公式化简最小项表达式
逻辑函数的卡诺图化简法
① 3变量的卡诺图 有23个小方块；
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
2021/8/13
11
不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
2021/8/13
4
最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表1-17 三变量最小项真值表
2021/8/13
5
（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
2021/8/13
6
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小 项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的 那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十 进制数，就是该最小项的编号。
ABC ABC AC
(A B)C ABC AC
AC BC ABC AC
（2） 根据与或表达式画出卡诺图，如下
图所示。
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17
BC
A
00 01 11 10
0
11 1
逻辑函数的卡诺图
公式法化简： 公式法化简：
F = A BC + A BC
= ( A + A) BC = BC
再如： 再如：
A BCD + ABCD = BCD( A + A) = BCD
AB C D + AB CD = AB D (C + C ) = AB D
ABD
B CD
性质2 卡诺图中四个相邻1格的最小项可以合并成一个与项， 消去两个变量。 性质2：卡诺图中四个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去两个变量。
表 1-2
A B
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
C
0 1 0 1 0 1 0 1
F
0 1 0 0 1 1 0 0
解：由表可写出其最小项表达式为
F ( A, B, C ) = ABC + ABC + ABC
或写成
m1
m4
m5
F ( A, B, C ) = m1 + m 4 + m5
逻辑函数的卡诺图化简法
作者：杜运珍 时间：90分钟 时间：90分钟
1. 预备知识：最小项和最小项表达式 预备知识：
三变量（A、B、C）表达式： 表达式： 三变量（
0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111
A BC , A BC , ABC , ABC , A BC , A BC , ABC , ABC ,
将这七个最小项填入四变量卡诺图内 化简得
F = BC + B D + AC D
提
示
（1）列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量 列出逻辑函数的最小项表达式， 的个数（如果最小项中缺少变量，应按例1.5的方法补齐 的方法补齐）。 的个数（如果最小项中缺少变量，应按例1.5的方法补齐）。 画出最小项表达式对应的卡诺图。 （2）画出最小项表达式对应的卡诺图。 将卡诺图中的1格画圈，一个也不能漏圈， （3）将卡诺图中的1格画圈，一个也不能漏圈，否则最后得到的 表达式就会与所给函数不等； 格允许被一个以上的圈所包围。 表达式就会与所给函数不等；1格允许被一个以上的圈所包围。 （4）圈的个数应尽可能得少。即在保证1格一个也不漏圈的前 圈的个数应尽可能得少。即在保证1 提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应， 提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应，圈 数越少，与或表达式的与项就越少。 数越少，与或表达式的与项就越少。 （5）按照2k个方格来组合（即圈内的1格数必须为1，2，4，8 按照2k个方格来组合 即圈内的1格数必须为1 个方格来组合（ ），圈的面积越大越好 因为圈越大，可消去的变量就越多， 圈的面积越大越好。 等），圈的面积越大越好。因为圈越大，可消去的变量就越多， 与项中的变量就越少。 与项中的变量就越少。 （6）每个圈应至少包含一个新的1格，否则这个圈是多余的。 每个圈应至少包含一个新的1 否则这个圈是多余的。 （7）用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。 用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。
逻辑函数的卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。
但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。
运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。
但首先需要了解最小项的概念。
一、最小项的定义及其性质1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
数电公式法化简
数电公式法化简
在数字电路中，使用布尔代数的基本法则可以对逻辑表达式进行化简。
下面介绍几个常见的数电公式化简的方法：
1.代数法：利用布尔代数的基本规则（如分配律、结合律、德摩根定律等）对逻辑表达式中的项进行展开和合并，以简化逻辑电路。
2.卡诺图法：卡诺图是一种将逻辑表达式可视化的方法。
通过将逻辑函数的真值表转化为卡诺图，可以直观地找出逻辑表达式中的最简形式。
3.真值表法：列出逻辑函数的真值表，并找出其中的规律，通过观察真值表中的1的分布情况，判断哪些项可以合并，从而得到最简形式。
4.极小项与极大项法：将逻辑函数表示为与或表达式后，利用极小项（逻辑函数为1的最小项）和极大项（逻辑函数为0的最大项）来化简逻辑函数。
将重复出现的项进行合并和消去。
需要注意的是，在化简过程中，应注意遵循布尔代数的基本规则，并要合理利用化简后的逻辑表达式的特点，例如选择合适的公式展开
顺序、尽量合并重复的项等。
除了以上方法外，还可以使用电路分解、电路索引和逻辑运算性
质等技巧来帮助化简逻辑表达式。
需要根据具体题目的要求和逻辑表
达式的复杂程度选择适合的方法进行化简。
逻辑函数的化简方法
一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。
常用方法有：①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。
②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。
③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。
⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。
二、卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。
逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。
1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。
具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。
用卡诺图表示逻辑函数：方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。
方法二：根据函数式直接填卡诺图。
用卡诺图化简逻辑函数：化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。
化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。
如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。
注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。
说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
合并最小项的原则：1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。
2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。
卡诺图化简法的步骤：画出函数的卡诺图;画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）⼀、逻辑函数的化简将⼀个逻辑表达式变得最简单、运算量最少的形式就叫做化简。
由于运算量越少，实现逻辑关系所需要的门电路就越少，成本越低，可靠性相对较⾼，因此在设计逻辑电路时，需要求出逻辑函数的最简表达式。
由此可以看到，函数化简是为了简化电路，以便⽤最少的门实现它们，从⽽降低系统的成本，提⾼电路的可靠性。
通常来说，我们化简的结果会有以下五种形式为什么是这五种情况，这个跟我们实现的逻辑电路的元器件是有关系的。
在所有的逻辑电路中，都是通过与、或、⾮三种逻辑电路来实现的，之前说过逻辑“与或”、“或与”、“与或⾮”组合逻辑电路是具有完备性的，也就是说能够通过它们不同数量的组合能够实现任何电路。
通过不同的“与或”电路组成的电路，最后化简的表达式就是“与或”表达式，其他同理。
⼆、将使⽤“与或”表达式的化简表达式中乘积项的个数应该是最少的表达了最后要⽤到的与门是最少的，因为每⼀个乘积项都需要⼀个与门来实现。
同时也对应了或门输⼊端的个数变少，有2个与项或门就有2个输⼊端，有3个与项或门就有3个输⼊端。
所以第⼀个条件是为了我们的与门和或门最少。
每⼀个乘积项中所含的变量个数最少它是解决每⼀个与门的输⼊端最少。
逻辑函授的化简有三种⽅法三、逻辑函数的代数化简法3.1 并项法并项法就是将两个逻辑相邻（互补）的项合并成⼀个项，这⾥就⽤到了“合并律”将公因⼦A提取出来合并成⼀项，b和b⾮相或的结果就等于1，所以最后的结果就是A。
吸收法是利⽤公式“吸收律”来消去多余的项3.3 消项法消项法⼜称为吸收律消项法3.4 消因⼦法（消元法）3.4 配项法左边的例⼦⽤到了⽅法1，右边的例⼦⽤到了⽅法2。
3.5 逻辑函数的代数法化简的优缺点优点：对变量的个数没有限制。
在对定律掌控熟练的情况下，能把⽆穷多变量的函数化成最简。
缺点：需要掌握多个定律，在使⽤时需要能够灵活应⽤，才能把函数化到最简，使⽤门槛较⾼。
逻辑函数化简方法
01 1
11
11
10 1
11
Y A B AC A C D B D
[例] 用图形法求反函数的最简与或表达式
Y AB BC AC
[解] (1) 画函数的卡诺图
(2) 合并函数值为 0 的最小项
(3) 写出 Y 的反函数的 最简与或表达式
BC A 00
00
10
01 11 10 010 11 1
对应规律：原变量 1 反变量 0
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
0123456
7
m0
m1 m2 m3 m4
m5
m6 m7
4. 最小项是组成逻辑函数的基本单元
任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成， 都可以表示成为最小项之和的形式。
卡诺图的缺点：函数的变量个数不宜超过 6 个。
4. 卡诺图中最小项合并规律：
(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子
BC
A 00 01 11 10
00
32
CD AB 00 01 11 10
00
1
01 4
6
14
11
10
9
ABC ABC BC ABCD ABCD BCD
ABC ABC AB ABC D ABC D ABD
[例] 利用图形法化简函数
F( A , B , C , D ) m ( 1 , 4 , 5 , 6 , 8 , 12 , 13 , 15 )
[解] 注意：先圈孤立项
(1) 画函数的卡诺图 (2) 合并最小项：
画包围圈 (3) 写出最简与或表达式
电工电子技术-逻辑函数的化简
（2）吸收法
运用公式 A AB A 消去多余的项，其中，A、B可以是
任意一个复杂的逻辑式。例如：
Y1 AB AC DEB AB
Y2 AB ABC ABD AB D E AB AB C D D E AB
（3）消去法
运用公式 A AB A B 消去多余的因子。例如：
例如：逻辑函数Y的卡诺图。 Y ABCD ABCD ABCD ABCD
ABCD ABCD ABCD ABCD
（3）用卡诺图化简逻辑函数式 使用卡诺图化简逻辑函数所依据的原理是：具有相邻性 的最小项可以合并消去不同的因子。 ①2个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去1个取值不同的变量而合并为1项，如下图所示。
00 01 11 10 00
01 11 10
②4个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去2个取值不同的变量而合并为l项，如下图所示。
00 01 11 10 00
01 11 10
③8个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去3个取值不同的变量而合并为l项，如下图所示。
00 01 11 10 00
②化简具有无关项的逻辑函数 在卡诺图中用×表示无关项。使用卡诺图化简逻辑函数 式时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽量扩 大卡诺圈，使逻辑函数式更简。
（2）卡诺图
卡诺图就是将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，
并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的排列起 来所得的图形。下图所示为2到4变量最小项的卡诺图。
若要画出某一逻辑函数的卡诺图，只需将该逻辑函数式 化为最小项之和的标准形式后，在卡诺图中这些最小项对应 的位置上填入1，在其余的位置上填入0即可。
1．公式化简法
逻辑化简(公式)
核心
二、逻辑函数的最简表达式及相互转换 最简与或式
Y AB AC BC
最简 与非-与非式 最简或与非式 最简与或非式 最简或与式
AB AC
( A B)( A C )
AB A C
A B A C
最简或非-或式 最简或非-或非式
AB AC BC
( A B) ( A C )
ABC ABC ABC ABC
最小项
标准与或式就是最小项之和的形式
标准与 或式
1. 最小项的概念： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次。
Y F ( A ,B )
AB AB AB
( 2 变量共有 4 个最小项)
AB
( 3 变量共有 8 个最小项)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Y ABC ABC ABC ABC ABC
4. 最小项的编号： 把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的 编号，用 mi 表示。
对应规律：原变量 1
反变量 0
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
000 0 m0 001 1 m1 010 2 m2 011 3 m3 100 4 m4 101 5 m5 110 6 m6 111 7 m7
E BC D AE BC D
逻辑电路化简公式
逻辑电路化简公式
逻辑电路的化简是电子数字电路设计中的重要环节。
它通过对逻辑电路的布尔函数进行简化，实现对电路的优化，从而减少电路中的元器件数量，降低电路的功耗和成本，提高电路的可靠性和性能。
化简逻辑电路的核心是化简其布尔函数，而化简布尔函数又有以下几种方法。
1.代数化简法
代数化简法是一种基本的布尔函数化简方法，其基本思想是通过代数运算，把布尔表达式转化为简化的形式。
常用的代数化简方法有吸收律、分配律、德摩根定理等。
例如，在化简布尔表达式AB+AC时，可以使用吸收律将其简化为
A(B+C)。
2.卡诺图法
卡诺图法是一种重要的逻辑电路化简方法，它通过绘制卡诺图，把同样的几个布尔函数合并在一起，以达到化简的目的。
例如，在化简布尔表达式A’C’+A’BC+AB’C时，可以使用卡诺图法得到如下的化简结果：
3.奎因-麦克拉斯基方法
奎因-麦克拉斯基方法是一种基于二进制数的逻辑电路化简方法，它通过求取二进制数的最小项和最大项，以及使用二进制加法和减法等运算，实现对布尔表达式的化简。
例如，在化简布尔表达式A’B’C+ABC’+ABC时，可以使用奎因-麦克拉斯基方法得到如下的化简结果：
4.逻辑代数法
逻辑代数法是一种类比于传统代数的逻辑演算方法，它在布尔代数理论的基础上，将逻辑运算符与代数运算符联系起来，以期达到逻辑电路的简单化，化简的方法是精品。
以上四种化简方法可以互相结合使用，以达到更好的效果。
在实际的电路设计中，根据不同的应用场景和要求，选择合适的化简方法，可以大幅提高电路的性能和可靠性。
逻辑函数的化简
逻辑相邻
根据逻辑相邻的定义,不难由图8-10看出, 几何相邻的两个方格的最小项满足逻辑相邻性. 而不直接相邻的方格,但以卡诺图中心轴对称 的方格对应的最小项也满足逻辑相邻,如图810c中m0与m2,m0与m8,m3与m11等,称这种相 邻叫对称相邻.所以卡诺图可看作是立体图. 这是卡诺图巧妙之所在 .
由图8-12中可以看出卡诺图覆盖过的变量以0 和1两种取值出现,则该变量被消去;只以0出 现,则该变量用反变量表示;只以1出现,则 以原变量出现.卡诺圈越大消去的变量越多, 能够合并相邻项的一个正确的卡诺圈必须符合 以下要求.
(1) 卡诺圈里的1方格数必须是2m个.m=0,1, 2,…. (2) 2m个1方格必须排列成方阵或矩阵. (3) 2m个1方格必须是方格相邻或对称相邻的.
二,公式化简
1.并项法 利用 A + A =1将两项合并成一 项并消去一个变量. 2.吸收法 3.消去法 F= = 利用A+AB=A,消去多余项. 利用A+AB=A+B,消去多余项.
AB + A B + A BD + ABD
AB + AB + D AB + A B
= AB + A B + D
4. 配项法
二,三,四个变量的函数的卡诺图
a.二变量函数的卡诺图 b.三变量函数的卡诺图. c.四变量函数的卡诺图
构造卡诺图时应遵循以下规则
① n变量函数有2n个最小项,则卡诺图有2n方 格,即方格与最小项一一对应. ② 2n个方格必须排列成方阵或矩阵. ③ 变量分成两组,行变量和列变量组,行变 量为高位组,列变量为低位组.如图8-10中C 中,为行变量,为列变量. ④ 变量取值遵守反射码的形成规则.
卡诺图化简法
ABC ABC AC(B B) AC 卡诺图是用小方格图表示最小项，一个小方格代表一个最小项， 然后将这些最小项按照相邻性排列起来。
即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
（1）二变量卡诺图 L(A,B)
（2）三变量卡诺图 L(A,B,C)
B
m0 m1 m3 m2 ABC ABC ABC ABC
BC 00 01 11 10
A
00
1
32
A
m4
m5
m7
m6
ABC ABC ABC ABC
14 5
76
C (a)
(b)
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
（3）四变量卡诺图 L(A,B,C,D)
总之，2n个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同的变量 而合并为l项。
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
2．用卡诺图化简逻辑函数的步骤：
（1）画出逻辑函数的卡诺图。 （2）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。 （3）写出最简与或表达式。规则是，每一个圈写一个最简与
项，等于圈中各最小项的公因子，然后将所有与项进行逻 辑加，即得最简与—或式。
例：将逻辑函 AC
解： L(A, B,C) AB AC AB(C C) AC(B B)
ABC ABC ABC ABC
= m7+m6+m3+m1
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
例： 将逻辑函数转换成最小项表达式：FABC AB AB AB C
11 12
13
第04讲逻辑函数的公式化简
第04讲逻辑函数的公式化简逻辑函数是由逻辑变量和逻辑运算符组成的表达式。
在实际应用中，对逻辑函数进行简化通常是非常重要的，因为简化后的逻辑函数更容易理解和分析。
本文将介绍逻辑函数的公式化简方法，包括代数化简、卡诺图方法和奎因-麦克拉斯基方法。
一、代数化简代数化简是一种通过应用逻辑等式和等价变换来简化逻辑函数的方法。
逻辑等式是逻辑函数之间的等式关系，可以用来表示逻辑函数的等价性。
常见的逻辑等式包括德摩根定律、分配律、吸收律等。
1.1德摩根定律德摩根定律包括两个等式：1)非(A和B)等于非A或非B：~(A∧B)=~A∨~B2)非(A或B)等于非A和非B：~(A∨B)=~A∧~B通过应用德摩根定律，可以将逻辑函数中的与或非运算转化为或与非的运算，从而简化逻辑函数。
1.2分配律分配律包括两个等式：1)A和(B或C)等于(A和B)或(A和C)：A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)2)A或(B和C)等于(A或B)和(A或C)：A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)通过应用分配律，可以将逻辑函数中的与或运算关系转化为或与运算关系，从而简化逻辑函数。
1.3吸收律吸收律包括两个等式：1)A或(A和B)等于A：A∨(A∧B)=A2)A和(A或B)等于A：A∧(A∨B)=A通过应用吸收律，可以将逻辑函数中的与或运算关系进行简化。
通过应用上述逻辑等式和等价变换，可以将逻辑函数进行代数化简。
例如，假设有一个逻辑函数F=A∧(B∨C)，我们可以应用分配律将其化简为F=(A∧B)∨(A∧C)。
二、卡诺图方法卡诺图是一种通过图形化表示逻辑函数的方法，可以帮助我们更好地理解和分析逻辑函数。
对于每个逻辑变量，卡诺图使用一个格子来表示该变量的取值，格子的数目等于变量的取值数。
逻辑函数的值则通过在卡诺图中填写格子来表示。
根据逻辑函数的真值表，我们可以绘制对应的卡诺图。
卡诺图的优势在于能够直观地观察逻辑函数的特点，并以此进行化简。
化简的原则是找出卡诺图中连续的1所对应的格子，并构建出尽可能简单的表达式。
逻辑函数f=ab+bc的最小项表达式
逻辑函数f=ab+bc的最小项表达式
最小项表达式是一种可以替代复杂表达式的一种形式，它使用的是一种特殊的布尔运算符。
假设逻辑函数f=ab+bc，最小项表达式为f=ab+bc=(a+b)(c+b)。
最小项表达式通过把原表达式分解成相乘的小项式形式，有效使用大量的运算，从而使复杂的表达式变为简单表达式，使其便于理解和运算。
上面所述的例子所示，原表达式f=ab+bc，经过最小项表达式转换，变为两个简单乘积：
re=(a+b)(c+b)。
可以看出原表达式变为两个简单的单项式，便于理解与运算。
当给定某种复杂表达式时，可以利用最小项表达式特性，根据乘法结合律和德摩根定律将
其化简，以减少表达式中链接量、同时处理相关变量。
因此最小项表达式非常重要，它使
表达式简单，易于运算。
最小项表达式在逻辑函数设计中发挥着重要作用，有效的利用可以有效的提高设计的速度
和运算的效率。
未来在计算机科学、网络科学等科学领域，有可能有更多的应用，大大提
高运算的效率。
5.最小项
最小项1.用卡诺图法将逻辑函数变成最小项的形式方法：①将函数表现在卡诺图里②将卡诺图中的1与下两图比对例题：用卡诺图法将逻辑函数L=A—B+B—C—D变成最小项的形式。
L=A—B+B—C—D=m1+m4+m5+m6+m7+m9用卡诺图法将逻辑函数L=AB+A—C变成最小项的形式。
L=AB+A—C2. 用公式法将逻辑函数变成最小项的形式方法：①利用A(B —+B)=A ，令每一项都包含全部代号②整理①的结果，令每一项都是A 、B 、C 、D 的顺序③将每一项的A 、B 、C 、D 变成1，将A —、B —、C —、D —变成0 ④将③的结果由二进制数变成十进制数⑤在m 后加上④中的结果例题：用公式法将逻辑函数L=AB+A __C 变成最小项的形式 ① L= AB + A __C=AB(C+C __) + A __C(B+B __)② =ABC+ ABC __+ A __BC+ A __B __C③ 111 110 011 001④ 7 6 3 1⑤ L=m7+m6+m3+ m13. 将最小项的形式化成变量形式方法：①取出m后的数字②将数字变成二进制数（3输入即变成3位，4输入即变成4位）③每个二进制数的第一个数是0则变成A—，是1则变成A第二个数是0则变成B—，是1则变成B第三个数是0则变成C—，是1则变成C第四个数是0则变成D—，是1则变成D④用公式法或者卡诺图法化简逻辑函数例题：将L(A,B,C,D)=m1+m4+m5+m6+m7+m9化成变量形式。
① 1 4 5 6 7 9②0001 0100 0101 0110 0111 1001③A__B__C__D A__BC__D__A__BC__D A__BCD__A__BCD AB__C__DL(A,B,C,D)=m1+m4+m5+m6+m7+m9=A__B__C__D+A__BC__D__+A__BC__D+A__BCD__+A__BCD+AB__C__D④=A__B+B__C__D4.将L=∑m+∑d形式的式子用卡诺图化简方法：①根据下图，在m对应代号处写1，d对应代号处写X，在其他代号处写0②将卡诺图表示成逻辑表达式注意：1、表示的过程中，可以将X当作1来凑8个1、4个1、2个1、1个12、将所有1都表示完即可，不需要表示完所有X例题：将L(A,B,C,D)=∑m（1，4，5，6，7，9）+∑d（10，11，12，13，14，15）用卡诺图法化简。
逻辑函数化简题目
AC D
B C
BD
11
AC
F = AC+ AD+ B +B + ACD D C
AD
10
例10：某逻辑函数输入是8421 10：某逻辑函数输入是8421BCD码，其逻辑表达式为： 码 其逻辑表达式为： 8421 L（A,B,C,D）=∑ （1,4,5,6,7,9）+∑ （10,11,12,13,14,15） （ , ）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15） 用卡诺图法化简该逻辑函数。 用卡诺图法化简该逻辑函数。 画出4变量卡诺图。 号小方格填入1 解：（1）画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号小方格填入1； 10、11、12、13、14、15号小方格填入 号小方格填入× 将10、11、12、13、14、15号小方格填入×。 合并最小项，如图（ ）所示。注意， 方格不能漏。 （2）合并最小项，如图（a）所示。注意，1方格不能漏。×方格 根据需要，可以圈入，也可以放弃。 根据需要，可以圈入，也可以放弃。 写出逻辑函数的最简与—或表达式 或表达式: （3）写出逻辑函数的最简与 或表达式: 如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为： 如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为：
= AB + AB ⋅ AB ⋅ C = AB + ( A + B)( A + B)C = AB + ABC + ABC
= AB(C + C ) + ABC + ABC = ABC + ABC + ABC + ABC
=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）
逻辑函数转化为最小项表达式
逻辑函数转化为最小项表达式在数学与计算机科学中，逻辑函数是一种将布尔值映射到另一个布尔值的函数。
逻辑函数在数字电路和计算机科学中广泛应用，因为它们可以用于描述电子开关和处理数字信号的逻辑运算。
逻辑函数可以用表格或公式来表示。
其中，表格表示法是将所有可能的输入组合列出，然后用一个布尔值来表示每个组合的输出。
而公式表示法则是用一个字符串表示逻辑函数。
逻辑函数的最小项表达式是公式表示法的一种形式，它是将逻辑函数表示为多个最小项的布尔和式的形式。
在最小项表达式中，每个最小项都是一个包含所有输入变量的布尔乘积项，并将其与其他最小项相加来表示整个逻辑函数。
在将逻辑函数转化为最小项表达式时，需要进行以下步骤：1. 将逻辑函数表示为布尔和式。
这可以通过使用卡诺图或代数方法来完成。
2. 将每个布尔和式分解为最小项。
最小项是一个包含所有输入变量的布尔乘积项，它等于1的布尔乘积项。
3. 将所有最小项组合成一个布尔和式，以表示整个逻辑函数的最小项表达式。
例如，考虑一个逻辑函数F(A,B,C)，其真值表如下所示：A |B |C | F |--|---|---|---|0 | 0 | 0 | 0 |0 | 0 | 1 | 1 |0 | 1 | 0 | 1 |0 | 1 | 1 | 0 |1 | 0 | 0 | 1 |1 | 0 | 1 | 0 |1 | 1 | 0 | 0 |1 | 1 | 1 | 1 |通过卡诺图法或代数方法，我们可以将逻辑函数表示为布尔和式：F = AC' + AB' + BC接下来，将每个布尔和式分解为最小项：AC' = A'B'C' + A'BC' + AB'C' + ABC'AB' = A'B'C + A'B'C' + AB'C + AB'C'BC = A'BC + AB'C + ABC + AB'C'将所有最小项组合成一个布尔和式，以表示整个逻辑函数的最小项表达式：F = A'B'C' + A'BC' + AB'C' + ABC' + A'B'C + AB'C + A'BC + ABC化简后得到：F = A'B' + AC' + BC这就是逻辑函数F(A,B,C)的最小项表达式。
数电最大项和最小项定义
数电最大项和最小项定义数电最大项和最小项是数字电路设计中的重要概念，它们在逻辑运算和布尔代数中起到关键作用。
本文将从理论和实践两个方面来介绍数电最大项和最小项的定义及其应用。
一、数电最大项和最小项的定义在数字电路中，最大项和最小项是用来表示逻辑函数的两种标准形式。
最大项（Minterm）是指逻辑函数在输入变量的每一种可能组合下都取值为1的情况，最小项（Maxterm）则相反，是指逻辑函数在输入变量的每一种可能组合下都取值为0的情况。
以一个三输入的逻辑函数为例，其最大项和最小项的表示如下：最大项：m0 = A'B'C'、m1 = A'B'C、m2 = A'BC'、m3 = A'BC、m4 = AB'C'、m5 = AB'C、m6 = ABC'、m7 = ABC最小项：M0 = A+B+C、M1 = A+B'+C、M2 = A'+B+C、M3 = A'+B'+C、M4 = A'+B+C'、M5 = A'+B'+C'、M6 = A'+B'+C、M7 = A'+B'+C'可以看出，最大项和最小项分别列举了逻辑函数在输入变量的所有可能组合下的取值情况，它们是逻辑函数的完备表示。
二、数电最大项和最小项的应用1. 逻辑函数化简最大项和最小项在逻辑函数的化简过程中起到重要作用。
通过对逻辑函数进行最大项和最小项的展开，可以得到逻辑函数的标准形式，进而进行化简。
化简后的逻辑函数可以减少电路的复杂度，提高逻辑电路的性能。
2. 逻辑电路设计最大项和最小项可以直接用于逻辑电路的设计。
在设计逻辑电路时，可以通过逻辑函数的最大项和最小项来确定电路的输入输出关系，进而设计出满足特定功能需求的电路。
3. 逻辑运算最大项和最小项在逻辑运算中有着广泛的应用。
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公
例1
解法1
F ABC ABC ABC ABC
F=ABC+ABC+AB (吸收律1 ABC+ABC=AB) =ABC+A（BC+B） （分配律） =ABC+A（C+B） （吸收律3） =ABC+AC+AB （ 分配律） =（AB+A）C+AB （分配律） =（B+A）C+AB （吸收律3）
2019年5月21日星期二
第二章 逻辑代数基础
5
例 3： F = A B + A C + B C =AB+ABC =AB+ C 例 4： F = A B + A B + A B C D + A B C D =AB+AB+C D(AB+AB) =AB+AB+C D
2019年5月21日星期二
第二章 逻辑代数基础
2019年5月21日星期二
第二章 逻辑代数基础
10
练习：
Y3 AB BC BC AB
Y3 AB BC BC AB AB BC ( BC AB AC ) ( AB BC AC ) ( BC AB AC ) ( AB AC ) ( BC AC ) AB AC BC
AB+AC =AB AC =A(B+C) =A＋B+C
与或式 与非与非式 或与式 或非或非式 两次取反 两次取反
与或式使用最多，因此只讨论与或 式的最简标准. 3.最简的标准 ：
(1)含的与项最少； －－门最少 (2)各与项中的变量数最少。 －－门的输入端最少 (3)要求电路的工作速度较高时，优先考虑级数最少
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 3
练习：
Y( A, B, C) ABC ABC ABC ABC
Y ABC ABC ABC ABC A[(BC BC ) ( BC BC)] A[ B C B ⊙ C ] A 1 ＝A
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 4
2. 消项法
利用消项公式 A + AB = A或A + AB = A + B
或A B + A C + B C = A B + A C
例 1： F = A B + A B C + A B D
=AB+AB(C+ D) =AB 例 2： F = A C + C D + A D E + A D G =AC+C D
=BC+AC+AB （分配律）
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 13
例1
解法2
F ABC ABC ABC ABC
6
练习：
Y1 AB AC BC
Y1 AB AC BC AB ( A B )C A B A BC AB C
Y2 AC B C AB Y2 AC B C AB
AC BC AB AC BC
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 7
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 11
(4) 综合法
公式名称 1.0-1律 2.自等律 3.等幂律 4.互补律 5.交换律 6.结合律 7.分配律 8.吸收律1 9 .吸收律2 10 .吸收律3 11.多余项定律 12.求反律 13.否否律
2019年5月21日星期二
先找公共因子，再找互补因子
第二章 逻辑代数基础
8
(3) 配项法 利用消项公式 A=A + A或1=A + A
或A B + A C =A B + A C + B C 配出多余项，再
与其它项合并 例： Y1 ABC ABC ABC 解： Y1 ABC ABC ABC
( ABC ABC ) ( ABC ABC ) BC ( A A) AC ( B B) BC AC
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 1
二、公式法
相邻项合并法
利用合并相邻项公式: A B + A B = A
例 1： F = A B + C D + A B + C D =(AB+ AB)+( CD+CD) =A+ D 例 2： F = A ( B C + B C ) + A ( B C + B C )
Y3 AB C ACD BCD
Y3 AB C ACD BCD AB C C ( AD BD ) AB C ( AD BD ) AB C ( A B) D AB C ABD AB C D
2019年5月21日星期二
2019年5月21日星期二 第二章 逻辑代数基础 9
练习：
Y2 AB AB BC BC
Y2 AB AB BC BC AB AB(C C ) ( A A) BC BC AB ABC ABC ABC ABC BC AB(1 C ) BC ( A 1) AC ( B B) AB BC AC
式 A· 0=0 A+1=1 A· 1=A A+0=A A· A=A A+A=A A· A=0 A+A=1 A· B= B· A A+B=B+A A· (B· C)= (A· B)· C A+(B+C)=(A+B)+C A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C) (A+B)(A+B)=A AB+AB=A A(A+B)=A A+AB=A A(A+B)=AB A+AB=A+B (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C) AB+AC+BC=AB+AC AB=A+B A+B=A· B A=A
=A
2019年5月21日星期二
第二章 逻辑代数基础
2
练习：用并项法化简下列逻辑函数
Y( A, B, C) ABC ABC ABC ABC
Y ABC ABC ABC ABC AB(C C) AB(C C) AB AB B(A A) B