matlab解线性方程组

2 x1 2 x 2 3 x3 5 (2源自文库 x1 x 2 2 x3 3 2 x 3x x 0 2 3 1
(1) a=[2 -2 3;-1 1 -2;1 -1 1]; b=[5;3;4] ; r1=rank(a); r2=rank([a,b])
其中c1和c2为任意实数
例3 判定下列线性方程组是否有解?若有解,求出其解
2 x1 2 x2 3x3 5 (1) x1 x2 2 x3 3 x x x 4 3 1 2 2 x1 2 x 2 3 x3 5 (3) x1 x 2 2 x3 3 x x x 8 2 3 1
rand(m,n) 生成m行n列[0,1]上均匀分 布随机数矩阵； linspace(x1,x2,n) 生成x1与x2间的n维 等距行向量,即将[x1,x2] n-1等分。 2、行列式和逆矩阵
det(A) 返回方阵A的行列式;
inv(A) 返回A的逆矩阵。
3、矩阵除法 左除法 A\B 求解矩阵方程AX=B 右除法 B/A 求解矩阵方程XA=B (1) 当A为方阵，A\B与inv(A)*B基本一致： (2) 当A不是方阵，除法将自动检测。 • 若方程组无解,除法给出最小二乘意义上 的近似解，即使向量AX－B的长度达到最小； • 若方程组有无穷多解，除法将给出一个 具有最多零元素的特解； • 若为唯一解，除法将给出解。
解法二:
a=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1]; b=[1;1;-1]; r=[rank(a),rank([a,b])]; t=rref([a,b]); % 此时得出一个行简化阶梯形矩阵 运行后得: 1 t= 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 1 0
虚线为等号
x1 0 0.7071 x 2 19 c 0.7071 x 11 0 3
其中c为任意实数
三、国民经济投入产出分析
设有n个经济部门，xi为部门i的总 产出，cij为部门j单位产品对部门i产品 的消耗，di为外部对部门i的需求，fj为 部门j新创造的价值。那么各经济部门 总产出应满足下列关系式：
例2 线性方程组的通解
x1 x 2 x3 x 4 1 x1 x 2 x3 x 4 1 2 x 2 x x x 1 2 3 4 1 解 在无穷多解情况下可用三种方法求通解， ●用rref化为行最简形以后求解； ●用除法求出一个特解，再用null求得一个 齐次组的基础解系； ●用符号工具箱中的solve求解。
从而知原方程组等价于
x1 x2 0 x3 x 4 1
x1 x 2 0 对 x3 x 4 1
0 x2 0 0 令自由未知量 取值为 , 得一特解 1 0 x 4 0
»A=[1 2;3 -2;1 -1]; »B=[1;4;2];x=A \B 求得一最小二乘近似解
» A=[1 2;-2 -4]; x 2y 1 »B=[1;-2];x=A\B 2 x 4 y 2 不能直接求解 增加方程 0x+0y=0
» A=[1 2;-2 -4;0 0]; »B=[1;-2;0];x=A\B 仍可求一近似特解
0 - 0.7071 0 0 - 0.7071 0 其中c1和c2为任意实数 结果为: x c1 c2 1 0 0.7071 0 0 0.7071
x j x j cij f j j=1,2,…,n
i 1
n
消耗平衡方程组
xi cij x j di
j 1
n
i =1,2,…,n
分配平衡方程组 令 C =（cij），X = (x1, …, xn)' , D = (d1, …, dn)’，F= (f1, …, fn)’ 则 X=CX+D 令 A = E－C，E为单位矩阵，则 AX = D C称为直接消耗矩阵，A称为列昂杰夫 （Leontief）矩阵。
Matlab程序: C=[0 0.65 0.55;0.25 0.05 0.1;0.25 0.05 0]; D=[50000;25000;0]; A=eye(3)-C; X=A\D; %总产出矩阵向量 B=C*diag(X); %投入产出矩阵 Y=ones(1,3)*B; %总投入向量 F=X-Y’ %新创造价值向量
x1 50000 产出向量X = x2 外界需求向量 D = 25000 0 x3 0 0.65 0.55 . 直接消耗矩阵C= 0.25 0.05 010 0 . 25 0 . 05 0 则原方程为 (E-C)X=D 投入产出矩阵为 B=C*diag(X) 总投入向量 Y= ones(1,3)*B 新创造价值向量 F=X-Y’
（U| v ）
其中U是行简化阶梯形矩阵 (1) 阶梯形矩阵 (2) 每行首个非零元素为1,并且该1所在列其 它元素都为0
2、逆矩阵 方阵A称为可逆的，如果存在方阵B， 使A B = B A = E，记 B = A-1 方阵A可逆的充分必要条件:A0 求逆矩阵方法：
• A-1 =A*/|A| 这里A*为A的伴随矩阵
x 2y z 1 3x 2 y z 4
» A=[1 2;3 -2]; » B=[1;4];x=A\B 求得唯一解 » A=[1 2 1;3 -2 1]; » B=[1;4];x=A\B 求得一特解
x 2y 1 3x 2 y 4 x y 2
结果为:
x1 0 1 0 x2 0 1 0 x 1 c1 0 c 2 1 3 0 1 x 0 4
r1 ≠ r2
无解
(2) a=[2 -2 3;-1 1 -2;2 -3 1]; b=[5;3;0]; r1=rank(a); r2=rank([a,b]) x=a\b 或x=inv(a)*b
r1 = r2=3
唯一解
(3) a=[2 -2 3;-1 1 -2;1 -1 1] ; b=[5;3;8]; r1=rank(a); r2=rank([a,b])
一、数学理论复习
1、线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
记为 A x = b 其中A =(aij)m×n x = (x1, …,xn)’, b = (b1, …, bm)’
方法一:
a=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1]; b=[1;1;-1]; r=[rank(a),rank([a,b])]; x0=a\b,xx=null(a); % x0为一特解,xx为对应齐次组的基础解系 运行后得: r=(2,2) 说明系数矩阵秩和增广矩阵秩相等,自由未知量为4-2=2个 -0.7071 0 0 -0.7071 0 0 x0= xx= -0.0000 0.7071 1 -0.0000 0.7071 0 方程组的解=特解+对应齐次组的通解
• （A E） 行变换 （E A-1）
3、特征值与特征向量
对于方阵A，若存在数和非零向量x 使 A x = x，则称为A的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值的特征向量。 特征值计算归结为: 特征多项式|A - E|=0的求根。对应于 特征值的特征向量是齐次线性方程组 (A - E) x = 0的所有非零解
x1 B=C
x2
xn
B表示各部门间 的投入产出关 系，称为投入 产出矩阵。
Y = [1,1,…,1] B Y表示各部门的总投入，称为投入向量。 新创造价值向量 F=X –Y '
四、实验例题
例4 某地有三个产业，一个煤矿，一个发 电厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要 支付0.25元的电费及0.25元的运输费; 生产 一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费， 0.05元的电费及0.05元的运输费; 创收一元 钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费和 0.10元的电费，在某一周内煤矿接到外地金 额50000元定货，发电厂接到外地金额25000 元定货，外界对地方铁路没有需求。
4、特征值和特征向量
D=eig(A) 返回方阵A的特征值构成的列向量； [V,D]=eig(A) 返回方阵A的特征值构成的对角 阵D和每个特征值对应的特征向量按列构成的 矩阵V。其中每个特征向量都是模等于1的向量， 并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交 化。
例1 解下列方程组
x 2y 1 3x 2 y 4
Ax = 0 称为齐次的线性方程组 对于线性方程组 Ax = b： 若秩(A) 秩(A,b)，则无解；
若秩(A) = 秩(A,b) = n, 存在唯一解；
若秩(A) = 秩(A,b) < n, 存在无穷多解；
通解是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解
系与 Ax=b 的一个特解之和。
高斯消元法 对于线性方程组 Ax = b （A | b） 行变换
x1 x2 0 对导出组 x3 x 4 0
x2 1 0 令自由未知量 0 , 1 ， x 分别取值为 4 1 0 1 0 得两基础无关解 , 0 1 0 1
x0=a\b
r1 = r2=2<3
无穷解
经运行发现无法解出x0 因此给原方程组加 一个方程0x1+0x2+0x3=0
a1=[2 -2 3;-1 1 -2;1 -1 1;0 0 0] ; b1=[5;3;8;0]; x1=a1\b1; %经运行后可得出一个特解x1=(0,-19,-11)’ x=null(a1) 结果为: %运行后得基础解x=(0.7071, 0.7071,0)’
二、使用MATLAB
det 方阵的行列式 diag 对角阵 inv 方阵的逆 cond 方阵的条件数 trace 方阵的迹 orth 正交规范化 rank 矩阵的秩 null 求基础解系 rref 矩阵的行最简形 eig 特征值与特征向量 jordan 约当标准形分解 norm 矩阵或向量范数
1、特殊矩阵生成 zeros(m,n) 生成m行n列的零矩阵; ones(m,n) 生成m行n列的元素全为1的阵; eye(n) 生成n阶单位矩阵; 当A是矩阵,diag(A)返回A的对角线元素 构成的向量; 当X是向量,diag(X)返回由X的元素构成 的对角矩阵；
问三个企业间一周内总产值多少才能满足 自身及外界需求？三个企业间相互支付多 少金额？三个企业各创造多少新价值? 解：这是一个投入产出分析问题。设 x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产 值, x3为铁路总产值, 则
x1 (0 x1 0.65x2 0.55x3 ) 50000 . x3 ) 25000 x2 (0.25x1 0.05x2 010 x (0.25x 0.05x 0 x ) 0 1 2 3 3