MatLab求解线性方程组

MatLab解线性方程组一文通

当齐次线性方程AX=0,rank(A)=r

用matlab 中的命令x=null(A, r )即可.其中:r=rank(A)

A=[ 1 1 1 1 -3 -1 1

1 0 0 0 1 1 0

-2 0 0 -1 0 -1 -2]

用matlab 求解程序为:A=[1 1 1 1 -3 -1 1;1 0 0 0 1 1 0;-2 0 0 -1 0 -1 -2];

r=rank(A);

y=null(A, r )

得到解为:

y=[ 0 -1 -1 0

-1 2 1 1

1 0 0 0

0 2 1 -2

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1]

其列向量为Ay=0的一个基本解

MatLab解线性方程组一文通！

-------------------作者：liguoy（2005-2-3）

写在阅读本文前的引子。

一：读者对线性代数与Matlab 要有基本的了解；

二：文中的通用exp.m文件，你须把具体的A和b代进去。

一：基本概念

1．N级行列式A：|A|等于所有取自不同行不同列的n个元素的积的代数和。

2．矩阵B：矩阵的概念是很直观的，可以说是一张表。

3．线性无关：一向量组(a ,a ,…. a )不线性相关，即没有不全为零的数k ,k ,……kn

使得：k1* a +k2* a +…..+kn*an=0

4. 秩：向量组的极在线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

5．矩阵B的秩：行秩，指矩阵的行向量组的秩；列秩类似。记：R(B)

6．一般线性方程组是指形式： (1)

其中x1,x2,…….xn为n个未知数，s为方程个数。记：A*X=b

7．性方程组的增广矩阵：=

8. A*X=0 (2)

二：基本理论

三种基本变换：1，用一非零的数乘某一方程；2，把一个方程的倍数加到另一个方程；3互换两个方程的位置。以上称初等变换。

消元法（理论上分析解的情况，一切矩阵计算的基础）

首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式”0=0”（如果出现的

话）去掉，1：如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零数，那么方程组无解；

否则有解，在有解的情况下，2：如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那

么方程组有唯一的解，3：如果阶梯形方程组中方程的个数r小于是未知量的个数，那么方

程组就有无穷个解。

用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵

。化成阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形下，回到阶梯形方程组

去解。

定理1：线性方程组有解的充要条件为：R（A）=R（）

线性方程组解的结构：

1：对齐次线性方程组，a: 两个解的和还是方程组的解；b: 一个解的倍数还是方程组的解

。定义：齐次线性方程组的一组解u1,u2,….ui 称为齐次线性方程组的一个基础解系，如

果：齐次线性方程组的任一解都能表成u1,u2,….ui的线性组合，且u1,u2,….ui线性无关

。

2：对非齐次线性方程组

（I）方程组（1）的两个解的差是（2）的解。

（II）方程组（1）的一个解与（2）的一个解之和还是（1）的解。

定理2 如果r0是方程组（1）的一个特解，那么方程组（1）的任一个解r都可以表成：

r=ro+v (3)

其中v是（2）的一个解，因此，对方程（1）的任一特解ro,当v取遍它的全部解时，(3) 就

给出了（1）的全部解。

三：基本思路

线性方程的求解分为两类：一类是方程组求唯一解或求特解;一类是方程组求无穷解即通解

。

I）判断方程组解的情况。1：当R（A）=R（）时有解（R（A）=R（）>=n唯一解，R（

A）=R（）〈n,有无穷解〉；2：当R（A）+1=R（）时无解。

II）求特解；

III）求通解(无穷解), 线性方程组的无穷解= 对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的

一个特解；

注：以上针对非齐次线性方程组，对齐次线性方程组，主要是用到I)、III)步！

四：基本方法

基本思路将在解题的过程中得到体现。

1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠

密矩阵——直接法；一类是解大型稀疏矩阵——迭代法。

1．1利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）

方程：AX=b，解法：X=A"b，(注意此处’"’不是’/’)

例1-1 求方程组的解。

解: A = ; = ；b=(1,0,0,0,1)’

由于>>rank(A)=5,rank( )=5 %求秩，此为R（A）=R（）>=n的情形，有唯一解。>>X= A"b %求解X =(2.2662, -1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数rref 求解，>>sv=rref(A:b);所得sv的最后一列即为所要求的解。

1．2 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解，这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。

I) LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换

）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。

则：A*X=b 变成L*U*X=b

所以X=U"(L"b) 这样可以大大提高运算速度。命令[L，U]=lu (A)

在matlab中可以编如下通用m 文件：

在Matlab中建立M文件如下

% exp1.m

A;b;

[L，U]=lu (A);

X=U"(L"b)

II）Cholesky分解

若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：其中R为上三角阵。

方程A*X=b 变成所以

在Matlab中建立M文件如下

% exp2.m

A;b;

[R’，R]=chol(A);

X=R"(R’"b)

III）QR分解

对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR

方程A*X=b 变形成 QRX=b

所以 X=R"(Q"b)

上例中[Q, R]=qr(A)

X=R"(Q"B)

在Matlab中建立M文件如下

% exp3.m

A;b;