数列与极限的基本定理及证明20页PPT
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《数列极限》课件
性。
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
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微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
极限的定义PPT课件
1.无穷小量——在其变化过程中能以0为
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
第19页/共27页
3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
x x 1
x
π 2
x
第25页/共27页
高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — （3） 5 — （2）、 （4） 9 — （6）、 （10）、 （13）、 （14） 12 — （4） 15 、 18 — （3）
第26页/共27页
感谢您的观看。
第27页/共27页
1
推论 lim(1 x) x e
x0
第15页/共27页
1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 PA OA 2
1 tg x 2
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有
1 sin x 1 cos x x
第16页/共27页
(续) 1 sin x 1 cos x x
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小 1 sin x 也是无穷小
x 即 lim sin x 1
x0 x
第 x
x 1
2
lim sin π x lim (1 x) lim sin π x lim (1 x)
其中 (x) 5x , (x) x2
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
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3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
x x 1
x
π 2
x
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高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — （3） 5 — （2）、 （4） 9 — （6）、 （10）、 （13）、 （14） 12 — （4） 15 、 18 — （3）
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1
推论 lim(1 x) x e
x0
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1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 PA OA 2
1 tg x 2
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有
1 sin x 1 cos x x
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(续) 1 sin x 1 cos x x
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小 1 sin x 也是无穷小
x 即 lim sin x 1
x0 x
第 x
x 1
2
lim sin π x lim (1 x) lim sin π x lim (1 x)
其中 (x) 5x , (x) x2
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
《高数》数列极限》课件
详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。
高等数学极限存在准则-PPT
lim 1
t
说明
：若利用
lim (1
( x)
1 (x)
)
(
x
)
e,
则
原式
lim (1
x
1 x
)
x
1
e1
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例7. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
1 x
)2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2x) 2
1
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
e
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二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1
x
oC
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
注
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例2. 求
解:
lim tan x0 x
且
(xn )
xn x0 , f (xn ) 有定义
有 lim
n
f
(xn )
A.
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
xn x0 ,
使
lim
数列的极限ppt
恒有 f ( x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意:{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
. Sept. 26 Mon
Review
1.数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性， 保号性；
定理 : lim f ( x) A x x0
f ( x0 0) f ( x0 0) A.
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式 xn a 刻划了 xn 与 a 的无限接近;
2. N 与任意给定的正数 有关.
极限的 N 定义:
lim
n
xn
a
0, N 0,使 n N 时,恒有 xn a .
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x1 , x2 ,, xi ,xn ,
xn1 , xn2 ,, xnk ,
xn
1
(1)n 2
子列 1，1，
0，0，
0, 1, 0, 1,
定义3. 设有序列{ xn }，若 M 0，对一切n 都有： | xn | M 则称 {xn} 是有界序列。
例： 0,1,0,1,
为有界序列。
二. 数列极限的定义
有界，几个特殊数列的极限; 。
《高等数学课件PPT》-完整详细版
1
微积分基本定理
微积分基本定理的概念和推导，描述定积分和不定积分之间的关系。
2
带变限积分
带变限积分的计算方法和几何解释，通过例题演示如何求解带变限积分。
极限和连续
深入介绍极限和连续的概念、性质和运算法则，帮助学生理解和掌握这两个重要概念。
极限
数列极限和函数极限的定义和性质，常见的极限计 算方法和极限存在准则。
连续
函数连续的定义和判定条件，连续函数的性质和运 算法则。
函数及其图像
介绍函数的概念和性质，以及如何通过绘制函数图像来更好地理解函数。
函数
函数的定义、定义域、值域和性质，常见函数类型 和函数之间的关系。
图像
绘制函数图像的方法和技巧，通过观察图像认识函 数的特点和变化趋势。
导数和微分
介绍导数和微分的概念、性质和计算方法，以及它们在几何和物理中的应用。
1 导数
导数的定义和性质，导数的计算方法和常见 函数的导数公式。
2 微分
微分的概念和计算方法，微分在几何和物理 中的应用。
《高等数学课件PPT》-完整详 细版
一份完整详细的高等数学课件PPT，深入介绍高等数学的各个知识点，帮助 学生更好地理解和掌握这门重要学科。
课程目标和重要性
通过介绍高等数学课程的学习目标和重要性，帮助学生明确学习目标，激发学习兴趣，并认识到 高等数学在现实生活和学科发展中的广泛应用。
学习目标
深入理解高等数学的各个概念和方法，提高解决数学问题的能力。
不定积分与牛顿-莱布尼茨公式
深入研究不定积分的概念、性质和计算方法，以及牛顿-莱布尼茨公式的推导和应用。
1 不定积分
不定积分的定义和计算方法，常见函数的不 定积分公式。
高等数学第二节数列的极限
分析已知条件：只有两个不等式，即数列所在的两个区间,
因此，任给的ε 要取同一个， 由极限为a,得数列所在的区间是以a为中心,ε 为半径的邻域； 由极限为b,得数列所在的区间是以b为中心,ε 为半径的邻域.
若数列所在的两个区间没有交集，则能得到矛盾.
由图知,只要半径ε
, ba 2
两邻域没有交集,即得矛盾,证明完成.
数列极限
收敛数列 性质
有界性 唯一性 保号性 任一子数列收敛于同一极限
第六节 极限存在准则
一、准则1 (夹逼准则 The Squeeze Theorem )
1、如果数列xn,yn,zn 满足
(1) 从某项起, 即 n0 N ,当 n n0时，有
yn xn zn ;
(2)
lim
n
yn
lim
n
(
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
)
1.
二、准则Ⅱ(单调有界准则)
1、单调有界数列必有极限.
如果数列 xn满足
单调增加只有两种可能:无限 增大或无限接近于一个定点
x1 x2 xn xn1 M (单调增加有上界)
lim xn a ( M ) 有等号，是广义单调
n
x1 x2
xn xn1 a
问题: 无限增大,无限接近,如何用数学语言刻划？
数例分析：
当
n
无限增大时,
xn
n 1 n
无限接近于 1.
当n变得足够大时，|
xn
1
|
1 n
变得任意小.
足够大与任意小相关, 无限接近由n刻画
给定 1 0.01,
具体数
要使
数列与级数的极限与判定
零点定理等
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汇报人：XX
单调性与连续性
单调性：数列或级数的单调性决定了其极限的存在性 连续性：数列或级数的连续性是判定其极限的重要依据 单调性与连续性的关系：单调性可以推导出连续性，反之亦然 应用场景：单调性与连续性在解决实际问题中的应用
连续函数的性质
函数在某点连续的定义
连续函数的基本性质
连续函数的极限性质
连续函数的可微性
否存在
单调有界定理
定义：如果数列 在某区间内单调 递增（或递减）， 且存在上界（或 下界），则该数 列收敛。
应用场景：判断 数列的收敛性
定理证明：利用 反证法，假设数 列无界，则存在 一个子列无上界 或无下界，与单 调递增或递减矛 盾。
举例说明：如等 比数列、等差数 列等。
柯西收敛准则
添加标题
定义：一个数列如果满足对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得对于所有 的正整数n>N，数列的相邻两项之差都小于ε，则称这个数列收敛。
极限的运算性质
极限的四则运算性质：加减乘除的极限运算规则 极限的复合函数性质：复合函数的极限运算规则 极限的幂函数性质：幂函数的极限运算规则 极限的指数函数性质：指数函数的极限运算规则
04
数列与级数的连续性
连续的定义
添加 标题
连续的定义：如果数列或级数的极限存在， 且极限值等于该项的值，则称该数列或级数 是连续的。
极限的唯一性：对于任意数列，其极限值是唯一的。
添加标题 添加标题
极限的保序性：若数列${a_n}$和${b_n}$满足$a_n \leq b_n$，且$\lim_{n \to \infty} a_n = L$和$\lim_{n \to \infty} b_n = M$，则有$L \leq M$。
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单调性与连续性
单调性：数列或级数的单调性决定了其极限的存在性 连续性：数列或级数的连续性是判定其极限的重要依据 单调性与连续性的关系：单调性可以推导出连续性，反之亦然 应用场景：单调性与连续性在解决实际问题中的应用
连续函数的性质
函数在某点连续的定义
连续函数的基本性质
连续函数的极限性质
连续函数的可微性
否存在
单调有界定理
定义：如果数列 在某区间内单调 递增（或递减）， 且存在上界（或 下界），则该数 列收敛。
应用场景：判断 数列的收敛性
定理证明：利用 反证法，假设数 列无界，则存在 一个子列无上界 或无下界，与单 调递增或递减矛 盾。
举例说明：如等 比数列、等差数 列等。
柯西收敛准则
添加标题
定义：一个数列如果满足对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得对于所有 的正整数n>N，数列的相邻两项之差都小于ε，则称这个数列收敛。
极限的运算性质
极限的四则运算性质：加减乘除的极限运算规则 极限的复合函数性质：复合函数的极限运算规则 极限的幂函数性质：幂函数的极限运算规则 极限的指数函数性质：指数函数的极限运算规则
04
数列与级数的连续性
连续的定义
添加 标题
连续的定义：如果数列或级数的极限存在， 且极限值等于该项的值，则称该数列或级数 是连续的。
极限的唯一性：对于任意数列，其极限值是唯一的。
添加标题 添加标题
极限的保序性：若数列${a_n}$和${b_n}$满足$a_n \leq b_n$，且$\lim_{n \to \infty} a_n = L$和$\lim_{n \to \infty} b_n = M$，则有$L \leq M$。
《高等数学第一课：数列与极限课件PPT》
函数极限和数列极限的关系
函数极限和数列极限之间存在着紧密的联系。通过研究这种关系，我们可以 更好地理解函数和数列的极限行为。
数列的定义和表示方法
数列可以用各种形式来表示，例如通项公式、递推公式和集合表示法。这些表示方法帮助我们描述和计算数列 中的各个元素。
等差数列和等比数列的性质
等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们具有独特的性质和规律。 通过研究这些性质，我们可以更好地理解和应用数列。
定义极限
极限是数列中元素趋于无穷时的特殊概念。通过了解极限的定义，我们能够 更深入地研究数列的性质和行为。
极限的基本性质
极限具有许多基本的性质，例如唯一性、有界性和保序性。这些性质为我们 分析和计算数列的极限提供了重要的指导。
极限的存在性判定方法
我们可以使用不同的方法和定理来判定数列是否存在极限。这些方法ຫໍສະໝຸດ 我们 解决极限问题提供了实用的工具。
极限的唯一性
通过理解极限的唯一性，我们可以确定数列是否具有唯一的极限值，并在解 决数列极限问题时减少错误的可能性。
高等数学第一课：数列与 极限课件 PPT
在这份高等数学课件中，我们将学习数列和极限的基本概念、性质和计算方 法，以及数列极限与函数极限的关系。让我们一起探索这个精彩而有趣的数 学世界！
什么是数列
数列是一组按照特定顺序排列的数的集合。通过研究数列的规律和性质，我们可以了解数学中许多重要的概念 和方法。
《极限定理教学》课件
02
无穷小和无穷大在极限理论中有 着重要的应用，如极限的定义、 性质和计算等。
06
极限定理的深化理解
极限定理的几何解释
极限定理的几何解释
通过几何图形和图形的变化趋势，深入 理解极限的概念和性质。例如，通过观 察函数图像的变化趋势，理解函数在某 点的极限值。
VS
动态演示
利用动画或动态图演示函数的变化趋势， 帮助学生直观地理解极限的概念。
注意事项
强调在求幂函数的极限时需要注意 的要点，例如n不能为负数且分母不 能为零等。
指数函数的极限
指数函数的形式
指数函数的一般形式为a^x（ a>0且a≠1），其极限值取决于a
的值。
举例说明
通过具体例子演示如何求指数函 数的极限，例如求lim(x->∞) a^x的极限值，其中a>1和 0<a<1的情况。
在微积分中，极限的应用可以帮助我们更好地理解微积分 的本质和思想，解决微积分中的问题，如求解函数的极值 、求解定积分等。
04
极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算法则
注意事项
极限的四则运算法则是极限运算的基 础，包括加法、减法、乘法和除法的 极限运算规则。
强调在运用极限的四则运算法则时需 要注意的要点，例如分母不能为零等 。
左极限与右极限
根据函数在某点处的左右两侧的变化 趋势，可以将极限分为左极限和右极 限。
单侧极限与双侧极限
根据函数在某点处是否只有一个方向 上的变化趋势，可以将极限分为单侧 极限和双侧极限总结词
单调有界定理是极限理论中的基本定理之一，它表明如果一 个数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则该数列收 敛。
无穷大的定义与性质
高数数列的极限ppt
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N = [ ], 则当n N时,
n ( 1) n1 就有 1 n
n ( 1) n 1 即 lim = 1. n n
例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn = C .
五、小结
数列:研究其变化规律;
数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.
思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知 x1 = 1 , xn1 = 1 2 xn (n = 1, 2 ,), 求 lim xn 时, 下述作法是否正确? 说明理由.
的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
例如
2 , 4 , 8 , , 2 n , ;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
{2 } 1 { n} 2
n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
注意： 在子数列xn 中，一般项 xn 是第 k 项， k k
定理4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 若 是数列
的任一子数列 .
时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk
N
xN
*********************
{(1)
n 1
}
1 4 n ( 1) n1 2, , ,, ,; 2 3 n
n ( 1) n1 就有 1 n
n ( 1) n 1 即 lim = 1. n n
例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn = C .
五、小结
数列:研究其变化规律;
数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.
思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知 x1 = 1 , xn1 = 1 2 xn (n = 1, 2 ,), 求 lim xn 时, 下述作法是否正确? 说明理由.
的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
例如
2 , 4 , 8 , , 2 n , ;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
{2 } 1 { n} 2
n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
注意： 在子数列xn 中，一般项 xn 是第 k 项， k k
定理4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 若 是数列
的任一子数列 .
时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk
N
xN
*********************
{(1)
n 1
}
1 4 n ( 1) n1 2, , ,, ,; 2 3 n
高数极限运算法则课件
极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。
人教版高中数学课件：高二数学课件-数列的极限
在研究数列的极限时，需要特别关注 初始项的选择，以确保数列的收敛性 和收敛速度。
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性，即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动，不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性，即如果 一个数列收敛到极限a，那么对 于任何正整数n，都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限，我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中，如果一个数列的极限值存在，那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如，对于等差数列，其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限，可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质，即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值，那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要， 是数学分析中的一个基本原则。
THANK YOU
数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界， 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件，则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在正整 数N，使得当$n, m > N$ 时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$，则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性，即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动，不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性，即如果 一个数列收敛到极限a，那么对 于任何正整数n，都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限，我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中，如果一个数列的极限值存在，那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如，对于等差数列，其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限，可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质，即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值，那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要， 是数学分析中的一个基本原则。
THANK YOU
数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界， 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件，则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在正整 数N，使得当$n, m > N$ 时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$，则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法
微积分--极限与连续 ppt课件
考虑当
x
，函数
y1 x
的变化情况
y
O
x
lim 1 0. x x
ppt课件
15
定义：对任意的正数，如果总存在一个正数X， 使得当 x >X时，f (x)-A < ,则称当x 时， f (x)以A为极限，记为 lim f (x)=A.
x
ppt课件
16
x 的理解：
10. x 情形 : lim f ( x) A x
ppt课件
35
§2.5 极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0.
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
(
x
x
0
)
右极限 0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意 :{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
x0时的极限,
记作
lim
x x0
f (x)=A.
" "定义
0, 0,使当0 x x0 时,恒有 f ( x) A .
注意 :{x 0 x x0 } { x 0 x x0 } { x x x0 0}
ppt课件
24
注意：1.函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关; 2.与任意给定的正数有关.
ppt课件
33
数学分析课件之第二章数列极限
02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性， 即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数 列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以 推导和证明一系列数学定理和公 式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其 值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘 性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态
数列函数的极限
数列函数的极限
contents
目录
• 数列函数极限的定义 • 数列函数极限的性质 • 数列函数极限的计算方法 • 数列函数极限的应用 • 数列函数极限的注意事项
01
数列函数极限的定义
定义
极限的定义
对于任意给定的正数$varepsilon$， 存在一个正整数$N$，使得当$n>N$ 时，有$|f(n) - L| < varepsilon$，其 中$L$是常数，称为数列函数的极限。
详细描述
极限的连续性是数列函数极限的一个重要性质。它表明，当n趋于无穷大时，数列函数 的极限值等于该函数在某一点的极限值。这一性质在研究函数的极限行为和性质时非常
重要，是函数连续性的基础。
03
数列函数极限的计算方 法
代数法
代数法是计算数列函数极限的一种基 本方法，通过将数列函数进行化简， 将其转化为更易于计算的形式，从而 求得极限。
极限的运算顺序
极限的运算顺序
在计算数列函数的极限时，需要注意运算的顺序。有些 复杂的数列函数包含多个变量和运算符，需要按照一定 的顺序进行运算，以确保结果的准确性。
举例
考虑数列函数$f(x,y) = frac{xy}{x+y}$，在计算该函数的 极限时，需要先对$x$和$y$分别取极限，然后再进行运算。 如果先进行除法运算，会导致结果不准确。因此，在计算 数列函数的极限时，需要遵循正确的运算顺序。
等。
05
数列函数极限的注意事 项
初始值问题
初始值问题
举例
在计算数列函数的极限时，需要注意初始值 的影响。有些数列函数在初始阶段呈现出较 大的波动，随着项数的增加会逐渐趋于稳定。 因此，在计算极限时，需要充分考虑初始值 对结果的影响。
contents
目录
• 数列函数极限的定义 • 数列函数极限的性质 • 数列函数极限的计算方法 • 数列函数极限的应用 • 数列函数极限的注意事项
01
数列函数极限的定义
定义
极限的定义
对于任意给定的正数$varepsilon$， 存在一个正整数$N$，使得当$n>N$ 时，有$|f(n) - L| < varepsilon$，其 中$L$是常数，称为数列函数的极限。
详细描述
极限的连续性是数列函数极限的一个重要性质。它表明，当n趋于无穷大时，数列函数 的极限值等于该函数在某一点的极限值。这一性质在研究函数的极限行为和性质时非常
重要，是函数连续性的基础。
03
数列函数极限的计算方 法
代数法
代数法是计算数列函数极限的一种基 本方法，通过将数列函数进行化简， 将其转化为更易于计算的形式，从而 求得极限。
极限的运算顺序
极限的运算顺序
在计算数列函数的极限时，需要注意运算的顺序。有些 复杂的数列函数包含多个变量和运算符，需要按照一定 的顺序进行运算，以确保结果的准确性。
举例
考虑数列函数$f(x,y) = frac{xy}{x+y}$，在计算该函数的 极限时，需要先对$x$和$y$分别取极限，然后再进行运算。 如果先进行除法运算，会导致结果不准确。因此，在计算 数列函数的极限时，需要遵循正确的运算顺序。
等。
05
数列函数极限的注意事 项
初始值问题
初始值问题
举例
在计算数列函数的极限时，需要注意初始值 的影响。有些数列函数在初始阶段呈现出较 大的波动，随着项数的增加会逐渐趋于稳定。 因此，在计算极限时，需要充分考虑初始值 对结果的影响。
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