第三章 力学量和算符

第三章 力学量和算符

内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。用波函数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。

§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则

§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数

§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称

在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。 力学量的平均值

对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2

(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:

()2

*(,)

(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞

∞

-∞

-∞

=

=⎰⎰

坐标r 的函数()f r 的平均值是：

()()()*

(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞

-∞

=⎰

现在讨论动量的平均值。显然，P 的平均值P 不能简单的写成

2(,)P r t Pdr ψ∞

-∞

=

⎰，因为2

(,)r t dr ψ只表示在 r r dr →+中的概率而不代表在

P P dP →+中找到粒子的概率。要计算P ，应该先找到在t 时刻，在P P dP →+中找

到粒子的概率2

(,)C P t dP ，这相当于对(,)r t ψ作傅里叶变化，而(,)C r t 有公式 给出。动量p 的平均值可表示为

但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从(,)r t ψ

计算动量平均值的方法。由（3.1.4）式得 利用公式 可以得到

记动量算符为 ˆp

i =-∇ 则

()*

ˆ(,)(,) 3.1.9p r t p

r t dr ψ

ψ∞

-∞

=

⎰ 从而有 ()()()*

ˆ(,)(,) 3.1.10f p r t f p

r t dr ψψ∞

-∞

=⎰ 例如：动能的平均值是 角动量L 的平均值是

()()*

3.1.12L r p r i dr ψψ∞

-∞

⎡⎤=⨯=

⨯-∇⎣⎦⎰

综上所述，我们得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。

下面我们来介绍动量算符的物理意义。为简单考虑一维运动，设量子体系沿x 方向做一空间平移a ，这是状态由原ψ变为ψ'，如图所示。

显然 ()x a ψψ'=- （3.1.13） 若1a <<，可做泰勒展开

()()()()2

22

2

2

2

()()()()2! 1()2! ()

d

a dx

a d

d x x a x x dx dx

a d d a x dx dx e

x ψψψψψψ--'=+-+⋅⋅⋅⎡⎤-=+-++⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦= （3.1.14）

即当a 在无穷小的情况下，取准确到一级项有 ()()ˆ1x i

x p a x ψψ⎛⎫

'=-

⎪⎝

⎭

（3.1.15） 因此，状态()x ψ经空间平移后变成另一态()x ψ'，它等于某个变量算作用于原来态上的结果，而该变换算符可由动量算符来表达ˆx i p

a e

-，特别在无穷小移动的情况下，动量算符纯粹

反映着空间平移的特性，所以动量算符又称为空间平移无穷小算符，动量反映着坐标变化（平移）的趋势或能力。推广到三维运动，状态()r ψ在空间平移a 下，变为

()()()ˆˆ1i

r r a p

a r ψψψ⎛⎫'=-=-

⋅ ⎪⎝

⎭

（3.1.16） § 3.2 算符的运算规则 3.2.1 算符的定义 所谓算符，是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。若某种运算把函数μ

变为v ，记作则表示这种运算的符号ˆF

就称为算符。 如果算符ˆF

作用于一个函数ψ，结果等于乘上一个常数λ，记为 ˆF

ψλψ= （3.2.1） 则λ为ˆF

的本征值，为ˆF 的本征函数，上述方程称为ˆF 的本征方程。 若算符满足： []1212ˆˆˆF c c c F c F ψψψψ+=+ （3.2.2）

其中1ψ、2ψ为任意函数，1c 、2c 为常数，则ˆF

称为线性算符若算符满足 ˆI ψψ= （3.2.3） ψ为任意函数，则称ˆI 为单位算符。

3.2.2 算符的运算规则

算符之和

()ˆˆˆˆA

B A B ψψψ+=+ （3.2.4）

ψ 为任意波函数。显然，算符之和满足交换率和结合律

ˆˆˆˆA

B B A +=+ ()()

ˆˆˆˆˆˆA

B C A B C ++=++ 显然，线性算符之和仍为线性算符。

算符之积

()()ˆˆˆˆAB

A B ψψ= （3.2.5）

注：一般情形

ˆˆˆˆAB BA ≠ （3.2.6） 比方，取ˆA

x =，ˆˆx B p i x

∂

==-∂则 但 ()ˆx xp

i x i i x x x

ψψψψ∂∂=-=--∂∂ 因此 ()ˆˆx x xp

p x i ψψ-= （3.2.7）