线性规划的软件求解
线性规划Lindo软件-整数规划
定制化不足
对于特定领域的整数规划问题， 可能需要针对具体问题对软件进 行定制化开发。
未来研究的方向与展望
算法改进
随着计算技术的发展，未来可以进一步优化 Lindo软件的算法，提高求解速度和精度。
扩展应用领域
随着整数规划问题的多样化，未来可以进一步拓展 Lindo软件的应用领域，如金融、物流、能源等领 域。
整数规划的求解方法
分支定界法
通过不断分割可行解空间和排除不可行解空 间来逼近最优解。
割平面法
通过逐步构建整数解来逼近最优解，适用于 小规模问题。
回溯法
通过添加割平面来缩小可行解空间，最终找 到最优解。
Lindo软件求解法
使用Lindo软件进行整数规划求解，具有高效 、稳定、易操作等优点。
04
使用Lindo软件进行整数规划
在求解结果查看界面中，可以查看问题的最优解、最优值、变量取值等信 息。
可以使用软件提供的图表功能，绘制变量取值与目标函数之间的关系图， 以便更好地理解问题的解。
05
案例分析
案例一：简单的整数规划问题
问题描述
01
考虑一个简单的整数规划问题，目标是最小化目标函数，同时
满足一系列线性约束条件。
解决方案
• 易用性：用户界面友好，操作简单，无需复杂的编程知识 即可使用。
Lindo软件在整数规划中的优势与限制
依赖性
Lindo软件的功能和性能高度依赖 于计算机硬件配置，高性能计算 机是求解大规模问题的必要条件。
模型限制
对于某些特殊类型的整数规划问 题，如非凸或非线性问题，Lindo 软件的求解效果可能有限。
在约束条件设置界面中，根据问题数据设置相 应的约束条件，如“less than”、“equal to”或“greater than”。
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题线性规划和整数规划是数学规划中常见的两种优化问题。
Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的工具和函数来解决这些问题。
本文将介绍如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题，并提供详细的步骤和示例代码。
一、线性规划问题的求解线性规划问题可以表示为如下形式的数学模型：```minimize c'*xsubject to A*x <= blb <= x <= ub```其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是不等式约束矩阵，b 是不等式约束向量，lb和ub分别是决策变量的下界和上界。
Matlab中求解线性规划问题可以使用`linprog`函数。
下面是一个示例：```matlabc = [1; 2; 3]; % 目标函数的系数向量A = [1, -1, 2; 3, 1, 0]; % 不等式约束矩阵b = [4; 5]; % 不等式约束向量lb = zeros(3, 1); % 决策变量的下界ub = [Inf; Inf; 10]; % 决策变量的上界[x, fval] = linprog(c, A, b, [], [], lb, ub);```在上面的示例中，我们定义了目标函数的系数向量c，不等式约束矩阵A，不等式约束向量b，以及决策变量的下界lb和上界ub。
然后使用`linprog`函数求解线性规划问题，得到最优解x和最优目标函数值fval。
二、整数规划问题的求解整数规划问题是线性规划问题的一个扩展，要求决策变量取整数值。
Matlab中求解整数规划问题可以使用`intlinprog`函数。
下面是一个示例：```matlabc = [1; 2; 3]; % 目标函数的系数向量A = [1, -1, 2; 3, 1, 0]; % 不等式约束矩阵b = [4; 5]; % 不等式约束向量lb = zeros(3, 1); % 决策变量的下界ub = [Inf; Inf; 10]; % 决策变量的上界intcon = [1; 2]; % 决策变量的整数约束[x, fval] = intlinprog(c, intcon, A, b, [], [], lb, ub);```在上面的示例中，我们除了定义了线性规划问题的参数外，还定义了决策变量的整数约束intcon。
线性规划问题的Lingo求解
Lingo中参数设置与调整
01
参数设置
02
调整策略
Lingo允许用户设置求解器的参数， 如求解方法、迭代次数、收敛精度等 。这些参数可以通过`@option`进行 设置。
如果求解过程中遇到问题，如无解、 解不唯一等，可以通过调整参数或修 改模型来尝试解决。常见的调整策略 包括放松约束条件、改变目标函数权 重等。
02
比较不同方案
03
验证求解结果
如果存在多个可行解，需要对不 同方案进行比较，选择最优方案。
可以通过将求解结果代入原问题 进行验证，确保求解结果的正确 性和合理性。
感谢您的观看
THANKS
问题，后面跟随线性表达式。
02 03
约束条件表示
约束条件使用`subject to`或简写为`s.t.`来引入，后面列出所有约束条 件，每个约束条件以线性表达式和关系运算符（如`<=`, `>=`, `=`, `<`, `>`）表示。
非负约束
默认情况下，Lingo中的变量是非负的，如果变量可以为负，需要使用 `@free`进行声明。
问题的解通常出现在约束条件的边界上 。
变量通常是连续的。
特点 目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题应用场景
生产计划
确定各种产品的最优生产量， 以最大化利润或最小化成本。
资源分配
在有限资源下，如何最优地分 配给不同的项目或任务。
运输问题
如何最低成本地将物品从一个 地点运输到另一个地点。
金融投资
03
求解结果
通过Lingo求解，得到使得总加工时间最短的生产计划安 排。
运输问题优化案例
问题描述
某物流公司需要将一批货物从A地运往B地，可以选择不同的运输方式和路径，每种方式和路径的运输时间和成本不 同。公司需要在满足货物送达时间要求的前提下，选择最优的运输方式和路径，使得总成本最低。
10.应用MATLAB软件求解线性规划
x 5.0 5.5 6.0 6.6 7.0 7.6 8.5 9.0 10.0
y 1.0 4.0 3.6 2.7 5.7 4.6 6.0 6.8 7.3
求拟合以上数据的直线 y bx a，目标为使y的各个观察
值同按直线关系所预期的值的绝对偏差总和为最小（即：
误差绝对值之和最小）。建立线性规划问题的数学模型。
（提示：对任意的 i ，令：ui
那么，i ui vi，i ui ）vi
1 2
i
i 0，vi
1 2
i
i 0，
2.将下列线性规划问题化成标准形
min S x1 x2 x3
2x1 x2 3x3 20
B
6.00
C
20% 60%
50%
4.00
加工费
（元/千克）
2.0
1.6
1.2
2500 1200
售价（元）
13.6
11.4
9
(5)已知一个量y依赖于另一个量x，现收集有数据如 表1.5。
表1.5 y 随 x 变化的数据表 x 0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5
• (8)lambda表示解处的拉格朗日乘子，其中lower， upper，ineqlin，eqlin分别对应于下界、上界、不 等式约束与等式约束。
例3 用MATLAB解线性规划问题
min z 2x1 x2 x3
x1 x2 2x3 6
s.t.
x1 2x1
lingo解决线性规划问题的程序(经典)
lingo解决线性规划问题的程序(经典)•线性规划问题概述•Lingo软件介绍•使用Lingo解决线性规划问题步目录骤•经典线性规划问题案例解析•Lingo在解决线性规划问题中的优势•总结与展望01线性规划问题概述定义：线性规划（Linear Programming，简称LP）是数学规划的一个分支，它研究的是在一组线性约束条件下，一个线性目标函数的最大或最小值问题。
特点目标函数和约束条件都是线性的。
可行域是凸集，即对于任意两个可行解，它们的凸组合仍然是可行解。
最优解如果存在，则一定在可行域的某个顶点上达到。
定义与特点生产计划资源分配运输问题金融投资01020304企业如何安排生产，使得在满足市场需求和资源限制的前提下，成本最低或利润最大。
如何合理分配有限的资源（如资金、人力、时间等），以达到最佳的效果。
如何安排货物的运输路线和数量，使得在满足供需关系的前提下，总运费最低。
投资者如何在一定的风险水平下，使得投资收益最大。
决策变量表示问题的未知量，通常用$x_1, x_2, ldots, x_n$表示。
目标函数表示问题的优化目标，通常是决策变量的线性函数，形如$z = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
约束条件表示问题的限制条件，通常是决策变量的线性不等式或等式，形如$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ldots + a_{1n}x_n leq (=, geq) b_1$。
01$begin{aligned}02& text{max} quad z = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots +c_nx_n03& text{s.t.} quad a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ldots + a_{1n}x_n leq (=, geq) b_1& quadquadquad vdots& quadquadquad a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ldots + a_{mn}x_n leq (=, geq) b_m•& \quad\quad\quad x_i \geq 0, i = 1, 2, \ldots, n线性规划问题数学模型end{aligned}$其中，“s.t.”表示“subject to”，即“满足……的条件下”。
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种强大的数学软件，可以用来求解各种优化问题，包括线性规划和整数规划问题。
在本文中，我将详细介绍如何使用Matlab来求解这两类问题。
首先，让我们来了解一下线性规划和整数规划问题的定义和特点。
线性规划是一种数学优化问题，其目标是在给定一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量值。
线性规划问题的目标函数和约束条件均为线性函数。
整数规划是线性规划的一种扩展形式，其解必须是整数。
整数规划问题通常更难求解，因为整数变量的取值范围更有限。
接下来，我将分别介绍如何使用Matlab来求解线性规划和整数规划问题。
1. Matlab求解线性规划问题首先，我们需要定义线性规划问题的目标函数和约束条件。
假设我们要最大化一个线性目标函数，同时满足一组线性约束条件。
在Matlab中，我们可以使用线性规划求解器函数`linprog`来求解线性规划问题。
以下是使用`linprog`函数的一般语法：```matlab[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)```其中，`f`是目标函数的系数向量，`A`和`b`是不等式约束条件的系数矩阵和常数向量，`Aeq`和`beq`是等式约束条件的系数矩阵和常数向量，`lb`和`ub`是变量的下界和上界。
下面是一个示例，展示如何使用`linprog`函数求解一个线性规划问题：f = [-1; -2]; % 目标函数的系数向量A = [1, 1; -1, 2; 3, 2]; % 不等式约束条件的系数矩阵b = [2; 2; 6]; % 不等式约束条件的常数向量[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b)```在上述示例中，我们的目标是最小化目标函数`f = -x1 - 2x2`，同时满足约束条件`x1 + x2 >= 2`，`-x1 + 2x2 >= 2`，`3x1 + 2x2 >= 6`。
excel线性规划
excel线性规划Excel线性规划是指利用Excel软件来解决线性规划问题。
线性规划问题是最经典的优化问题之一，主要是在一定约束条件下，找出使某个目标函数取得最优值的决策变量取值。
Excel提供了Solver插件，可以用于求解线性规划问题。
首先，我们需要建立起线性规划问题的模型。
假设我们有m个决策变量x1、x2、...、xm，需要找到这些决策变量的取值，使得目标函数Z(x1、x2、...、xm)取得最优值。
同时，还有n个约束条件，即使得一些函数关系式（一般为等式或不等式）满足。
线性规划模型可以表示为如下形式：目标函数：Z = c1x1 + c2x2 + ... + cmxm + d约束条件：A11x1 + A12x2 + ... + A1mxm <= b1A21x1 + A22x2 + ... + A2mxm <= b2...An1x1 + An2x2 + ... + Anmxm <= bn然后，我们可以通过Excel的Solver插件来求解线性规划问题。
具体步骤如下：1. 打开Excel软件，在工具栏中选择“数据”菜单，点击“求解器”按钮。
2. 在弹出的Solver对话框中，选择“线性规划”作为求解的方法。
3. 在“目标单元格”栏中输入目标函数的单元格地址。
若目标函数是在单元格C1中，则输入$C$1。
4. 在“变量单元格”栏中输入决策变量的单元格范围。
若决策变量是在范围B1:B5中，则输入$B$1:$B$5。
5. 在“约束条件”栏中，点击“添加”按钮，逐个输入约束条件。
每个约束条件包括“约束单元格”、“约束类型”和“约束值”三项。
若第一个约束条件是在单元格D1中，约束类型为“<=”，约束值为10，则输入$D$1<=10。
6. 在“求解方法”下拉菜单中，选择求解的方法。
常用的有“规划求解法”和“单纯形法”。
7. 点击“确定”按钮开始求解。
Solver会根据给定的目标函数和约束条件，寻找使目标函数取得最优值的决策变量取值。
excel求解线性规划
excel求解线性规划Excel是一种常用的电子表格软件，可以用于求解线性规划问题。
线性规划是一种数学优化问题，目标是找到一组决策变量的最优值，使得目标函数达到最大或最小值，并满足一系列约束。
下面将介绍如何使用Excel求解线性规划问题。
第一步是建立模型。
线性规划模型由目标函数和约束条件组成。
目标函数是需要最大化或最小化的线性函数，约束条件是决策变量需要满足的限制条件。
在Excel中，可以在一个工作表中设置一个单元格来表示目标函数，并使用其他单元格来表示约束条件。
第二步是确定决策变量和其范围。
决策变量是需要优化的变量，其范围通常是非负数。
在Excel中，可以使用单元格来表示决策变量，并设置其边界条件。
第三步是设置约束条件。
约束条件通常是一组线性不等式或等式。
在Excel中，可以使用单元格和公式来表示约束条件，并使用Excel内置的函数来计算约束条件的结果。
第四步是设置目标函数。
在Excel中，可以使用单元格和公式来表示目标函数，并使用Excel内置的函数来计算目标函数的结果。
第五步是求解线性规划问题。
在Excel中，可以使用ExcelSolver插件来求解线性规划问题。
Solver插件是一个用于求解最优化问题的工具，可以根据设置的目标函数和约束条件自动计算最优解。
可以在Excel的“数据”选项卡中找到Solver插件，并按照提示设置目标函数、约束条件和决策变量的范围，然后点击求解按钮进行计算。
最后，根据Solver求解结果，可以在Excel中找到最优解和目标函数的最优值。
总之，Excel是一种强大的工具，可以用于求解线性规划问题。
只需要将线性规划问题转化为Excel中的单元格和公式表示，然后使用Solver插件进行求解，就可以得到最优解和目标函数的最优值。
通过Excel求解线性规划问题，可以提高计算效率和准确性，帮助决策者进行决策分析和优化。
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题引言概述：Matlab是一种功能强大的数学软件，可以用于求解各种数学问题，包括线性规划和整数规划问题。
本文将介绍如何使用Matlab求解这两类问题，并分析其优点和适用范围。
正文内容：1. 线性规划问题1.1 线性规划问题的定义线性规划问题是指在一定的约束条件下，通过线性目标函数求解最优解的问题。
其数学模型可以表示为：max/min f(x) = c^T * xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧向量。
1.2 Matlab中的线性规划求解函数Matlab提供了linprog函数来求解线性规划问题。
该函数可以通过设定目标函数系数向量c、约束条件的系数矩阵A和右侧向量b，以及决策变量的上下界，来求解线性规划问题的最优解。
1.3 线性规划问题的应用线性规划问题在实际应用中非常广泛，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过Matlab求解线性规划问题，可以高效地得到最优解，为实际问题的决策提供科学依据。
2. 整数规划问题2.1 整数规划问题的定义整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，决策变量的取值限制为整数。
其数学模型可以表示为：max/min f(x) = c^T * xs.t. Ax <= bx >= 0x为整数其中，c、A、b的定义与线性规划问题相同，x为整数。
2.2 Matlab中的整数规划求解函数Matlab提供了intlinprog函数来求解整数规划问题。
该函数可以通过设定目标函数系数向量c、约束条件的系数矩阵A和右侧向量b，以及决策变量的上下界和整数约束条件，来求解整数规划问题的最优解。
2.3 整数规划问题的应用整数规划问题在实际应用中常见，例如生产调度、投资决策、路径规划等。
通过Matlab求解整数规划问题，可以考虑到决策变量的整数性质，得到更为实际可行的解决方案。
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题线性规划和整数规划是数学规划中的两个重要分支，广泛应用于运筹学、经济学、工程学等领域。
Matlab作为一种功能强大的数值计算软件，提供了丰富的工具箱和函数，可以方便地求解线性规划和整数规划问题。
一、线性规划问题的求解线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解线性目标函数的最优值的问题。
通常可以表示为如下形式的标准线性规划问题：Maximize (or Minimize) Z = c'xSubject to: Ax ≤ bx ≥ 0其中，c是长度为n的目标函数系数向量，x是长度为n的决策变量向量，A是m×n的系数矩阵，b是长度为m的约束条件向量。
在Matlab中，可以使用线性规划工具箱（Linear Programming Toolbox）中的函数linprog来求解线性规划问题。
linprog函数的基本语法如下：[x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)其中，c是目标函数系数向量，A和b是不等式约束条件的系数矩阵和约束条件向量，Aeq和beq是等式约束条件的系数矩阵和约束条件向量，lb和ub是决策变量的下界和上界，x0是初始解向量，options是求解选项。
linprog函数的输出结果包括最优解x、最优目标函数值fval、退出标志exitflag、输出信息output和拉格朗日乘子lambda。
二、整数规划问题的求解整数规划问题是在线性规划问题的基础上，要求决策变量取整数值的问题。
通常可以表示为如下形式的标准整数规划问题：Maximize (or Minimize) Z = c'xSubjec t to: Ax ≤ bx ≥ 0x为整数在Matlab中，可以使用整数规划工具箱（Integer Programming Toolbox）中的函数intlinprog来求解整数规划问题。
用Lingo软件编程求解规划问题解决方案
Lingo软件具有直观易用的界面，提供丰富的函数库和求解算法， 能够高效地求解大规模复杂规划问题。
Lingo软件应用
Lingo软件被广泛应用于各个领域的规划问题求解，如金融、物流、 制造等。
解决方案目标与意义
解决方案目标
通过Lingo软件编程求解规划问题， 旨在获得满足约束条件的最优解，使 得目标函数达到最优。
要点三
推动软件升级和普及
Lingo软件作为一款优秀的数学规划 求解工具，未来可以进一步推动其升 级和普及工作。例如，可以增加更多 实用的功能、提高软件的易用性和稳 定性等，以吸引更多的用户使用该软 件解决规划问题。
THANKS
感谢观看
Lingo编程环境介绍
Lingo是一款专门用于求解线性、非线性和整数规划问题的软件，它提供了一个直观易用的编程环境。
Lingo支持多种类型的数学模型，如线性规划、目标规划、整数规划等，并内置了大量的函数和算法， 方便用户快速构建和求解模型。
Lingo还提供了丰富的数据输入/输出功能，支持Excel、数据库等多种数据格式，方便用户进行数据处理 和分析。
结果分析
根据求解结果，分析每种产品的生产量是否符合预期，并评估总成本是否达到最小化。 同时，可以对不同方案进行比较，选择最优方案。
敏感性分析
通过改变某些参数或约束条件，观察求解结果的变化，以评估方案的稳定性和可行性。
06
总结与展望
研究成果总结
成功构建了规划问题的数学模型
通过深入研究规划问题的本质，我们成功构建了能够准确 描述问题的数学模型，为后续的求解工作奠定了坚实的基 础。
学习和使用。
02
Lingo语言基本语法
学习Lingo语言的基本语法和规则，如变量定义、函数定义、约束条件
线性规划软件
线性规划软件线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类线性约束条件下的最优化问题。
线性规划软件则是用于求解这类问题的工具。
本文将介绍线性规划软件的基本原理、常见应用场景以及优缺点。
线性规划软件的基本原理是利用线性规划模型的特殊结构进行求解，主要包括以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据具体问题，将决策变量、目标函数以及约束条件转化为线性关系式，构建线性规划模型。
2. 求解算法：线性规划问题的求解算法主要有两种，分别是单纯形法和内点法。
单纯形法通过沿着可行解空间的单纯形路径搜索最优解，而内点法则通过求解一系列对数障碍问题逼近最优解。
3. 数据输入和参数设置：用户需要输入问题相关的数据，包括目标函数系数、约束条件等，并设置一些计算参数，如求解算法的选择、精度要求等。
4. 求解结果分析：线性规划软件可以输出最优解的数值结果，如最优目标函数值、决策变量取值等。
用户可以对结果进行进一步分析，评估方案的有效性。
线性规划软件在实际应用中具有广泛的应用场景。
其中，最典型的是生产计划、运输调度和资源分配等问题。
例如，一家工厂需要确定每个生产批次的生产量，以使得总生产成本最小；一个物流公司需要优化配送路径，以降低运输成本。
线性规划软件可以根据具体的约束条件和目标函数，自动分析求解问题，帮助用户得到最优解决方案。
线性规划软件的优点主要有以下几个方面：1. 自动化计算：线性规划软件可以通过输入问题相关的数据和约束条件，自动运行求解算法，并输出最优解决方案的数值结果。
大大减少了手工计算的工作量和错误的可能性。
2. 快速求解：线性规划问题具有一定的数学性质，可以利用数值方法进行求解。
线性规划软件通常使用高效的求解算法，可以在较短的时间内得到最优解。
3. 灵活性和可扩展性：线性规划软件可以根据具体问题的需求进行参数设置，用户可以根据实际情况灵活调整算法和求解策略。
此外，线性规划软件还可以扩展到更复杂的问题领域，如整数规划、混合整数规划等。
课件：应用LINGO、MATLAB软件求解线性规划(1)
0.6166667
X4 30.00000
0.000000
X5 10.00000
0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 22.40000
-1.000000
2 0.000000
-0.5833333
3 4.100000
0.000000
4 0.000000
-4.166667
4.6667 0.0000 0.6667 z= -8.6667
例1.4 用MATLAB求解线性规划问题
max z 2x1 3x2 5x3
s.t.
2
x1 x1
x2 x3 7 5x2 x3 10
xi 0,i 1, 2,3
解 首先转化为求最小值问题
min z S 2x1 3x2 5x3
5 0.000000
0.8833333
1.2 应用MATLAB求解线性规划
• MATLAB（MATrix LABoratory）的基本含义是矩阵实验 室，它是由美国MathWorks公司研制开发的一套高性能的 集数值计算、信息处理、图形显示等于一体的可视化数学 工具软件。它是建立在向量、数组和矩阵基础之上的，除 了基本的数值计算、数据处理、图形显示等功能之外，还 包含功能强大的多个“工具箱”，如优化工具箱（ optimization toolbox）、统计工具箱、样条函数工具箱和 数据拟合工具箱等都是优化计算的有力工具。在这里仅介 绍用MATLAB6.5优化工具箱求解线性规划问题。
即约束条件左边与右边的差值，对于“ ”的不等式，右边减
左边的差值为Slack（松弛），对于“ ”的不等式，左边减
的右边差值为Surplus（剩余），当约束条件两边相等时，松 弛或剩余的值等于零。
运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解
运筹学实验报告实验课程:运筹学实验日期: 2020年4月4日任课教师:杨小康班级：数学1802 姓名：王超学号：2501180224一、实验名称: 简单线性规划模型的求解与Lingo软件的初步使用二、实验目的：了解Lingo软件的基本功能和简单线性规划模型的求解的输入和输出结果。
熟悉Lingo 软件在运筹学模型求解中的作用，增强自身的动手能力，提高实际应用能力三、实验要求:1、熟悉Lingo软件的用户环境，了解Lingo软件的一般命令2、给出Lingo中的输入，能理解Solution Report中输出的四个部分的结果。
4、能给出最优解和最优值；5、能给出实际问题的数学模型，并利用lingo求出最优解四、报告正文（文挡，数据，模型，程序，图形）:1.在Lingo中求解下面的线性规划数学模型;(1)12132412512345 max2543..28,,,,0z x xx xx xs tx x xx x x x x=++=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪≥⎩(2)12121212max2343..28,0z x xxxs tx xx x=+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩(3)12121212max243..28,0z x xxxs tx xx x=+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩(4)12121212max324 ..3,0z x xx xs t x xx x=+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩(5)1212121212max102401.530.50,0z x xx xx xs tx xx x=++≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩2、某工厂利用三种原料生产五种产品，其有关数据如下表。
原料可利用数（千克）每万件产品所用材料数（千克）A B C D E甲10 1 2 1 0 1 乙24 1 0 1 3 2 丙21 1 2 2 2 2 每万件产品的利润（万元）8 20 10 20 21 (l)建立该问题的运筹学模型。
（2）利用lingo 软件求出最优解，得出最优生产计划解：（1）设xi（i=1,2...,5）为所用材料生产的件数则数学模型,,,,21 2222242 3102;212010208max543215 43215431532154321≥≤++++≤+++≤+++++++ =xxxxxx xxxxt xxxx xxxxsxxxxxz （2）结果为220.3：现有15米长的钢管若干，生产某产品需4米、5米、7米长的钢管各为100、150、120根，问如何截取才能使原材料最省？（建立线性规划模型并利用lingo软件求解）解：方案4米5米7米剩余量截取长度1 3 0 0 32 2 1 0 23 2 0 1 04 1 2 0 15 0 3 0 06 0 1 1 37 0 0 2 14人力资源分配问题某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1所示。
lingo例题
LINGO是一个用于求解线性规划问题的优化软件。
以下是一个简单的LINGO例题：
问题描述：
某公司生产A、B两种产品，生产A产品需要10个单位劳动力和2个单位资本，生产B产品需要15个单位劳动力和3个单位资本。
该公司拥有劳动力200个单位和资本150个单位。
A产品的售价为20元，B产品的售价为30元。
目标：最大化总收入。
约束条件：
1.劳动力不超过200个单位。
2.资本不超过150个单位。
3.A产品的产量为整数。
4.B产品的产量为整数。
使用LINGO求解该问题，可以建立以下模型：
目标函数：最大化总收入
@max=20x+30y; // 总收入等于A产品售价乘以A产品产量加上B产品售价乘以B产品产量
约束条件：
@bin(x); // A产品产量为整数
@bin(y); // B产品产量为整数
10x+15y<=200; // 劳动力不超过200个单位
2x+3y<=150; // 资本不超过150个单位
x>=0; // A产品产量非负
y>=0; // B产品产量非负
在LINGO中输入以上模型，即可求解该问题。
LINDO软件求线性规划、整数规划和0-1规划
LINDO软件简介/求解线性规划问题LINDO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。
由于LINDO执行速度很快、易于方便输入、求解和分析数学规划问题。
因此在数学、科研和工业界得到广泛应用。
LINDO/GO主要用于解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题。
也可以用于一些非线性和线性方程组的求解以及代数方程求根等。
LINDO/GO中包含了一种建模语言和许多常用的数学函数（包括大量概论函数），可供使用者建立规划问题时调用。
一般用LINDO（Linear Interactive and Discrete Optimizer）解决线性规划（LP—Linear Programming）。
整数规划（IP—Integer Programming）问题。
其中LINDO 6 .1 学生版至多可求解多达300个变量和150个约束的规划问题。
其正式版（标准版）则可求解的变量和约束在1量级以上。
LINGO则用于求解非线性规划（NLP—NON—LINEAR PROGRAMMING）和二次规则（QP—QUARATIC PROGRAMING）其中LINGO ６.0学生版最多可版最多达300个变量和150个约束的规则问题，其标准版的求解能力亦在10^4量级以上。
虽然LINDO和LINGO 不能直接求解目标规划问题,但用序贯式算法可分解成一个个LINDO和LINGO能解决的规划问题。
要学好用这两个软件最好的办法就是学习他们自带的HELP文件。
下面拟举数例以说明这两个软件的最基本用法。
（例子均选自张莹《运筹学基础》）例１.（选自《运筹学基础》Ｐ５４.汽油混合问题，线性规划问题）一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数”描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述。
某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为１，２，３，４，其特性及库存量列于下表１中，将上述标准汽油适量混合，可得两种飞机汽油，某标号为１，２，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求列于表２中。
线性规划问题的软件求解
ｈ（ ＝１ ， ．１ 是常数， ｉｉ ， … １） ２ ７ （ ， ， ） Ｊ＝１ … １ 足非负变 。 ２ ７
有多种软 件可提供线性规划 问题的计算饥 求 解 ，其 中 包括 专 业 优 化 软 件 Ｌ ＮＤＯ ／ Ｉ ＬＩ Ｏ、ＷＩ ＮＧ ＮＱＳ Ｂ，具备 强大 计算功能
— 。— ．获利 元公斤
ｍａ （ ｎ ｘｍｉ）：＝Ｃ－ 十（ ： ‘ ＂ Ｉ１ ’ ＋ ‘＋ｃ ：
本 文通 过 实 例 介 绍 Ｍ Ｔ Ａ 、 Ａ Ｈ Ａ Ｉ Ｌ ＡＬＢ Ｍ ＴＭ Ｔ Ａ 、 Ｃ
广 泛 应用 丁 工农 业 、军 事 、交 通运 输 、
约 求 条 件
ＬＧ Ｉ Ｏ三 种 求 解 线 性 规 划 问题 的软 件 ， 并 Ｎ 对 三 种 求解 方 式在 操 作过 程 及使 用局 限性
２ 、ＭＡＴＨＥ ＭＡＴＩ Ａ 软 件 Ｃ
从 卜 结 粜 中不 仪 町以 得到 ２ 面 ０桶 牛
奶 牛 产 Ａ ， ３ 桶 牛 产 Ａ… 总ｆ Ｔ 为 ３６ ０ ｌ４ ｉ ／ ３０
问题简化 ：
ｊ 厂丁＿ ＋利 公 『 １－＿ 斤 Ｌ耩４ 斤 —］ ¨＿ ： ｌ ＿ 公 竺 韩 １ 元
２ ３ ４ （． ００ ０ ） ０ ００ ０． ００ ００ ０ ０ ４ ００ ００ ０． ０
４ ．０ ０ ８ ００ ０
２． ０ ０ ００ ００ ０． ０ ０ ００ ００
划 问题 ，需要 将给定 的问题 转换 为只含 有非 负变 量的 、约束 条件 中含等于 或 者小于等于 号的形式 ，并且 Ｍａｌｂ的函 ｔ ａ 数 ｌ ｐ ｏ （是 对 最 小 化 问题 ，如 果是 最 ｉ ｒｇ ） ｎ 大化 问题 求出来的最优解就会显示 负值。
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• • • • • • 软件界面 目标函数 控制条件 结束语句 附加说明 输出窗口 返回
软件界面
目标函数
例：MAX 77 X1 + 6 X2 + 3 X3 + 6 X4 + 33 X5 + 13 X6 + 110 X7 + 21 X8 + 47 X9 注： 1：MAX与表达式 2：系数与其相应的变量 返回
返回
REPORTS WINDOW
• OBJECTIVE FUNCTION VALUE • VARIABLE VALUE
返回
SAS
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返回
软件界面
返回
例题程序
data; input _id_ $14. a_light a_heavy brega naphthal naphthai heatingo jet_1 jet_2 _type_ $ _rhs_; cards; profit -175 -165 -205 0 0 0 300 300 max . naphtha_l_conv .035 .030 .045 -1 0 0 0 0 eq 0 naphtha_i_conv .100 .075 .135 0 -1 0 0 0 eq 0 heating_o_conv .390 .300 .430 0 0 -1 0 0 eq 0 recipe_1 0 0 0 0 .3 .7 -1 0 eq 0 recipe_2 0 0 0 .2 0 .8 0 -1 eq 0 available 110 165 80 . . . . . upperbd . ; proc lp; run; 返回
控制条件
例：SUBJECT TO 774 X1 + 76 X2 + 22 X3 + 42 X4 + 21 X5 + 760 X6 + 818 X7 + 62 X8 + 785 X9 <= 1000 67 X1 + 27 X2 + 794 X3 + 53 X4 + 234 X5 + 32 X6 + 792 X7 + 97 X8 + 435 X9 <= 1200 注： 1: SUBJECT TO＝ST 2:换行调制条件 返回
结束语句
END
返回
附加说明
• • • • 1：不区分大小写 2：FREE与INT的用法 3：！置于行首表示该行是注释行 4：无可行解、无界解
返回
输出窗口
• LINDO SOLVER STATUS • REPORTS WINDOW
返回
LINDO SOLVER STATUS
• STATUS • ITERATIONS • INFEASIBILITY
Problem summary
Solution summary
• Objective Value
返回
Variable summary
• Activity
返回
Constraint summary
返回
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
MATLAB
• • • • 软件界面 规范型 命令 说明
返回
软件界面
规范型
• Min c’x • St • Ax<=b
附加说明
• SAS程序分为两部分：DATA步和PROC 步 • Keywords: data、input、cards、proc、lp、 run; • $、@@、; • 无可行解、无界解 返回
日志窗口 返回
输出窗口 返回
• • • • Problem summary Solution summary Variable summary Constraint summary
• Display：＝0，1显示警告信息
返回
返回
命令
• [x,lamda,how]=lp(c,A,b,vlb,vub,x0,neqcstr, display)
返回
说明
• • • • • • • • • • X：解向量 Lamda：拉格朗日乘子 How：＝unbounded,infeasible,dependent,ok C：系数向量 A：控制条件系数矩阵 B：控制条件表达式上界向量 Vlb：解向量的下界 Vub：解向量的上界 X0：解向量的初始值 Neqcstr：等式的个数