二元一次方程解法大全

二元一次方程解法大全
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n>0)的方程，其解为x=土根号F n+m.
例 1.解方程(1) (3x+1)2=7 (2) 9x2-24x+16=11
分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2, 右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。

⑴解:(3x+1)2=7X
・ *. (3x+1 )2=5
•••3x+仁土 (注意不要丢解)
/. x=
.••原方程的解为x1=,x2=
(2) 解:9x2-24x+16=11
.•.(3x-4)2=11
A3x-4=±
/. x=
原方程的解为x1=,x2=
2. 配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(aH0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1： x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2
方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
当b"2-4ac20 时，x+=±
.••x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程3x"2-4x-2=0(注：X"2是X的平方)
解：将常数项移到方程右边3x A2-4x=2
将二次项系数化为1： x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
/.x=
•••原方程的解为x1=,x2=.
3. 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac 20 时，把各项系数a,b,c 的值代入求根公式x=[-b±(b A2-4ac)A(1 /2)]/(2a),(b24ac20) 就可得到方程的根。

例3.用公式法解方程2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
.°.a=2,b=-8,c=5
b A2-4ac=(-8)2-4X2X5=64-40=24>0
/.x=[(-b±(b A2-4ac)A(1/2)]/(2a)
二原方程的解为x1=,x2=.
4. 因式分解法：把方程变形为一边是零，耙另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0(选学)(4)x2-2(+)x+4=0 (选学)
⑴解:(x+3)(x-6)=-8化简整理得
x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)
•*.x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)
.-.x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2) 解：2x2+3x=0
x(2x+3)=O(用提公因式法将方程左边分解因式)
Ax=O或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)
.•.X仁0, x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3) 解：6x2+5x 50=0
(2x-5)(3x+1O)=O(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
/. 2x-5=0 或3x+10=0
/.x1=,x2=-是原方程的解。

(4) 解：x2-2(+)x+4=0 (T4可分解为2・2, .•.此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2)=0
Ax1=2,x2=2是原方程的解。

小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。

公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一泄要把原方程化成一般形式，以便确左系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。

但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一立要掌握好。

（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

二元一次方程练习题
一、判断
1、是方程组的解....... （）
2、方程组的解是方程3x-2y=13的一个解（）
3、由两个二元一次方程组成方程组一泄是二元一次方程组（）
4、方程组，可以转化为（）
5、若（a2-1 ）x2+（a-1 ）x+（2a-3）y=O 是二元一次方程,则a 的值为±1 （）
6、若x+y=O,且|x|=2,则y 的值为2 ................. （）
7、方程组有唯一的解，那么m的值为mH-5 ................ （）
&方程组有无数多个解 ......... （）
9、x+y=5且x, y的绝对值都小于5的整数解共有5组.......... （）
10. 方程组的解是方程x+5y=3的解，反过来方程x+5y=3的解也是方程组的解
11x 若|a+5|=5, a+b=1 则........ ()
12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代数式表示y,则()
二、选择：
13、任何一个二元一次方程都有()
(A) 一个解：(B)两个解：
(C)三个解：(D)无数多个解：
14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6,那么符合条件的两位数的个数有
(A) 5 个(B) 6 个(C) 7 个(D) 8 个
15、如果的解都是正数，那么a的取值范用是()
(A) a<2；(B) : (C) : (D):
16、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是()
(A) 2：(B) -1：(C) 1；(D) -2：
17、在下列方程中，只有一个解的是()
(A) (B)
(C) (D)
18、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是()
(A) 15x-3y=6 (B) 4x-y=7 (C) 10x+2y=4 (D) 20x-4y=3
19、下列方程组中，是二元一次方程组的是()
(A) (B)
(C) (D)
20、已知方程组有无数多个解.则a、b的值等于()
(A) a=-3,b=-14 (B) a=3,b=-7
(C) a=-1 ,b=9 (D) a=-3,b=14
21、若5x-6y=0,且xyHO,则的值等于()
(A) (B) (C) 1 (D) -1
22、若x、y均为非负数,则方程6x=-7y的解的情况是()
(A)无解(B)有唯一一个解
(C)有无数多个解(D)不能确定
23、若|3x+y+5| + |2x-2y-2|=O,贝ij 2x2-3xy 的值是()
(A) 14 (B) -4 (C) -12 (D) 12
24、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为()
(A) ♦ b=-4 (B) , b=4
(C) , b=4 (D) , b=-4
三、填空：
25、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y= _______ ,当y=・2时，若X、y都是正整数，那么这个方程的解为____________ :
26、方程2x+3y=1O 中，当3x-6=0 时，y= _______ ；
27、如果0.4x-0.5y=1.2,那么用含有y的代数式表示的代数式是
28、若是方程组的解，贝IJ：
29、方程|a| + |b|=2的自然数解是_______________ ；
30、如果x=1, y=2满足方程，那么a= ____________ :
3仁已知方程组有无数多解，贝％二 _____ • m= ______ :
32、若方程x-2y+3z=0> 且当xh 时，y=2,则z二 ______ ；
33、若4x+3y+5=0,则3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于 __________ :
34、若x+y=a, x-y=1同时成立，且x、y都是正整数，则a的值为___________ :
35、从方程组中可以知道，x:z= _______ : y:z= ________ :
36、已知a-3b=2a+b-15=1.则代数式a2・4ab+b2+3的值为___________ :
四、解方程组
37、:38、:
39、 : 40、:
41. : 42、:
43、 : 44、:
45、 : 46、:
五、解答题：
47、甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的x的系数，解得；乙看错了方程②中的y的系数，解得，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解:
48、使x+4y= |a| 成立的x、y 的值,满足(2x+y-1)2+|3y-x|=0,又|a|+a=0,求a 的值;
49、代数式ax2+bx+c中，当x=1时的值是0,在x=2时的值是3,在x=3时的值是2& 试求出这个代数式：
50、要使下列三个方程组成的方程组有解，求常数a的值。

2x+3y=6-6a, 3x+7y=6-15a, 4x+4y=9a+9
51、当a、b满足什么条件时，方程(2b2-18)x=3与方程组都无解：
52、a、b、c取什么数值时，x3・ax2+bx+c程(x・1)(x・2)(x・3)恒等?
53、m取什么整数值时，方程组的解：
（1）是正数：
（2）是正整数？并求它的所有正整数解。

54、试求方程组的解。

六、列方程（组）解应用题
55、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？
56、某班学生到农村劳动，一冬男生因病不能参加，另有三塔男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐上，英余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少人？
57、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙：如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？
58、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容就的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求这两个水桶的容量。

59、甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时岀发，甲与乙同向而行，丙与甲、乙相向而行，甲每分钟走100米，乙每分钟泄门0米，丙每分钟走125米，若丙遇到乙后10分钟又遇到甲，求A、B两地之间的距离。

60、有两个比50大的两位数，它们的差是10,大数的10倍与小数的5倍的和的是门的倍数，且也是一个两位数，求原来的这两个两位数。

【参考答案】
一、1、V； 2、J ； 3、X； 4、X； 5、X； 6、X；
7、J ； 8、J； 9、X； 10、X； 11. X； 12、X；
二、13、D； 14、B； 15、C： 16、A： 17、C； 18、A：
19、C： 20、A： 21、A： 22、B； 23、B； 24、A：
三、25、，8, : 26、2； 27、；2& a=3, b=1；
29、30、: 31> 3, 432、1： 33、20；
34、a为大于或等于3的奇数；35. 4:3, 7:936、0：
四、37、: 38、: 39、: 40、:
41. : 42、: 43、: 44、:
45、 : 46、:
五、47、, ； 48、a=-149. 11x2-30x+19：
50、； 51、，b二±352. a=6,b=11 ,c=-6；
53、（1） m 是大于-4 的整数，（2〉m=-3,・2, 0,,
54、或;
六、55、A、B距离为450千米，原计划行驶9.5小时:
56、设女生x人，男生y人，
57、设甲速x米/秒，乙速y米/秒
58、甲的容量为63升，乙水桶的容星:为84升；
59、A、B两地之间的距离为52875米：
60、所求的两位数为52和62。

二元一次方程组练习题20道（卷二）
一、选择题：
1. 下列方程中，是二元一次方程的是（）
A. 3x—2y=4z
B. 6xy+9=0
C. +4y=6
D. 4x=
2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（）
A.
3. 二元一次方程5a—11b=21 ()
A.有且只有一解
B.有无数解
C.无解
D.有且只有两解
4. 方程y=1—x与3x+2y=5的公共解是()
A.
5. 若| x-2 | + (3y+2) 2=0,则的值是()
A. —1
B. —2C・—3D・
6. 方程组的解与x与y的值相等，则k等于()
7. 下列各式，属于二元一次方程的个数有()
①xy+2x—y=7：②4x+仁x—y：③+y=5： @x=y： (5)x2—y2=2
⑥6x—2y⑦x+y+z=d®y (y—1) =2y2—y2+x
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
&某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，口则下而所
列的方程组中符合题意的有()
A.
二、填空题
9. 已知方程2x+3y—4=0,用含x的代数式表示y为：y= ________ :用含y的代数式表示X为：X= ______ ・
10. 在二元一次方程一x+3y=2中，当x=4时，y二_______ :当y= —1时，x= ______ ・
11. 若x3m —3—2yn一仁5是二元一次方程，则m二____ , n二 _____ ・
12. 已知是方程x-ky=1的解，那么心__________ .
13. 已知| X—1 | + (2y+1) 2=0.且2x — ky=4,则k= _______ ・
14. 二元一次方程x+y=5的正整数解有 _______________ ・
15. 以为解的一个二元一次方程是
16. 已知的解，则ni= _______ , n= ______ .
三、解答题
17. 当y= — 3时，二元一次方程3x+5y=-3和3y—2ax=a+2 （关于x, y的方程）□有相同的解，求a的值.
18. 如果（a—2） x+ （b+1） y=13是关于x, y的二元一次方程，则a, b满足什么条
件？
19. 二元一次方程组的解x, y的值相等，求k.
20. 已知x, y是有理数，且（| x | -1） 2+ （2y+1） 2=0,贝ij x-y的值是多少？
21. 已知方程x+3y=5,请你写出一个二元一次方程，口使它与已知方程所组成的方程组的解为.
22. 根据题意列岀方程组：
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，口问明明两种邮票各买了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；□若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
23. 方程组的解是否满足2x~y=8?满足2x-y=8的一对x. y的值是否是方程组的解？
24. （开放题）是否存在整数m,使关于x的方程2x+9=2 —（m—2） x在整数范羽内有解，你能找到几个m的值？你能求岀相应的x的解吗？
答案：
一、选择题
1. D解析：掌握判断二元一次方程的三个必需条件：①含有两个未知数：②含有未知数
的项的次数是1：③等式两边都是整式.
2. A解析：二元一次方程组的三个必需条件：①含有两个未知数，②每个含未知数的项次数为1：③每个方程都是整式方程.
3. B解析：不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解.
4. C解析：用排除法，逐个代入验证.
5. C解析：利用非负数的性质.
6. B
7. C解析：根据二元一次方程的泄义来判泄，口含有两个未知数且未知数的次数不超过1次的整式方程叫二元一次方程，注意⑧整理后是二元一次方程.
& B
二、填空题
9. 10. -10
"・,2 解析：令3m —3=1, n —仁1, /.m=, n二2・
12. 一1解析:把代入方程x-ky=1中，得-2-3k=1, Ak=-1.
13. 4解析：由已知得X—1=0, 2y+仁0,
/.x=1, y=—> 把代入方程2x—ky=4 中，2+k=4, k=1.
14. 解：
解析：Tx+y=5, .・.y=5-x,又Tx, y均为ill整数，
・・・x为小于5的正整数.当x“时,y=4；当x=2时，y=3：
当x=3, y=2：当x=4 时，y=1・
.・.x+y=5的正整数解为
15. x+y=12解析：以x与y的数呈:关系组建方程，如2x+y=17, 2x—y=3等,
此题答案不唯一.
16. 14解析：将中进行求解.
三、解答题
17. 解：Vy=-3 时，3x+5y二一3, A3x+5X (一3)=—3, Ax=4.
•••方程3x+5y二□一口3口和3x-2ax二a+2 有相同的解，
/.3X ( —3) —2aX4=a+2> •'•a二—・
18. 解:V (a—2) x+ (b+1) y=13是关于x, y的二元一次方程，
「•a—2H0, b+1 HO, bH —1
解析：此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不为0.
(口若系数为0,则该项就是0)
19. 解：由题意可知x=y, A4x+3y=7可化为4x+3x=7・
/.x=1, y=1.将x=1, y=°1°代入kx+ (k—1) y=3 中得k+k—1=3,
/.k=2解析：由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，化"二元”为“一元”，从而求得两未知数的值.
20. 解:由(| x | —1) 2+ (2y+1) 2=0,可得 | x | —仁0 且2y+仁0, Ax=±1, y=
当x=1, y=—时，x—y=1+=；
当x=—1, y=—时，x—y=—1+=—.
解析：任何有理数的平方都是非负数，且题中两非负数之和为0,
则这两非负数(I x | -1) 2与(2y+1) 2都等于0,从而得到| x | 一仁0, 2y+仁0.
21. 解：经验算是方程x+3y=5的解，再写一个方程，如x-y=3.
22. (1)解：设0. 8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意得.
(2)解：设有x只鸡，y个笼，根拯题意得.
23. 解：满足，不一定.
解析：•••的解既是方程x+y=25的解，也满足2x-y=8, □
•••方程组的解一泄满足其中的任一个方程.但方程2x-y=8的解有无数组，
如x"0, y=12,不满足方程组.
24. 解：存在，四组.・.•原方程可变形为一mx=7,
•:当时，x=—7； m= —1 时，x=7； m=°7 时，x=—1 ；m=—7 时x=d・
二元一次方程应用题
题型一：配套问题
1. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现讣划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
题型二：年龄问题
2. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”.乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”.请你算一算，甲、乙现在各多少岁？
题型三：百分比问题
3. 有甲乙两种铜和银的合金,甲种合金含银25%,乙种合金含银37.5%,现在要熔制含银30%的合金100千克，甲、乙两种合金各应取多少？
题型四：数字问题
4. 有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5,如果把这两个数字的位置对换, 那么所得的新数与原数的和是143,求这个两位数.
题型五：古算术问题
5. 巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。

364只碗，看看用尽不差争。

三人共食一碗饭, 四人共吃一碗羹。

请问先生明算者，算来寺内几多僧。

诗句的意思是：寺内有三百六十四只碗，
如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，刚好够用，寺内共有和尚多少个？
题型六：行程问题
6. 甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时岀发相向而行，1小时20分后相遇。

相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后原速返回，任汽车再次出发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米？
题型七：工程问题
7. 某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给了甲乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修了0.6千米，10 天后乙队回来，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队也比原来多修0.4千米，结果如期完成。

问甲乙两队原计划每天各修多少千米？
题型八：方案决策问题
8. 已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000 元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进英中两种不同型号的电脑共36台，请你设汁出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。

9. 某地生产的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨.该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨：如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕.为此，公司研制了三种加工方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工.方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售.方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用巧天完成.你认为选择哪种方案获利最多？为什么？。