总体均值的区间估计

1 n
n i 1
X
k i

从上述方程组中解出1, 2 ,, k ，分别记作
ˆ1 ˆ1 ( X1, X 2 ,, X n ), ˆ2 ˆ2 ( X1, X 2 ,, X n ),

ˆk ˆk ( X1, X 2 ,, X n ).
以此作为未知参数 1, 2 ,, k 的估计量，称为矩估计量．
13.30 13.38 13.40 13.43 13.32 13.48 13.54 13.31 13.34 13.47 13.44 13.50
设铆钉头部直径这一总体 X 服从正态分布 N ( , 2 ) ，试求 与 2 的矩估计
值．
解 由例4可得
ˆ x 1 ( 13.30 13.38 13.50 ) 13.41, 12
各阶原点矩 E( X l ) (l 1,2,, k)存在, 则E (X l )是
1, 2 ,, k 的函数，记作μl=μl( 1, 2 ,,)k 即
l (1 , 2 ,, k ) E( X ，l ) l=1,2,…，k．
对于总体 X 的样本（ X1, X2, …,Xn ），样本的 l 阶原点矩为
Al

1 n
n i 1
X，il l = 1, 2, …，k．
令
μl = Al , l=1,2,…，k，
即
1 (1, 2 ,, k )


1 n
n i 1
Xi,


2
(
1
,
2
,,
k
)

1 n
n i 1
X
2 i
,

k (1, 2 ,, k )
ˆ
2

1 12
12 i1
( xi

x
)2

1 [(13.3113.41)2 12

(13.38 13.41)2
例1 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，其中 >0 为未知，又设X1, X2, …,Xn为 X 的样本，求 的矩估计量．
解 X ~ (), E(X ) , 即1 E(X ) ,
令 1 A1 ，即


1 n
n i 1
Xi

X,
得 的矩估计量为 ˆ X ．
来估计未知参数θ ．称统计量 ˆ （ˆ X 1, X 2, …, X n ）为θ的估计量，称 ˆ ˆ（ x1, x2, …,xn ）为θ的估计值．
二、矩估计法
设总体 X 的分布函数为F (x,1, 2 ,, k ) , 其中1, 2 ,, k 为 k 个未知参数. 假设总体 X 的
例2 设总体 X 服从参数为 的指数分布，其
概源自文库密度为
ex , x 0,
f (x) 0 , x 0,
其中 0 为未知，又设 X1, X 2 ,, X n 为 X 的 样本，求 的矩估计量．
解
由于1

E(X )
1

,
令
，1 A1
即
1 1 n
ˆ A1 X ,
ˆ 2

A2
A12
1 n
n i1
X
2 i

X
2

1 n
n i1
(Xi

X
)2.
注 此例说明，无论总体 X 服从什么分
布，样本均值 X 都是总体均值 的矩估计量， 样本二阶中心矩就是总体方差 2 的矩估计
量．
例5 某厂生产一批铆钉，现要检验铆钉头部直径，从这批产品中随机抽 取12只，测得头部直径（单位：mm）如下：
b a
12( A2 A12 ) .
于是得到 a、b 的矩估计量为 aˆ A1 3( A2 A12 ) X
bˆ A1 3( A2 A12 ) X
3
n
n i 1
(Xi

X )2
,
3
n
n i 1
(Xi

X)2 .
例4 设总体 X 的均值为 ，方差为 2， 且 0，但 与 均未知，又设总体 X 的一 个样本为（X1, X2 , , Xn），求 与 2的矩估
如果样本观察值为（ x1, x2, …,xn ），则
得未知参数 1, 2 ,, k 的矩估计值为
ˆ1 ˆ1 (x1, x2 ,, xn ), ˆ2 ˆ2 (x1, x2 ,, xn ),

ˆk ˆk (x1, x2 ,, xn ).
上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法．
第七章 参数估计
第一节 参数的点估计 一、点估计问题 设总体 X 的分布函数的形式为已知的F ( x,θ ) ，其中 x 是自变量,θ为未
知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）．借助于总体 X 的一个样本
（X 1, X 2, …, X n ），来估计未知参数θ的值的问题，称为参数的点估计问题．
点估计的问题就是要构造一个适当的统计量 ˆ ˆ ( X1, X2, …,Xn )，用样 本的一组观察值（ x1, x2, …,xn ），得到ˆ 的观察值 ˆ ˆ（ x1, x2, …,xn ), 以此
n i1 X i X ,
因此得到 的矩估计量为 ˆ 1 ．
X
例3 设总体 X 在区间 [a, b] 上服从均匀分
布，a 与 b 为未知，X1 ，X2 ，，Xn是来自总体
X 的样本，求 a 与 b 的矩估计量．
解 令 即
整理得
1 2

E(X ) a b , 2
计量．
解 1 E( X ) ,
2 E( X 2 ) D( X ) E( X )2 2 2
令
12

A1, A 2,
即



A1
2

2
1 n

n i 1
A2
X
i
1 n
X,
n
X
i 1
2 i
.
解此方程组得到 与 2 的矩估计量为
E( X 2 ) D( X ) E( X )2

(b a)2 12

(a b)2 4

1 A1, 2 A2 ,
a

b 2

A1

1 n
n i 1
Xi

X,


(b

a)
2
12

(a b)2 4

A2

1 n
n i 1
X
2 i
,
a b 2A1,