7-4线性方程解的结构,齐次方程的解法解析
线性代数第三章线性方程组第4节线性方程组解的结构
c1
1 0
c2
0 1
k1
1 1
k2
2 2
1
0
0
1
得 c1 k2
cc12
k1 k1
2k2 2k2
c1 k2
即 c1 k2 0
cc12
k1 k1
2k2 2k2
0 0
c1 k2 0
解得 c1 k2，c2 k2，k1 k2.
取
k2 k 0,
则方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的公共解为
(kk21
(k1 k2 )
k2 k2
)0 0
解之得到
k1 k2.
当k1 k2 0时，向量
k1(0,1,1, 0)T k2 (1, 2, 2,1)T k2[(0,1,1, 0)T (1, 2, 2,1)T
满足方程组(Ⅰ).
k2 (1,1,1,1)T
并且它也是方程组(Ⅱ)的解，故它是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的 公共解.
定理3.17 若0是非齐次线性方程组AX=b的一个解，则方程组 AX=b的任意一个解 都可以表示为 0 其中 是其导出组AX=0的某个解，0称为方程组
AX=b的一个特解.
例7 求线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 3x5 5
3x1
2x1 4x2
x2 2x4 6x5 1 5x3 6x4 3x5
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
的一个基础解系.并求方程组的通解.
解 方程组中方程个数小于未知量的个数，所以方程组有 无穷多解.
对方程组的系数矩阵施以初等行变换，化为简化的阶 梯形矩阵：
3 1 6 4 2
A 2
2
3 5
3
1 5 6 8 6
线性代数 齐次线性方程组解的结构(1)
齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的结构⏹非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的性质⏹应用举例齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 即 齐次线性方程组解的性质Ax齐次线性方程组解的结构性质1的和仍是解向量.齐次线性方程组的两个解向量0 Ax 齐次线性方程组解的性质设X 1,X 2为齐次线性方程组AX =0的两个解向量,则有AX 1=0,AX 2=0,证因为A (X 1+X 2)即X 1+X 2为方程组AX =0的解向量.=AX 1+AX 2=0，齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.因为性质1和性质2可知, 所以齐次线性方程组解向量的任意线性组合仍为其解向量.齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.齐次线性方程组解的结构1. α1, α2, …, αk 是线性无关的;2.方程组Ax =0的任意一个解向量均可由α1,定义Ax =0的一组解向量,α2, …, αk 线性表出,则称α1, α2, …, αk 是齐次方程组Ax =0的一个基础解系.设α1, α2, …, αk 是齐次线性方程组并且齐次线性方程组解的结构2.基础解系中含有多少个解向量?与R(A)有何关系?1.方程组是否总有基础解系?0 Ax齐次线性方程组解的结构定理1齐次线性方程组的系数0 Ax 并且基础解系含有n -r 个解向量.方程组有基础解系, n r A R )(矩阵A 的秩时, 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(用定义构造法找出一个基础解系即可)证n r A R )(1.因为所以A 中至少有一个r 阶子式不为零,按照上节定理2的分析,并且可以化为:不妨设A 中位于左上角的r 阶子式不为零,0 Ax 方程组有无穷多解,齐次线性方程组解的结构nn r r n rn r r ,r rn n r r ,n n r r ,x x x x x c x c xx c x c x x c x c x11112112211111齐次线性方程组解的结构写成向量形式nrn n n r r ,r r ,r ,r r ,r r ,r ,n r r r x c c c x c c c x c c c x x x x x x100010001212222211112112121 说明方程组任意解均可由α1, α2,…, αn-r 线性表出.齐次线性方程组解的结构， 0,,0,0,1 ， 0,,0,1,01,,0,0,0 ， 2.代入得到方程的n-r 个解向量:0 Ax 逐次令自由变量为n r r x x x ,,,21齐次线性方程组解的结构100,,010,001212,2,22,121,1,21,11 rn n n r n r r r r r r r r c c c c c c c c c齐次线性方程组解的结构由1. 2. 说明:它可以看成是在n -r 个n -r 维基本单位向量：0 Ax 的一个基础解系.中的每个向量上添加r 个分量而得到的,所以线性无关.α1, α2,…, αn -r 就是方程组(1,0,…,0)T ,(0,1,…,0)T ,…,(0,0,…,1)T齐次线性方程组解的结构推论设齐次方程组m ,,,i x a n j j ij 2101 (2)（因秩为n-r ,所以任n-r 个线性无关的解向量必为基）的系数矩阵的秩为r <n ，则任意的n -r 个线性无关的解向量都是它的基础解系. 证齐次线性方程组解的结构利用此推论证明一组解向量是否是基础解系时,个即可.)(A R n 并且它们的个数是只要证明它们是线性无关的,注。
第五节 线性方程组解的结构
定理 ｎ元齐次线性方程组 Amn x 0的全体解所构成的 集合Ｓ是一个向量空间，当系数矩阵的秩为ｒ时，解空
间Ｓ的维数为ｎ-ｒ.
当rank( A) n时，线性方程组只有零解，故没有基础
解系（此时解空间只含有零向量，称为０维向量空间）
当rank( A) n时，线性方程组必有含ｎ-ｒ个向量的基
础解系 1,2 ,L ,nr ，此时线性方程组的解可以表示为 k11 k22 L knr nr
L
a12 L a22 L L
am1
am 2
L
a1n a2n L
,x
x1 x2
amn
xn
则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax 0.
二、基础解系及其求法
１、基础解系的定义
方程组 Ax 0 解空间V的一组基称为齐次线性方程组的 一组基础解系,即解空间的某一个部分组 1,2 ,L ,s满足：
a 2 1 1 a 2 1 1
:
a 4a
2 10
1 3
0 0
b c
1 4
:
a 2 a4
1 0
0 0
c
b 3b
1
1
当a 4 0 时,ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，且表达式唯一. 当a 4 0 且 c 3b 1 0 时,ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，
但表达式不唯一；
1
2 10
,
2
1 5
,
3
1 4
,
b c
,
试问，当a,b,c 满足什么条件时
（１）ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，且表达式唯一？
（２）ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，且表达式不唯一？
（３）ｂ不能由1,2 ,3 线性表示？
7-4高阶ODE的降阶和幂级数解法_29950336
例:分别求方程x x 0的满足初值条件x(0) 1, x(0) 0和x(0) 0, x(0) 1的解.
解:设方程的通解为x(t ) cnt n , 代入方程得 n 0 cn cn 2 , n2 n (n 2)(n 1) n(n 1)cnt cnt 0, n2 n 0 n 0. 当x(0) 1, x(0) 0时, c0 1, c1 0, n (1) c2n , c2n1 (0) 0, x(t ) cos t; (2n)! 当x(0) 1, x(0) 0时, c0 0, c1 1, n (1) c2n1 , c2n (0) 0, x(t ) sin t. (2n)!
(n) ( n 1) x a ( t ) x an (t ) xk 1 k k y0
(3)
因为xk为(2)的解, 所以(3)中y的系数恒为0. 引入新的未知函数z y, 并在xk 0的区间上用xk 除(3)的各项, 得到n 1阶齐次线性方程
z
( n1)
1 2 kM 由v( x) 0得 v0 0.故第二宇宙速度为 2 R
2kM v0 R
2gR
11.2 10 m s .
3
地球表面重力加速度 kM g 2 9.81 m s 2 R 5 R 63 10 m
3)m次齐次方程(m为正整数): F (t , x, x,, x( n) ) 0
2阶线性ODE的常数变易法
§4.高阶ODE的降阶与幂级数解法
1.可降阶的ODE
1)方程不显含未知函数x : F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n) ) 0 (k ) 令y x , 则方程降为关于y的n k阶方程 ( nk ) F (t , y, y ,, y )0 1 (4) (5) 例: 求y y 0的通解. x (4) 解:方程不显含未知函数y.令u y , 则原方程化为 du dx 1 . u u 0, u x x 于是, u y(4) cx, c . 5 3 2 y c x c x c x c4 x c5 , 逐次积分得 1 2 3
线性方程组解的结构(重要知识)
3x5
令自由变量为任意实数
x1 2k1 k2 3k3
x2 x3
k1 4k2 5k3
x2 k1, x4 k2 , x5 k3
x4
k2
x5
k3
2
1
3
说明:
1
0ห้องสมุดไป่ตู้
0
1.基础解系不惟一
x
k1
0 0
k2
4 1
k3
-5 0
2.但所含向量的 个数唯一且等于n-R(A)
1
2
3
2
3 2
,2,
5 2
,3
T
0
通解为：X 2,3,4,5T k3,4,5,6T ,k R
-13-
例6
x
1
x1
x2 x2
x3 x3
x4 0, 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解
A~
1 1
1 1
1 1
1 3
0 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 2,
2.如果当非齐次线性方程组Ax 有无穷多解时,
其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?
-2-
§4.1 线性方程组解的存在性定理
非齐次方程组解的判别定理
对于非齐次方程组 Amn x b(b 0)
(1) 有解 r( A) r( A~) 无解 r( A) r( A~)
(2) 有惟一解 r( A) r( A~) n (3) 有无限多解 r( A) r( A~) n 齐次方程组解的判别定理
（A）AX 0仅有零解，则AX b有唯一解
（B）AX 0有非零解，则AX b有无穷多解 （C）AX b有无穷多解,则AX 0仅有零解
第11讲齐次线性方程组解的结构
(m n)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
它的矩阵形式为
AX 0 ,
其中,
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n
,
amn
X
xxn2
。
也可用向量来表示齐次线性方程组。
a11
a12
a1n
记
1 aam211 , 2 aam222 , , n aam2nn ,
四 解线性方程组的一个应用
本节讨论矩阵的特征值与特征向量
定义 4.1
设 A Rnn , 如果存在数 及 n 维非零向量，使得：
A .
(4.1)
则称 为矩阵 A 的一个特征值, 而 称为矩阵 A 相应 于特征值 的一个特征向量。
由于
A ( A E) 0.
为矩阵 A的一个特征值的充要条件是齐次方程组
2 (1, 1, 0, 1, 0 )T 。
齐次线性方程组的通解
若齐次线性方程组(2*) 的基础解系为
1, 2 , , nr
r(A) r
则(2*) 的通解为
C11 C22 Cnrnr ,
其中, Ci 为任意常数 ( i 1, 2, , n r )。
例 求齐次线性方程组的通解: x1 x2 2x3 2x4 7x5 0 , 2x1 3x2 4x3 5x4 0 , 3x1 5x2 6x3 8x4 0。
就是说 , 方程组(2*) 的任何一个解均可由方程组 (3)中所定义
的 1, 2, , nr 线性表出。于是称方程组(3)中的这一组向
量为齐次线性方程组(2*) 的基础解系。
齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组解的结构
crn kn 1kr 2 0kn
kn 0kr 1 0kr 2 1kn
于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 22
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr是方程组的基础解系.
a21 x1
a22
x2
L LL
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
（2）
称为非齐次线性方程组(
b1 ,b2 ,L ,bm 不全为0).
如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组， 简称导出组.
定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。
11
则
x
1
21
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
n1
Ax 0.
就是该显方然程齐组次的线一性个方解程，组这总个是解有叫解做，零解，若方程组还x有1其他解0，, x那2么这些0解,L就叫,做x非n零解.0
方程组 Ax 有非0零解的充要条件是
齐次线性方程组的解有如下的性质
。
LL
xr cr ,r1xr 1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr 2
0, 1,
, 0,
xn
0 0
1
可得 从而得到(1)的n-r个解
线性方程组解的结构
xr
1
br 1 1
0
xr
2
br 2 0
1
L
xn
br ,nr 0
0
(4)
M
xn
M
0
M
0
M
1
令(4)为 k11 k22 L knr nr
(5)
易知：1,2 ,L ,nr 为齐次线性方程组(1)的一个
基础解系,(5)为方程组 Ax 0的通解.
x1 6 x2 4 x3 x4 4 x5 0
- 1 2 3
- 7 2 1
1
4 1
，
2
4 0
；
0
2
基础解系：
0
1
二、非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组
Ax b. (1)
与非齐次方程组 Ax b 对应的齐次方程组 Ax 0 称为该非齐次方程组的导出组.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
:
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
k1, k2 , , ks ,有k11 k22 kss 也是 Ax 的0解.
齐次线性方程组基础解系的求法
若Ａ的秩为ｒ，则(1)的全部解不妨写成:
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn
M
xr
br1 xr1 br 2 xr2 L
br ,nr xn
xr1 xr1
（３）
xr
2
xr2
M
xn
xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 是任意实数.
线性代数—线性方程组解的结构
r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1
线性齐次及非齐次方程的解法
为函数 y1( x), y2( x),, ym ( x) 的朗斯基行列式。
结论 若 y1( x), y2( x),, yn( x)为 n 阶 线性齐次方程
a ( x) y(n) a1( x) y(n1) an1( x) yan ( x) y0
的 n 个 解 ，则 y1( x), y2( x),, yn ( x) 在区间 I 上线性
解: 特征方程: r5 r 4 0, 特征根 :
r1 r2 r3 r4 0, r5 1 原方程通解: y C1 C2 x C3x2 C4 x3 C5ex
(不难看出, 原方程有特解 1, x, x2, x3, ex )
25
例5.
解方程
d4 w dx4
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
6
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y1
1 2
( y1
y2 )
e x cos x
y2
1 2i
(
y1
y2
)
e
x
sin
x
因此原方程的通解为
y e x (C1 cos x C2 sin x)
21
小结:
y p y q y 0 ( p, q为常数)
线性齐次及非齐次方程的解法
作业
习 题 五 （P230）
1 （1）（3）（5）；
4 ； 6 （2）。
4.4.2 常系数 线性微分方程
第十二章
一、求解常系数线性齐次微分方程 二、求解常系数线性齐次微分方程
18
一、二阶常系数齐次线性微分方程:
①
和它的导数只差常数因子,
∴ e x 与 xe x 线性无关。
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)
4
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
5
定义: 设 y1(x), y2 (x), , yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
u 0
取 u = x , 则得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为 y ( C1 C2 x ) er1 x
20
3. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )
《线性代数》课件-第七周课程-张颖老师
§4.4 线性方程组解的结构第四章n元向量空间111122121122221122000.+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ，，，AX ⇔=（矩阵形式）0记齐次线性方程组111212122211n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的系数矩阵为 12X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦n x x x 未知数向量为{}A X AX A X ∈==0的解集是的子空间nnN 0 ，()=注2注1 齐次线性方程组解的线性组合还是解.性质11212AX AX =+=0 0 若是 的解则也是的解，.η,ηηη性质2()AX AX =∀∈=0 0 若是 的解则 也是的解k k ，.ηη齐次线性方程组的基础解系定义1当 有非零解时， AX =0如果解向量满足： 12,,,t ηηη(1)线性无关； 12,,,t ηηη(2)的任一解可由 线性表示， 12,,,t ηηηAX =0则称为方程组 的一个基础解系. 12,,,t ηηηAX =01122X =+++t t k k k ，ηηη12,,,其中是任意常数t k k k .()12(),,,A =t N L ηηη{}11221,2,,=+++∈=t t i k k k k i t ，ηηη如果为齐次线性方程组 的一个基础解系，则 12,,,t ηηηAX =0的通解可表示为 AX =0◆向量组的极大无关组不唯一，但不同极大无关组中所含向量个数相同.向量组的秩◆方程组的基础解系不唯一，但所含解向量的个数是唯AX 0解空间的维数一确定的.dim N(A)=如何求基础解系()A AX ⨯=<=0m n r r n 当时，方程组有非零解，1212,,,,,,++r r r n x x x x x x 不失一般性，不妨设为主变量，为自由变量111,1,10010000A --⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n r r r n r b b b b 初等行变换A 则系数阵化为行简化阶梯形矩阵齐次线性方程组的基础解系11111,11,+-+-⎧=---⎪⎨⎪=---⎩r n r n rr r r n r nx b x b x x b x b x ⇔AX =011111,11,11+-+-++---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦r n r n r r r r n r n r r n n x b x b x x b x b x x x x x 通解为11121212212100010001++---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r r r r r n b b b b b b x x x11121,12,12,,,.100010001n r r r r n r n rb b b b b b ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηη记112212,.X ---=+++其中 为任意常数n r n r n r k k k k k k ，，，ηηη112212,,,,,++--===令其中为任意常数r r n n r n r x k x k x k k k k ，，，AX =0 则 的通解为为齐次线性方程组 的一个基础解系，且 12,,,t ηηηAX =0dim ().A =-N n r()AX A A ⨯=<0m n r n 若齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则必有定理1基础解系，()A -n r 且任一基础解系所含解向量的个数为.123412341234123450,230,380,3970.x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩例1 求齐次线性方程组的一个基础解系，并写出通解.解 对方程组的系数矩阵初等行变换，得11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦310127012200000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()24A =<r ，1342343,272,2x x x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩该方程组有非零解，且基础解系中含2个解向量， 同解方程组为 34,x x 其中为自由变量. 31272212123412,,.0110--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∀∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x k k k k x x 327212120110--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ηη通解为 为该方程组的一个基础解系. 1231722001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，ηη由于11112211211222221122,,.n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩11121121222212[]A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n m m mn m a a a b a a a b a a a b β增广矩阵为已知 非齐次线性方程组 m n ⨯AX ⇔=（矩阵形式）β AX AX ==0.β称齐次线性方程组为的导出组()()A A AX =<=r r n 当时，有无穷多解，这些解具有怎样的形式？β性质3性质41212.X X AX X X AX =-= 设是的任意两个解,则是其导出组 的解，β0 0,X AX =设是 的一个特解β.AX =方程组的解β0X η+则是,AX =0是导出组 的解η()()AX A A ⨯===<如果非齐次线性方程组满足m n r r r n β，它的一个解（称它为特解），定理212AX -=0是它的导出组的一个基础n r ，，，ηηη0X 是解系，AX =则方程组的通解为β12.-其中为任意常数n r k k k ，，，01122X X ηηη--=++++n r n r k k k ，例2 12312312331,334,598.+-=-⎧⎪--=⎨⎪+-=-⎩x x x x x x x x x 113131341598A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3302437024001100⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦求非齐次线性方程组 解 313233427342⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x x x x ，，的全部解.()()23A A ==<r r ，由于 该方程组有无穷多解，其同解方程组为 其中 为自由变量. 3x方法1 (1) 令 ， 30=x 求出非齐次线性方程组的一个特解 T 037[,,0].44X =-(2) 导出组的同解方程组为31323232⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x x x x ，， 令 ， 31=x 得导出组的一个基础解系 T 33[,,1].22=η(3) 所求非齐次线性方程组的全部解为 T T 3733[,,0][,,1],.4422X =-+∀∈k k方法2 由同解方程组 直接写出通解 或其向量形式的通解为T T T 1233733[,,][,,0][,,1],.4422=-+∀∈x x x k k 313233427342⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x x x x ，，13233333427342.⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩x x x x x x ，，zxyOXX+ηηLW例2的几何意义=在例2中若，，在三维几何空间取定直角坐标系后，++=ax by cz d平面++=ax by cz过原点的平面L可由W 沿作平移得到.X非齐次线性方程组解的判定11112212112222,.a x a x b a x a x b +=⎧⎨+=⎩11111221:L a x a x b +=，已知平面直线 22112222:.L a x a x b +=则两条平面直线的交点坐标满足重合 相交 平行解的几何意义§4.5 欧氏空间n 第四章n元向量空间{}1212T [,,,],,,=∈元实向量空间n n n n a a a a a a ||||cos ,a b a b θ=||,a a a =cos .||||a b a b θ=112233,a b a b a b a b =++数量积的直角坐标计算公式： 解析几何中向量的数量积：T T 1212[,,,],[,,,],==设是元向量空间中两个向量n n n a a a b b b n αβ1122(,)αβ=+++n n a b a b a b ，令定义了内积的n 元实向量空间 , 称为欧几里得空间，简称欧氏空间.n T ,,(,).=当为列向量时有αβαβαβ※ 定义1称 为向量 与 的内积（inner product ）. (,)αβαβ(1)(,)(,);=αββα(2)(,)(,);=k k αβαβ(3)(,)(,)(,);+=+αβγαγβγ（对称性） 内积具有以下性质（其中为n 元向量，k 为实数）： ,,αβγ（线性性） (4)(,)0,(,)0.≥=⇔=0且ααααα（正定性）⎫⎪⎬⎪⎭利用这些性质可以证明施瓦茨(Schwarz )不等式成立:2(,)(,)(,).≤⋅αβααββ定义2 对欧氏空间 中的任一向量 ， αn (,).=ααα称非负实数 为向量的长度 (,)ααα(length ),记为 注 (,).=ααα向量的长度也称为范数(norm)，记为 α(i)0;0≠>==00;当时当时,αααα，2(ii)(,)(,)||||.=== 对任意向量及任意实数有k k k k k k ααααααα， （非负性）（齐次性）向量的长度具有下述性质：定义3 在欧氏空间 中， n 若(,)0,=αβ称向量 与 正交(orthogonal )， βα.⊥αβ记为01,≠=0若则为单位向量αααα，1=α当时，称 为单位向量. α由向量 得到 的过程称为把向量 α0α 单位化.α 欧氏空间 中，两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组. n每一个向量都是单位向量的正交向量组称为标准正交组.正交向量组一定线性无关.命题1 1,,(,),1,2,,.0,.=⎧⇔==⎨≠⎩i j i j i j s i j αα12s ,,,∈是一个标准正交组n ααα由n 个向量组成的正交向量组称为 的一个正交基(orthogonal basis ). n 每一个向量都是单位向量的正交基称为 的标准正交基(orthonormal basis ). n 例如， 12,,,.基本向量组 是 的一个标准正交基n n εεε121122,,,,(,)(,)(,).∀∈=+++R 设是的一个标准正交基.证明：对有n n n n n αααααααααααααα 例112(),,,(),ns s n ααα≤设Ⅰ是欧氏空间中的一个线性无关向量组令定理1施密特正交化方法12(),,,,ns βββ则Ⅱ是的正交向量组且11;βα=11(,),2,3,,,(,)k k i k k i i i i k s αββαβββ-==-=∑1212(,,,)(,,,),1,2,,.i i L L i s αααβββ==2122111(,),(,)αββαβββ=-12,1,2,,,():,,,.ii ins i s βηβηηη==令则Ⅲ是的标准正交组T T T 31233[1,1,0],[1,0,1],[0,1,1],.ααα===设是的一个基用施密特正交化方法求的一个标准正交基T 11[1,1,0],βα==令 2122111(,)(,)αββαβββ=-解T T 1[1,0,1][1,1,0]2=-T1[1,1,2],2=-313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=--TT T 11[0,1,1][1,1,0][1,1,2]26=---T2[1,1,1].3=-例1123βββ将，，单位化得3123,,.ηηη则是的一个标准正交基T 111T 222T 3331[1,1,0],21[1,1,2],61[1,1,1],3βηββηββηβ====-==-11αβ=2α2β221k βαβ=-3β2β11αβ=2α3α1k β3312k l βαββ=--§4.6 正交矩阵第四章n元向量空间正交矩阵T ,n n A A A E =若阶实方阵满足则称 A 为正交矩阵，简称正交阵.(orthogonal matrix )定义1TAA E ⇔=nT A A E =n 1TAA -⇔=注 1T(i),,11A A ,A A A -*=-若是正交阵则也是正交阵，且或；(ii),若和是同阶正交阵则也是正交阵.A B AB 正交阵具有下述性质：T(i),.n =由于是正交矩阵所以A AA E 从而,两边取行列式可得1 1.=-从而或A 2T T 1,n ====A A A AA E T T T 1,,,,.n *-==显然为实矩阵.由于是正交矩阵所以且A A A A A E A A 11T T T T T ()()()(),n --===A A A A A A E 2T 11T11T()()()()()(),n **----===A A A A A A A A A E 1T,,-*因此均是正交矩阵.A A A 证(ii),,,显然为实矩阵. 由于是正交矩阵所以AB A B T T,,n n ==AA E BB E 因此T T T T()()(),n ===AB AB A BB A AA E 故是正交矩阵.AB,()n 设是阶实矩阵则是正交矩阵当且仅当的行列向量组A A A 命题1n是的一个标准正交基.12,,,,n ααα设的行向量组为则A 证12T T TT 12,,,n n αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦AA T TT 11121T TT 21222T T T 12n n n n n n αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,).(,)(,)(,)n n n n n n αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是正交矩阵A 12,,,nn ααα⇔的行向量组是的一个标准正交基.A Tn⇔=AA E (,)1,1,2,,,(,)0,,,1,2,,.i i i j i n i j i j n αααα==⎧⇔⎨=≠=⎩TTn n ==因为与等价，所以上述结论对的列向量亦成立.A A E AA E A若矩阵S 为正交阵，则线性变换 X=SY 称为正交变换.11111221221122221122.n n n n n n n nn n x s y s y s y x s y s y s y x s y s y s y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩则，，，1122n n x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设，X , Y 为由向量X 到Y 的一个线性变换.T T T T T (,)()().======X X X X X SY SY Y S SY Y Y Y 这说明经正交变换线段长度保持不变.cos sin ,sin cos -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦例如，矩阵是正交矩阵旋转是一个正交变换；ϕϕϕϕA Y AX。
齐次线性方程组的解的结构
(2)
其中 cii 0, i 1,, r, r n . (2)可变形为
c11 x1 c1r xr c1,r 1 xr 1 c1n xn crr xr cr ,r 1
这里 xr 1 , xn是自由未知量。 分别取 ( xr 1, xn ) 为 (1,0,,0),,(0,0,,1), 由(3)得(1)的解为
1 2 0 0
1 2 0 0
1 6 0 0
故原方程组等价于
x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5 0 即 x2 2 x3 2 x4 6 x5 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0
x1 x2 x3 x4 x5 0 例 求齐次线性方程组 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 0 的解集。 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0 5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 0
解：
1 3 0 5 1 2 1 4 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 6 0 1 1 3 0 0 2 6 0 1 2 2 6 0 1 2 2 6 3 1 0 0
齐次线性方程组解的结构
关于齐次线性方程组
a11 x1 a1n xn 0 a x a x 0 1n n s1 1
(1)
有以下结论
1)它一定有解，因为零向量 0 (0, , 0) 为解； 2)两个解 1 (b1 ,, bn ),2 (c1 ,, cn ) 的和
从而基础解系为
1 (1, 2,1,0,0),2 (1, 2,0,1,0),3 (5, 6,0,0,1)
齐次线性方程组解的结构
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系．
证： 设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、 齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn
线性代数 齐次线性方程组解的结构
18
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 5
分别
1 0 , , 0 6
得到方程组的一个基础解系为
7 1 5 1 1 1 , 2 0 . 2 0 6 0
1 2 2 1 r3 r2 r1 2r2 0 1 2 4 / 3 r2 (3) 0 0 0 0
1 0 2 5 / 3 2 4 / 3 0 1 0 0 0 0
14
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
由于 n r ( A) 5 2 3 , 故方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量。 16
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 4 x 5
分别
1 0 , 0
x r 1 k 1 xr 2 k2 xn
其中，
k1 , k 2 , , k n r
k n r
任意取值。
10
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 性 b1,r 1 b1,r 2 b1n 方 程 b b b 组 r ,r 1 r ,r 2 rn 令 1 1 , 2 0 , , n r 0 , 0 1 0 0 0 1
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 相应地，齐次线性方程组 A X 0 等价(或同解)变形为 性 方 程 组
线性方程解的结构
由于 y1 ( x ) = 3 y 2 ( x )
⇒ y1 = ln x 3 , y 2 = ln x
在任一区间(0,b)上都是线性相关的
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无关 的特解, 那么 y = C1 y1 + C 2 y2 就是方程(1)的通解.且包 含了所有的解。
′ + Q ( x ) y1 = 0 由已知y1 ' '+ P ( x ) y1 证 明： y2 ' '+ P ( x ) y ′ 2 + Q( x ) y2 = 0
c1 (1) + c 2 ( 2)即得
(1) ( 2)
′ + c 2 y 2 ' ) + Q( x )(c1 y1 + c 2 y 2 ) = 0 ( c1 y1 ' '+ c 2 y 2 ' ' ) + P ( x )(c1 y1
y1 ( x ) 特别地: 若在 I 上有 ≠ 常数， y2 ( x ) 则函数 y1 ( x )与 y2 ( x ) 在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无关 的特解, 那么 y = C1 y1 + C 2 y2 就是方程(1)的通解.且包 含了所有的解。
k1 y1 + k 2 y2 + L + kn yn = 0，
那么称这 n 个函数在区间 I 内线性相关．否则 称线性无关
例如 当x ∈ ( −∞ , + ∞ )时， e x， e − x , e 2 x 线性无关
1，cos 2 x , sin 2 x 线性相关
齐次线性方程组解的结构
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y e 常数变易法
y P ( x ) y Q( x )
P ( x ) dx P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
y Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx Q( x )e dx
证毕
说明:若求 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) 的通解
只需求它的一个特解 y * 和 y p( x ) y q( x ) y 0
的两个线性无关的特解 y1 , y 2 . 则 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) 的通解为
y1 e x , y 2 e x 例如 y y 0的两个特解为： ex x e2x 常 数 线性无关 e
y C1 e C 2 e 就是y y 0的通解.
x x
例如 y y 0的两个特解为： y1 cos x, y2 sin x,
y1 e , y 2 e 又知y y 0的两个特解为：
x
y C1 e C 2 e 就是y y 0的通解.
x x
个函数 , 定义: 设y1 ( x), y2 ( x)是定义在某区间上的两
y1 ( x ) . 若 k (常 数), 则称y1 ( x )，y 2 ( x )线性无关 y2 ( x) y1 ( x ) 若 k (常 数), 则称y1 ( x )，y 2 ( x )线性相关 . y2 ( x)
的一个特解 , Y 是与(2) 对应的齐次方程 (1) 的通 解, 那么 y Y y * 是二阶非齐次线性微分方程(2) 的通解.
证明 y * 是(2)的解
( y*) p( x )( y*) q( x ) y* f ( x ) Y是(1)的解 Y pY qY 0 将y y * Y代入（ 2）的左边，得
二、二阶线性微分方程的解的结构
1.二阶齐次方程解的结构:
y p( x ) y q( x ) y 0
(1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常 y1 y 2 , 2 y1 , 2iy1 数）
y2 且 tan x 常数, y1
y C1 cos x C 2 sin x .
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理 3
设 y * 是二阶非齐次线性方程
y y) (x f( x )f ( x ) yP ( px ()x y Q q)(yx )y
( 2 ) ( 2)
p( x ), q( x ), f ( x )均为已知函数 , f ( x)叫自由项，
当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时，二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程
y ( n ) P1 ( x ) y ( n1) Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
y C1 y1 C 2 y 2 y * .
定理 4
* *
设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函
(( xx )y x()x y) )( xf ( x) 数之和, 如 y Q yPp )y (q yf f1 )2 f 2 ( x) 1( x
例如 当x ( , )时， y1 e x，y2 e x线性无关
ex x e2x 常 数 e x x y1 e , y2 2e 线性相关 ex 1 x 常数 2 2e
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线 性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
p( y * Y ) q( y * Y ) 左边 （y * Y） （y * Y ） p( y * Y ) q( y * Y )
（y * py * qy*) (Y pY qY )
f ( x ) 0 f ( x ) 右边
证明 由于y1 , y 2是(1)的解 解的线性组合
p( x ) y1 q( x ) y1 0 则y1 y 2 p( x ) y 2 q( x ) y 2 0 将y C1 y1 C 2 y2 代入（ 1）的左边，得
左边 (C1 y1 C 2 y 2 ) p(C1 y1 C 2 y 2 ) q(C1 y1 C 2 y 2 ) C 2 y (C1 y1 2 ) p(C1 y1 C 2 y 2 ) q(C1 y1 C 2 y 2 )
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
二阶微分方程 F ( x , y, y , y ) 0,
y f ( x, y, y ).
§6-5 二阶线性微分方程解的结构
一.二阶线性微分方程的定义 2 d y dy p( x ) q( x ) y f ( x ) 形如: 2 dx dx 特点: 是关于 y, y , y 的一次方程 .
py1 qy1 ) C 2 ( y C1 ( y1 2 py 2 qy2 )
0 右边
证毕
x x
问题: y C1 y1 C 2 y2一定是通解吗？
y1 e , y 2 2e 例如 y y 0的两个特解为：
x
而y C1 e x C 2 2e x (C1 2C 2 )e x 就不是通解 .