正比例函数
正比例函数
正比例函数学习目标1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．要点梳理知识点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如（为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式（1）、是的正比例函数；（2）、（为常数且≠0）；（3）、若与成正比例；（4）、（为常数且≠0）.知识点二、正比例函数的图象与性质正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.知识点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.典型例题类型一、正比例函数的定义1、已知，当为何值时，是的正比例函数？举一反三B组正比例函数的定义1、若函数是关于的正比例函数，求、的值.2、设有三个变量、、，其中是的正比例函数，是的正比例函数（1）求证：是的正比例函数；（2）如果＝1，＝4时，求出关于的函数关系式.举一反三类型二、正比函数的图象和性质2、已知正比例函数的函数值随着的增大而减小，则大致图象为（）A. B. C. D.答案与解析3、若正比例函数中，随的增大而增大，则的值为________. 举一反三4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数、、、的图象分别为、、、，则下列关系中正确的是（）A．＜＜＜B．＜＜＜C．＜＜＜D．＜＜＜答案与解析【变式】已知正比例函数的图象上一点（，），且＜0，＋＞0，那么的取值范围是（）A. ＜ B．＞ C．＜或＞ D．不确定类型三、正比函数应用5、如图所示，射线、分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度关系是（）．A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲、乙同速 D．不一定答案与解析举一反三B组正比函数应用4、已知正比例函数的图像上有一点P(,)和一点A(6，0)，O为坐标原点，且△PAO的面积等于12，你能求出P点坐标吗？【答案与解析】解：依题意：∵O（0，0），A（6，0）∴OA＝6∴；【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长.巩固练习一.选择题1. 直线过点（0，0）和点（）A.（－1，－3）B.（1，3）C.（1，－3）D.（3，－1）2. 下列函数中，是正比例函数的是（）A． B． C． D．3．正比例函数的图象经过（）．A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限4. 如图所示，直线的函数解析式是（）．A． B． C． D．5. 结合函数的图象回答，当＜－1时，的取值范围（）A．＜2 B．＞2 C. ≥ D. ≤6．点A（–5，）和B（–2，）都在直线上，则与的关系是（）A. ≤B. ＝C. ＜D. ＞二.填空题7．若直线经过点A（－4，3），则＝______．如果这条直线上点A的横坐标＝4，那么它的纵坐标＝______．8. 已知三角形底边长为4，高为，三角形的面积为，则与的函数关系式为_______________.9. －2与＋1成正比例，比例系数为－2，将表示成的函数为：___________.10. 正比例函数，当 _______时，随的增大而增大.11. 若函数是正比例函数，那么＝______,图象经过第_______象限.12. 已知与成正比例，且当＝1时，＝2，那么当＝3时，＝_______.三.解答题13. 蜡烛点燃后缩短长度（）与燃烧时间（分钟）之间的关系为，已知长为21的蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛缩短了3.6，求：（1）与之间的函数解析式；（2）此蜡烛几分钟燃烧完.14. 已知＋2与－1成正比例，且＝3时＝4.（1）求与之间的函数关系式；（2）当＝1时，求的值。
19.2 正比例函数(原卷版)
【变式5-3】（2022秋•句容市期末）在正比例函数y＝（m﹣2）x中，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是．
【变式5-4】（2022春•曲阜市期末）已知正比例函数y＝（3m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而减小，则m＝．
【变式2-7】已知正比例函数y x，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-8】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
C．y随x的增大而减小
D．它的图象经过第二、四象限
【变式2-2】（2022秋•太原期中）下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝2xB．y＝﹣2xC．y xD．y＝﹣8x
【变式2-3】（2021•湘西州模拟）下列图象中，表示正比例函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-4】在下列各图象中，表示函数y＝﹣kx（k＜0）的图象的是（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第一、四象限D．第二、四象限
解题技巧提炼
本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，根据正比例函数的性质判断k的范围是解题的关键．
【变式2-1】（2022春•古冶区期末）下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（ ）
A．当x＝3时，y＝1
B．它的图象是一条过原点的直线
是（ ）
正比例函数知识点
正比例函数知识点
以下是 7 条关于正比例函数知识点：
1. 正比例函数的图像那可是直直的一条线呀！就像旗杆一样笔直！比如说呀，y=2x，当你取一些x 的值去算y，然后把这些点在坐标图上标出来，你就会神奇地发现它们能连成一条直线呢！
2. 正比例函数中，那 k 值可太重要啦！它决定着这条线是上升还是下
降哦！比如 y=-3x，这个-3 就让线往下走呢，厉害吧！
3. 你知道吗，正比例函数有着固定的比例关系，就好像你和你的好朋友分享糖果，总是固定的比例。
像 y=，x 每增加 1，y 就增加呀！
4. 正比例函数总是那么有规律，这多让人安心呀！就像每天定时起床一样。
比如 y=，你可以准确地预测下一个点在哪里。
5. 正比例函数的增减性也很有趣呀，k 大于0 就上升，小于0 就下降，这不是很神奇吗？想想看 y=4x 和 y=-4x，截然不同呢！
6. 正比例函数和实际生活也联系紧密呢！好比汽车行驶，速度固定，路程和时间就是正比例关系呀。
假如一辆车速度是 60 千米每小时，那路程不
就和时间成正比嘛！
7. 正比例函数真的很简单又很实用呢！它就像一把钥匙，能打开很多数学问题的大门。
大家一定要好好掌握它呀，绝对不会后悔的！
我的观点结论：正比例函数是数学中非常基础和重要的知识点，理解并掌握它对于后续数学的学习有着很大的帮助，大家一定要认真对待呀！。
正比例函数知识点整理
正比例函数知识点整理一、正比例函数的定义。
1. 定义形式。
- 一般地，形如y = kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
例如y = 2x，y=(1)/(3)x都是正比例函数，这里k = 2和k=(1)/(3)分别是它们的比例系数。
2. 对定义的理解。
- 函数表达式必须是y = kx这种形式，x的次数为1，且不能有其他项。
比如y = 2x+1就不是正比例函数，因为它多了常数项1；y=x^2也不是，因为x的次数是2。
- k不能为0，如果k = 0，那么函数y = 0× x=0，它是一个常数函数，而不是正比例函数。
二、正比例函数的图象与性质。
1. 图象。
- 正比例函数y = kx（k≠0）的图象是一条经过原点(0,0)的直线。
- 当k>0时，例如y = 2x，图象经过一、三象限，从左向右上升；当k < 0时，比如y=-2x，图象经过二、四象限，从左向右下降。
2. 性质。
- 增减性。
- 当k>0时，y随x的增大而增大。
例如在y = 3x中，如果x_1 = 1，y_1 = 3×1 = 3；当x_2=2时，y_2 = 3×2 = 6，因为2>1且6 > 3，所以y随x增大而增大。
- 当k < 0时，y随x的增大而减小。
例如在y=-2x中，若x_1 = 1，y_1=-2×1=-2；当x_2 = 2时，y_2=-2×2=-4，因为2 > 1且-4<-2，所以y随x增大而减小。
- 倾斜程度。
- | k|越大，直线越靠近y轴，即直线越陡。
例如y = 5x比y = 2x的图象更陡，因为|5|>|2|；y=-5x比y=-2x的图象更陡，同样是因为| - 5|>|-2|。
三、正比例函数解析式的确定。
1. 方法。
- 因为正比例函数y = kx（k≠0），只需要知道一个点的坐标（除原点外）就可以确定k的值，从而确定函数解析式。
第十五讲 正比例函数
第十五讲正比例函数、反比例函数、几何证明复习正比例函数：解析式：y=kx(k为常数，k≠0) ,k叫做函数的比例系数;(注意：x的指数为1)图像：过原点的直线;必过点：（0,0）和（1，k）；走向：k>o,图像过一三象限，k<0,图像过二四象限；yx倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，也就是越靠近y轴，|k|越小，倾斜度越小，也就是越靠近x轴；如图：x增减性:k>0,y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小；反比例函数：解析式：y=k/x(k为常数，k≠0)图像：双曲线（图像无限靠近坐标轴，但永不相交。
）所在象限：k>0图像经过一三象限；k<0图像经过二四象限。
kx增减性：k>0,y随x的增大而减小；k<0,y随x的增大而增大；1. 已知：点P （m ，4）在反比例函数xy 12=的图像上，正比例函数的图像经过点P 和点Q （6，n ）．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x 轴上求一点M ，使△MPQ 的面积等于18. 1.函数12-+x x 的定义域是 2．已知函数53)(-=x xx f ，那么=)(x f ． 3. 如果反比例函数的图像经过点（-8，3），那么当0〉x 时y 的值随x 的值的增大而··（ ） (A) 增大 (B)不变; (C) 减小 (D)无法确定 4.某人从甲地行走到乙地的路程S （千米）与时间t （时）的函数关系如图所示，那么此人行走3千米，所用的时间 （时）5. 在同一坐标系中，正比例函数y=x 与反比例函数的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6. 已知反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是（）A． y1＜y2B． y1＞y2C． y1=y2D．不能确定7. 请写出符合以下条件的一个函数的解析式．①过点（3，1）；②当x＞0时，y随x的增大而减小．8. 如图，已知点P（x，y）是反比例函数图象上一点，O是坐标原点，PA⊥x轴，S△PAO=4，且图象经过（1，3m﹣1）；求：（1）反比例函数解析式．（2）m的值．9. 假定甲乙两人在一次赛跑中，路程S（米）与时间t（秒）的关系式如图所示，那么可以知道：（1）这是一次米赛跑．（2）甲乙两人中，先到达终点的是．（3）乙在这次赛跑中的速度为．10. 如图，直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，双曲线y=（k＞0）上有一动点C（m，n），（0＜m＜4），过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接OC．（1）求k的值．（2）设△COD与△AOB的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式．（3）连接AC，当第（2）问中S的值为1时，求△OAC的面积．命题和证明1、我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明2、能界定某个对象含义的句子叫做定义3、判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题4、数学命题通常由题设、结论两部分组成5、命题可以写成“如果……那么……”的形式，如果后是题设，那么后市结论证明举例平行的判定，全等三角形的判定逆命题和逆定理1、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题2、如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理线段的垂直平分线1、线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
正比例 函数
正比例函数简介：正比例函数是数学中常见的一类函数，它们的图像是一条通过原点的直线。
本文将介绍正比例函数的定义、特点以及相关示例，以帮助读者更好地理解和应用正比例函数。
定义正比例函数是指一种函数关系，其中两个变量的比例保持不变。
设x和y是两个变量，若存在常数k使得对于任意的x，有y=kx成立，则称y是x的正比例函数。
k被称为比例系数。
通常用符号y ∝ x表示两者成比例的关系。
特点1.直线关系：正比例函数的图像是一条通过原点的直线。
这是因为当x为0时，y=k×0=0，因此原点(0,0)必然在图像上。
2.比例系数：比例系数k决定了直线的斜率。
斜率为正值时表示正相关关系，斜率为负值时则表示负相关关系。
斜率的绝对值越大，变化越快，反之则变化越慢。
3.例外情况：当比例系数k为0时，该函数不再成立。
因为此时代表变量无法通过相等的乘法关系相互联系。
示例以下是几个正比例函数的示例:示例1：函数表达式：y = 2xx | -2 | 0 | 3 | 5 |y | -4 | 0 | 6 | 10 |这个函数描述了一个正相关关系，且比例系数k为2。
当x增加1个单位时，y也增加2个单位。
以原点(0,0)为起点，连接所有的点就得到了一条通过原点的直线。
示例2：函数表达式：y = 0.5xx | -4 | 0 | 2 | 6 |y | -2 | 0 | 1 | 3 |这个函数仍然描述了一个正相关关系，但比例系数k为0.5。
即当x增加1个单位时，y增加0.5个单位。
通过连接所有的点，我们得到一条斜率较小的直线。
示例3：函数表达式：y = -3xx | -3 | 0 | 2 | 5 |y | 9 | 0 | -6 | -15 |这个例子展示了一个负相关关系，当x增加1个单位时，y减少3个单位。
我们可以通过连接所有的点得到一条斜率为负的直线。
应用正比例函数在实际生活中有许多应用。
例如：1.比例尺：地图上的比例尺可以用正比例函数来表示，其中地图上的距离与实际距离之间存在着直接成比例的关系。
正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象
正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。
当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。
当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。
：概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。
图像和性质：①k>0,b>O,则图象过象限②k>0,b<0,则图象过象限当k＞0时， y随x的增大而。
③k<0,b>0,则图象过象限④k<0,b<0,则图象过象限当k＜0时, y随x的增大而。
三、反比例函数性质和图象：1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式2.图像：反比例函数的图像是双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x值的增大而减小。
当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
练习题 1、若y =(m －1)x22m -是正比例函数，则m 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（ ）A 、25y x = B ．25y x =－1 C ．245y x = D ．25y x=-3、下列函数中，反比例函数是（ ）A 、y=x+1B 、y=C 、=1D 、3xy=24、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（ ）5、直线443--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A 3 B 4 C 12 D 66、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ）7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（ ）A 、x 1>x 2>x 3B 、x 1>x 3>x 2C 、x 3>x 2>x 1D 、x 3>x 1>x 28、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。
正比例函数的图象和性质课件
们只相交于原点。
06
CHAPTER
03
正比例函数的性质
增减性
01
02
03
增减性
正比例函数在定义域内是 单调的，即随着x的增大 （或减小），y也相应增 大（或减小）。
增减性的判断
根据斜率k的正负来判断 。当k>0时，函数为增函 数；当k<0时，函数为减 函数。
增减性的应用
在解决实际问题时，可以 利用增减性判断函数的值 域或最值。
y=-3/x
提升练习题
01
总结词
深化理解与运用
02
03
04
题目1
已知某物体的速度v与时间t的 关系为v=kt，其中k为常数。 求该物体在t=3时的速度v。
题目2
画出函数y=0.5x和y=-0.2x的 图象，并比较它们的性质。
题目3
已知某物体的位移s与时间t的 关系为s=2t^2，求该物体在
t=5时的位移s。
斜率
1 2 3
斜率定义
正比例函数y=kx（k≠0）的斜率是k。
斜率与函数图像的关系
斜率决定了函数图像的形状和倾斜程度。当k>0 时，图像从左下到右上上升；当k<0时，图像从 左上到右下下降。
斜率的应用
在解决实际问题时，可以利用斜率判断函数的单 调性和变化趋势。
截距
截距定义
正比例函数y=kx（k≠0）的截距是0。
正比例函数的图象和性 质ppt课件
CONTENTS
目录
• 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 正比例函数的应用 • 练习与思考
CHAPTER
01
正比例函数的概念
正比例函数的定义
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正比例函数
内容
正比例函数概念
内容解析
一次函数是最简单的函数模型之一。
正比例函数是特殊的一次函数，其特殊性表现在，函数值是自变量的值与一个常数的积。
小学中，学生学习过正比例关系，正比例函数是用函数观点研究成正比例关系的两个变量而得到的简单函数模型。
正比例函数是根据函数解析式进行定义的，符合y=kx(k是常数，k≠0）的函数叫正比例函数。
概括函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念；通过图象研究其性质，并用这种函数模型描述和研究现实中的运动变化过程。
这种研究具体函数模型的方法，在今后的函数学习中还会经常用到
知识技能目标
1.理解正比例函数的概念；
2.根据实际问题列出简单的正比例函数的表达式．
过程性目标
1.经历由实际问题引出正比例函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系；
2.探求正比例函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力．
教学重点
正比例函数的概念，体会具体函数模型研究的一般方法
教学过程
一、创设情境
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题：
（1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京站？
师生活动：学生个别回答，老师在黑板上板演，老师加以引导。
思考下列问题：
1. y=300t中，变量和常量分别是什么？其对应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是函数？
2.自变量与常量按什么运算符号连接起来的？
3.（1）与（2）之间有何联系？（2）与（3）呢？
师生活动：学生个别回答，老师在黑板上板演，老师加以引导。
设计意图：从现实背景问题中发现正比例关系，引导学生用函数观点看一对成正比例关系的量。
问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：
（1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m （单位：g ）随它的体积V （单位：cm3）的变化而变化．
（3）每个练习本的厚度为0.5cm ，
一些练习本摞在一起的总厚度h
（单位：cm ）随练习本的本数n 的
变化而变化．
（4）冷冻一个0°C 的物体，使它每
分钟下降2°C ，物体温度T （单位：°C ）
随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变
化．
师生活动：学生独立写出函数解析式，老师课堂巡视，并进行个别指导。
设计意图：为抽象正比例函数概念提供典型样例。
二、观察概括，形成概念。
问题3 认真观察以上出现的四个函数解析式，说说它们有什么共同点?
师生活动：学生先思考，与小组内同学交流意见；老师通过学生回答不断引导，直至得出“这些函数都是常数与自变量的积的形式”为止，老师给出正比例函数的概念：一般地，形如 y=kx(K 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫比例系数
追问：所有这些正比例函数，函数数值与相应的自变量值的比有什么特点？
三、辨析概念
问题4、下列式子，哪些表示y 是x 的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k 的值．
（1）y=-0.1x （2） 2
x y
（3）y=2x 2 （4）y 2=4x
追问：如果y 是x 的正比例函数，说出其中的比例系数。
师生活动：判断两个变量是否是正比例函数关系，要回归到定义。
四、学以致用
问题5.列式表示下列问题中y 与x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为xcm ，周长为ycm.
y=4x 是正比例函数
（2）某人一年内的月平均收入为x 元，他这年（12个月）的总收入为y 元．
y=12x 是正比例函数
（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3.
师生活动：学生独立完成，小组内交流成果。
追问：在（2）中，此人若每月收入6000元，则一年收入是多少？若一年收入是8400元，则每月收入是多少？
设计意图：帮助学生进一步理解正比例函数解析式的特点，体会正比例函数解析式的特征与对应关系。
问题6、下列说法正确的打“√”，错误的打“×”
（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（）
（2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（）
（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（）
（4）若y=2(x-1) ，则y是x-1的正比例函数（）
提示：在特定条件下自变量可能不单独就是x了，要注意自变量的变化
问题7、填空：
1.如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足________________.
2.如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=__________.
3.如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_________.
问题8、已知正比例函数y=kx，当x=3时，y=-15，求k的值．
问题9、若y关于x成正比例函数，当x=4时，y=-2.
（1）求出y与x的关系式；
（2）当x=6时，求出对应的函数值y.
五、回顾总结
你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？
1.从语言描述看：函数关系式是常量与自变量的乘积．
2.从外形特征看：一般情况下y=kx(常数k≠0)；
3.从结果形式看：函数表达式要化简后才能确认为正比例函数
4.从函数关系看：比例系数k一确定，正比例函数就确定；必须知道两个变量x、y
的一对对应值即可确定k．
5.从方程角度看：如果三个量x、y、k中已知其中两个量，则一定可以求出第三个量．作业：教科书87页练习第1题。