第八节--方程的近似解复习课程

第八节方程的近似解

教材习题3-8答案(上册P209)

5

1•解：令 f (x) x 5x 1,则 f (x)在 1,0 连续，又 f( 1)

1,0上单调递增，因而f(x)在 1,0内有唯一实根•

以下用切线法求

的近似值:

f '(x) 3x 2 3 0,则f(x)单调递增.所以f(x) 0至多有

1 0, f (1) 3 0知：f(x) 0在(0,1)内有唯一实根•取

点定理知：至少存在一点

(1,0),使得 f( )

0.又 f (X )

5x 4

0,则f(x)在

个隔离区间•列表如下:

5 0, f(0)

1 0,由零 f (x)

20x 3 0,取 x 0

1,( f(x °) f (x)

0),代入递推公式 X n 1

X n

f (X n ) f '(x n )'

x 1

1

— 0.5, x 2 5 5 0.21,

X 3

0.21

f(

°21)

f ( 0.21)

0.20, x 4

0.20 30)

0.20.

f ( 0.20)

0.20.

2.解:令 f (x) x 3x 1

一个实根.又由f (0)

a 0,b

1, 0,1 就是

于是0.32 0.33,即0.32作为根的不足近似值，0.33作为根的过剩近似值，其误差都

小于0.001.

3.解：令f(x) xlnx 1 (x 0) f (x) Inx,令f (x) In x 0,得f (x)的零点为e.

当x (0,e)时，f'(x) 0;当x (e,)时，f'(x) 0.所以f(x)在(0,e)内单调减少，f (x)在(e,)上单调增加.又Q lim f (x) lim xln x 1 1,在(0, e)内

x 0 x 0

f (x) 0, f (x) 0 至多有一个实根.又由f(1) 1 0, f(e) e 1 0 知：f (x) 0 在(0,e)内有唯一实根.取a 0,b e, 0,e是根的一个隔离区间.因为当x (0, e)时，

1 ' 1

f(X)— 0, f (x) — 0,相对应课本P207图3-32(C)，以下用迭代公式做(略).

x x