抛物线的切线问题教案

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切线问题求解教案

切线问题求解教案一、引言在数学的学习中，切线问题是一个具有挑战性的问题。

本篇教案旨在通过合理的讲解和练习，帮助学生更好地理解和解决切线问题。

本教案适用于高中数学教学。

二、教学目标1. 理解切线的定义和性质；2. 学会通过求导数解决切线问题；3. 掌握求解切线问题的常用方法。

三、教学内容1. 切线的定义和性质在引入切线的概念前，首先要给学生讲解函数的导数概念和符号表示。

然后，引入切线的定义：在曲线上一点处，经过该点并与曲线相切的直线就是切线。

切线与曲线相交的点称为切点。

通过实例展示切线的定义和性质，让学生理解并灵活运用。

2. 求解切线问题的方法（1）直接使用切线的定义求解：根据切线的定义，我们可以通过求解切线与曲线方程的交点，以及通过该点的切线斜率来确定切线方程。

（2）使用导数的方法求解：通过函数的导数可以得到函数在某点的切线斜率，再结合切点坐标，可以直接写出切线的方程。

（3）结合几何图形求解：通过画图和几何推导，求解切线问题。

结合实例和练习，让学生了解并掌握不同方法下求解切线问题的步骤和技巧。

四、教学步骤1. 导入知识：简单回顾函数的导数概念和求导法则。

2. 引入切线的概念和性质：讲解切线的定义，并让学生理解切线与曲线的关系及切点的概念。

3. 求解切线问题的方法讲解：详细讲解直接使用切线定义、使用导数的方法和结合几何图形的方法。

4. 案例分析：提供一些具体的切线问题案例，引导学生运用所学方法求解。

5. 合作探究：分组活动，让学生自由讨论并解决切线问题。

6. 总结归纳：总结切线问题的求解方法和注意事项。

五、教学评估1. 课堂练习：在课堂上布置一些切线问题的练习题，检验学生的掌握程度。

2. 作业：布置切线问题的作业，让学生巩固所学内容。

六、拓展延伸1. 应用拓展：介绍切线问题的实际应用场景，如物理学中的运动问题等，激发学生的兴趣。

2. 深化讨论：提出更复杂的切线问题，让学生运用深入学习到的知识进行解决。

浙江省绍兴市高三数学高考复习教案：抛物线中的切线问题新人教版

抛物线的切线问题
教课目的:
①充足利用信息技术,培育学生的研究精神,提升学生发现能力,判断能力②培育学生从例题出发,发掘内在联系,深入研究高考可能出现的抛物线的切线问题
要点:师生共同研究抛物线中切线有关的问题 ,充足利用数形联合,合剪发挥猜想难点:怎样充足发掘抛物线的切线问题
思想方法:从特别到一般,类比概括,数形联合
教课过程
例题：（2020山东高考）如图，设抛物线方程为
y
x
22py(p0)，M为直线y2p上随意一点，过M引抛物线
B
的A
线，切点分别为A，B．求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列
x O
M 2p
变式1:设A(x1,y1),试用x1,y1表示过A的切线方程
变式2:若M(x,y)是抛物线外随意一点,问:
A，
M，B
三点的横坐标能否成等
差数列?
00
变式3:求过A(x1,y1),B(x 2,y2)两点的直线方程
变式4:若
M(x,
p
)是抛物线准线l: y
2
随意一点,焦点为F, 问:A,B,F三点能否共线?
变式5:若
M(x0,p)是抛物线准线l:y
随意一点,焦点为F,
2
问:直线AM,BM有何地点关系?
y
F B
A
x O
p M
2
思虑:已知抛物线y2=2px,焦点为F,准线为l, 点A( p,y0)为其准线上一点,
2
过A作抛物线的两条切线,切点分别为B、C，D为准线与x轴的交点.有哪些结论?。

高中数学《抛物线切线2》导学案

抛物线切线的性质2例1：过点P （3，4）作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为．解：根据定理1的公式得，AB 直线方程为：()4300+=⇒+=y x y y p xx ，故斜率为3。

切点弦性质定理1：设过点P 与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于M ，交切点弦于点Q ，则Q 点平分切点弦AB 。

（无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）。

且M 处的切线平行于抛物线的切点弦。

（图1,3）定理2：直线:l y kx m =+上一动点Q 引抛物线两切线,QA QB ，则过两切点的直线AB 必过定点G （图2,4）如图1，点()00,y x P 为抛物线py x 22=外任意一点，过点P 作抛物线两条切线分别切于A 、B 两点，AB 的中点为Q ，直线PQ 交抛物线于点M ，求证：（1）()轴上的截距在为直线，y AB m m y x x G -==00；且直线AB 方程为()00y y p xx +=；（2）设点M 处的切线l ，求证AB //l 。

证明：（1）点()11,y x A ()22,y x B 在抛物线上∴2221212;2py x py x ==求导得pxp x y =='22；在点()11,y x A ()22,y x B 的切线方程为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-222111x x p x y y x x p x y y 即()()()()⎩⎨⎧+=+=212211y y p xx y y p xx ()()12-得：()1212)(y y p x x x -=-，即222)(12212212x x x p x p x p x x x +=⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴Q x x x x =+=2120 将点Q ),2(012y x x +代入切线方程得：()0211011222py x x y y p x x x =⇒+=+令AB 方程为y kx m =+，代入22x py =得：0222=--pm pkx x 02122py pm x x =-=∴所以直线AB 过定点（0，0y -）；故AB 方程为()()0000x y x y xx p y y p=+-⇒=+ （2）p x k pk x x x pm pkx x 012022022=⇒=+=⇒=--，M 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x 2,200，以M 点为切点的切线斜率为px p x y 0022=='，故AB //l 。

不愤不启不悱不发——“与抛物线切线有关的问题”课例及点评

师：还有其他方法求斜率吗？生：待定系数法设出方程，再用Ａ＝０求切线的斜率．
（出示幻灯片：切线方程：Ｙ＝ —Ｙｏ，其中
课能让这个点有完整体现的课题确实不易．几经周折，最后选定近几年高考题中出现较多的“ 以抛物线切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题” 为基点的课题：与抛物线切线有关的问题，针对 “ 直线与抛物线的位置关系 ” 作进一步深人探究．２选“ 题目” 的“ 变变变 ” 过程本课的题目选自近几年高考题和模拟题，第一轮选题时，笔者准备了７个原始的高考题，经试讲发现：读题、求解析式花费时间太多，导致整堂课容量小，思想不能体现．因此第２轮选题时精简题目，砍掉了与课题无关的小题，课题突出了，但整体感觉就一节课围绕知识点做了几个例题，只是熟悉了知识点，而没有体现数学思想．最后确定题目形式：以一个高考题为母题，其余以变题的形式呈现，用统一的抛物线形式，真正地把 “ 读题、求解析式 ” 的时间让路给“ 探究、思考” ，让学生的思维训练时间得到进一步保证．通过问题变式形式，环环相扣，层层深入，贯彻 “ 把课堂交还给学生，让学生的思维火花闪耀 ” 的教学理念．３课堂过程简录— — 变式教学整个课堂设计：采用探究式教学法，借助多媒体辅助，通过 “ 问题导人一导疑一导研——导练一导评 ” ５个环节，完成以下教学目标：（１）掌握以抛物线的切线为载体的直线和圆锥曲线综合问题；（２）培养利用、挖掘、整合信息的能力；（３）通过问题变式得到一些漂亮的结论，激发学生探索的欲望，提升学习和研究的兴趣．

切线的判定教案

切线的判定教案
教案：切线的判定
一、教学目标
1. 知识目标：了解切线的定义和性质，学会判定一条直线是曲线的切线的方法。

2. 技能目标：掌握使用切线的定义和性质进行判定的方法，能够应用所学知识解决相关问题。

3. 情感目标：培养学生对几何知识的兴趣，激发学生思考和发问的能力，培养学生学习几何的态度。

二、教学重点
1. 掌握切线的定义和性质。

2. 学会使用切线的定义和性质进行判定。

三、教学难点
学会应用所学知识解决相关问题。

四、教学过程
1. 导入（5分钟）
引导学生回顾之前学过的直线和曲线的定义，复习直线和曲线的性质。

2. 讲解（10分钟）
（1）引入切线的概念，给出切线的定义和性质。

（2）讲解切线的判定方法，包括两种常见的情况：切线与曲线的切点只有一个、切线与曲线的切点有多个。

3. 案例分析（15分钟）
使用切线的定义和性质，结合几个实际问题进行讲解和分析，帮助学生理解和掌握切线的应用。

4. 练习（20分钟）
根据所学知识进行练习，巩固切线的判定方法。

提供不同难度的题目，让学生逐渐提高解题能力。

5. 总结（5分钟）
对本节课所学内容进行总结，强调切线的判定方法和应用。

六、作业布置
布置相关的作业题，要求学生独立完成，并及时批改和讲解。

七、教学反思
本节课的教学重点是切线的判定方法和应用，通过案例分析和实际练习，帮助学生理解和掌握切线的相关知识。

教学过程中，需注意引导学生主动思考和发问，激发学生的学习兴趣。

此外，教师要及时给予学生指导和反馈，及时纠正错误，提高学生的学习效果。

切线的判定教案

切线的判定教案教案标题：切线的判定教学目标：1. 理解什么是切线，掌握切线的定义。

2. 学会使用切线的定义和几何性质来判定给定曲线上某一点的切线。

3. 能够运用所学知识解决与切线相关的问题。

教学准备：1. 教师：黑板、彩色粉笔/白板、马克笔、教学投影仪。

2. 学生：教科书、练习册、几何工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师引入切线的概念，通过提问的方式激发学生对切线的认知：你们知道什么是切线吗？在生活中或其他学科中有没有遇到过切线的概念？2. 学生回答后，教师简要介绍切线的定义和几何性质。

二、理论讲解（15分钟）1. 教师通过示意图和几何性质的解释，详细讲解切线的定义和性质。

2. 教师提供一些实际生活或几何问题，引导学生思考如何运用切线的定义和性质来解决问题。

三、示范演示（15分钟）1. 教师选择一个简单的曲线，如圆或抛物线，选取一个点作为示范点，演示如何判定该点处的切线。

2. 教师详细解释演示过程中所使用的步骤和推理，引导学生理解切线的判定方法。

四、练习与巩固（20分钟）1. 学生个人或小组合作完成练习册上的相关练习题，巩固所学内容。

2. 教师巡回指导学生解题过程，解答学生提出的问题。

五、拓展应用（10分钟）1. 教师提供一些拓展应用题，要求学生结合实际情境或其他学科知识，运用切线的判定方法解决问题。

2. 学生个人或小组展示解题过程和结果，进行讨论和交流。

六、总结与评价（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调切线的重要性和应用价值。

2. 学生对本节课的学习进行自我评价，教师进行点评和提出建议。

教学反思：在教案撰写过程中，教师需要充分考虑学生的学习需求和实际水平，选择合适的教学方法和教学资源。

同时，教师应注重培养学生的动手能力和解决问题的能力，通过练习和拓展应用的环节，激发学生的学习兴趣和探究欲望。

切线的判定教学设计(一)

切线的判定教学设计(一)
切线的判定
教学目标
•了解什么是切线
•掌握切线的判定方法
•能够应用切线的判定方法解决相关问题
教学内容
1.切线的定义
2.切线的判定方法
3.相关练习题
教学步骤
1. 切线的定义
•切线是指与曲线仅有一个交点且在此点与曲线有相切关系的直线。

2. 切线的判定方法
•在计算切线时，常用的方法有以下两种：
1.函数法：通过求解函数的一阶导数，判定曲线在某一点的
斜率是否与切线斜率相等。

2.几何法：通过求解曲线上一点的切线与曲线的交点，判断
交点个数来确定是否为切线。

3. 相关练习题
1.使用函数法判断以下曲线在指定点的切线：
–曲线：y=2x2+3x−5
–点：(1,0)
2.使用几何法判断以下曲线在指定点的切线：
–曲线：y=sin(x)
–点：(π/2,1)
总结
•切线是与曲线仅有一个交点且在此点与曲线有相切关系的直线。

•切线的判定方法可以通过函数法和几何法进行。

•函数法：判定曲线在某一点的斜率是否与切线斜率相等。

•几何法：判断曲线上一点的切线与曲线的交点个数来确定是否为切线。

通过本节课的学习，希望同学们能够掌握切线的基本概念和判定方法，并能够熟练应用于解决相关问题。

练习题的完成可以有效巩固所学知识。

数学教案-切线的判定和性质

数学教案-切线的判定和性质一、教学目标：1.理解切线的概念。

2.掌握各种情况下切线的判定方法。

3.了解切线的性质。

二、前置知识：1.函数的概念和性质。

2.导数的概念与性质。

3.利用导数求函数的最值和最大值问题。

三、教学重点：1.切线的概念。

2.切线的判定方法。

四、教学难点：1.切线的性质。

五、教学内容：1. 切线的概念在数学中，曲线的切线是曲线上的一条直线，它刚好在该点与曲线重合。

在高中数学中，我们学习了函数和导数的概念，而切线的定义正是基于导数的概念。

2. 求切线的方法2.1 直接利用导数求切线假设有一个函数f(x)，它在x0处可导，则f(x)在x0处的导数f′(x)就是曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率。

因此，该点的切线方程为：y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)2.2 其他方法（1）给定曲线的极坐标方程，则r′(θ)就是极点到曲线上一点的切线斜率。

（2）给定曲线的参数方程x=f(t),y=g(t)，则f′(t)和g′(t)分别是切线在点(f(t),g(t))处的斜率。

3. 切线的性质（1）函数在某一点处连续，且在该点处有导数，则该点处的切线可以唯一地确定。

（2）如果函数在某一点处有导数，则该点处的切线垂直于函数在该点处的法线。

（3）两条曲线f(x)和g(x)在相交点处的切线，如果它们切线斜率不相同，则它们相交于该点。

令f(x)=g(x)，并用f′(x)和g′(x)分别代替f(x)和g(x)的斜率，即可得到以下公式：f(x)=g(x)f′(x)=g′(x)其中，x为切点横坐标。

（4）如果函数y=f(x)在点x0处有一个水平切线，则必有f′(x0)=0。

（5）如果函数y=f(x)在点x0处有一个垂直切线，则必有f′(x0)不存在。

（6）对于任意函数f(x)，如果f′(x)>0，则f(x)单调递增；如果f′(x)<0，则f(x)单调递减。

六、教学案例分析：1. 知识点回顾我们先让学生回顾一下导数的概念和性质，以及常见的求导法则。

抛物线中的切线问题(学生版)

抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解. 1.(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p 2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x2=2py在其上一点P x1,y1处的切线方程,可先把x2=2py化为y=x22p,则y =xp,则抛物线x2=2py在点P x1,y1处的切线斜率为x1p,切线方程为y-y1=x1px-x1.2.(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy中,已知抛物线C:x2=2py p>0,P为直线y=x-1上的动点,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,当P在y轴上时,OA⊥OB.(1)求抛物线C的方程；(2)求点O到直线AB距离的最大值.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．3.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点．当AB∥x轴时,|AB|=2．(1)求抛物线C的方程；(2)证明：|PF|2=|AF|⋅|FB|．4.已知直线l过原点O,且与圆A交于M,N两点,MN=4,圆A与直线y=-2相切,OA与直线l垂直,记圆心A的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)过直线y=-1上任一点P作C的两条切线,切点分别为Q1,Q2,证明：①直线Q1Q2过定点；②PQ1⊥PQ2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d 1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C的焦点是0,1 4,如图,过点D22,t(t≤0)作抛物线C的两条切线,切点分别是A和B,线段AB的中点为M．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：直线MD⎳y轴；(3)以线段MD为直径作圆,交直线AB于MN,求|AB|-|MN||AB|+|MN|的取值范围．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E：y2=2px(p>0)上一点C1,y0到其焦点F的距离为2．(1)求实数p的值；(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线l1、l2,且l1、l2的交点为Q,l1、l2与y轴的交点分别为M、N．求△QMN面积的取值范围．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C上任意一点到F1(-1,0),F2(1,0)距离之和为43,抛物线E：y2=2px的焦点是点F2.3(1)求曲线C和抛物线E的方程；(2)点Q x0,y0是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M, x0<0N,求△QMN的面积的取值范围．6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1的动圆始终与直线l：y=-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)动点A在直线l上,过点A作曲线C的两条切线分别交x轴于B,D两点,当△ABD的面积是32时,求点A坐标.7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C:x2=2py p>0的焦点为F.且F与圆M: x2+y+42=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P在圆M上,PA,PB是C的两条切线.A,B是切点,求△PAB面积的最大值.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C：y2=2px p>0的焦点为F,准线与x轴交于D点,过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,且FA.+FB⋅FB=FA(1)求抛物线C的方程；(2)设P,Q是抛物线C上的不同两点,且PF⊥x轴,直线PQ与x轴交于G点,再在x轴上截取线段GE=GD,且点G介于点E点D之间,连接PE,过点Q作直线PE的平行线l,证明l是抛物线C的切线.9.已知抛物线C:x2=2py,点M-4,4在抛物线C上,过点M作抛物线C的切线,交x轴于点P,点O为坐标原点．(1)求P点的坐标；(2)点E的坐标为-2,-1,经过点P的直线交抛物线于A,B两点,交线段OM于点Q,记EA,EB, EQ的斜率分别为k1,k2,k3,是否存在常数λ使得k1+k2=λk3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．10.如图,已知A x1,y1为二次函数y=ax2(a>0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y ､B x2,y2=ax2在点A x1,y1.､B x2,y2处的切线相交于点P x0,y0(1)利用抛物线的定义证明：曲线y=ax2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x1､x0､x2成等差数列,y1､y0､y2成等比数列；(3)设抛物线y=ax2焦点为F,过P作PH垂直准线l,垂足为H,求证：∠BPH=∠APF.11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．13.(2022届新未来4月联考)已知直线l:x-ky+k-1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,过A,B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D,当直线l⊥x轴时,|AB|=4．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求|OD|的最小值．14.过原点O的直线与拋物线C：y2=2px(p>0)交于点A,线段OA的中点为M,又点P3p,0, PM⊥OA．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA=23；③△POM的面积为62．=46,②PM(1),求拋物线C的方程；(2)在(1)的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q(不与原点O重合),过点B作直线l与OQ垂直,求证：直线l过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．15.已知抛物线x2=2py(y>0),其焦点为F,抛物线上有相异两点A x1,y1．,B x2,y2(1)若AF⎳x轴,且经过点A的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p=2,且|AF|+|BF|=4,线段AB的中垂线交x轴于点C,求△ABC面积的最大值．16.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F,点P m,2=3．(m>0)在抛物线C上,且满足PF(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点G0,4的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求三角形PQG周长的最小值．17.已知圆C :x 2+y -2 2=1与定直线l :y =-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)已知点P 是直线l 1:y =-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：∠PCA =∠PCB .18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP =2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.。

抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程

抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程1. 引言1.1 概述在数学领域，抛物线是一种常见的曲线形状，具有许多重要的性质和应用。

与抛物线相关的一个重要问题是如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并找到这两条切线上的切点及其连线方程。

本文将详细探讨该问题。

1.2 研究背景抛物线作为一个具有特殊形状和性质的曲线，在几何学和微积分中都占据着重要地位。

早在古希腊时期，古代数学家就开始研究抛物线，并发现了许多与之相关的定理和性质。

随着数学研究的不断深入，人们对于抛物线的认识也越来越深刻。

在这个过程中，人们逐渐发现了如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程这个问题。

1.3 目的本文旨在介绍抛物线与切线之间的关系，并详细推导出抛物线外一点引两条切线所涉及的数学方法。

通过典型例题的分析和解答，将帮助读者理解并掌握如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程的步骤。

此外，本文还将探讨这个问题在实际应用中的价值，并对研究尚未解决的相关问题进行展望。

以上是“1. 引言”部分的详细内容，通过介绍本文的概述、研究背景和目的，读者可以初步了解文章所要讨论的问题和内容。

接下来，“2. 抛物线与切线关系”部分将详细介绍抛物线及切线的定义及性质。

2. 抛物线与切线关系2.1 抛物线定义及性质抛物线是一种平面曲线，由所有与一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点组成。

其标准方程可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c 为常数，且a不等于0。

抛物线具有以下性质：- 对称性：抛物线关于其顶点对称。

- 面积：抛物线所夹的面积相等于焦点到准线的距离乘以基本边长。

- 焦距：抛物线中焦点到顶点的距离等于焦半径。

2.2 切线定义及性质切线是指曲线上某一点处与该点处切给曲线只有一个公共交点的直线。

切线与曲线相切于该点，并且在该点处具有相同的斜率。

切线具有以下性质：- 斜率：切线与曲线在交点处具有相同的斜率。

抛物线的切线问题教案

抛物线的切线问题天台平桥中学杨启一、教学目标、重点、难点1．知识目标：掌握抛物线的切线方程的求法，巩固“坐标法”在解决直线与抛物线线位置关系问题的应用.2．能力目标：培养学生的运算能力和思维能力，让学生进一步体会数形结合、化归与转化的数学思想.3．情感目标：通过问题的探究，培养学生勇于探索的精神，使学生经历一个发现问题，研究问题，解决问题的思维过程，从中领悟其过程所蕴涵的数学思想，体验数学发现和创造的历程，培养学生的创新精神.4．教学重点和难点：在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物线的位置关系问题.二、教学过程（一）引入在近5年高考中，有些省份的解析几何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题，如2005江西，2006全国卷II ，2007江苏，2008山东，2009浙江等试题中的解析几何题都以抛物线的切线形式出现，所以我们有必要研究这些题目，希望通过研究它们来进一步提高我们对直线与抛物线的位置关系的认识，提高我们的解题能力. （二）典型例题例1 (2007江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于,A B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q 两点.（1）若2OA OB ⋅=，求c 的值；（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.分析：(1)设出AB 的直线方程，及A ，B 两点坐标联立抛物线方程，利用韦达定理即可.（2）AQ 的斜率用A 点导数表示，也可用两点斜率公式表示，两者相等就得证.（3）先写出逆命题，再利用斜率相等.解：（1）设直线AB 的方程为c kx y +=，将该方程代入2y x =得02=--c kx x .令A ),(211x x ,B ),(222x x ，则c x x -=21. 22222121=+-=+=⋅c c x x x x OB OA , .2.(1,2=-==∴c c c 故舍去）或(2)由题意知),2(21c x x Q -+，直线AQ 的斜率为121212121121222x x x x x x x x x c x k AQ =--=+-+=又2y x =的导函数为x y 2='，所以点A 处切线的斜率为12x .因些，QA 为此抛物线的切线. （3）（2）的逆命题成立，证明如下：设),(0c x Q -，若AQ 为该抛物线的切线，则12x k AQ =.又直线AQ 的斜率为0121210121x x x x x x x c x k AQ--=-+=， 10121212x x x x x x =--∴2121012x x x x x +=∴)0(21210≠+=∴x x x x 所以点P 的横坐标为221x x +，即逆命题成立.评析：本题只要抓住斜率相等关键条件，结合韦达定理，准确地运算，即可得到解答.例2（2010 浙江金华十校）已知抛物线C 1：2x y =，椭圆2C ：1422=+y x . （1）设21,l l 是C 1的任意两条互相垂直的切线，并设M l l =21 ，证明：点M 的纵坐标为定值；（2）在C 1上是否存在点P ，使得C 1在点P 处切线与2C 相交于两点B A 、，且AB 的中垂线恰为C 1的切线？若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.分析：（1）设出切点坐标),(211x x ,),(222x x ，利用导数可写出两个切线方程)(21121x x x x y -=-，)(22222x x x x y -=-，又21l l ⊥可得到斜率之积12221-=x x 通过运算得到结论.（2）设出坐标写出切线方程联立椭圆方程，利用韦达定理及（1）找出相关的关系式进而解出点P 从标.解：(1)设切点分别为),(211x x ,),(222x x ，由x y 2='可得)(211211x x x x y l -=-的方程即2112x x x y -= ①的方程2l 2222x x x y -= ② 联立①②并解之，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=21212x x y x x x 即为点M 的坐标),2(2121x x x x + 21l l ⊥ 12221-=∴x x ，所以4121-==x x y M即点M 的纵坐标为定值41-.（2）设),(200x x P ，则C 1在点P 处的切线方程为2002x x x y -=，代入2C 方程04422=-+y x ，得044)44(4030220=-+-+x x x x x ，设),(),,(4433y x B y x A ，则24043202043444,1x x x x x x x x +-=+=+，0)44(164020>-+=∆x x 由（1）知41-=M y ，从而41243-=+y y ，即41)(20430-=-+x x x x ，进而得41120240-=-+x x x ，解得3120=x 经检验3120=x 满足0>∆，所以这样的点P 存在，其坐标为)31,33(±评析：本题通过导数得到切线斜率，使求切线方程过程得到简化，为求点M 的坐标奠定基础，点M 又使两小量连接起来.关于存在性问题，务必要检验结论成立的条件.本题变量多，运算量大，只有在清晰的思路的引导下，规范书写，才能避免出错. （三）练习（2006全国II ，21）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M. （I ）证明⋅为定值；（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。

不愤不启不悱不发——“与抛物线切线有关的问题”课例及点评

{
· 22·
中学教研（数学）
2013 年
思考：把 2 条切线的交点作为起始点，再观察切线 QA 与 QB ，它们是对称的，可否从设切线方程入手？解由 Q （ x0 ，－ 1 ），可设切线 QA： y + 1 = k （ x － x0 ），代入得 x2 － 4 kx + 4 kx0 + 4 = 0 ，利用得从而
2 Δ = 16 k － 4 × 4 （ x0 k + 1 ） = 0 ，
在的弦方程为 y =
x0 x － y0 ． 2
k2 － x0 k － 1 = 0 ， k1 ·k2 = － 1 ．点评引导本题时，体现的思想方法是：先借助于图像进行粗略判断，再进一步借助于特殊点进行验证，最后用数学思想方法进行严密证明，从而．，得到结论这种思想方法特别是对开放题会有明显的效果．本题的条件多样，如何更有效整合利用就显得更加重要．这些信息， 3 ． 4 问题导练，及时反馈 2 例 3 已知抛物线 C ： x = 4 y A， B 是抛物线上的 2 的焦点为 F ， → → AF = λ FB （ λ ＞ 0 ）．过点个动点， A， B 分别作抛物线的切线，设其 → → 证明：FQ·AB 为定值．交点为 Q，（学生板演．）图3 解法 1 x + x2 x1 － x2 y1 － y2 → → = FQ·AB = 1 ，－2 · ， 2 2 2
2 2 x2Байду номын сангаасx2 1 － x2 1 － x2 － = 0． 4 4
(
) (
)
解法 2
AB 的方程为 y = k AB =
x0 x + 1，从而 2

高中数学新湘教版精品学案《问题探索——求作抛物线的切线》

问题探索——求作抛物线的切线
【学习目标】
1．掌握求解抛物线的切线的方法。
2．会利用图形结合的有关知识和方法来求解抛物线的切线方程与计算，进一步培养运算能力。
【学习重难点】
重点：判断抛物线在某点是否有切线，求解切线方程的方法和步骤。
难点：理解并掌握如何求解抛物线的切线，计算在某点处切线的斜率。
【学习过程】
（1）在曲线上取另一点，计算直线的斜率；
（2）在所得到的的斜率的表达式中让趋于0，如果趋于确定的数值，则该数值就是曲线在点处的切线的斜率。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．求曲线在点处的切线的斜率。
2．函数在处的切线斜率是多少？
二、课程总结
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．它们在解题中具体怎么应用？
一、新课学习
知识点一：抛物线的切线方程计算。
（1）取不同于的点。根据两点坐标，计算出直线的斜率为；
（2）在的斜率中让趋于0，得到点处切线斜率为。
所以过点的切线的直线方程为。
根据前面的知识做一做：
练习：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．判断曲线在点处是由有切线，如果有，求出切线的方程？
知识点二：切线斜率的计算方法与应用。
三、习题检测
1．过曲线上两点的切线的斜率是多少？
2．计算抛物线上任意一点处切线的斜率，并求出抛物线顶点处切线的方程。

《导数的应用——切线问题》教教学设计

《导数的应用——切线问题》教案【教学目标】：1、知识与技能 :理解导数的几何意义；会用导数解决与切线相关的问题。

2、过程与方法：经历用导数几何意义求切线学习过程，体会导数的几何意义在求曲线切线问题方面的应用。

3、情感态度与价值观：体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展理性思维能力。

【教学重点】：利用导数的几何意义解决切线问题；【教学难点】：理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率及曲线的切线。

【教学过程】知识回顾：一、求切线1、求过曲线上某个定点处的切线例1（2009全国卷Ⅱ理）曲线y ＝x 2x －1在点(1，1)处的切线方程。

（学生自己完成）解点（1，1）在曲线上．因为y ′＝－1(2x －1)2，在点（1，1）处的切线斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －2＝0总结：求过曲线上某个定点处的切线的步骤： i ）求导函数)('x f ii ）算斜率)(0'x f k ='00()()f x x x f x =函数在处的导数就是:00'0(),())(),y f x P x f x k f x P ==曲线在点（处的切线PT 的斜率。

即在点处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-iii ）由点斜式写出直线方程 2、曲线的切线经过某个定点例2 已知函数f (x )＝x 3－3x (x ∈R ）的图像为曲线C ，曲线C 的切线l 经过点A (2，2)，求切线l 的方程．解设切点为(t ，t 3－3t )，切线l 的斜率为k ＝3t 2－3，切线方程为y －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(x －t )．因为l 过点A (2， 2)，所以2－(t 3－3t )＝(3t 2－3)(2－t )，即t 3－3t 2＋4＝0，解得t ＝2或t ＝－1． ①当t ＝2时，l ：9x －y －16＝0； ②当t ＝－1时，l ：y ＝2．综上，切线l 的方程为y ＝2或9x －y －16＝0 总结：求过某个定点的切线的步骤： i ）设切点))(,(00x f xii ）求导函数)('x f ，写出直线方程 iii ）把已知点带入切线方程，解出切点坐标。

导学案：问题探索——求作抛物线的切线

问题探索——求作抛物线的切线学习要求：了解过曲线上一点的切线与曲线割线之间的辩证关系，能够求解过曲线上一点切线的斜率。

重点：（1）曲线的切线的概念；（2）过曲线上一点切线的斜率的计算方法。

难点：（1）用数学语言准确描述曲线的切线的概念；（2）正确使用极限的思想方法求解过曲线上一点的切线的斜率。

复习回顾问题1 什么是圆的切线？如何作圆的切线？问题2 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？新课内容1、过曲线上一点P处的切线的定义：2、求过曲线上一点P(x0,f(x))的切线的方法具体步骤：例1、已知f(x)=x2，求曲线y=f(x)在点P（2，4）处的切线的斜率。

解：练习：曲线y=2x2在点（1，2）处的切线的斜率为_________例2、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.解：练习：判断曲线y=2x2在点P（1，2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程。

例3.求二次函数y=f(x)=ax2+bx+c图像曲线上点P（u,f(u)）处切线的斜率。

总结：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤1、先利用直线斜率的定义求出割线的斜率；2、求出当△x趋近于0时切线的斜率3、然后利用点斜式y-y0=k(x-x)求切线方程.1、求曲线y=2x2-1在点P（1，1）处的切线的斜率。

2、已知A（1，4）是曲线y=2x2+2上一点，求（1）过点A的切线的斜率；（2）过点A的切线的方程。

提高题：求曲线f(x)=3-x2上在x=1处的切线的方程。

教学设计：问题探索——求作抛物线的切线

作切线一、教学目标：1、理解曲线在一点的切线的概念；2、会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点：了解切线的几何意义教学难点：求函数在某点出的切线方程三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程：（一）、复习：圆的切线和割线。

（二）、探究新课设函数)(x f y =在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为x y ∆∆，如右图所示，它是过A （x 0，)(0x f ）和B （x 0＋Δx ，)(0x x f ∆+）两点的直线的斜率。

这条直线称为曲线)(x f y =在点A 处的一条割线。

如右图所示，设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx 趋于0时，点B 将沿着曲线)(x f y =趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l 。

直线l 和曲线)(x f y =在点A 处“相切” ，称直线l 为曲线)(x f y =在点A 处的切线。

例1、已知函数2)(x x f y ==， x 0＝－2。

（1）分别对Δx =2，1，求2x y =在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并画出过点（x 0，)(0x f ）的相应割线；（2）求函数2x y =在x 0＝－2处的切线。

解：（1）Δx =2，1，时，区间[x 0，x 0＋Δx ]相应为[-2，0]，[-2，-1]，[-2，]。

2x y =在这些区间上的平均变化率分别为22)2(02)2()0(22-=--=--f f ， 31)2()1(1)2()1(22-=---=---f f ， 5.35.0)2()5.1(5.0)2()5.1(22-=---=---f f . 其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l 1，过点（-2，4）和点（-1，1）的直线l 2，过点（-2，4）和点（，）的直线l 3.（2）2x y =在区间[-2，-2＋Δx ]上的平均变化率为x xx x x x ∆+-=∆∆+∆-=∆--∆+-4)(4)2()2(222. 令Δx 趋于0，知函数2x y =在x 0＝－2处的斜率为-4。

数学：新人教版数学复习教案-作抛物线的切线

问题探索求作抛物线的切线典例剖析题型一平均变化率例1：在曲线12+=x y 的图象上取一点(1 ,2)及邻近一点（1＋Δx ，2＋Δy ）求x Δ yΔ 解：ΘΔy=1)1(2+∆+x -(21+1)=2x ∆+2x ∆， ∴x Δ y Δ=x ∆+2 评析：平均变化率y x ∆∆0000()()()f x x f x x x x +∆-=+∆- 题型二抛物线的切线例2. 求抛物线y=f(x)=22x -x 在（1，1）点处的切线斜率解：Θ xf x f ∆-∆+)1()1(=3+2x ∆，令x ∆趋于0，则3+2x ∆趋于3.∴切线的斜率k=3, 评析：以上三种类型的问题中例1是平均变化率，而例2与例3都是瞬时变化率。

瞬时变化率就是平均变化率在改变量x ∆趋于0时的极限值。

备选题例3：曲线12+=x y 在点P ）（00,x y 的切线斜率为2, 求点P ）（00,x y 的坐标.解：设1)(2+=x x f 则02200211)()()t (x t tx t x t x f x f +∆=∆--+∆+=∆-∆+ 0000(t)()(t 0)(2)(t 0)22f x f x t x x t+∆-∴∆→=∆+∆→==∆ 1x 0=∴312200-=--=∴x y）。

，的坐标为（点31-∴P点评：直线与抛物线相切,一般的解题方法是将直线方程代入抛物线方程消元,,利用0=∆求解.点击双基1. 抛物线f(x)=x 2－3x+1在点（1，－1）处的切线方程为（）A ．y=-x －1B ．y=xC ．y=－xD ．y=x+1 解：xx x ∆+--+∆+-∆+)131(1)1(3)1(2=-1+x ∆,当∆x 趋于0时,得切线斜率k=-1，切线方程为y+1=-1(x-1)，故选C2.若抛物线y=2x +1的一条切线与直线y=2x-1平行，则切点坐标为（）A ．（1，1）B （1，2）C （2，5）D （3，10）解：平均变化率=xx x x ∆+-+∆+)1(1)(22=2x+x ∆,所以斜率k=2x=2,得 x=1,Y=1. 故选A3 过点M （－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则切线方程为（）（A ）3x+y+3=0或10x y -+= （B ）330x y -+=或10x y ++=（C ）10x y -+= （D ）330x y -+= 解：设切点N （a,b ）,则切线斜率k=2a+1=MN k =1+a b =112+++a a a ,得a=0或a=-2 切线斜率k=1或k=-3 ，故选A4. 已知曲线22x x y -=上有两点A （2,0），B （-2,-8），则割线AB 的斜率AB k 为解：由斜率公式求得AB k =25．已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是为＿＿＿＿＿解：00000(t)()(t 0)(24)(t 0)44,1f x f x t x x x t+∆-∴∆→=∆+∆→==-=-∆，点M 的坐标是（-1，3）课外作业：一．选择题1、若曲线处的切线那么在点处的切线方程为：（在点P y x a f a P x f y ,01))(,)(=++= 斜率（）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．符号不定解：由切线方程得斜率为-1<0，故选B2、已知曲线122+=ax y 过点)3,(a ,则该曲线在该点处的切线方程为（）A ．14--=x yB 14-=x y ．C ．114-=x yD ．74+-=x y 解：先将点)3,(a 代入122+=ax y 得1=a ,然后求切线斜率，故选B3、若曲线y=-2x +4x 的一条切线l 与直线2x-y-5=0平行，则l 的方程为（）A.2x-y-4=0B.2x+y=0C.2x-y+1=0D.2x+y-5=0解：易得'f (x)=-2x+4,则-2x+4=2，得x=1；切点（1，3），切线斜率k=2; 故选C4、若曲线f(x)=2x 的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为( )A ．4x-y-4=0B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 解：易得'f (x)=2x ，则2x=4,x=2；切点（2，4），切线斜率k=4，故选A ，5、已知直线10x y --=与抛物线y=2x +a 相切，则a=( ) A.4 B.-43 C.-41 D.21 解;x a x a x x ∆+-+∆+)()(22=2x+x ∆,∴'f (x)=2x=1,得x=21.切点（21，41+a ）在切线10x y --=上，a=-43. 故选B 6、曲线f(x)=x x 62-在点（1，－5）处的切线斜率为( )A ．k=3B ．k=－3C ．k=－4D ．k=4解：平均变化率=[]1)1(61)1(6)1(2-∆+--∆+-∆+x x x =∆x-4.当∆x 趋向0时，平均变化率趋于-4，故选 C7、函数y ＝a x 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ．18 B ．41 C ．21 D ．1 解：把两个解析式联立得方程a x 2-x ＋1=0,由∆=0即得a ＝41，故选B 8、过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（）（A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+=解：12)(+='x x f ，设切点坐标为00(,)x y ，则切线的斜率为2 01x +，且20001y x x =++，于是切线方程为200001(21)()y x x x x x ---=+-，因为点（－1，0）在切线上，可解得 0x ＝0或－4，故选D 。

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