浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离(1)

浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离

湖北省十堰市房县上龛中学 付 彬

我们知道，在同一平面上，两点之间线段最短。但如果两点不在同一平面上，而是在几何体的两个不同面上，问题又会如何呢？众所周知，一个立体图形沿着某些棱剪开并铺平，能够展开成平面图形，如长方体，三棱锥，圆柱等。这里，我们不妨利用平面展开图把几何体异面上两点之间最短距离问题化归为同一平面上两点之间最短距离问题：先将所需几何体表面展开得到平面图形，连结两点，求出两点间线段的长，从而得到几何体异面上两点之间的最短距离。下面我们结合实例来说明侧面展开图的方法.

一、几何体为棱柱

问题1 如图1所示，已知长方体蛋糕上A 点有只蜘蛛在寻找实物，B 点有只苍蝇正在进食。若这块长方体蛋糕的长、宽、高分别为7 cm ，5cm 和5 cm ，那么这只蜘蛛在A 点发现苍蝇后，到B 点逮到苍蝇的最短爬行路线有多长？

分析：①如图1-1，把长方体的上表面和正面展开成平面图形，连结AB ；②如图1-2，把长方体的正面和右侧面展开成平面图形，连结AB 。两者中较小的AB 值就是所求。 解：①如图1-1，由题意，得

∠ACB ＝90。 ，AC ＝7，BC ＝5＋5＝10，

∴ AB ＝1491072222=+=+BC AC

②如图1-2，由题意，得

∠ACB ＝90。，AC ＝7＋5＝12，BC ＝5，

∴ AB ＝135122222=+=+BC AC

∵ 13149< ∴ 所求最短爬行路线长149cm 。 二、几何体为棱锥

问题２如图２，课桌上放着一个正三棱锥S-ABC ，SA=1,∠ASB=30°, 蚂蚁从点A 沿三棱锥的侧面爬行（必须经过三棱锥的三个侧面）再回到A ，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：根据图２，沿SA 剪开得展开图２.

在⊿SAE 中，,,SE=－1.

利用尺规作图可以找到E 和F ，从而确定蚂蚁的最佳行迹AEFA.

图1-1

图

1-2 图1

三、几何体为圆锥

问题３如图３，课桌上放着一个圆锥，点Ａ为圆锥底面圆周上一点，SA=3,OA=1蚂蚁从点A沿圆锥的侧面爬行再回到A，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

分析：有趣的是蚂蚁的最佳行迹不是底面的圆周，而是向上爬，到达一个最高点后向下爬行.

解：根据图３，沿SA剪开得展开图３.

在⊿SAB中，∠ASB＝，AB=3.

取SC的中点D，其最佳行迹是曲线段ADB,在侧面展开图上是直线段ADB.

四、几何体为圆柱

问题４如图４，课桌上放着一个圆柱，蚂蚁从点A沿圆柱的侧面爬行到另一点B，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：根据图４，沿AE剪开得展开图4.

若点B落在展开图的中位线EF上,则蚂蚁应按AB

1或MB

１

两条线段在圆柱上的对

应曲线爬行.

若点B落在展开图的中位线EF的左侧,则蚂蚁应按MB

2

两条线段在圆柱上的对应曲线爬行.

若点B落在展开图的中位线EF的右侧,则蚂蚁应按AB

2

两条线段在圆柱上的对应曲线爬行.

五、几何体为球

问题５如图５，球O的表面上有两点A、B，∠AOB＝60 。，蚂蚁从点A沿球的表面爬行到B，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：这时我们知道最佳行迹为AOB所在平面的大圆的劣弧，不能运用初等数学方法来证明这个问题.

我们在此对几何体上的蚂蚁最佳行迹问题进行了讨论，有侧面展开图的通常转化为展开图上的各线段的最短者，来寻求蚂蚁的最佳行迹.没有平面展开图的曲面，寻求最佳行迹就不太方便.这里值得强调的是，立体几何的重要思想方法是将空间问题转化为平面几何问题.