量子力学中的力学量 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”Ⅵ . 算符的共同本征函数

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《量子力学》复习资料提纲

)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述（2）波函数具有什么样的特性（3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性）第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性）第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋）第七章三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。

四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。

五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。

第一章绪论1、德布洛意假设：德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射：附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。

2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。

量子力学第三章

2 2a 4a
3
二、动量算符
动量算符是 i ，它的本征函数用（r ）表示 p
本征方程为
i（r ） p （r ） p
它的三个分量方程为 i （r ） px（r ） p x i （r ） p y（r ） p y i （r ） pz（r ） p z
ˆ 有确定值，这个确定值就是 H 的本征值。
ˆ 的本征函数（r ）当体系处于 P 所描写的状态时，体系 P ˆ 的本征值。的动量有确定值，这个确定值就是 P
ˆ 当体系处于 F 的本征函数所描写的状态时，它表示的 ˆ 力学量F 有确定值，这个确定值就是 F 的本征值。
表示力学量的算符的本征值必须是实数。五、算符的一般性质和运算 1、两个算符的和设
ˆ 符 F 就可以由其经典表示式 F（P，r ）将动量 P 换成
例如，确定角动量 L 的算符， r P L
ˆ L r i） ir （
四、算符与它所表示的力学量的关系
ˆ H E 当体系处于所描写的状态时，体系的能量有确定值 E ˆ 当体系处于 H 的本征函数所描写的状态时，体系的能量
m
Pl （cos）是一个缔和勒让德多项式
m
1 m 2 2 d Pl （） l （） 1 （ 2 1 l ） l m 2 l！ d
m
l m
N lm 是归一化常数,可以通过归一化条件求出,即

0

2
0
Y（，）Y（，） dd 1 sin
Nlm
（l m） 2l 1 ！（）（l m） 4 ！
u
ˆ ˆ ˆ ˆ 是任意函数，如果 Fu Gu Mu ，算符 M 称为

量子力学讲义4-2(最新版)

ψ = ∑Cnϕn + ∫ Cλϕλ dλ
n
(36)
2
< A >= ∑ f n Cn + ∫ fλ Cλ d λ
2 n
(37)
∑C
n
2 n
+ ∫ Cλ d λ = 1
2
(38)
而封闭性关系此时可表为
* * ϕn (r )ϕn (r ' ) + ∫ ϕλ (r ' )ϕλ (r )d λ = δ (r − r ' ) ∑ n
*
(27) (28)
对完备系 {ϕn (r )} 有
ψ (r ) = ∑Cnϕn = ∑< ϕn ,ψ > ϕn
n n
* = ∑[∫ϕn (r ' )ψ (r ' )dr ' ]ϕn (r ) n ' * = ∫ dr ψ (r ' )[∑ϕn (r ' )ϕn (r )] n ' = ∫ dr ψ (r ' )δ (r − r ' )
λ 2 即 lˆ 2 的本征值, 需由本征方程确定, 其中
(17)
代入 Y (θ,ϕ) = Θ(θ )ψ (ϕ) , 方程左右乘可得
2
sin 2 θ (− ), Θψ
sinθ d dΘ 1 dψ 2 2 ≡ µ (18) (sinθ ) + λ sin θ = − 2 dθ Θ dθ ψ dϕ
其中左边仅与 θ 有关,右方仅与 ϕ有关, 故 2 恒等于一常数 µ ,从而可分离成两个方程:
就可得出
1 ˆ ˆ ( ∆ A) ⋅ ( ∆ B ) ≥ [ A, B ] 2
2 2
(9)
(10)

曾谨言量子力学第3章

ˆ O ˆ iO ˆ O 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 令 O (O O ), O (O O ) 2 2i
即
则O+和O-均是厄米算符。
定理：在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。证明：
ˆ ( , A ˆ ) ( A ˆ , ) ( , A ˆ ) A ˆ A
ˆ A ˆ A
(41)
Note: 所有力学量的算符均是厄米算符性质： (1) 两个厄米算符之和仍是厄米算符 (2)两个厄米算符之积不一定是厄米算符 (3)无论厄米算符A,B是否对易，算符
1 ˆ ˆ ˆˆ 1 ˆ ˆ ˆˆ ( AB BA), ( AB BA) 均是厄米算符 2 2i
（4）任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合
球坐标系下的角动量算符 r x 2 y 2 z 2 x r sin θ cosφ 2 2 y r sin θ sin φ , θ arctan( x y / z ) z r cosθ φ arctan(y / x ) ˆ l x i sin φ θ cotθ cosφ φ ˆ l y i cosφ θ cotθ sin φ φ ˆ l z i φ 2 1 1 ˆ2 2 l sin θ θ sin θ θ sin 2 θ φ 2
如算符A 则
ˆ ˆ p (i) i p
的厄米共轭算符A+定义为

ˆ φ ) ( A ˆ ψ ,φ ) (ψ , A

(41)
~ ˆ φ ) (A ˆ ψ , φ ) (φ , A ˆ ψ ) (φ , A ˆ ψ ) (ψ , A ˆ φ) (ψ , A

量子力学第3章-2(第9讲)

第3章力学量用算符表达
§3.1 算符的运算规则 §3.2 厄米算符的本征值与本征函数 §3.3 共同本征函数 §3.4 连续谱本征函数的归一化
§3.2 厄米算符的本征值与本征函数
定理1: 厄米算符的本征值必为实数
^
证：设 Q 为厄米算符，其本征方程
^
Q
^
^
* Qd (Q )*d
*d * *d
例
几种常见厄米算符的本征函数和本征值
动量算符、角动量算符、动能算符、哈密顿算符
1.动量算符
1.动量本征方程
i
p
(r
)
p
p
(r
)
i i i
x
p
(
r
)
y
p
(
r
)
z
p
(
r
)
p x
p
(
r
)
p y
p
(r
)
p z
p
(
r
)
I. 求解
采用分离变量法，令：
p
(
r
)
( x )
r
x
sin
cos
r
y
sin
sin
r
z
cos
x
1 cos cos
r
y
1 cos sin
r
z
1 sin
r
x
r
r
x
x
x
y
r
r y
y
y
z
r
r
z
z
z
将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得：
x

第三章量子力学中的力学量

第三章量子力学中的力学量[教学目的]：力学量算符的性质，力学量算符的本征值与本征函数，力学量算符本征函数的性质，常见算符的本征函数，算符的对易关系，氢原子的能级与波函数，算符随时间的变化。

由于微观粒子的波粒二象性，微观粒子的力学量与经典力学中的力学量不同，经典力学中的力学量有确定的值，而微观粒子的力学量不一定有确定的值，表示微观粒子的力学量也不同于经典力学，量子力学中的力学量需用算符表示。

第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。

用表示一算符。

二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：,,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。

二单位算符保持波函数不改变的算符三算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。

四算符之积定义: 算符与的积为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。

五逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。

，六算符的复共轭，转置，厄密共轭1．两个任意波函数与的标积2．复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节力学量算符的本征值与本征函数一厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。

第三章量子力学中的力学量3

下面为正交性给一个标准的数学定义正交性满足如下关系式：如果两个函数 ψ , φ 满足如下关系式：
∫
∞
−∞
ψ * ( x ) φ ( x ) dx = 0
则我们称两个函数相互正交。则我们称两个函数相互正交。相互正交注意：以上积分是对自变量x变化的所有区域进行积分。注意：以上积分是对自变量x变化的所有区域进行积分。这里为了简便，我们只举了一维的例子。三维与此类似（了简便，我们只举了一维的例子。三维与此类似（积分区域是 x,y,z变化的所有区域如果是球坐标，变化的所有区域。 x,y,z变化的所有区域。如果是球坐标，则为 r , θ , ϕ 变化的所有区域）。此外这里的自变量泛指任意变量，不只局限与坐标有区域）。此外这里的自变量泛指任意变量，）。此外这里的自变量泛指任意变量变量。变量。 ∞ ∞ ∞ *
ψnj = ∑ Ajiφni
i =1
f
j = 1,2,L, f
ˆ 的本征函数，这些新函数仍然是 F 的本征函数，本征值仍然是 λn ，并且彼此满足正交归一关系：满足正交归一关系：
* * ψ njψ nj′dτ = ∑∑ A* Aj′i′ ∫φniφni′dτ = δ jj′ ji ∫ i =1 i′=1 f f
r r
δ 函数有一个重要的性质：函数有一个重要的性质：
* r r'
r r r r r r ∫ δ ( r − r ') δ ( r − r '')dτ = δ ( r '− r '')
则
r r r r ∫ψ ( r )ψ rr '' ( r ) dτ = δ ( r '− r '')

量子力学3

量子力学3第三章力学量算符§3.1 算符及其运算规则§3.2 厄米算符及其性质§3.3 连续谱本征函数的归一化§3.4 力学量算符随时间演化§3.5 守恒量与对称性§3.6 全同粒子体系§3.1 算符及其运算规则一、算符的基本运算规则二、算符的函数三、对易关系和对易子四、厄米算符和幺正算符五、量子力学向经典力学的过渡六、角动量算符一、算符的基本运算规则一、算符的基本运算规则量子力学第二公设—算符公设1）线性算符：A ( c1ψ 1 + c 2ψ 2 ) = c1 A ψ 1 + c 2 A ψ 2二、算符的函数二、算符的函数例子一般地，算符的函数可以表为? ? f ( A) = ∑ cn A nn2）单位算符：I?ψ = ψ3）算符之和：( A + B )ψ = A ψ + B ψ ?? ? ? 4）算符之积： ( A B )ψ = A ( B ψ )一个常用的公式：eA = ∑∞ n=0An n!其它的例子例题：若G为算符，t为参数，证明：Gt e = Ge Gt ?t算符之积满足结合律，但不满足交换律（不对易）。

5）算符之逆： A A ?1 = A ?1 A = I?三、对易关系与对易子三、对易关系与对易子对易子的定义： [ A, B ] = A B ? B A例：坐标与动量的对易关系。

解：考虑x p xψ = ? ih x ? p x xψ = ? ih ? ψ ?x对易关系的几个恒等式： [ A, B ] = ?[ B , A ][ A, B + C ] = [ A, B ] + [ A, C ] [ A, BC ] = B[ A, C ] + [ A, B ]C [ AB , C ] = A[ B , C ] + [ A, C ] B [ A, [ B , C ]] + [ B , [C , A ]] + [C , [ A, B ]] = 0(Jacobi恒等式)( xψ ) = ? ih ψ ? ih x ψ ?x ?xx p xψ ? p x x ψ = ih ψ ? [ x , p x ] = ih这样，对任意波函数，均有所以类似可证： [ y , p y ] = ih但[ z , p z ] = ih[ x , p y ] = [ x , p z ] = [ y , p x ] = ...... = 0 ? [ xα , p β ] = ih δ αβ综合式四、厄米算符和幺正算符四、厄米算符和幺正算符进一步的例算1、计算对易子： [ f ( x ), p x ] = ?2、设λ是一个小量，算符 A 之逆 A ?1 存在，求证：~ ? ? 1）算符的转置：∫ ψ * A ? d τ = ∫ ? A ψ * d τ~ ? ? 即(ψ , A ? ) = (? * , A ψ * )注意算符乘积的转置用法 ?* ? * * 2）算符的复共轭：A ψ = ( A ψ )+ ? 3）算符的厄米共轭：(ψ , A ? ) = ( A ψ , ? ) ~ ? ? ? ? 由 ( A ψ , ? ) = (? , A ψ ) * = (? * , A *ψ * ) = (ψ , A *? )~ ? ? 可得 A + = A *( A ? λ B ) ?1 = A ?1 + λ A ?1 B A ?1 + λ 2 A ?1 B A ?1 B A ?1 + ...3、算符A与B不对易，但它们的对易子C与B对易，求证：[ A, B n ] = nCB n ?1 , [ A, f ( B )] = C f ' ( B ), [ A, e B ] = Ce B 算符乘积的厄米共轭4）厄米算符：若算符A满足 A + = A ，则A称为厄米算符。

量子力学中算符及其本征函数

论文题目：ˆL算符及其本征函数量子力学中2（理工类）ˆL算符及其本征函数1量子力学中2摘要角动量算符是量子力学中一个很重要的力学量，本论文分别对2ˆL的定义、意义、性质以及作用做了阐述，给出了2ˆL算符在球坐标系中的表示式，并用经典坐标变换以及对易关系进行了推导，2ˆL是描述旋转运动及原子分子状态的一个重要的物理量，因此对2ˆL 的研究将有助于理解量子力学中的诸多问题。

本论文将采取理论分析，并结合数学推导的方法，在掌握大量材料的基础上，作出自己的见解，把理论模型建立在合理的体系上，立足实际情况对它们进行深入的分析和研究。

关键词角动量算符；空间转子；角量子数；自旋The 2ˆL in the Quantum Mechanics and Its EigenfunctionAbstractAngular momentum operator is a very important mechanics in quantum mechanics ,this paper definite the definition, significance, as well as the nature of the2ˆL operator , and gives the expression of 2ˆL operator in spherical coordinates .And according with classic and easy to transform the relationship between the derivation. The 2ˆL operator is a very important mechanics which describe rotary movement and the state of Atomic and Molecular, so it will help to understand lots of questions of quantum mechanics. This paper will take theoretical analysis, and mathematical derivation of the method, the availability of large on the basis of material to make their own opinion, the theoretical model based on a reasonable system, based on the actual situation on their conduct in-depth analysis and research.Keywordsangular momentum operator；Spatial rotor；Azimuthal quantum number；Spinning1作者简介：王慧1986年10月出生，女汉族河南兰考人，郑州大学物理工程学院凝聚态物理专业硕士研究生一年级，主要研究方向为陶瓷功能材料。

量子力学中算符及其本征函数

量子力学中的力学量Ⅰ.力学量算符的性质Ⅱ. 厄米算符的本征值和本征函数Ⅲ. 连续谱本征函数的归一化

实际上
i(x
y
y
x
),
r
i 2xy 2yx 0 2r 2r
[Lˆ z ,r]
i
,r
0
另外，对易关系与表象选择无关
如 [x,pˆ nx ]
n1
pˆ sx[x,pˆ x ]pˆ nxs1 inpˆ nx1 S0
[x,
pˆ nx
]
[
C. 算符的厄米性（Hermiticity） 1. 算符复共轭：若对任一波函数有
[Lˆ i , Lˆ j] iijkLˆ k
ijk 称为Levi-Civita符号，取值(1)ijk。ijk
为从123→ijk的对换数。如123→312的对换数 2
用上述关系可证：
Lˆ r r Lˆ 2ir Lˆ pˆ pˆ Lˆ 2ipˆ
对易关系是与坐标选择无关例：
[Lˆ z ,r]
要使“涨落”为零，即测量值只取确定值，则要求
A (,(Aˆ Aˆ )2 ) (, Aˆ 2)
((Aˆ Aˆ ), (Aˆ Aˆ ))
2
Aˆ Aˆ ) dr
0
(Aˆ Aˆ ) 0
令这一特殊状态为 u n
Aˆ un Anun 我们称上述方程为算符的本征方程。
显然，仅当体系处于本征态所描述的状态时，测量值才是唯一的，即为相应的本征值（这时“涨落”为零）。
2
(i
0
d d
1
())*
2
()d
(1*(2)2(2) 1*(0)2 (0)) 0
如 1, 2 是本征解，则有
(lz2
l1z
)
2
2m
即
(l
z 2
l1z

高中物理竞赛量子力学第8讲测不准关系的严格证明

x x x x
8
二、连续谱本征函数的归一化与δ 函数（5）
4、连续谱本征函数的归一化困难
, p x px 无论动量( px , px ) （p x px ) x p 0, p , x x 还是坐标( x , x ) （x x) 0, x x 都没有严格地解决归一化的问题。这就是量子力学中连续谱波函数的归一化困难。解决的方式有 1、分布理论， A. Megsiah, QuantumMechanics 2、葙归一化方法，曾谨言，量子力学，上册科学出版社， 1984
7
二、连续谱本征函数的归一与δ 函数（4）
3、连续谱本征函数的归一化(2)
x ( x) 0,( x x) ( x x) 0 x ( x x) x ( x x)
已证明， x ( x) （x x) 为坐标算符的本征态，x 为本征值。做积分
所以称
p 为连续谱本征函数：
x
不能用一般的方式进行归一化
3
一、连续谱本征函数（2）
2、一维自由粒子的能量本征态
2 2 2 ˆ p ˆ z H 一维自由粒子的哈密顿量算符为： 2 2m 2m x 2 2 能量本征方程为： E 2 2m x
ikx 2 2 E k / 2m 0, k 2mE / 0 ( x ) Ce , 解为： E
（ x , x ) x dx ( x x) ( x x)dx
* x

(a b) ( x a) ( x b)dx

（ x , x ) ( x x) 0

3.4 连续谱本征函数的“归一化”

量子力学教程(第二版) 3.4.1 连续谱本征函数是不能归一化的
在量子力学中, 坐标和动量的取值是连续变化的; 角动量的取值是离散的; 而能量的取值则视边条件而定. 例如一维粒子的动量本征值为 p 的本征函数(平面波)为
p x Ceipx / p 可以取 , 中连续变化的一切实数值.
自然界中实际的物理体系的 H 的本征值都有下界. 因此, 体系的任何态总可以用包含 H 在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开.
在 H 不显含 t 的情况下,这种力学量完全集称为守恒量完全集. 在量子力学中, 找寻体系的守恒量完全集是一个极重要的问题.
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
此时, 与 pn 相应的动量本征态取为
1 ipn x / 1 i2 nx / L pn x e e L L
利用正交归一化条件

L/2
L/ 2
dx * pn x pm x δnm
n
利用这一组正交归一完备的函数 p x ,可以构成如下 δ 函数: 1 ipn x x / 1 i2 n x x / L δ x x e e L n L n
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
最后, 当 L 时
px , py , pz 将连续变化
h / L dpxdpy dpz
3 3
而
L3 3 h n ,l , m

d px dp y dpz
1 δ r r 3 h
上式表明, 相空间一个体积元

f x δ x x0 dx f x0

连续谱本征函数是不能归一化的-

p
x2dxC2

dx

3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
在上例中, p 是不能归一化的. 连续谱的本征函数是不能归一化的.
当然,任何真实的波函数都不会是严格的平面波, 而是某种形式的波包. 它只在空间某有限区域不为零.
δx x 1 d p e ip x x / 1 d k e ik x x
2 π
2 π
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
结论
在处理具体问题时,如要避免计算过程中出现的平面
波“归一化”困难, 则可以用箱归一化波函数 pn x
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版) 3.4.3 箱归一化
平面波的“归一化”问题, 还可以采用数学上传统的做法
即先让粒子局限于有限空间 L/2,L/2 中运动 (最
后才让 L ).
此时, 为了保证动量算符
pˆ x i
x
为厄米算符,就要
求波函数满足周期性边条件.
可以看出
只要 L , 动量的可能取值 p pn 就是不连续的.
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
此时, 与 p n 相应的动量本征态取为
pn
x1eipnx/ L
1ei2nx/L L
利用正交归一化条件
dx x L/2
在量子态之下, 力学量 A 的平均值由下式确定,
A,Aˆ
力学量之间的关系通过相应的算符之间的关系反映出来. 例如两个力学量 A 与 B 可以同时具有确定的观测值的必要条件, 在一般情况下,为 Aˆ , Bˆ 0. 反同之时测, 若定. Aˆ, Bˆ 0,则一般说来, 力学量 A 与 B 不能

第一讲算符及其本征值与本征函数

ˆ
ˆ
• A：泊松括号：
• •
ˆ, B ˆB ˆ ˆ] A ˆ B ˆA [A
ˆ, B ˆ 与B ˆ ] 0，则 ˆ 对易，若 [ A A B：
ˆ ，B ˆ ，B ˆ 0，则 ˆ 不对易。若A A

补充说明
• 算符相加满足交换律、结合律：
• • • •
ˆB ˆ, A ˆB ˆA ˆ B ˆ ˆB ˆA ˆ C ˆ C A
E
• 也就是等式左边的符号作用于波函数的结果等效于右边的能量作用于波函数的结果。 • 对于定态的薛定谔方程，当势能不显含时间t，可以认为E=H=T+U，恰好是经典力学中的哈密顿量。
在量子力学中出现的力学量，都有与该力学量运算效果上等效的算符。因此通过对比，我们可以归纳出下列的几个等效关系：
d ˆx p i dx

d d d x px px x x x x ( x ) i i dx i dx i dx

y, p y i
z, p z i
• 类似有： x, p 0 y • 一般写成： •
简并度
• 不同的算符一般有不同的本征函数系和本征值谱，因为算符不同，本征方程的数学形式不同，因而方程解的函数形式不同。 ˆ 的某一本征 ˆ 的本征方程时，可能得出 A • 当解 A 值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量的值都是一样的。即：
ˆ ˆ GF 。
• 六、厄米算符：
ˆ d ( F ˆ ) d ，其中ψ 、φ 是 ˆ A ˆ ，即 * F 若 A

第四章量子力学中的力学量-2

1. ψnj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。
f 为此只需证明线性 ψ nj = A jiφ ni j = 1,2, L , f 叠加系数 Aji 的个 i =1 数 f 2 大于或等于正交归一条件方程方程的归一化条件有 f 个，正交条个数即可。件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方则必有：
∫ (Fφ
1. 分立谱正交归一条件分别为： 3. 正交归一系
m
) *φn dτ = ∫ φm * Fφn dτ = Fn ∫ φm *φn dτ
2. 连续谱正交归一条件表示为：
∫φ
m
* φ n dτ = 0
[证毕]
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
d τψ * F ψ
逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符。证：
根据假定在任意态下有：
F =F*
即
=F*
∫ dτψ * Fψ = ∫ dτ (Fψ ) *ψ
取ψ=ψ1+cψ2 ，其中 ψ1 、ψ2 也是任意态的波函数，c 是任意常数。
式左 = ∫ dτψ * Fψ = ∫ dτ (ψ 1 + cψ 2 ) * F (ψ 1 + cψ 2 ) = ∫ dτψ 1 * Fψ 1 + | c |2 ∫ dτψ 2 * Fψ 2 + c * ∫ dτψ 2 * Fψ 1 + c∫ dτψ1 * Fψ 2
(1) 力学量算符本征函数组成完备系 1. 函数的完备性
有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函数展开:
ψ ( x) = ∑ cnφn ( x)
n

量子力学 3.4

ak 2 1
k ,k
k ,k
k
14
（1）离散谱情形
Aˆk Akk
ak k
k
ak ( k , ),
ak 2 1
k
ak 2
表示在态中测量A得到 Ak 值的概率
（2）连续谱情形
Aˆ
a ( x)d
2
a ( , ), a d 1
a 2 d 表示在态中测量A得到
值为 d的概率 15
( x x)
n
(
x)
n
(
x
)
n
( x x) 1
e ipn ( x x) /
1
e i 2 n( x x)/ L
L n
L n
pn pn1 pn (h / L) L 0
h / L dp 由分立到连续
2n
h
pn
n
L n
dp
L
dp
n
h
pn ( x)
pn L
px ( x)
1
2
e ipx x /
p(r )
1 3 eipr /
(2 ) 2
( px , px ) ( px px )
( p , p ) ( p p) 5
（4）坐标算符的本征函数及其“归一化”
由函数的性质：
( x x) ( x x) 0
即： x ( x x) x ( x x)
3
(2) 函数的傅立叶积分形式对于分段连续函数 f ( x)，其傅立叶积分形式为
f ( x) 1 f (k )eikxdk
2
其中
f (k ) 1 f ( x)eikxdx
2
(x

共同本征函数

§4.3 共同本征函数 1、测不准关系的严格证明在算符Aˆ的本征态中测量力学量A ，可以得到确定值，并不出现涨落。

如果测量B ，则不一定能得到确定值。

例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定≥∆⋅∆p x对于比较普遍的情况，设有Aˆ，B ˆ两个力学量，令A A A -=∆ˆˆ，B B B -=∆ˆˆ，（注意在经典力学中A A A -=∆）因为Aˆ，B ˆ是厄米算符，所以A ˆ∆，B ˆ∆也是厄米算符。

考虑积分⎰≥∆-∆=0d |)ˆˆ(|)(2τψξξB i AI ，ξ为实数，积分区间取为整个空间。

展开上式，有⎰⎰⎰⎰∆∆+∆∆-∆∆-∆∆=∆-∆∆-∆=τψψτψψψψξτψψξτψψξψψξξd )ˆ(ˆd ]ˆ)ˆ()ˆ(ˆ[d ˆ(ˆ(d ]ˆˆ[ˆˆ()(****2**BB B A A B i A A B i A B i A I ）（）（）（）））（）（）因为Aˆ∆，B ˆ∆均是厄米算符，所以有 ⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（BA B B A i A I （利用了厄米性）而A B B A A A B B B B A A A B B Aˆˆˆˆ)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(ˆˆˆˆ-=-----=∆∆-∆∆ 对⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I ，则 0ˆ)ˆˆˆˆ()ˆ()(222≥∆+--∆=）（B A B B A i A I ξξξ令K i A B B Aˆˆˆˆˆ=-，则 0ˆˆ)ˆ(222≥∆++∆）（B K A ξξ这是有关实参数的一元二次方程。

其有解的条件可由判别式给出，即4)ˆ()ˆ(222K B A≥∆∆，简记为2||ˆˆK B A ≥∆⋅∆，或|]ˆˆ[|21ˆˆB A B A ，≥∆⋅∆ 这就是测不准关系。

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m
2. 本征函数的封闭性也可看作 (x)
函数按本征函数展开，而展开系数恰为本
征函数的复共轭。
(x x) cxnn (x)
n
c
x n
*n (x)(x x)dx *n (x)
(x x) n (x)*n (x)
n
Ⅳ . 算符的共同本征函数一次测量有一“涨落”
A Aˆ 2 (,Aˆ 2) (,(Aˆ Aˆ )2)
是不对的。仅当 a2 0 才成立。
3. 函数的导数函数具有任何级的导数，可以证明
(n)(x x0 )f (x)dx (1)nf (n)(x0 )
(m) (x) (1)m (m) (x)
(m) (y x)(n) (x a)dx (mn) (y a)
x(n) (x) n(n1) (x)
Ⅵ . 算符的共同本征函数 A. 算符“涨落”之间的关系 B. 算符的共同本征函数组
B. 函数 1. 函数的定义和表示函数不是一般意义下的函数，而
是一分布。但习惯上仍将它看作一函数。
其重要性和意义在积分中体现出来它可用一函数的极限来定义
（1）
(x)
0
x0 x0
（2）
b
a
f
(x)(x
第十讲回顾
第四章量子力学中的力学量 Ⅰ. 表示力学量算符的性质
D. 厄米算符 E. 厄米算符的性质 Ⅱ. 厄米算符的本征值和本征函数 A. 算符的本征方程
B. 力学量算符的本征值和本征函数性质
C. 测量结果的概率 D. 直接可观测的力学量的本征函数
构成一完备组。 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
cnn
n
Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
A. 连续谱本征函数“归一化”
◉ 连续谱“归一化”的本征函数
应满足
( , ) ( )
而
0 (x x0 )
x x0 0 x x0 0
b
a
f
(x)(x
x0 )dx
f
(x0 ) 0
a x0 b (a,b) x0
“正交归一”的动量本征函数为
,
3
2
-
1
1, 2 1, 1
,
2
-
1
1, 2 1, 1
0
得
2
,
2
2 , 1
1, 2 1, 1
1, 2 * 1, 1
1 ,
2
1 , 1
2 * , 1
1, 2 1, 1
1
,
1
0
从而证得：
(1, 1) 2, 2 2, 12
2. 算符“涨落”之间的关系－不确定关系：
Aˆ 2 Bˆ 2 1 *[Aˆ , Bˆ ]dx 2 4
定值，则体系处于 un ，它满足方程
Aˆ un Anun
称上述方程为算符的本征方程
量子力学第三个基本假设：在量子力学中，一个直接可观测的力学量，对应于一
个线性厄米算符 Aˆ ；当对体系进行该力学
量的测量时，一切可能测得值，只能是算符的本征方程的本征值。
例轨道角动量在 z 方向分量 Lˆ Z 的本征值和本征函数。
显然
1 eizx
U(x) 2i c z dz
(x) U(x) 1 eizxdz 2 c
1 eikxdk
2
下面给出另一些 δ 表示式（作为函数参量极限）
c
δ
(x)
1 π
lim
α 0
x2
α α
2
1 lim sin Lx L x
lim eix 2 i
lim 1 ex 2 0
mxm(m1) (x) xm1(m) (x) 0
xm1(m)(x) 0
例：求 xu(x) (x) 之解因 x(x) (x) , 所以特解是 (x)
而相应齐次方程是
xu(x) 0
有解 (x) 。从而得通解
u(x) (x) c(x)
事实上
xu(x) (x) u(x) (x) c(x)
)dx
2
0
x
lim
0
(x2
)2
2 dx
1
lim
0 0
(x2
)2
2dx 2
1
lim
0
y2
2 dy
1
lim ( arctan )
0 2
1
x
(x 2
)dx
1
2 0
所以，
(x)
x
(x
2
)
1 2
(x)
0
0 0 0
0 0 0
这表明，无条件地给出等式
x (x2 ) (x)
两个算符，在一个态中，一般都有涨落，Aˆ 2 ，Bˆ 2 不同时为零。在什么条件
下，Aˆ ，Bˆ 有共同本征函数组
A. 算符“涨落”之间的关系 1. Schwartz不等式
如果 1 , 2 是任意两个平方可积的
波函数，则
1, 12, 2 1, 2 2
证：令
3
2
-
1
1, 2 1, 1
而
3
(x) cnun (x) cn u*n (x)(x)dx
n
u
已归一化
n
所以
(x)
n
un
(x)u*n
(x)(x)dx
由此可见，
un(x)u*n(x) (x x)
n
上述表示式称为本征函数的封闭性，
它表明本征函数组可构成一函数
例1 Lˆ z 的本征函数
m
1 eim 2
m 0,1,2,3
1 [(, Aˆ Bˆ ) (, Bˆ Aˆ )]
2i
1 ,[Aˆ , Bˆ ] 2
(, Aˆ ) (Aˆ †, ) (Aˆ , ) (, Aˆ )*
3. 在任何状态下，平均值为实的线性算符必为厄米算符。
(, Aˆ ) (, Aˆ )* (Aˆ , )
显然，若 Aˆ 是厄米算符，则
Aˆ 2 0
Ⅱ.厄米算符的本征值和本征函数 A. 算符的本征方程要使“涨落”为零，即测量值只取确
xm1(m) (x) 0
x(x) 0 x(x) (x)
假设 x(n1) (x) (n 1)(n2) (x)
(n1)(x) x(n)(x) (n 1)(n1)(x)
xn (x) n(n1) (x)
x(x) 0
假设 xm(m1) (x) 0
mxm1(m1) (x) xm(m) (x) 0
m ()
1 eim 2
lz m
m 0, 1, 2
要求 Lˆ Z 是厄米算符（保证本征值为实
数）
lz
1 , 3 , 5 , 2 2 2
0, 1, 2, 3,
B. 力学量算符的本征值和本征函数性质 1. 力学量的每一可取值都是实数（即本征值）；
2. 相应不同本征值的本征函数是正交的
2. 函数的性质下面给出函数的性质，是表示当
它们在积分中出现时，左边表示可被右边表示代替
(x) (x)
(ax) 1 (x) a
x(x) 0
b
f (x)(x a)dx f (a) b b
f (x)(x a)dx f (a) b
b,b a
b0
b
f (x)x(x)dx f (0) 0 0 b
x1
))
例
(x2 a2 )
1
(x a)
1
(x a)
(x2 a2 )
(x2 a2 )
xa
xa
1 (x a) 1 (x a)
2a
2a
1 (x a) (x a)
2x
于是有推论
x (x2 ) (x)
但是由
x (x2 )dx
0
x(x2 )dx x(x2 )dx
0
i[Aˆ , Bˆ ] A B
2
证明：如令
1 (Aˆ A) 2 (Bˆ B)
1,2 2
1 2i
1,
2
2
, 1
2
1 2i
(Aˆ A), (Bˆ B)
(Bˆ B), (Aˆ A)
2
1 2i
, (Aˆ A)(Bˆ B)
, (Bˆ B)(Aˆ A)
2
＝ 1 , Aˆ Bˆ Aˆ B ABˆ AB , Bˆ Aˆ BAˆ Bˆ A BA 2i
k(x)
1 eikx 2
或
px (x)
1 eipxx 2
“正交归一”的坐标本征函数
x(x) (x x)
◉ 任一波函数可按其展开
(x) cd
c 2 d 为测量 ˆ 取值在区域 d
中的概率
4.4 4.5 4.9 4.14
第十一讲
Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化” B. 函数 C. 本征函数的封闭性
的态必可表为
c11 c22 c33
所以，在一体系中（以描述），
测量力学量 Aˆ ，取值 An的概率幅为
Ci
(
ci cj 2 )1
2
(n , ) (n ,n )1 2(,)1
2
j
D. 直接可观测的力学量的本征函数构成一完备组。
如 n 是力学量 Aˆ 的本征函数组，则任一波函数可以以 n 表示
推论：如有方程 A B ，则
A B c(x) xx
例 x d ln x 1, 所以， dx
d ln x 1 c(x)
dx
x
由于
b
d dx
ln
xdx
ln
b
ln
a
a
b
1 x
dx

量子力学中的力学量 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”Ⅵ . 算符的共同本征函数

《量子力学》复习资料提纲

量子力学 第三章

量子力学讲义4-2(最新版)

曾谨言量子力学第3章

量子力学 第3章-2(第9讲)

第三章 量子力学中的力学量

第三章量子力学中的力学量3

量子力学3

量子力学中 算符及其本征函数

量子力学中 算符及其本征函数

量子力学中的力学量Ⅰ.力学量算符的性质Ⅱ. 厄米算符的本征值和本征函数Ⅲ. 连续谱本征函数的归一化

高中物理竞赛量子力学第8讲 测不准关系的严格证明

3.4 连续谱本征函数的“归一化”

连续谱本征函数是不能归一化的-

第一讲算符及其本征值与本征函数

第四章 量子力学中的力学量-2

量 子 力 学 3.4

共同本征函数

量子力学第三章

量子力学第3章-2(第9讲)

第三章量子力学中的力学量

量子力学中算符及其本征函数

量子力学中算符及其本征函数

高中物理竞赛量子力学第8讲测不准关系的严格证明

第四章量子力学中的力学量-2

量子力学 3.4