A
1
2
• 链杆1、2、3（不全共
yA
x
0
.
• 2、平面内的一个自由的 刚片（平面刚片）：
• 平面内一个自由的刚片 有三个自由度。
• S=3
• 即：由三个独立的坐标 可以唯一地确定这个刚片的 位置。
y
B
xA A θ
yA
x
0
.
四、约束（联系）— 限制（或减少） 运动自由度的装置
• 1、链杆 — 两端是铰的刚性
B
杆件。
• 被约束物体不能沿链杆方向 A 移动，减少了被约束物体的一个
•
二元体规则：在一个刚片
上增加一个二元体，体系仍为
几何不变体系。并且无多余约
束。
Ⅰ
.
例：
• 结论：在一个体系 上，增加或拆除二元 体（片），不会改变 原体系的几何性质。
.
2、两刚片之间的联接方式
• 规律2：
两刚片用一个铰和一
根链杆相联结，且三个铰 不在一直线上，则组成几
A
何不变的整体，并且没有
多余约束。
配方式。
从基础出发：
A
基础A、B→C、D→E、F→G
GG F D
B
.
解Ⅱ：因为基础可视为几何不变的刚片，可用减
二元体的方法进行分析。
G G
E
F
E
F
C
C
D
D
A
B
A
B
注:二元体遇到,可以先去掉。
例2：分析图示体系
解：
固定一个刚片的 装配方式。
AB部分与基础固 结在一起，可视为一
扩大的刚片Ⅰ。CD视 为刚片Ⅱ，Ⅰ、Ⅱ用 链杆1，2，3联结。
.
FN1 A’ FN2
θ
FP
• θ趋近于零，则FN趋近于无穷大。 • 表明：瞬变体系即使在很小的荷载作
用下，也会产生很大的内力，从而导致 体系迅速破坏。 • 结论：工程结构不能采用瞬变体系， 接近瞬变的体系也应避免使用。
.
二、几何组成分析举例
E
• 例1：用基本规律分析图
示体系的几何构造。
C
解Ⅰ：用固定一个点的装
几何可变体系——在不考虑 材料应变的条件下，体系 的位置和形状可以改变。
几何可变：形状可变 ； 整体（或部分）可动。
.
几何组成分析的目的
（1）、检查并保证结构的几何不变性。 （体系是否可做结构? 并创造新颖合理的结 构形式）
（2）、区分静定结构和超静定结构。
（3）、指导结构的内力计算（几何组成分 析与内力分析之间有密切联系）。
运动自由度。
• 一根链杆=一个约束。
.
• 2、单铰 — 联结两刚片 的圆柱铰。
• 被约束物体在单铰联结 处不能有任何相对移动， 减少了被约束物体的两个 运动自由度。
• 一个单铰=两个约束=两 根链杆。
Ⅰ AⅡ
.
• 3、复铰 — 联结两个 以上刚片的圆柱铰。
一个复铰=n – 1 个单铰。
A
Ⅲ
ⅠⅡ
•（n — 复铰连接的刚片数）
B
Ⅱ
C
Ⅰ
.
3、三刚片之间的联结方式
• 规律3：三个刚片用三
个铰两两相连，且三个铰 不在一直线上，则组成几
何不变整体，且无多余约 束。
B
Ⅱ
Ⅲ
A
Ⅰ
C
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
三刚片六链杆
.
规律4：
两刚片用不全交于一点
也不全平行的三根链杆相联
Ⅱ
，则组成的体系是没有多余
约束的几何不变体系。
Ⅰ
.
注：
• （1）、以上规律，虽然表达方式不同，但 可以归纳为一个基本规律，即三角形规律。说 明如三铰不共线，则一个铰结三角形是几何不 变的，且无多余约束。
线），将A 与地面相连接， 只限制了两个自由度，有一 根链杆是多余约束（多余联 系）。
A 1 32
.
• 必要约束：
• 为保持体系几何不变所需的最少约束。 • 如果在一个体系中增加一个约束，体系的
自由度因此减少，此约束称为必要约束（或非 多余约束）。
• 多余约束：
• 如果在一个体系中增加一个约束，而体系 的自由度并不因此减少，称此约束为多余约束。
A
ⅡB
C
Ⅲ
Ⅰ
.
瞬体系的特性
•
1、瞬变体系：某一瞬时可以发生微小运
动，经过微小运动（位移）后，又成为几何不
变的体系，称为瞬变体系。
B
A
C
A’
.
• 2、瞬变体系的特征（静力特征）：
B
①
A ②C
l
A’ l
受力分析：
由∑x=0
∑y=0
FN1=FN2=FN 2FN sinθ- FP =0
FN= FP /2sinθ
.
三、自由度
• 体系的运动自由度=体系独立位移 的数目。
• 自由度是度量体系是否运动的数 量标志，有自由度的体系必然运动， 自由度等于零的体系可能不运动。
.
• 1、平面内一个自由 的点：
• 平面内一个自由的 点有两个自由度。
• S=2
• 即：由两个独立的 坐标可唯一地确定这 个点的位置。
y
xA
A