MATLAB解线性方程组的直接方法
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法
直到(n-1) 原方程组化为
a11 x1 a12 x2 a1n xn a1,n1 a22 x2 a2 n xn a2 ,n1
ann xn an ,n1
(上三角方程组) （3.2) 以上为消元过程。
(n) 回代求解公式
a n ,n1 xn a nn n x k 1 [a k ,n1 a kj x j ] a kk j k 1 ( k n 1, n 2,...,1)
由矩阵乘法 (1) 1) l11 a11 l11
umj 1 ukj a kj ukj a kj l km umj
m 1
k 1
2 求L的第k列：用L的第i行 u的第k列
(i k 1, , n)，即 ( l i 1 , , l ik , l kk , 0 0) ( u1k , u2 k , , ukk , 0 0)' a ik
( 2) 1)求u的第2行：用L的第2行 u的第j列 （j 2, , n) l 21 u1 j 1 u2 j a 2 j u2 j a 2 j l 21u1 j 2)求L的第2列：用L的第i行 u的第2列 （i 3,4, , n) l i 1 u12 l i 2 u22 a i 2 l i 2 (a i 2 l i 1 u12 ) / u22
m 1
l
k 1
im
umk l ik ukk a ik
k 1
l ik a ik l im umk ukk m 1
LU分解式： u1 j a1 j ( j 1,2, n) l i 1 a i 1 u11 ( i 2,3, , n) k 1 ukj a kj l km umj a kj m 1 ( j k , k 1, , n) k 1 l ik a ik l im umk ukk a ik m 1 ( i k 1, , n) ( k 2, 3, , n )
利用Matlab求线性方程组的通解
一、 引一 线性代数是数学中的一个重要分支．很多理论问题和实际问题都需要借 助于线性代数的理论工具来分析解决。学习线性代数有两大难点：一是概 念、理论抽象，二是计算量大。由于这两个难点，初学者往往很难掌握好线 性代 数的 知识理 论。若 能掌 握好用 于解 数学问 题的 l I at l ab软件 ，则能 轻松 快 捷的解决很多线 性代数问题。 ( 一 ) 线性方程组有关定理
X x=
0 ．7530
- 0 ．4167 _o ．3043 -t ) ．3 04 3
0 ．0176
- 0 ．7464
-t }．0 00 0
基础解系含有 刀一，个解向量，( 1) 若舌 ，参，…，靠，为导出组的 基础解系。
- 0 ．0000
- 0．7071 0 ．70 7l -- 0．0 00 0
则毛毒十如最+…+ko就是导出组朋=0的全部解，也称为通解：
ab方法
200 6．
参考文献： [ 1】胡良剑、孙晓君。 ( 1l at l ab数学实验， [ 1I 】，北京：高等教育出版社．
[ 2] 赵 静、但 琦． 出版社， 2003 ． [ 3] 同济大学应用数学系， 出版社． 2004 ．
‘教学 建模与 数学实验 ’( 第2版 ) [ 岫。北 京：高等 教育 ‘高等教学' ( 第5版) [ M ] ．北京t 高等教育
1
1 毛+ 毛+而 +毛+ 毛 =7
例 3求线性方程组
3而+2 毛+气+‘一 3而=—2的 通解
毛+勰+2 ‘+6毛=23
5而 +4b +3而 +3丘 一 毛=1 2
MATLAB程序设计第六讲
MATLAB程序设计杨凯2010 . 11主要内容自学））*MATLAB解方程与函数极值解方程与函数极值（（自学（自学）自学）线性方程组求解（一、线性方程组求解二、非线性方程组求解三、函数极值四、常微分方程初值问题的数值解法*MATLAB符号计算一、符号计算基础二、微积分三、简化方程表达式四、解方程一、线性方程组求解（自学）1.1 直接解法1．利用左除运算符的直接解法对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“\”求可以利用左除运算符“解：x=A\b例*：用直接解法求解下列线性方程组用直接解法求解下列线性方程组。
命令如下命令如下：：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';x=A\b2．利用矩阵的分解求解线性方程组矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。
常见的矩阵分解有LU 分解分解、、QR 分解分解、、Cholesky 分解分解，，以及Schur 分解分解、、Hessenberg 分解分解、、奇异分解等奇异分解等。
(1) LU 分解矩阵的LU 分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。
线性代数中已经证明，只要方阵A 是非奇异的是非奇异的，，LU 分解总是可以进行的分解总是可以进行的。
MATLAB 提供的lu 函数用于对矩阵进行LU 分解分解，，其调用格式为式为：：[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U 和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU 。
注意注意，，这里的矩阵X 必须是方阵是方阵。
[L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U 和一个下三角阵L 以及一个置换矩阵P ，使之满足PX=LU 。
当然矩阵X 同样必须是方阵方阵。
实现LU 分解后分解后，，线性方程组Ax=b 的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度这样可以大大提高运算速度。
matlab最小二乘解方程
matlab最小二乘解方程最小二乘法是求解线性方程组的一种有效方法，可以通过最小化误差平方和来得到最优解。
在MATLAB中，我们可以使用“\”操作符或者使用“pinv”函数来求解一个线性方程组的最小二乘解。
以下是关于如何在MATLAB中使用最小二乘法来求解线性方程组的详细内容:1. 使用“\”操作符使用“\”操作符可以很方便地求解一个线性方程组的最小二乘解。
例如，假设我们有一个由n个方程组成的线性方程组：Ax = b其中，A是一个m ×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。
则它的最小二乘解为：x = (A' A)^(-1) A' b在MATLAB中，我们可以通过以下代码实现最小二乘解：A = [1 1 1; 2 3 4; 4 5 7; 5 6 8];b = [1; 2; 3; 4];x = A \ b;其中，反斜杠符号“\”表示求解线性方程组的最小二乘解。
2. 使用“pinv”函数除了使用“\”操作符，我们也可以使用MATLAB中的“pinv”函数来求解一个线性方程组的最小二乘解。
例如，我们可以通过以下代码实现最小二乘解：A = [1 1 1; 2 3 4; 4 5 7; 5 6 8];b = [1; 2; 3; 4];x = pinv(A) * b;其中，pinv函数表示求矩阵A的伪逆矩阵。
使用“pinv”函数来求解线性方程组的最小二乘解与使用“\”操作符的结果是等价的。
需要注意的是，在使用最小二乘法来求解线性方程组时，矩阵A的列应该是线性无关的，否则可能会出现唯一最小二乘解不存在的情况。
综上所述，MATLAB中使用最小二乘法来求解线性方程组非常简单。
我们可以通过“\”操作符或者“pinv”函数来求解一个线性方程组的最小二乘解。
matlab求解代数方程组解析
第三讲 Matlab 求解代数方程组理论介绍：直接法+迭代法，简单介绍相关知识和应用条件及注意事项 软件求解：各种求解程序讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组：11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）一、直接法 1.高斯消元法：高斯消元法的基本原理： 在（1）中设110,a ≠将第一行乘以111,k a a -加到第(2,3,,),k k n = 得： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(2)(2)(2)22n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b ⎧+++=⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩（2）其中(1)(1)1111,.k k aa b b ==再设(2)220,a ≠将（2）式的第二行乘以(2)2(2)22,(3,,)k a k n a -= 加到第k 行，如此进行下去最终得到：(1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(1)(1)(1)1,111,1()()n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b a x b --------⎧+++=⎪++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=⎩（3） 从（3）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1n x -，并如此进行下去，即可依次将121,,,,n n x x x x - 全部解出，这样在()0(1,2,,)k kk a k n ≠= 的假设下，由上而下的消元由下而上的回代，构成了方程组的高斯消元法. 高斯消元法的矩阵表示：若记11(),(,,),(,,)T T ij n n n n A a x x x b b b ⨯=== ，则（1）式可表为.Ax b =于是高斯消元法的过程可用矩阵表示为：121121.n n M M M Ax M M M b --=其中：(1)21(1)111(1)1(1)11111n a a M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (2)32(2)222(2)2(2)221111n a a M a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭高斯消元法的Matlab 程序： %顺序gauss 消去法,gauss 函数 function[A,u]=gauss(a,n) for k=1:n-1%消去过程 for i=k+1:n for j=k+1:n+1%如果a(k,k)=0,则不能削去 if abs(a(k,k))>1e-6 %计算第k 步的增广矩阵 a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j); else%a(k,k)=0,顺序gauss 消去失败 disp (‘顺序gauss 消去失败‘)； pause; exit; end end end end%回代过程 x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x(j); endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end%返回gauss 消去后的增广矩阵 A=triu(a); %返回方程组的解 u=x ;练习和分析与思考： 用高斯消元法解方程组：12345124512345124512452471523814476192536x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++=⎪⎪++++=⎨⎪+++=⎪+++=⎪⎩2.列主元素消元法在高斯消元法中进行到第k 步时，不论()k ik a 是否为0，都按列选择()||(,,)k ik a i k n = 中最大的一个，称为列主元，将列主元所在行与第k 行交换再按高斯消元法进行下去称为列主元素消元法。
matlab中快速求解xa=b的方法
matlab中快速求解xa=b的方法在Matlab中，要快速求解线性方程组xa=b，可以使用以下几种方法：1. 直接求解法（\）：直接使用斜杠操作符（\）可以求解线性方程组。
例如，对于方程组xa=b，可以直接使用x = A\b来解决，其中A是系数矩阵，b是常数向量。
这种方法使用了高效的LU分解算法，并且能够自动适应方程组的类型（如稀疏矩阵或密集矩阵），因此是一种快速求解线性方程组的常用方法。
2. QR分解法：QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的方法。
在Matlab中，可以使用qr函数对系数矩阵进行QR分解，然后使用这个分解求解线性方程组。
具体而言，可以使用[q,r] = qr(A)将系数矩阵A分解为正交矩阵q和上三角矩阵r，然后使用x = r\(q'*b)求解方程组。
这种方法通常适用于方程组的系数矩阵具有较大的条件数或者方程组数目较多的情况。
3. Cholesky分解法：如果线性方程组的系数矩阵是对称正定的，那么可以使用Cholesky分解来求解方程组。
在Matlab中，可以使用chol函数对系数矩阵进行Cholesky分解，然后使用这个分解求解线性方程组。
具体而言，可以使用R = chol(A)将系数矩阵A分解为上三角矩阵R，然后使用x = R'\(R\b)求解方程组。
Cholesky分解法通常适用于系数矩阵具有良好的性质（如对称正定）的情况。
4. 迭代法：如果线性方程组的系数矩阵是稀疏的，那么可以使用迭代法来求解方程组。
迭代法的基本思想是通过迭代改进解的逼近值。
在Matlab中，可以使用pcg函数（预处理共轭梯度法）或者bicg函数（双共轭梯度法）来求解稀疏线性方程组。
这些函数需要提供一个预处理矩阵，用于加速迭代过程。
预处理矩阵可以根据具体问题进行选择，常见的预处理方法包括不完全LU分解（ilu）和代数多重网格（amg）等。
通过使用上述方法，可以在Matlab中快速求解线性方程组xa=b。
MATLAB-平方根法和改进平方根法求解线性方程组例题与程序演示教学
M A T L A B-平方根法和改进平方根法求解线性方程组例题与程序（2）设对称正定阵系数阵线方程组12345678424024000221213206411418356200216143323218122410394334411142202531011421500633421945x x x x x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢---⎢⎥⎢⎥⎢--⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥ (1,1,0,2,1,1,0,2)T x *=--二、数学原理 1、平方根法解n 阶线性方程组Ax=b 的choleskly 方法也叫做平方根法，这里对系数矩阵A 是有要求的，需要A 是对称正定矩阵，根据数值分析的相关理论，如果A 对称正定，那么系数矩阵就可以被分解为的T A=L L •形式，其中L 是下三角矩阵，将其代入Ax=b 中，可得：T LL x=b 进行如下分解：T L xL by y ⎧=⎨=⎩ 那么就可先计算y,再计算x ，由于L 是下三角矩阵，是T L 上三角矩阵，这样的计算比直接使用A 计算简便，同时你应该也发现了工作量就转移到了矩阵的分解上面，那么对于对称正定矩阵A 进行Cholesky 分解，我再描述一下过程吧： 如果你对原理很清楚那么这一段可以直接跳过的。
设T A=L L •，即1112111112112122221222221212....................................n n n n n n nn n n nn nn a a a l l l l aa a l l l l a a a l l l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==第1步，由矩阵乘法，211111111,i i a l a l l ==g 故求得111111,2,3,...i i a l l i n a === 一般的，设矩阵L 的前k-1列元素已经求出 第k 步，由矩阵乘法得112211k k kk kmkkik im km ik kkm m a l l a l l l l --===+=+∑∑, 于是11(2,3,...,n)1(),1,2,...kk k ik ik im km m kk l k l a l l i k k n l -=⎧=⎪⎪=⎨⎪=-=++⎪⎩∑ 2、改进平方根法在平方根的基础上，为了避免开方运算,所以用TLDL A =计算；其中，11122.........n d D D D d ⎤⎤⎡⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎣；得1121212212111111n n n n n d l l l d l A l l d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M MO O O M L按行计算的L 元素及D 对元素公式 对于n i ,,2,1Λ=11(1,21)j ij ij ik jk k t a t l j i -==-=-∑…，./(1,2,)ij ij j l t d j ==…，i-1.11i i ii ik ikk d a t l -==-∑计算出LD T =的第i 行元素(1,2,i-1)ij t j =…，后，存放在A 的第i 行相置，然后再计算L 的第i 行元素，存放在A 的第i 行.D 的对角元素存放在A 的相应位置.对称正定矩阵A 按T LDL 分解和按T LL 分解计算量差不多，但T LDL 分解不需要开放计算。
利用matlab解线性方程组
数值计算实验——解线性方程组西南交通大学2012级茅7班20123257 陈鼎摘要本报告主要介绍了基于求解线性方程组的高斯消元法和列主消元法两种数值分析方法的算法原理及实现方法。
运用matlab数学软件辅助求解。
实验内容1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证。
2．编写用列主消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证。
给定方程组如下：①0.325x1+2.564x2+3.888x3+5x4=1.521②-1.548x1+3.648x2+4.214x3-4.214x4=2.614③-2.154x1+1.647x2+5.364x3+x4=3.978④0x1+2.141x2-2.354x3-2x4=4.214A.高斯消元法一、算法介绍高斯消元法是一种规则化的加减消元法。
基本思想是通过逐次消元计算把需要求解的线性方程组转化成为上三角方程组，即把现形方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价的上三角方程组的求解。
二、matlab程序function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp(‘因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp(‘因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp(‘因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endend三、实验过程与结果输入的量：系数矩阵A和常系数向量b；输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA、RB，方程中未知量的个数n和有关方程组解X及其解的信息。
matlab超松弛迭代法求方程组
一、介绍MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和数据可视化的专业软件。
在MATLAB中，超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效算法。
本文将介绍MATLAB中超松弛迭代法的基本原理和实现方法，并给出一个具体的例子进行演示。
二、超松弛迭代法的基本原理超松弛迭代法是一种逐步迭代的算法，用于求解线性方程组。
它的基本原理是通过不断迭代更新方程组的解，直到达到满足精度要求的解。
超松弛迭代法的公式如下：X(k+1) = (1-w)X(k) + w*(D-L)⁻¹*(b+U*X(k))其中，X(k)代表第k次迭代的解向量，X(k+1)代表第k+1次迭代的解向量，D、L和U分别代表方程组的对角线元素、下三角元素和上三角元素构成的矩阵，b代表方程组的右端向量，w代表松弛因子。
超松弛迭代法的关键在于选择合适的松弛因子w，一般情况下，可以通过试验选取一个合适的值。
在MATLAB中，可以使用sor函数来实现超松弛迭代法。
三、MATLAB中超松弛迭代法的实现方法在MATLAB中，可以通过调用sor函数来实现超松弛迭代法。
sor 函数的语法格式如下：[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit)其中，A代表线性方程组的系数矩阵，b代表右端向量，w代表松弛因子，tol代表迭代的精度要求，maxit代表最大迭代次数，X代表迭代求解得到的解向量，flag代表迭代的结果标志，relres代表相对残差的大小，iter代表迭代次数，resvec代表迭代过程中的残差向量。
以下是一个使用sor函数求解线性方程组的示例：A = [4 -1 0 -1 0 0; -1 4 -1 0 -1 0; 0 -1 4 0 0 -1; -1 0 0 4 -1 0; 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 -1 0 -1 4];b = [1; 0; -1; 0; 1; 0];w = 1.25;tol = 1e-6;maxit = 100;[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit);通过调用sor函数，可以得到方程组的解向量X，迭代的结果标志flag，相对残余resrel和迭代次数iter。
matlab线性方程组求解
0.9739 -0.0047 1.0010
n= 5 Jacobi 迭代法： function [x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps= 1.0e-6; M = 200; elseif nargin<3 error return elseif nargin ==5 M = varargin{1}; end D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); B=D/(L+U); f=D/b; x=B*x0+f; n=1; % 迭代次数 % 求 A 的对角矩阵 % 求 A 的上三角阵
n= 5 Gauss-Seidel 迭代法： function [x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M) if nargin==3 eps= 1.0e-6; M = 200; elseif nargin == 4 M = 200; elseif nargin<3 error return; end D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)/U; f=(D-L)/b; % 求 A 的对角矩阵 % 求 A 的上三角阵 % 求 A 的下三角阵
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线性方程组求解 1. 直接法 Gauss 消元法： function x=DelGauss(a,b) % Gauss 消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1;% 存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)==0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k); end det=det*a(n,n);
matlab解方程组方法
matlab解方程组方法在MATLAB中，有多种方法可以解方程组。
以下是其中几种常用的方法：1.solve函数：这是最直接的方法，适用于解线性方程组。
假设你有以下线性方程组：(Ax = b)你可以使用solve函数来求解。
例如：2.matlab复制代码A = [1, 2; 3,4];b = [5; 6];x = solve(A,b);3.\和/运算符：这两个运算符也可以用于解线性方程组。
例如：4.matlab复制代码A = [1, 2; 3, 4];b = [5; 6];x = A\b; % 使用左除运算符或者matlab复制代码x = b/A; % 使用右除运算符5.gaussj函数：这个函数使用高斯-约当消元法来解方程组。
使用方法如下：6.matlab复制代码A = [1, 2; 3,4];b = [5; 6];x = gaussj(A,b);7.mldivide函数：这个函数与\运算符相同，也是用于解线性方程组。
例如：8.matlab复制代码A = [1, 2; 3, 4];b = [5; 6];x = mldivide(A, b); % 等价于A\b9.lyap函数：对于非线性方程组，可以使用lyap函数来求解。
这个函数用于解决Lyapunov方程，通常用于控制系统和稳定性分析。
使用方法如下：10.matlab复制代码A = [1, 2; 3, 4];lyap(A); % 对于给定的A矩阵，求解Lyapunov方程。
11.fzero和root函数：这两个函数用于求解非线性方程的根。
例如，如果你有一个非线性方程(f(x) = 0)，你可以使用fzero或root来找到这个方程的根。
使用方法如下：12.matlab复制代码f = @(x) x^2 - 4; % 非线性方程 f(x) = x^2 - 4x = fzero(f, [1, 2]); % 在区间[1,2]内寻找方程的根或者：matlab复制代码root(f) % 使用root函数求解非线性方程的根。
MATLAB编程与工程应用——第7章 MATLAB解方程与函数极值
MATLAB解方程与函数极值
7.1 线性方程组求解
二、迭代解法
迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值 分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、GaussSerdel迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。 Jacobi迭代法 1．Jacobi迭代法 对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即aii≠0， 则A可分解为A=D-L-U，其中D为对角阵，其元素为A的对 角元素，L与U为A的下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为： x=D-1(L+U)x+D-1b 与之对应的迭代公式为： x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 利用jacobi jacobi迭代法求方程的解 例7.4 利用jacobi迭代法求方程的解 exp7_4.m jacobi.m
如s=2时
j =1 j =1
i 1
i 1
1 ym +1 = ym + h[ f ( xm , ym ) + f ( xm + h, ym + h)] 2
线性方程组直接解法实验
实验一 线性方程组直接解法实验一、实验目的1.运用matlab 软件完成线性方程组的直接实验；2.通过实验,了解Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组的过程，并比较两种方法的优点。
二、实验题目分别用Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组123410-7018-3 2.09999962 5.9000015-15-1521021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x . 输出A ，b ；Doolittle 分解方法的L 和U ；解向量x,det A ;列主元方法的行交换次序，解向量x,det A ；比较两种方法所得的结果。
三、实验原理1) Doolittle 分解方法的原理算法原理：应用高斯消去法解n 阶线性方程Ax b =经过1n -步消去后得出一个等价的上三角形方程组()()n n A x b =，对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。
这个过程也可通过矩阵分解来实现。
将非奇异阵分解成一个下三角阵L 和上三角阵U 的乘积称为对矩阵A 的三角分解，又称LU 分解。
根据LU 分解,将Ax b =分解为Ly bUx y =⎧⎨=⎩形式,简化了求解问题。
程序框图：变量说明：ij a 为系数矩阵元素，i b 为常数矩阵系数，,ij ij l u 分别为下、上三角矩阵元素。
2)列主元消去法解方程组的原理算法原理：列选主元是当变换到第k步时，从k列的kk a及以下的各元素中选取绝对值a的位置上，然后再进行消元过程。
交换系数矩阵中最大的元素，通过行交换将其交换到kk的两行（包括常数项），相当于两个方程的位置交换了。
程序框图：Array变量说明：k表示消元到a为消元第k步时第k步，kk主对角线元素3)四、实验过程及结果1)Doolittle分解方法的输出结果----------计算实习题----------Page64 第1题用Doolittle分解方法解方程组A =10.0000 -7.0000 0 1.0000-3.0000 2.1000 6.0000 2.00005.0000 -1.0000 5.0000 -1.00002.0000 1.0000 0 2.0000b =8.00005.90005.00001.0000L =1.0e+006 *0.0000 0 0 0-0.0000 0.0000 0 00.0000 -2.5000 0.0000 00.0000 -2.4000 0.0000 0.0000 U =1.0e+007 *0.0000 -0.0000 0 0.00000 -0.0000 0.0000 0.00000 0 1.5000 0.57500 0 0 0.0000 X =-0.0000-1.00001.00001.0000det(A)值为-762.00009000----------输出完毕----------2)列主元消去法输出结果----------计算实习题----------Page64 第1题列主元消去法解方程组A =10.0000 -7.0000 0 1.0000-3.0000 2.1000 6.0000 2.00005.0000 -1.0000 5.0000 -1.00002.0000 1.0000 0 2.0000b =8.00005.90005.00001.0000X =0.0000-1.00001.00001.0000detA值为-762.00009000----------输出完毕----------五、实验分析1.运用LU分解法可以成批地解方程组,且速度快.若c先求LU=A3,再解(LU)x=b,则要重新计算,计算量增加;如果按照上述方法计算,能够减少运算次数,加快运算速度.3. ⑴无论当n=10、n=100、n=1000时,x1与x2的值都相等,且随着n的增大,变化的只是解的中间部分数字,头、前后几位数都没有变化.⑵高斯消去法应用于三对角方程组得到的就是所谓的“追赶法”.追赶法不需要对零元素计算，只有6n-5次乘除法计算量，求解速度快.且当系数矩阵对角占优时数值稳定，是解三对角方程组的优秀解法.⑶用LU分解法解此方程组速度慢.顺序高斯消去法实际上就是将方程组的系数矩阵分解成单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积.顺序高斯消去法的消元过程相当于LU分解过程和Ly=b的求解,回代过程则相当于解线性方程组Ux=y,故其求解速度慢.六、附原程序1)Doolittle分解方法原程序fprintf('----------计算实习题----------\n')fprintf('Page64 第1题用Doolittle分解方法解方程组\n')A=[10 -7 0 1 ; -3 2.099999 6 2 ;5 -1 5 -1 ; 2 1 0 2];b=[8;5.900001;5;1];n=length(A);U=zeros(n,n);L=eye(n,n);U(1,:)=A(1,:);L(2:n,1)=A(2:n,1)/U(1,1);for i=2:n;U(i,i:n)=A(i,i:n)-L(i,1:i-1)*U(1:i-1,i:n);L(i+1:n,i)=(A(i+1:n,i)-L(i+1:n,1:i-1)*U(1:i-1,i))/U(i,i); endY=zeros(n);Y(1)=b(1);for i=2:nY(i)=b(i)-L(i,1:i-1)*Y(1:i-1,1);endX=zeros(n,1);if det(U)==0;X=0;elseX(n)=Y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1X(i)=(Y(i)-U(i,i+1:n)*X(i+1:n,1))/U(i,i);endendAbLUXfprintf('det(A)值为%9.8f\n',det(A))fprintf('----------输出完毕 ----------\n')2)列主元消去法原程序fprintf('----------计算实习题----------\n')fprintf('Page64 第1题列主元消去法解方程组\n')A=[10 -7 0 1 ; -3 2.099999 6 2 ;5 -1 5 -1 ; 2 1 0 2];b=[8;5.900001;5;1];C=[A b];n=length(A);D=zeros(n,n+1);l=zeros(n,1);for i=1:nD=C;k=min(find(C(i:n,i)==max(C(i:n,i))));C(i,i:n+1)=D(k+i-1,i:n+1);C(k+i-1,i:n+1)=D(i,i:n+1);l(i+1:n,1)=C(i+1:n,i)/C(i,i);C(i+1:n,i:n+1)= C(i+1:n,i:n+1)- l(i+1:n,1)*C(i,i:n+1); endX=zeros(n,1);X(n)=C(n,n+1)/C(n,n);for i=n-1:-1:1X(i)=(C(i,n+1)-C(i,i+1:n)*X(i+1:n,1))/C(i,i); endAbXfprintf('detA值为%9.8f\n',det(A))fprintf('----------输出完毕----------\n')。
matlab求线性方程组的解
matlab求线性方程组的解求解线性方程分为两种方法–直接法和迭代法常见的方法一共有8种直接法Gauss消去法Cholesky分解法迭代法Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法超松弛迭代法共轭梯度法Bicg迭代法Bicgstab迭代法这里我从计算代码的角度来解释一下，代码按以下顺序给出。
把方程组直接带入已知条件，就可以得到答案。
适用条件Gauss消去法：求解中小规模线性方程（阶数不过1000），一般用于求系数矩阵稠密而且没有任何特殊结构的线性方程组Cholesky分解法：对称正定方程优先使用，系数矩阵A是n 阶对称正定矩阵Jacobi迭代法非奇异线性方程组，分量的计算顺序没有关系Gauss-Seidel迭代法与Jacobi迭代法相似，但计算的分量不能改变超松弛迭代法Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的加速版，由Gauss-Seidel迭代法改进而来，速度较快共轭梯度法需要确定松弛参数w,只有系数矩阵具有较好的性质时才可以找到最佳松弛因子。
但好处是不用确定任何参数，他是对称正定线性方程组的方法也是求解大型稀疏线性方程组最热门的方法Bicg迭代法本质是用双共轭梯度求解线性方程组的方法，对求解的方程没有正定性要求Bicgstab迭代法本质是用稳定双共轭梯度求解线性方程组的方法，对求解的方程没有正定性要求Gauss消去法第一、二个函数ltri、utri是一定要掌握的，后面的几乎每个函数都要用到ltri简单来说，当Ly=bb,L(非奇异下三角矩阵）已知求yfunction y =ltri(L,b)n=size(b,1);y=zeros(n,1);for j =1:n-1y(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-y(j)*L(j+1:n,j); endy(n)=b(n)/L(n,n);utri简单来说，当Ux=yy,U(非奇异上三角矩阵）已知求xfunction x =utri(U,y)n=size(y,1);x=zeros(n,1);for j = n:-1:2x(j)=y(j)/U(j,j);y(1:j-1)=y(1:j-1)-x(j)*U(1:j-1,j);endx(1)=y(1)/U(1,1);gauss算法，计算时粘贴过去就好function[L,U]=gauss(A)n=size(A,1);for k =1:n-1A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k +1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n);endL=tril(A,-1)+eye(n);U=triu(A);使用例子已经知道一个线性方程组，这里我就不写出数学形式了，A是系数矩阵，直接把上面写好的函数复制过来在运算就可以。
matlab计算方程组
matlab计算方程组Matlab作为一款试用范围广泛的科学计算软件，其计算方程组的能力也是非常强大的。
在Matlab中，可以通过多种方式计算方程组，比如使用直接法、迭代法、线性方程组求解器等等。
下面将分步骤阐述使用Matlab计算方程组的方法。
一、使用直接法求解直接法是一种将系数矩阵直接求逆再与常数向量相乘的方法，通常在方程组的规模较小时使用。
下面是使用Matlab求解线性方程组的示例代码：```matlab% 定义系数矩阵和常数向量A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];b = [3; 6; 9];% 求解方程组x = A\b;disp(x);```这段代码首先定义了一个3x3的系数矩阵A和一个3x1的常数向量b，然后使用反斜线符号来求解方程组。
该符号将A的逆矩阵乘上b，得到解向量x。
二、使用迭代法求解当方程组的规模较大时，直接法的计算量可能会非常大，在这种情况下可以使用迭代法来求解方程组。
迭代法的主要思想是通过反复迭代求解来逼近方程组的解。
常见的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
以Jacobi迭代法为例，下面是使用Matlab求解线性方程组的示例代码：```matlab% 定义系数矩阵和常数向量A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];b = [3; 6; 9];% 定义Jacobi迭代法函数function [x, k] = jacobi(A, b, x0, tol, max_iter)D = diag(diag(A));L = -tril(A, -1);U = -triu(A, 1);x = x0;for k = 1:max_iterx = inv(D)*(b + L*x + U*x);if norm(A*x - b) < tolreturnendendend% 求解方程组x0 = [0; 0; 0];tol = 1e-6;max_iter = 1000;[x, k] = jacobi(A, b, x0, tol, max_iter);disp(x);```这段代码首先定义了一个3x3的系数矩阵A和一个3x1的常数向量b，然后定义了一个Jacobi迭代法的函数来求解方程组。
MATLAB实验一 解线性方程组的直接法
输出 Ax b 中系数 A LU 分解的矩阵 L 和 U ，解向量 x 和 det(A) ;用列主元法 的行交换次序解向量 x 和求 det(A) ；比较两种方法所得结果。
2、用列主高斯消元法解线性方程组 Ax b 。
3.01 6.03 1.99 x1 1 4.16 1.23 x 2 1 （1） 、 1.27 0.987 4.81 9.34 x 1 3 3.00 6.03 1.99 x1 1 4.16 1.23 x 2 1 （2） 、 1.27 0.990 4.81 9.34 x 1 3
index = 1 3、在 MATLAB 窗口：
A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10]; b=[32 23 33 31]'; x=A\b b1=[32.1 22.9 33.1 30.9]'; x1=A\b1 A1=[10 7 8.1 7.2;7.08 5.04 6 5;8 5.98 9.89 9;6.99 5 9 9.98]; x2=A1\b delta_b=norm(b-b1)/norm(b) delta_A=norm(A-A1)/norm(A) delta_x1=norm(x-x1)/norm(x) delta_x2=norm(x-x2)/norm(x)
二. 实验要求 1、按照题目要求完成实验内容； 2、写出相应的 Matlab 程序； 3、给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； 4、分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。 5、写出实验报告。 三. 实验步骤 1、用 LU 分解及列主元高斯消去法解线性方程组
7 10 3 2.099999 a) 5 1 2 1 1 x1 8 6 2 x 2 5.900001 ， 5 1 x3 5 0 2 1 x 4 0
matlablu分解法求解方程组
matlablu分解法求解方程组Matlab中有多种方法可以用来求解线性方程组，其中matlablu分解法（LU decomposition）是一种常用的方法，它将方程组的系数矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程求出未知量。
1. matlablu分解法的基本原理LU分解法的基本思想是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
分解后的方程组为Lz=b和Ux=z，其中z和x分别表示中间变量和未知量，b为右端向量。
因为L和U都是三角矩阵，所以可以使用回代（back substitution）求解。
具体地，先用前向代入法（forward substitution）求解Lz=b，然后再用回代法求解Ux=z。
2. matlablu分解法的使用方法Matlab中提供了lu函数，可以直接使用matlablu分解法来求解方程组。
使用该函数时，需要输入系数矩阵A和右端向量b，输出下三角矩阵L、上三角矩阵U和置换矩阵P，满足PA=LU。
3. matlablu分解法的优缺点matlablu分解法的主要优点是计算量小，稳定性良好，对于系数矩阵比较稠密的情况下求解速度较快。
缺点是需要额外的空间存储L和U矩阵，当系数矩阵过于稠密时，存储和计算量会增加。
同时，如果系数矩阵A不是满秩矩阵，需要进行列主元素的选取，增加计算量。
4. matlablu分解法的应用场景matlablu分解法常常用于求解较小规模的方程组，尤其是系数矩阵稠密的情况。
同时，如果求解过程中需要对系数矩阵进行一定的修改，也可以使用matlablu分解法来快速地更新解。
总之，matlablu分解法是求解线性方程组的常用方法之一，它具有计算量小、稳定性好等优点。
在实际应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的求解方法。
matlab求解方程的几种方法
牛顿切线法的MATLAB 主程序function[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;for i=1: gxmaxx(i+1)=x(i)-fun(x(i))/(dfun(x(i))+eps);piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha= piancha/( abs(x(i+1))+eps); i=i+1;xk=x(i);yk=fun(x(i)); [(i-1) xk yk piancha xdpiancha]if (abs(yk)<ftol)&((piancha<tol)|(xdpiancha< tol))k=i-1; xk=x(i);[(i-1) xk yk piancha xdpiancha]return ;endendif i>gxmaxdisp('请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax 。
')k=i-1; xk=x(i);[(i-1) xk yk piancha xdpiancha]return ;end[(i-1),xk,yk,piancha,xdpiancha]';例 3 用牛顿切线法求方程013223=+-x x 在9.04.00和-=x 的近似根，要求精度310-=ε.解1）先将上面的主程序作为M 文件保存；2）再保存如下的两个M 文件：function y=fun(x)y=2*x^3-3*x^2+1;function y=dfun(x)y=6*x^2-6*x;3)最后在工作窗口输入命令>> [k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(-0.4,0.001, 0.001,100) 运行后输出初始值4.00-=x 和9.00=x 的迭代结果分别为：k =3，xk =-0.5000，yk =-7.7025e-007，piancha =3.5825e-004，xdpiancha =7.1650e-004 k =7，xk =0.9993，yk =1.5903e-006，piancha =7.2896e-004，xdpiancha =7.2949e-0041 高斯消元法及其MATLAB 程序f unction [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解.') endend例1 用高斯消元法和MATLAB 程序求解下面的非齐次线性方程组。
matlab共轭梯度法求解方程组
主题：matlab共轭梯度法求解方程组近年来，随着科学技术的不断发展，数学建模和计算机仿真成为科学研究和工程技术领域的重要手段。
在实际应用中，我们常常需要解决线性方程组的求解问题，而共轭梯度法作为一种高效的迭代求解方法，广泛应用于信号处理、图像处理、地球物理勘探和优化问题等领域。
本文将介绍如何利用matlab中的共轭梯度法求解线性方程组的基本原理和实际操作方法。
1. 共轭梯度法的基本原理共轭梯度法是一种迭代法，用于求解对称正定线性方程组Ax=b。
该方法的核心思想是通过一系列的迭代操作，逐步逼近方程组的解，直到满足一定的精度要求。
在每一步迭代中，共轭梯度法利用残差和方向向量的共轭性质，不断寻找最优的步长，从而实现方程组的求解。
2. matlab中共轭梯度法的基本调用方法在matlab中，调用共轭梯度法求解线性方程组非常简单。
需要将方程组的系数矩阵A和右端向量b输入到matlab中，然后利用内置函数conjugateGradient进行求解。
具体的调用方法如下：x = conjugateGradient(A, b, x0, maxIter, tol)其中，A为系数矩阵，b为右端向量，x0为初始解向量，maxIter为最大迭代次数，tol为精度要求。
调用完毕后，matlab将返回方程组的近似解x。
3. 共轭梯度法在实际工程中的应用共轭梯度法作为一种高效的求解方法，在工程技术领域得到了广泛的应用。
以图像处理为例，图像处理中经常需要解决大规模的线性方程组，而共轭梯度法能够高效地求解这类问题，提高了图像处理算法的效率和稳定性。
另外，在地球物理勘探中，共轭梯度法也被广泛应用于三维数据的快速处理和解释。
可以说，共轭梯度法在实际工程中发挥着重要的作用。
4. 共轭梯度法的优缺点分析尽管共轭梯度法具有非常高的效率和稳定性，但是该方法也存在一些缺点。
该方法只适用于对称正定的线性方程组，对于一般的线性方程组并不适用。
共轭梯度法的收敛速度受到方程条件数的影响，对于病态问题，可能收敛速度较慢。
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在这章中我们要学习线性方程组的直接法，特别是适合用数学软件在计算机上求解的方法.3.1 方程组的逆矩阵解法及其MATLAB 程序3.1.3 线性方程组有解的判定条件及其MATLAB 程序 判定线性方程组A n m ⨯b X =是否有解的MATLAB 程序function [RA,RB,n]=jiepb(A,b)B=[A b];n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解.') return endif RA==RB if RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解.') elsedisp('请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解.') end end例3.1.4 判断下列线性方程组解的情况.如果有唯一解，则用表 3-2方法求解.(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+;0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (3) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,1023,22421321321x x x x x x x x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+.12,2224,12w z y x w z y x w z y x解 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[2 3 -1 5;3 1 2 -7;4 1 -3 6;1 -2 4 -7]; b=[ 0; 0; 0; 0]; [RA,RB,n]=jiepb(A,b)运行后输出结果为请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解. RA = 4,RB =4,n =4 在MATLAB 工作窗口输入>>X=A\b,运行后输出结果为 X =(0 0 0 0)’.(2) 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[3 4 -5 7;2 -3 3 -2;4 11 -13 16;7 -2 1 3];b=[ 0; 0; 0; 0];[RA,RB,n]=jiepb(A,b)运行后输出结果请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解. RA =2,RB =2,n =4(3) 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0]; b=[2;10;8]; [RA,RB,n]=jiepb(A,B)运行后输出结果请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解. RA =2,RB =3,n =3(4)在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[2 1 -1 1;4 2 -2 1;2 1 -1 -1]; b=[1; 2; 1]; [RA,RB,n]=jiepb(A,b)运行后输出结果请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解. RA =2,RB =2,n =33.2 三角形方程组的解法及其MATLAB 程序3.2.2 解三角形方程组的MATLAB 程序 解上三角形线性方程组b AX =的MATLAB 程序function [RA,RB,n,X]=shangsan(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解.') return endif RA==RB if RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); X(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1X(k)=(b(k)-sum(A(k,k+1:n)*X(k+1:n)))/A(k,k);end elsedisp('请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解.')end end例3.2.2 用解上三角形线性方程组的MATLAB 程序解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=-+-=++-.63,456,7472,203254434324321x x x x x x x x x x . 解 在MATLAB 工作窗口输入程序>>A=[5 -1 2 3;0 -2 7 -4;0 0 6 5;0 0 0 3]; b=[20; -7; 4;6];[RA,RB,n,X]=shangsan(A,b)运行后输出结果请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解. RA = RB =4, 4, n =4,X =[2.4 -4.0 -1.0 2.0]’3.3 高斯（Gauss ）消元法和列主元消元法及其MATLAB 程序3.3.1 高斯消元法及其MATLAB 程序用高斯消元法解线性方程组b AX =的MATLAB 程序f unction [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解.') return endif RA==RB if RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end endb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解.') end end例3.3.2 用高斯消元法和MATLAB 程序求解下面的非齐次线性方程组，并且用逆矩阵解方程组的方法验证.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+---=+--=+--=-+-.142,16422,0,13432143214324321x x x x x x x x x x x x x x x 解 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 -1 1 -3; 0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1]; b=[1;0; -1;-1]; [RA,RB,n,X] =gaus (A,b)运行后输出结果请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解. RA =4RB =4n =43.3.2 列主元消元法及其MATLAB 程序用列主元消元法解线性方程组b AX =的MATLAB 程序function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);X = 0 -0.5000 0.5000 0RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解.') return endif RA==RB if RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:); B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C; for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end endb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解.') end end例3.3.3 用列主元消元法解线性方程组的MATLAB 程序解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+---=+--=-+-=+--.142,16422,13,0432143214321432x x x x x x x x x x x x x x x . 解 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[0 -1 -1 1;1 -1 1 -3;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1]; b=[0;1;-1;-1]; [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)运行后输出结果请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解. RA = 4，RB = 4，n = 4，X =[0 -0.5 0.5 0]’3.4 LU 分解法及其MATLAB 程序3.4.1判断矩阵LU 分解的充要条件及其MATLAB 程序 判断矩阵A 能否进行LU 分解的MATLAB 程序function hl=pdLUfj(A)[n n] =size(A); RA=rank(A); if RA~=ndisp('请注意：因为A 的n 阶行列式hl 等于零，所以A 不能进行LU 分解.A的秩RA 如下：'), RA,hl=det(A); returnendif RA==nfor p=1:n,h(p)=det(A(1:p, 1:p));, endhl=h(1:n); for i=1:nif h(1,i)==0disp('请注意：因为A 的r 阶主子式等于零，所以A 不能进行LU 分解.A 的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：'),hl;RA,returnend endif h(1,i)~=0disp('请注意：因为A 的各阶主子式都不等于零，所以A 能进行LU 分解.A 的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：')hl;RA end end例3.4.1 判断下列矩阵能否进行LU 分解，并求矩阵的秩.（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6547121321；（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654721321；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321321.解 （1）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 2 3;1 12 7;4 5 6];hl=pdLUfj(A)运行后输出结果为请注意：因为A 的各阶主子式都不等于零，所以A 能进行LU 分解.A 的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：RA = 3， hl = 1 10 -48（2）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 2 3;1 2 7;4 5 6];hl=pdLUfj(A)运行后输出结果为请注意：因为A 的r 阶主子式等于零，所以A 不能进行LU 分解.A 的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：RA = 3， hl =1 0 12（3）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 2 3;1 2 3;4 5 6];hl=pdLUfj(A)运行后输出结果为请注意：因为A 的n 阶行列式hl 等于零，所以A 不能进行LU 分解.A 的秩RA 如下RA = 2， hl = 03.4.2 直接LU 分解法及其MATLAB 程序 将矩阵A 进行直接LU 分解的MATLAB 程序function hl=zhjLU(A)[n n] =size(A); RA=rank(A); if RA~=ndisp('请注意：因为A 的n 阶行列式hl 等于零，所以A 不能进行LU 分解.A的秩RA 如下:'), RA,hl=det(A);return endif RA==n for p=1:nh(p)=det(A(1:p, 1:p)); endhl=h(1:n); for i=1:nif h(1,i)==0disp('请注意：因为A 的r 阶主子式等于零，所以A 不能进行LU 分解.A的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：'), hl;RAreturn end endif h(1,i)~=0disp('请注意：因为A 的各阶主子式都不等于零，所以A 能进行LU 分解.A的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：')for j=1:nU(1,j)=A(1,j); endfor k=2:n for i=2:n for j=2:nL(1,1)=1;L(i,i)=1; if i>jL(1,1)=1;L(2,1)=A(2,1)/U(1,1);L(i,1)=A(i,1)/U(1,1);L(i,k)=(A(i,k)- L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k); elseU(k,j)=A(k,j)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j); end end end endhl;RA,U,L end end例3.4.3 用矩阵进行直接LU 分解的MA TLAB 程序分解矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3010342110100201A . 解 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 0 2 0;0 1 0 1;1 2 4 3;0 1 0 3]; hl=zhjLU(A)运行后输出结果请注意：因为A 的各阶主子式都不等于零，所以A 能进行LU 分解.A 的秩RA和各阶顺序主子式值hl 依次如下：RA = 4U = 1 0 2 00 1 0 10 0 2 10 0 0 2 3.4.4 判断正定对称矩阵的方法及其MATLAB 程序 判断矩阵A 是否是正定对称矩阵的MATLAB 程序function hl=zddc(A) [n n] =size(A); for p=1:nh(p)=det(A(1:p, 1:p)); endhl=h(1:n);zA=A'; for i=1:nif h(1,i)<=0disp('请注意：因为A 的各阶顺序主子式hl 不全大于零，所以A 不是正定的.A 的转置矩阵zA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：'), hl;zA,returnend endif h(1,i)>0disp('请注意：因为A 的各阶顺序主子式hl 都大于零，所以A 是正定的.A 的转置矩阵zA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：')hl;zA endL = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 1 hl = 1 1 2 4例3.4.5 判断下列矩阵是否是正定对称矩阵：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--98754113211143214321.0；(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------19631690230311211； (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----212100212100002121002121；（4）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---401061112. 解 （1）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[0.1 2 3 4;-1 2 -3 4;11 21 13 41;5 7 8 9];hl=zddc (A)运行后输出结果请注意： A 不是对称矩阵请注意：因为A 的各阶顺序主子式hl 不全大于零，所以A 不是正定的.A 的转置矩阵zA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：zA = 1/10 -1 11 5 2 2 21 7 3 -3 13 8 4 4 41 9 hl = 1/10 11/5 -1601/10 3696/5因此,A 即不是正定矩阵，也不是对称矩阵.（2）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 -1 2 1;-1 3 0 -3;2 0 9 -6;1 -3 -6 19],hl=zddc(A)运行后输出结果A = 1 -1 2 1 -1 3 0 -3 2 0 9 -6 1 -3 -6 19 请注意： A 是对称矩阵请注意：因为A 的各阶顺序主子式hl 都大于零，所以A 是正定的.A 的转置矩阵zA和各阶顺序主子式值hl 依次如下：zA = 1 -1 2 1 -1 3 0 -3 2 0 9 -6 1 -3 -6 19 hl = 1 2 6 24 （3）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1/sqrt(2) -1/sqrt(2) 0 0; -1/sqrt(2) 1/sqrt(2) 0 0; 00 1/sqrt(2) -1/sqrt(2); 0 0 -1/sqrt(2) 1/sqrt(2)], hl=zddc (A) 运行后输出结果A= 985/1393 -985/1393 0 0 -985/1393 985/1393 0 0 0 0 985/1393 -985/1393 0 0 -985/1393 985/1393 请注意： A 是对称矩阵请注意：因为A 的各阶顺序主子式hl 不全大于零，所以A 不是正定的.A 的转置矩阵zA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：zA = 985/1393 -985/1393 0 0 -985/1393 985/1393 0 0 0 0 985/1393 -985/1393 0 0 -985/1393 985/1393 hl = 985/1393 0 0 0可见，A 不是正定矩阵，是半正定矩阵；因为A = A T因此，A 是对称矩阵.（4）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[-2 1 1;1 -6 0;1 0 -4];hl=zddc (A)运行后输出结果A = -2 1 11 -6 0 1 0 -4 请注意： A 是对称矩阵请注意：因为A 的各阶顺序主子式hl 不全大于零，所以A 不是正定的.A 的转置矩阵zA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：zA = -2 1 1 hl = -2 11 -38 1 -6 0 1 0 -4可见A 不是正定矩阵，是负定矩阵；因为A = A T因此，A 是对称矩阵.3.5 求解线性方程组的LU 方法及其MATLAB 程序3.5.1 解线性方程组的楚列斯基（Cholesky ）分解法及其MATLAB 程序例3.5.1 先将矩阵A 进行楚列斯基分解,然后解矩阵方程b AX =，并用其他方法验证.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=7531,19631690230311211b A . 解 在工作窗口输入>>A=[1 -1 2 1;-1 3 0 -3; 2 0 9 -6;1 -3 -6 19];b1=1:2:7; b=b1'; R=chol(A);C=A-R'*R,R1=inv(R);R2=R1'; x=R1*R2*b,Rx=A\b-x运行后输出方程组的解和验证结果x = Rx = 1.0e-014 * C = 1.0e-015 * -8.0000 -0.7105 0 0 0 0 0.3333 -0.0833 0 -0.4441 0 0 3.6667 0.2220 0 0 0 0 2.0000 0.1332 0 0 0 03.5.2 解线性方程组的直接LU 分解法及其MATLAB 程序例3.5.2 首先将矩阵A 直接进行LU 分解，然后解矩阵方程b AX =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3010342110100201A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=5121b . 解 (1) 首先将矩阵A 直接进行LU 分解.在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[1 0 2 0;0 1 0 1;1 2 4 3;0 1 0 3];b=[1;2;-1;5];hl=zhjLU(A),A-L*U 运行后输出LU 分解请注意：因为A 的各阶主子式都不等于零，所以A 能进行LU 分解.A 的秩RA和各阶顺序主子式值hl 依次如下：RA = 4U = 1 0 2 00 1 0 10 0 2 10 0 0 2A 分解为一个单位下三角形矩阵L 和一个上三角形矩阵U 的积 LU A =.(2)在工作窗口输入>> U=[1 0 2 0;0 1 0 1;0 0 2 1;0 0 0 2]; L=[1 0 0 0;0 1 0 0;1L = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 1 hl = 1 1 2 42 1 0;0 1 0 1];b=[1;2;-1;5];U1=inv(U); L1=inv(L); X=U1*L1*b,x=A\b运行后输出方程组的解X = 8.50000000000000 0.50000000000000 -3.75000000000000 1.500000000000003.5.3 解线性方程组的选主元的LU 方法及其MATLAB 程序例3.5.3 先将矩阵A 进行LU 分解，然后解矩阵方程b AX = 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=98754113211143214321.0A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=5121b . 解 方法1 根据（3.28）式编写MATLAB 程序，然后在工作窗口输入>> A=[0.1 2 3 4;-1 2 -3 4;11 21 13 41;5 7 8 9];b=[1;2;-1;5]; [L U P]=LU(A), U1=inv(U); L1=inv(L); X=U1*L1*P*b运行后输出结果L = 1.0000 0 0 0 -0.0909 1.0000 0 0 0.0091 0.4628 1.0000 0 0.4545 -0.6512 0.2436 1.0000 U =11.0000 21.0000 13.0000 41.0000 0 3.9091 -1.8182 7.72730 0 3.7233 0.05120 0 0 -4.6171方法2 根据（3.29）式编写MATLAB 程序，然后在工作窗口输入>> A=[0.1 2 3 4;-1 2 -3 4;11 21 13 41;5 7 8 9];b=[1;2;-1;5]; [F U]=LU(A), U1=inv(U); F1=inv(F); X=U1*F1*b运行后输出结果F=0.0091 0.4628 1.0000 0 -0.0909 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 0.4545 -0.6512 0.2436 1.0000 X =[-1.2013 3.3677 0.0536 -1.4440]’ 用LU 分解法解线性方程组A n m ⨯b X =的MATLAB 程序function [RA,RB,n,X,Y]=LUjfcz(A,b)[n n] =size(A);B=[A b]; RA=rank(A); RB=rank(B); for p=1:nh(p)=det(A(1:p, 1:p)); endhl=h(1:n); for i=1:nif h(1,i)==0disp('请注意：因为A 的r 阶主子式等于零，所以A 不能进行LU 分解.A的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：')hl;RA return end endif h(1,i)~=0disp('请注意：因为A 的各阶主子式都不等于零，所以A 能进行LU 分解.A 的秩RA 和各阶顺序主子式值hl 依次如下：')P = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 X =[-1.2013 3.3677 0.0536 -1.4440]’ U=11.0000 21.0000 13.0000 41.0000 0 3.9091 -1.8182 7.7273 0 0 3.7233 0.0512 0 0 0 -4.6171X=zeros(n,1); Y=zeros(n,1); C=zeros(1,n);r=1:1; for p=1:n-1[max1,j]=max(abs(A(p:n,p))); C=A(p,:); A(p,:)= A(j+P1,:); C= A(j+P1,:); g=r(p); r(p)= r(j+P1); r(j+P1)=g; for k=p+1:nH= A(k,p)/A(p,p); A(k,p) = H; A(k,p+1:n)=A(k,p+1:n)-H* A(p,p+1:n);end endY(1)=B(r(1)); for k=2:nY(k)= B(r(k))- A(k,1:k-1)* Y(1:k-1); endX(n)= Y(n)/ A(n,n); for i=n-1:-1:1X(i)= (Y(i)- A(i, i+1:n) * X (i+1:n))/ A(i,i); end end[RA,RB,n,X,Y]’;3.6 误差分析及其两种MATLAB 程序3.6.1 用MATLAB 软件作误差分析例3.6.2 解下列矩阵方程b AX =，并比较方程（1）和（2）有何区别，它们的解有何变化.其中,13/112/111/110/19/18/17/112/111/110/19/18/17/16/111/110/19/18/17/16/15/110/19/18/17/16/15/14/19/18/17/16/15/14/13/18/17/16/15/14/13/12/17/16/15/14/13/12/11)1(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ;2222221⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ,13/112/111/110/19/18/17/112/111/110/19/18/17/16/111/110/19/18/17/16/15/110/19/18/17/16/15/14/19/18/17/16/15/14/13/18/17/16/15/14/13/12/17/16/15/14/13/12/1001.1)2(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A .2222221⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b 解 (1) 矩阵方程b AX =的系数矩阵A 为7阶希尔伯特（Hilbert ）矩阵，我们可以用下列命令计算n 阶希尔伯特矩阵>>h=hilb(n) % 输出h 为n 阶Hilbert 矩阵 在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=hilb(7);b=[1;2;2;2;2;2;2];X=A\b运行后输出b AX =的解为 X =（-35 504 -1260 -4200 20790 -27720 12012T).（2）在MATLAB 工作窗口输入程序>> B =[0.001,zeros(1,6);zeros(6,1),zeros(6,6)]; A=(B+hilb(7)); b=[1;2;2;2;2;2;2];X=A\b运行后输出方程的解为 X=（-33 465 -966 -5181 22409 -29015 12413T).在MATLAB 工作窗口输入程序>> X =[-33, 465,-966,-5181,22409,-29015,12413]';X1 =[-35,504,-1260,-4200,20790,-27720,12012]'; wu=X1'- X' 运行后输出方程（1）和（2）的解的误差为=δX 401- 1295 1619- 981 294- 39 -2(T ).方程（1）和（2）的系数矩阵的差为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=δ⨯⨯⨯661661001.0O O O A ，常数向量相同，则b Ax =的解的差为=δX 40112951619981294392(----T ).A 的微小变化，引起X 的很大变化，即X 对A 的扰动是敏感的.3.6.2 求P 条件数和讨论b AX =解的性态的MATLAB 程序求P 条件数和讨论b AX =解的性态的MATLAB 程序function Acp=zpjxpb(A)Acw = cond (A, inf);Ac1= cond (A,1);Ac2= cond (A,2);Acf = cond (A,'fro');dA=det(A);if (Acw>50)&(dA<0.1)disp('请注意：AX=b 是病态的，A 的∞条件数,1条件数,2条件数, 弗罗贝尼乌斯条件数和A 的行列式的值依次如下：')Acp=[Acw Ac1 Ac2 Acf dA]';elsedisp(' AX=b 是良态的，A 的∞条件数,1条件数,2条件数,弗罗贝尼乌斯条件数和A 的行列式的值依次如下：')Acp=[Acw Ac1 Ac2 Acf dA]';end例3.6.3 根据定理3.10，讨论线性方程组b AX =解的性态，并且求出A 的4种条件数.其中（1）A 为7阶希尔伯特矩阵；（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7421631472135132A . 解 （1）首先将求P 条件数和讨论b AX =解的性态的MATLAB 程序保存名为zpjxpb.m 的M 文件，然后在MATLAB 工作窗口输入程序>> Acp =zpjxpb(hilb(7)); Acp',det(hilb(7))运行后输出结果请注意：AX=b 是病态的，A 的∞条件数,1条件数,2条件数, 弗罗贝尼乌斯条件数和A 的行列式的值依次如下：ans = 1.0e+008 *9.8519 9.8519 4.7537 4.8175 0.0000ans = 4.8358e-025（2）在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[2 3 -1 5;3 1 2 -7;4 1 -3 6;1 -2 4 -7];Acp=zpjxpb(A); Acp' 运行后输出结果 AX=b 是良态的，A 的∞条件数,1条件数,2条件数, 弗罗贝尼乌斯条件数和A 的行列式的值依次如下：ans =14.1713 19.4954 8.2085 11.4203 327.00003.6.3 用P 范数讨论b AX =解和A 的性态的MATLAB 程序用P 范数讨论b AX =解和A 的性态的MATLAB 程序function Acp=zpjwc(A,jA,b,jb,P)Acp = cond (A,P);dA=det(A); X=A\b;dertaA=A-jA;PndA=norm(dertaA, P);dertab=b-jb;Pndb=norm(dertab, P);if Pndb>0jX=A\jb; Pnb= norm(b, P);PnjX = norm(jX,P); dertaX=X-jX;PnjdX= norm(dertaX, P);jxX= PnjdX/PnjX; PnjX =norm(jX,P);PnX = norm(X,P); jxX= PnjdX/PnjX; xX= PnjdX/PnX;Pndb=norm(dertab,P);xAb=Pndb/Pnb;Pnbj=norm(jb,P); xAbj=Pndb/Pnbj;Xgxx= Acp*xAb;endif PndA>0jX=jA\b; dertaX=X-jX;PnX = norm(X,P);PnjdX= norm(dertaX, P);PnjX = norm(jX,P); jxX= PnjdX/PnjX;xX= PnjdX/PnX;PnjA=norm(jA,P); PnA=norm(A,P);PndA=norm(dertaA,P);xAbj= PndA/PnjA;xAb= PndA/PnA;Xgxx= Acp*xAb;endif (Acp >50)&(dA<0.1)disp('请注意：AX=b 是病态的，A 的P 条件数Acp,A 的行列式值dA ，解X ，近似解jX ，解的相对误差jxX ，解的相对误差估计值Xgxx ，b 或A 的相对误差xAb 依次如下：')Acp,dA,X',jX',xX',jxX',Xgxx',xAb',xAbj'elsedisp('请注意： AX=b 是良态的，A 的P 条件数Acp,A 的行列式值dA ，解X ，近似解jX ，解的相对误差jxX ，解的相对误差估计值Xgxx ，b 或A 的相对误差xAb 依次如下：')Acp,dA,X',jX',xX',jxX',Xgxx',xAb',xAbj'end例3.6.4 根据定理3.10，讨论线性方程组b AX =解的性态，并利用（3.32）式讨论当A 的每个元都取4位有效数字时，其解的相对误差.其中A 为7阶希尔伯特矩阵，()22224311=b T .解 （1）取∞范数和∞条件数，线性方程组b AX =的b 不变时，取∞范数和∞条件数，系数矩阵A 为7阶希尔伯特矩阵，A 中的每个元素取4位有效数字.用P 范数讨论b AX =解和A 的性态的MATLAB 程序保存名为zpjwc.m 的文件,然后在工作窗口输入MATLAB 程序>> jA =[1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.14290.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.12500.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.11110.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.10000.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.09090.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.08330.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769]; A=hilb(7);b=[1;1/3;4;2;2;2;2];jb=[1;0.3333;4;2;2;2;2]; Acp=zpjwc(A,jA,b,jb,inf)运行后输出结果请注意：AX=b 是病态的，A 的P 条件数Acp,A 的行列式值dA ，解X ，近似解jX ，解的相对误差jxX ，解的相对误差估计值Xgxx ，b 或A 的相对误差xAb 依次如下：Acp = dA =9.8519e+008 4.8358e-025ans =1.0e+007 *0.0020 -0.0697 0.6243 -2.3054 4.0677 -3.41231.0943ans =1.0e+004 *0.0349 -0.4807 2.1126 -5.1087 7.6557 -6.32392.1112xX = jxX = Xgxx =0.9981 530.3248 4.9291e+004 xAb = xAbj =5.0032e-005 5.0031e-005由此可见，因为∞条件数(Cond ≈∞)A 985 194 889.719 848 31>>，所以此方程组为病态的b AX =的解T 932)94210320,12334-790,676380,402.305-300,2436 256,697- 565,19( =X ， b X jA =)(的解为T )11221239,63-,55767087,51-126,21 079,48- ,493( =jX 解的相对误差120.998≈∞∞X Xδ,291.2749≤+∞∞X X X δδ , 530.32≈+∞∞X X X δδ,,1025.0035-∞∞⨯≈A Aδ即相对误差放大了约985 194 889.72倍.(2) 如果取2范数和2条件数计算，在MATLAB 工作窗口输入程序>> Acp =zpjwc(A,jA,b,jb,2)运行后输出结果请注意：AX=b 是病态的，A 的P 条件数Acp,A 的行列式值dA ，解X ，近似解jX ，解的相对误差jxX ，解的相对误差估计值Xgxx ，b 或A 的相对误差xAb 依次如下：Acp = dA =4.7537e+008 4.8358e-025ans =1.0e+007 *0.0020 -0.0697 0.6243 -2.3054 4.0677 -3.41231.0943ans =1.0e+004 *0.0349 -0.4807 2.1126 -5.1087 7.6557 -6.32392.1112xX = jxX = Xgxx=0.9981 511.0640 2.9951e+004xAb = xAbj =6.3006e-005 6.3005e-005因为2条件数Cond ≈2)(A 475 367 356.591>>，所以此方程组为病态的.解的相对误差10.998 22≈X X δ,,105300.6522-⨯≈A A δ,06.51122≈+X X X δδ.85.9502922≤+A A A δδ 即相对误差放大了约475 367 356.59倍.。