第四讲频率域图像增强
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第四章频率域图像增强
图像傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空 间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示 空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图 像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表 示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。 为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱 图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并 不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶 频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域 点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么 理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来 讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立 叶变换后的频谱图，也叫功率图
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 ✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
➢图像的频率指什么？
✓ 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面
Mx0
u=0,1,2,…,M-1
✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f(x)
1
M1
j2ux
F(u)e M
Mu0
x=0,1,2,…,M-1
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换及反变换
✓ 从欧拉公式 e j cos j sin
F (u)
1
M 1
第四章频率域图像增强
一、频率域介绍
低通滤波器
低通滤波函数
原图
低通滤波结果：模糊
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器
被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑 过渡而突出边缘等细节部分
对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波函数
原图
高通滤波结果：锐化
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
最后将G(u,v)进行IDFT变换即可得到频域滤波后 的图像
频域滤波的步骤
具体实施步骤如下: （1）用(-1)x+y乘以输入图像f(x,y)来进行中心变换;
f ( x, y)(1)x y F (u M / 2, v N / 2)
（2）由(1)计算图像的DFT,得到F(u,v); （3）用频域滤波器H(u,v)乘以F(u,v); （4）将(3)中得到的结果进行IDFT; （5）取(4)中结果的实部; （6）用(-1)x+y乘以(5)中的结果,即可得滤波图像。
uv
理想低通滤波器举例
500×500像素的原图 图像的傅里叶频谱
圆环具有半径5,15,30,80和230个像素 图像功率为92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
结论：半径越小，模糊越大；半径越大，模糊越小
原图
半径是5的理想低通 滤波,滤除8%的总功 率，模糊说明多数尖 锐细节在这8%的功率 之内
二、频率域平滑滤波器
理想低通滤波器
总图像功率值PT
M 1 N 1
PT P(u, v)
u0 v0
P(u, v) | F (u, v) |2 R(u, v)2 I (u, v)2
滤波器设计-频率域图像增强
第4章 频率域图像增强
第6页
5.2 频率域平滑滤波器
平滑滤波器
图像中的边缘和噪声都对应图像傅立叶变换中的高频部分 ，所以如要在频域中消弱其影响就要设法减弱这部分频率的分 量 根据频域增强技术的原理，需要选择一个合适的H(u, v)以 得到消弱F(u, v)高频分量的G(u, v) 以下讨论对F(u, v)的实部和虚部影响完全相同的滤波转移 函数。具有这种特性的滤波器称为零相移滤波器
1 D (u , v ) / D0
1
2n
H (u,v ) 1 D (u,v ) D0 0
第4章 频率域图像增强
第17页
5.2 频率域平滑滤波器
2、巴特沃斯低通滤波器
图像由于量化不足产生虚假轮廓时常可用低通滤波进行 平滑以改进图像质量
第4章 频率域图像增强
第18页
5.2 频率域平滑滤波器
图像增强复习直方图规格化和规定化
点运算对单幅图像做处理，不改变像素的空间位置； 代数运算多幅图像做处理，不改变像素的空间位置；
几何运算对单幅图像做处理，改变像素的空间位置； 几何运算包含两个独立的算法：空间变换算法和灰度 级插值算法。
高频增强输出图的傅立叶变换： Ge(u, v) = k G(u, v) + c F(u, v) 反变换回去： ge(x, y) = k g(x, y) + c f (x, y)
第4章 频率域图像增强 第27页
5.3 频率域锐化滤波器
例5.5高通滤波增强
(a)比较模糊的图像 (b)阶为1的巴特沃斯高通滤波 (c)高通滤波增强的结果
第30页
第4章 频率域图像增强
第31页
第4章 频率域图像增强
第四讲频率域图像增强
F (u, v) 1 M 1 N 1 f (x, y)e j2 (ux / M vy/ N )
MN x0 y0
M 1 N 1
f (x, y)
F (u, v)e j 2 (ux / M vy/ N )
u0 v0
F (0,0) 1 M 1 N 1 f (x, y)
MN x0 y0
傅里叶变换的有关概念：
2D低通滤波器
2D高通滤波器
滤波器原 点为0， 因此几乎 没有平滑 的灰度级 细节
陷波滤波器对图像的影响 （ 陷波滤波器将原点设置为0 平均灰度为0，因而需要标定）
高通滤波器对图像的影响 （滤波器函数加上滤波器高度一
半的常数）
4、空间与滤波和频率域滤波的对应关系
离散卷积定义：
f (x, y) * h(x, y) 1 M 1 N1 f (m, n)h(x m, y n)
F (u) 1 M 1 f (x)e j2ux/ M M x0
M 1
f (x)
F (u)e j2ux/ M
x0
连续傅里 叶变换对
离散傅里 叶变换对
1D 傅里叶变换的幅度或频率谱：
F(u) R2 (u) I 2 (u) 1/2
傅里叶变u) R(u)
MN m0 n0 f (x, y)*h(x, y) F(u, v)H (u, v) 傅里叶 f (x, y)h(x, y) F(u, v)* H (u, v) 变换对
由冲击函数和卷积定理的性质，有：
(x, y)*h(x, y) F (x, y) H (u, v)
h(x, y) H (u,v)
G (u , v)=H (u , v) x F (u , v) 4） 求 G (u , v)的IDFT； 5） 得到4）的IDFT的实部； 6）用 (-1)x+y 乘以 5）的结果。
频率域图像增强
理想低通滤波器
截止频率 为分别设 置为
10,30,60,1 60和460
由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。
布特沃斯低通滤波器
n阶布特沃斯滤波器的传递函数为：
D0是截止频率。对于这个点的定义，我们可以这样理解，使 H（u，v）下降为最大值的某个百分比的点。
理想低通滤波器
第一幅图为理想低通滤波器变换函数的透视图 第二幅图为图像形式显示的滤波器 第三幅图为滤波器径向横截面
振铃
附录
产生的原因图像在处理过程中的信息量的丢失，尤其是高频 信息的丢失
由卷积定理可知，频率域下的理想低通滤波器H(u, v)必定存在 一个空间域下与之对应的滤波函数h(x, y)，且可以通过对H(u,v)作傅 里叶逆变换求得。产生振铃效应的原因就在于，理想低通滤波器在 频率域下的分布十分线性（在D0处呈现出一条垂直的线，在其他频 率处呈现出一条水平的线），那么不难想象出对应的h(x,y)将会有类 似于sinc函数那样周期震荡的空间分布特性。正是由于理想低通滤 波器的空间域表示有类似于sinc函数的形状，位于正中央的突起使 得理想低通滤波器有模糊图像的功能，而外层的其他突起则导致理 想低通滤波器会产生振铃效应。
H（u，v） =-4π2[（u-P/2)2=(v-Q/2)2] =-4π2D2(u,v)
所以我们就可以得到拉普拉斯图像由下式 ▽
▽2f(x,y)=ζ -1[H(u,v)F(u,v)]
相比较其他滤波器不同的是，一般我们经过逆傅里叶变化就可以得到图像了而我 们需要如下实现
g（x，y）=f（x，y）+c ▽2f(x,y)
我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没有 BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
4第四章图像增强
例4.2.1 (续8)
解：◆存在值为5/7的灰度级别值，且由s2≈5/7和 s2=T(r2)可知，新图像中灰度级别为s5’=5/7 的像素 对应于原图像中灰度级为k=2的像素，其像素个数为 m5=n2=850 。
◆存在值为6/7的灰度级别值，且由s3≈6/7和 s3=T(r3) ，以及s4≈6/7和s4=T(r4)可知，新图像中灰 度级别s6’为=6/7的像素，对应于原图像中灰度级为 k=3和k=4的像素，其像素个数为 m6=n3+n4=656+329=985。
基本的实现方法包括两种： ◆ 一种是给所关心的灰度范围指定一个较高的灰度 值，而给其它部分指定一个较低的灰度值或0值。 ◆ 另一种是给所关心的灰度范围指定一个较高的灰 度值，而其它部分的灰度值保持不变
4.1.4 窗切片
g
g
g
255
255
255
0
a b 255 f 0
a b 255 f 0
a b 255 f
《数字图像处理》
第四章 图像增强
图像增强就是通过对图像的某些特征，如边 缘、轮廓、对比度等，进行强调或尖锐化，使之 更适合于人眼的观察或机器的处理的一种技术。
图像增强技术的分类：一是空间域增强方法; 二是频率域增强方法。
4.1 灰度变换
灰度变换是一种逐像素点对图像进行变换的增强 方法，所以也称为图像的点运算。
灰度变换是空间域图像增强方法。 设用f表示输入图像在（x,y）处的像素值，用g 表示变换后的输出图像g(x,y)的像素值，T[•]表示对 f(x,y)的点运算操作，则灰度变换可一般地定义为:
g= T[f]
（4.1）
4.1.1 灰度反转
设图像的灰度级为L，则图像的灰度反转可用公
图像处理课件04频率域图像增强
u 0,1,, M 1 v 0,1,, N 1
反变换: f ( x, y ) F (u , v) e j 2 ( ux / M vy / N )
u 0 v 0 M 1 N 1
x 0,1, , M 1 y 0,1, , N 1
一般F(u,v)是复函数,即:
1
2
5
20
３、高斯低通滤波器（GLPF）
H (u, v) e
D 2 u ,v / 2 2
令 D0
H (u, v) e
2 D 2 u ,v / 2 D0
当D(u, v) D0
H (u, v) 0.607
有更加平滑的过渡带，平滑后的图象没有振铃现象 与BLPF相比，衰减更快，经过GLPF滤波的图象比 BLPF处理的图象更模糊一些
高通滤波与低通滤波的作用相反，它使高频分量顺 利通过，而使低频分量受到削弱。
H hp (u, v) 1 H lp (u, v)
与低通滤波器相对应，频率域内常用的高通滤波器 有３种： 1. 理想高通滤波器 2. 巴特沃斯高通滤波器 3. 高斯高通滤波器
空间域滤波和频率域滤波之间的对应 关系
卷积定理：
f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v)
f ( x, y)h( x, y) F (u, v) H (u, v)
冲激函数
M 1 N 1 x 0 y 0
s( x, y) A ( x x , y y ) As( x , y )
频率域的基本性质：
低频对应着图像的慢变化分量。
较高的频率对应着图像中变化较快的灰度级。
变化最慢的频率成分（原点）对应图像的平均灰度级。
数字图像处理之频率域图像增强
易于分析和处理。
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
4-频域图像增强
M -1 N -1
对比空间域滤波：在M×N的图像f上，用m×n的滤波 器进行线形滤波
g ( x, y ) =
s = − at = − b
∑ ∑ w(s, t ) f ( x + s, y + t )
14/63
a
b
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空间和频域滤波器的对应关系
• 卷积定理：
• 滤波在频率域中更为直观，但在空间域一般使用
更小的滤波器模板
• 可在滤波域指定滤波器，做逆变换，然后在空间
域使用结果滤波器作为空间域构建滤波器的指导
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19/63
空间和频域滤波器的对应关系
• 频率域高斯低通滤波器为：
H (u ) = Ae
− u 2 / 2σ 2
6/63
傅里叶变换与图像频率域滤波
• 频率滤波的基本步骤
n
1.用(-1)x+y乘以输入图像进行中心变换
f ( x, y )(−1) x + y ⇔ F (u − M / 2, v − N / 2)
n n n n n
2.由(1)计算图像的DFT，即F(u,v) 3.用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v) 4.计算(3)中结果的反DFT 5.得到(4)中结果的实部 6.用(-1)x+y乘以(5)中的结果
n
Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外 边频率越高 低频对应图像的慢变化分量(图像轮廓)，高频对应图像 中变化快的区域(细节)
n
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3/63
傅里叶变换与图像频率域滤波
滤除 高频 后进 行傅 里叶 逆变 换得 到的 图像
第四章图像增强
均衡化的ps(s)和pv(v)相同，即都为均匀分布的密度函数。
由s代替v 得 z=G-1(s)
这就是所求得的变换表达式。根据上述思想，可总 结出直方图规定化增强处理的步骤如下： ①对原始图像作直方图均衡化处理；
②按照希望得到的图像的灰度概率密度函数pz(z)，求得
变换函数G(z)； ③用步骤①得到的灰度级s作逆变换z= G-1(s)。
g(x,
y)
[(d
c)
/(b
a)][
f
(x,
y)
a]
c
a f (x, y) b
[(M g d) /(M f b)][ f (x, y) b] d b f (x, y) M f
通过细心调整折线拐点的位置及控制分段直线的 斜率，可对任一灰度区间进行拉伸或压缩。
3．非线性灰度变换
当用某些非线性函数如对数函数、指数函数等，作为 映射函数时，可实现图像灰度的非线性变换。
①对数变换
对数变换的一般表达式为
n c
(7 2)
这里a,b,c是为了调整曲线 g(i,j) 的位置和形状而引入的参数。 当希望对图像的低灰度区较 大的拉伸而对高灰度区压缩 时，可采用这种变换，它能 使图像灰度分布与人的视觉 特性相匹配。
f (i,j)
局部平滑法是一种直接在空间域上进行平滑处理的技 术。假设图像是由许多灰度恒定的小块组成，相邻像素间 存在很高的空间相关性，而噪声则是统计独立的。因此， 可用邻域内各像素的灰度平均值代替该像素原来的灰度值， 实现图像的平滑。
设有一幅N×N的图像f(x,y)，若平滑图像为 g(x,y),则有
g(x, y) 1 f (i, j) M i, js
首先对原始图像进行直方图均衡化，即求变换函数：
由s代替v 得 z=G-1(s)
这就是所求得的变换表达式。根据上述思想，可总 结出直方图规定化增强处理的步骤如下： ①对原始图像作直方图均衡化处理；
②按照希望得到的图像的灰度概率密度函数pz(z)，求得
变换函数G(z)； ③用步骤①得到的灰度级s作逆变换z= G-1(s)。
g(x,
y)
[(d
c)
/(b
a)][
f
(x,
y)
a]
c
a f (x, y) b
[(M g d) /(M f b)][ f (x, y) b] d b f (x, y) M f
通过细心调整折线拐点的位置及控制分段直线的 斜率，可对任一灰度区间进行拉伸或压缩。
3．非线性灰度变换
当用某些非线性函数如对数函数、指数函数等，作为 映射函数时，可实现图像灰度的非线性变换。
①对数变换
对数变换的一般表达式为
n c
(7 2)
这里a,b,c是为了调整曲线 g(i,j) 的位置和形状而引入的参数。 当希望对图像的低灰度区较 大的拉伸而对高灰度区压缩 时，可采用这种变换，它能 使图像灰度分布与人的视觉 特性相匹配。
f (i,j)
局部平滑法是一种直接在空间域上进行平滑处理的技 术。假设图像是由许多灰度恒定的小块组成，相邻像素间 存在很高的空间相关性，而噪声则是统计独立的。因此， 可用邻域内各像素的灰度平均值代替该像素原来的灰度值， 实现图像的平滑。
设有一幅N×N的图像f(x,y)，若平滑图像为 g(x,y),则有
g(x, y) 1 f (i, j) M i, js
首先对原始图像进行直方图均衡化，即求变换函数：
频率域图像增强处理PPT
∑ ∑ f (m, n)h( x m, y n)
1. 取函数h(m,n)关于原点的镜像，得到h(-m,-n) 2. 对某个(x,y),使h(-m,-n)移动相应的距离，得到h(x-m,y-n) 3. 对积函数f(m,n)h(x-m,y-n)在(m,n)的取值范围内求和 4. 位移是整数增量，对所有的(x,y)重复上面的过程，直到两个函数：f(m,n)和 h(x-m,y-n)不再有重叠的部分。 傅立叶变换是空域和频域的桥梁，关于两个域滤波的傅立叶变换对：
冲激（脉冲）函数及筛选属性：
冲激函数的傅立叶变换：
1 F (u , v) = MN
筛选属性：
∑∑ δ ( x, y)e j 2π (ux / M +vy / N ) =
x =0 y =0
M
N
1 MN
∑∑ f ( x, y) Aδ ( x x , y y ) = Af ( x , y )
x=0 y =0 M N 0 0 0 0
信息与物理工程学院 中南大学
2. Butterworth低通滤波器(BLPF)
通常在H(u, v)=0.5时的D(u, v)=D0规定为截止频率(见第一个公式)。当阶数为1 时没有“振铃”现象，为2时较轻微，大于2时较严重。
变化着的频率是最基本的感觉之一，我们四周无时不被变化着 色彩的光、变化着音调的声音等在周期变化的现象包围着。
f ( x, y ) h( x, y ) F (u , v) H (u , v); f ( x, y )h( x, y ) F (u , v) H (u , v)
变化着的频率是最基本的感觉之一，我们四周无时不被变化着 色彩的光、变化着音调的声音等在周期变化的现象包围着。
信息与物理工程学院 中南大学
数字图像处理 第四章图像增强
Pr（rk） 0.19 0.25 0.21 0.16 0.08 0.06
0.03
0.02
计算每个sk对应的像素数目 计算均衡化后的直方图
Tr
Sk并
sk
nsk Ps（sk）
0.19
1/7
0.44
3/7
S0=1/7 S1=3/7 S2=5/7
790 0.19 1023 0.25 850 0.21
0.65
✓ 校正后的原始图像 f (i, j) C g(i, j) gc(i, j)
9
灰度级校正注意问题：
对降质图像进行逐点灰度级校正所获得的图像， 其中某些像素的灰度级值有可能要超出记录器 件或显示器输入灰度级的动态范围，在输出时 还要采用其他方法来修正才能保证不失真地输 出。
降质图像在数字化时，各像素灰度级都被量化 在离散集合中的离散值上，但经校正后的图像 各像素灰度极值并不一定都在这些离散值上， 因此必须对校正后的图像进行量化。
），使得结果图像s的直方图Ps(s)为一个常数
Pr(r)
Ps(s)
直方图均衡化 T(r)
r
s
26
直方图均衡化理论基础
-1 由概率论可知，若Pr(r)和变换函数s=T(r)已知，r=T (s)是单 调增长函数，则变换后的概率密度函数Ps(s)可由Pr(r)得到：
分 布 函 数 Fs(s)sp（ s s） ds=rp（ r r） dr
✓ 计算均衡后的直方图
s k 计
T（ rk）
k
=
i 0
P（r
r
）
i
k i 0
ni n
s k并
round（ sk计 * (L L 1
1)）
j
第4章-图像增强(频率域)
傅立叶反变换还原空间域函数的过程如下：
x
f ( x )曲线图
12.81
2.468
F (u)
u
频谱图
……
F(0)
F(0)+ F(1)
F(0)+ …+ F(14) F(0)+ …+ F(15)
结论：
① 空间域函数 f (x, y)可以通过傅立叶变换，转 换成频率域函数F(u)。
x
一般地，低频成分描述曲线的大致轮廓，高
例如： 一幅 512×512 的图像，不用 FFT 计算，需要计算： 2×（512×512）2 = 137438953472 复数乘法和加法, 按0.1微秒完成一次运算，耗时约3.82小时； 采用 FFT 计算，需要计算： (512×512) log2(237) = 9699328 次复数乘法和加法， 按0.1微秒完成一次运算，耗时约0.97秒；
在频域中，图像用如下二维函数描述：
F( u , v ) , 0≤u＜M, 0≤v＜N
其中，u , v 分别为水平变化频率和垂直变化频率；
F ( u , v )为图像中含有( u , v ) 频率的幅度；
M、 N 分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数
量上等于图像的宽、高。
在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化 情况，是分析和处理图像的有力工具。
4.1 图像变换概述 4.2 傅立叶变换 4.3 小波变换简介
4.1 图像变换概述
4.1.1 基本概念 一幅静止图像，可以在空间域描述，也可以在频率域描述。
空间域描述是指：像素的值是空间坐标的函数。 在直角坐标系中，一幅图像可表示为：
f ( x , y ) , 0≤x＜M, 0≤y＜N
x
f ( x )曲线图
12.81
2.468
F (u)
u
频谱图
……
F(0)
F(0)+ F(1)
F(0)+ …+ F(14) F(0)+ …+ F(15)
结论：
① 空间域函数 f (x, y)可以通过傅立叶变换，转 换成频率域函数F(u)。
x
一般地，低频成分描述曲线的大致轮廓，高
例如： 一幅 512×512 的图像，不用 FFT 计算，需要计算： 2×（512×512）2 = 137438953472 复数乘法和加法, 按0.1微秒完成一次运算，耗时约3.82小时； 采用 FFT 计算，需要计算： (512×512) log2(237) = 9699328 次复数乘法和加法， 按0.1微秒完成一次运算，耗时约0.97秒；
在频域中，图像用如下二维函数描述：
F( u , v ) , 0≤u＜M, 0≤v＜N
其中，u , v 分别为水平变化频率和垂直变化频率；
F ( u , v )为图像中含有( u , v ) 频率的幅度；
M、 N 分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数
量上等于图像的宽、高。
在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化 情况，是分析和处理图像的有力工具。
4.1 图像变换概述 4.2 傅立叶变换 4.3 小波变换简介
4.1 图像变换概述
4.1.1 基本概念 一幅静止图像，可以在空间域描述，也可以在频率域描述。
空间域描述是指：像素的值是空间坐标的函数。 在直角坐标系中，一幅图像可表示为：
f ( x , y ) , 0≤x＜M, 0≤y＜N
图像增强 第四讲-频域增强
j=-1
=
1 9
F(Zm
,
Zn
)
1 i = -1
Zmi
1
Znj
j=-1
H(Zm , Zn
)
=
G(Zm , Zn ) F(Zm , Zn )
=
1 9
(1 +
Zm
+
Zm-1
)(1 +
Zn
+
Zn-1 )
以 Zm = e 和 jωm Zn = ejωn 代入上式,
图4.4.2 加权平均模板的频率响应
f(x,y)和h(x,y)卷积定义为：
f (x, y) * h(x, y)
1
M 1 N 1
f (m, n)h(x n, y n)
MN m0 n0
有： f (x, y)*h(x, y) F(u, v)H(u, v) f (x, y)h(x, y) F(u,v)* H(u,v)
15
设 g(x, y) f (x, y) * h(x, y)
得到傅立叶变换式:
1 H(ωm ,ωn ) = 9 (1 + 2cosωm )(1 + 2cosωn )
”分量当即ω图m 像= ω的n 灰= 0度平时均，|值H |处具理有前最后大不值变1；，当这ωm说明或“ωn直= 23流π 时，具有最小值0，即高频得到最大程度的抑制。
低通滤波法举例
(a) 原图像； (b) 频谱（r=5,11,45,68）； (c)(f) 低通滤波(r=5,11,45,68)
4.4 频域图像增强
图像增强的目的主要包括：①消除噪声， 改善图像的视觉效果；②突出边缘，有利于 识别和处理。前面是关于图像空间域增强的 知识，下面介绍频率域增强的方法。
=
1 9
F(Zm
,
Zn
)
1 i = -1
Zmi
1
Znj
j=-1
H(Zm , Zn
)
=
G(Zm , Zn ) F(Zm , Zn )
=
1 9
(1 +
Zm
+
Zm-1
)(1 +
Zn
+
Zn-1 )
以 Zm = e 和 jωm Zn = ejωn 代入上式,
图4.4.2 加权平均模板的频率响应
f(x,y)和h(x,y)卷积定义为：
f (x, y) * h(x, y)
1
M 1 N 1
f (m, n)h(x n, y n)
MN m0 n0
有： f (x, y)*h(x, y) F(u, v)H(u, v) f (x, y)h(x, y) F(u,v)* H(u,v)
15
设 g(x, y) f (x, y) * h(x, y)
得到傅立叶变换式:
1 H(ωm ,ωn ) = 9 (1 + 2cosωm )(1 + 2cosωn )
”分量当即ω图m 像= ω的n 灰= 0度平时均，|值H |处具理有前最后大不值变1；，当这ωm说明或“ωn直= 23流π 时，具有最小值0，即高频得到最大程度的抑制。
低通滤波法举例
(a) 原图像； (b) 频谱（r=5,11,45,68）； (c)(f) 低通滤波(r=5,11,45,68)
4.4 频域图像增强
图像增强的目的主要包括：①消除噪声， 改善图像的视觉效果；②突出边缘，有利于 识别和处理。前面是关于图像空间域增强的 知识，下面介绍频率域增强的方法。