算符与力学量的关系

Y11 2Y21 * 22Y11 62 2Y21 d
1 5
22 Y11 2 242 Y21 2 d
1 [22 242 ] 26 2
5
5
方法 II （4）
1 5
Y11
2Y21
利用
F
n
L2
1
2
22
2
2
6 2
26 2
5
5
5
| cn |2 n
L2
2 2 6 2
相应几率
1 5
4 5
Lz 相应几率 1
1 3 Y11
2 3 Y21
Ψ是 Lz 的本征态，本征值为 。
（3）求 L2 的平均值
方法 I
F *( x)Fˆ ( x)dx
（ 已归一化）
验证归一化： 1 c2
*d c2
1 3 Y11
2 3 Y21
*
1 3
Y11
2 3 Y21
d
c2
1 9
Y11
*Y11
4 9
Y21
但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般 证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点
分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。
（2） 力学量的可能值和相应几率
现在我们再来讨论在一般状态 (x) 中测量力学量F，将会得到哪些值， 即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。
cnn
*
cmm dx
cn * cm n*mdx
n
m
nm
cn * cm nm cn * cn | cn |2
nm
n
n
综上所述， 量子力学作 如下假定：
所以|cn|2 具有几率的意义，cn 称为几率振幅。我们知道|ψ(x)|2 表示 在x点找到粒子的几率密度，|c(p)|2 表示粒子具有动量 p 的几率，那
3.6 算符与力学量的 关系
（一）力学量的可能值
量子力学基本假定III告诉人们，在任意态ψ(r)中测量
任一力学量 F，所得的结果只能是由算符 F 的本征方程
Fˆ
n
nn
但是还有 两点问题 没有搞清楚：
解得的本征值λn之一。
1. 测得每个本征值λn的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到， 对应几率是多少， 哪些测不到，几率为零。
i
i xi
中测量某力学量 F 的 平均值（在理论上） 可写为：
F
| cn |2 n
此式等价于 以前的平均
n
值公式：
F *( x)Fˆ ( x)dx
这两种求平均
F *( x)Fˆ ( x)dx
n
cnn ( x) Fˆ
m
cmm ( x)dx
值的公式都要 求波函数是已 归一化的
如果波函数 未归一化
末同样，|cn|2 则表示 F 取 λn 的几率。
量子力学基本假定IV
任何力学量算符 F 的本征函数φn(x)组成正交归一完备 系，在任意已归一态ψ(x)中测量力学量 F 得到本征值
λn 的几率等于ψ(x)按φn(x)展开式：
中对应本征函数φn(x)前的系数 cn 的绝对值平方。
(x) cnn(x)
cn * cm n *(x)Fˆm(x)dx
cn * cmm n * ( x)m ( x)dx
n
m
nm
cn*cmm nm
| cn |2 n
nm
n
| cn |2 n
则 F n
| cn |2
n
F *( x)Fˆ ( x)dx *( x) ( x)dx
[例]求氢原子处于基态时，电子动量的几率分布
与波函数ψ(x) 按动量本征函数 展开式比较二者完全相同
我们知道：ψ(x) 是坐标空间的波函数；
c (p) 是动量空间的波函数；
则
{ cn } 则是 F 空间的波函数，
三者完全等价。
证明：当ψ(x)已归一时，c(p) 也是归一的， 同样 cn 也是归一的。
证：
1
( x) ( x)dx
)
3 2
0
1 0
p
2 (2a0)
3 2
0
1
e
r a0
e
i
pr
cosq
r
2
drd
cosq
1
2i
pp(2a0
)
3 2
0
e
r a0
[e
i
pr
e
i
pr
]dr
(2a0
)
3 2
p [a02 p 2 2
]2
p 上式仅与
的绝对值有关，与 p 的方向无关，由此得到动量的几率密度为
cp
2
8a0 3 5
p 2[a02 p 2 2 ]4
例1：已知空间转子处于如下状态
1 3
Y11
(
,j
)
2 3
Y21
(
,j
)
试问： （1）Ψ是否是 L2 的本征态？
（2）Ψ是否是 Lz 的本征态？ （3）求 L2 的平均值；
（4）在 Ψ 态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的可能值及 其相应的几率。
解：
(1)
Lˆ2
表明，测量 F 得λm 的几率为 1， 因而有确定值。
（二）力学量的平均值
力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：
x
同样，在任一态ψ(x)
4 x1 6 x2 10
4 10
Leabharlann Baidu
x1
6 10
x2
1 x1 2 x2
Fˆn nn
则任意函数ψ(x) 可 按φn(x) 展开：
(x) cnn( x)
n
(II) 除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量
算符的本征函数也构成完备系，如下表所示：
力学量算符 LZ L2, LZ 无穷深势阱 H 线性谐振子 H
本征函数系 φm(j)=1/(2 p)1/2exp[imj] Ylm (q，j) n = (1/a)1/2sin[(np(x+a) /2a)] n(x) = Nnexp[-a2x2/2]Hn(ax)
由于
j100 (r)
1
r
e a0
pa03
j
p
(r
)
1
(2p) 32
e
i
p•r
j j100 (r) 按动量算符的本征函数 p 展开，j100 (r) c pj p (r)dp
几率振幅为
cp
j
p
(r)j100
(r)d
1
1
2p
e
r a0
e
i
pr
cosq
r
2
drd
c
osqdj
p
2
(2a0
n
（3） 力学量有确定值的条件
推论：当体系处于ψ(x) 态时，测量力学量F具有确定值的
证：
充要条件是ψ(x) 必须是算符 F的一个本征态。
1. 必要性。若F具有确定值λ 则ψ(x) 必为 F 的本征态。
确定值的意思就是 每次测量都为λ 。
根据基本假定III，测量值必为本征值之一，
且测得可能值是： λ1,λ2,...,λm …
2. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。
(1) 力学量算符本征函数组成完备系
要解决上述问题， 我们还得从讨论 本征函数的另一 重要性质入手。
1. 函数的 完备性
有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函数展开:
(x) cnn( x)
n
例如：动量本征函数
1
2
0
1 8
(2k)2
1 (2k)2 8
1 (k)2 8
1 8
(
k
)2
5k 22
8
2 4
2
(
k
)2
2
c( p2 ) c( p3 )
2 4
2
c(
p4
)
c(
p5
)
4
归一化后。|c(pi)|2 表示粒子具有 动量为 pi 的几率，于是就可以计算
动量和动能的平均值了。
（1）动量平均值
5
p
| c( pi ) |2 pi
i 1
2
c( p1 )
2
c( p2 ) c( p3 )
2 4
本征态。
2. 充 分 性 。 若 ψ(x) 是 F 的 一 个 本 征 态 ， 即 ψ(x)= φm(x)，则 F 具有确定值。
根据量子力学假定IV，力学量算符 F 的本征函数组成完备 系。
所以
( x) cnn( x) m ( x)
n
因为
|
cn
|2
1 0
nm nm
测得λn 的几率是 |cn|2。
根据量子力学基本假定III，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F 的本征值 λn n = 1,2,.. .之一,该本征值由本征方程确定：
而每一本征值λn各以一定几率出现。 那末这些几率究竟是多少呢？下面 我们讨论这个问题。
Fˆn(x) nn(x) n 1,2,
由于φn(x)组成完备系，所以体系 任一状态ψ(x)可按其展开：
展开系数 cn 与x无关。
( x) cnn( x)
n
为求 cn ，将φm*(x) 乘上式并对 x 积分得
：
讨论：
m ( x) ( x)dx m ( x) cnn( x)dx n cn m *( x)n( x)dx n cn mn cm n
即 cn n( x) ( x)dx
i
i
(x)
1 2p
{c(
p1 )e
p1 x
c(
p2 )e
p2 x
的叠加
比较二式，
c(
i
p3 )e
p3 x
c(
i
p4 )e
p4 x
c(
i
p5 )e
} p5 x
因单色平面 波动量有确 定值：
p1
0
p2
2k
p3
2k
p4
k
p5
k
或：
p1 0 p2 2k p3 2k p4 k p5 k
组成完备系
则称这组函数φn(x) 是完备的。
(r,t)
c(
p,
t
)
p
(r
)d
3
p
或
(r)
c(
p)
p
(r
)d
3
p
2. 力学量算符的本征函数组成完备系
(I) 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系 （参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324；王竹溪、郭敦仁，《特殊函数概 论》1.10 用正交函数组展开 P41），即若：
2
c(
p4
)
c(
p5
)
4
p1 0
p2 p3
2k 2k
p4
k
p5 k
2
2
2
2
2
2 0 2 2k 2 (2k) 2 k 2 (k)
2
4
4
4
4
0
5
T
i 1
| c( pi ) |2
pi 2
2
（2）动能平均值
1
2
2
2 0
2
2
2 (2k)2 4
2
2 (2k)2 4
2
2 (k)2 4
Lˆ2
1 3
Y11
(
,j
)
2 3
Y21
(
,
j
)
1 3
1(1 1)2Y11
2 3
2(2 1)2Y21
2 2
1 3
Y11
2Y21
Ψ 没有确定的 L2 的本征值，故 Ψ 不是 L2 的本征态。
(2)
Lˆ z
Lˆ z
1 3
Y11
(
,
j
)
2 3
Y21
(
,j
)
1 3
Y11
2 3
Y21
c(
p1 )
2A 4
2p
c(
p2 )
c(
p3 )
A 4
2p
c( p4 ) c( p5 )
A 4
2p
p1 0
p2 p3
2k 2k
p4
k
p5 k
5
i 1
从而得：
|
c(
pi
) |2
|
A |2 16
2p[22
(1)2
(1)2
12
12 ]
| A |2 p 1
A
1
p
2
c( p1 )
*Y21
2 9
Y11
*Y21
2 9
Y21
*Y11
d
c2 1 4 5 c2 9 9 9
c 3 5
归一化波函数
c
1 3
Y11
2 3
Y21
3 5
1 3 Y11
2 3
Y21
1 5
Y11
2Y21
L2 * Lˆ2d
1 5
Y11
2Y21 *
Lˆ2
1 5
Y11
2Y21
d
1 5
令λ =λm 是 F 的一个本征值，满足本征方程
相应几率是： |c1|2,|c2|2,...,|cm|2,...。
Fˆn ( x) nn ( x)
n 1,2,, m,
又根据基本假定 IV，φn(x) 组成完备系，
(x)
cnn ( x)
n
现在只测得λm，所以|cm|2=1, |c1|2=|c2|2=...=0 （除|cm|2外）。 于是得 ψ(x)= m(x)，即 ψ(x)是算符 F 的一个
例2：（《周》）3.6 设t=0 时，粒子的状态为 (x) = A [ sin2kx + (1/2)coskx ]
求粒子的平均动量和平均动能。
解：
(x)
A{(
1 2i
[e ikx
eikx ])2
1 2
(e ikx
eikx )}
A 4
{2
e
2
ikx
e2ikx
eikx
eikx}
可写成单 色平面波