第八讲及第九讲 频率域图像增强

D0=230; H=1./(1+(D./D0).^(2*n)); G=F.*H; G1=ifft2(ifftshift(G)); subplot(326); imshow(real(G1),[]); title('半径小于230的巴特沃思低通滤波器');
1
2
截止频率点半径分别为5、15、30、80、 230二阶巴特沃思低通滤波
xlabel('u') ylabel('v') zlabel('H(u,v)') title('二阶巴特沃思低通滤波器的频率响应函数')
例题：巴特沃斯低通滤波器的平滑作用。
解： %fig4d15.m %巴特沃斯低通滤波器的平滑作用,见冈萨雷雷斯《数字 %图像处理》（第二版） P138 图4.15 f=imread('d:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.11(a).jpg'); subplot(321); imshow(f,[]); title('原图'); F=fftshift(fft2(f,size(f,1),size(f,2))); u=1:size(F,1); v=1:size(F,2); [V,U]=meshgrid(v,u); D=sqrt((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V-(floor(size(F,2)/2)+1)).^2);
5
20
3. 高斯低通滤波器(Gaussian Lowpass Filters)
H (u, v) e
D 2 ( u ,v ) / 2 2
当 D D0 时H (u, v) 0.607
h( x, y ) 2 e
2 2 2 ( x 2 y 2 )
例题：显示高斯低通滤波器的频率响应函数。
例题：高斯低通滤波器的平滑作用。 解：%fig4d18.m %高斯低通滤波器的平滑作用，见冈萨雷斯《数字图像处理》 （第二版）P140 图4.18 f=imread('Fig3.35(a).jpg'); subplot(321); imshow(f,[]); title('原图'); F=fftshift(fft2(f,size(f,1),size(f,2))); u=1:size(F,1); v=1:size(F,2); [V,U]=meshgrid(v,u); D=sqrt((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V(floor(size(F,2)/2)+1)).^2); H=zeros(size(f)); D0=5; H=exp(-D.^2./(2*D0.^2));
半径为5的频率域ILPF
相应的空间滤波器 空间域的5个脉冲 模拟5个像素值
思考：从振铃效应可得到那些启示？
空间域卷积
2. 巴特沃思低通滤波器(Butterworth Lowpass Filters)
1 H (u, v) 1 [ D(u, v) / D0 ]2 n
当 D D0 时 H (u, v) 0.5
H=zeros(size(f)); D0=5;n=2; H=1./(1+(D./D0).^(2*n)); G=F.*H; %频域低通滤波 G1=ifft2(ifftshift(G)); subplot(322); imshow(real(G1),[]); title('半径小于5的巴特沃思低通滤波器'); D0=15; H=1./(1+(D./D0).^(2*n)); G=F.*H; G1=ifft2(ifftshift(G)); subplot(323); imshow(real(G1),[]); title('半径小于15的巴特沃思低通滤波器');
频率域平滑滤波器
(Smoothing Frequency-Domain Filters)
1. 理想的低通滤波器(Ideal Lowpass Filters)
1 D (u , v) D0 H (u , v) 0 D (u , v) D0
其中 D(u, v) (u M / 2) 2 (v N / 2)

1 2 2

在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减的通过滤波器， 而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉。由于高 频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像变模糊。
例题：显示理想低通滤波器的频率响应函数。
解： %ideallp.m %该程序显示理想低通滤波器的 %频率响应函数 H=zeros(512); u=1:512; v=1:512; [V,U]=meshgrid(v,u); %产生坐标格点矩阵，即V的每一个元素值为所在列 的列号，U的每个元素值为所在行的行号 D=sqrt((V-257).^2+(U-257).^2); H(D<50)=1; mesh(u-257,v-257,H)
xlabel('u') ylabel('v') zlabel('H(u,v)') title('理想低通滤波器的频率响应函数')
例题：理想低通滤波器的平滑作用。
解：%fig4d12.m %理想低通滤波器的平滑作用，见冈萨雷斯《数字图像处理》 （第二版）P135 图4.12 f=imread('Fig4.11(a).jpg'); subplot(321); imshow(f,[]); title('原图'); F=fftshift(fft2(f,size(f,1),size(f,2))); u=1:size(F,1); v=1:size(F,2); [V,U]=meshgrid(v,u); D=sqrt((U-(floor(size(F,1)/2)+1)).^2+(V(floor(size(F,2)/2)+1)).^2); %屏幕左上角坐标为（1，1），中央为（M/2+1, N/2+1）
它的特性是连续性衰减，而不像理想滤波器那样陡峭变化， 即明显的不连续性。因此采用该滤波器滤波在抑制噪声的 同时，图像边缘的模糊程度大大减小，一阶巴特沃思滤波 器没有振铃效应，阶数越高振铃效应越明显。
例题：显示巴特沃思低通滤波器的频率响应函数。
解： %Blp.m %该程序显示巴特沃思低通滤波器的 %频率响应函数 H=zeros(512); u=1:512; v=1:512; [V,U]=meshgrid(v,u); D=sqrt((V-257).^2+(U-257).^2); D0=75;n=2; H=1./(1+(D./D0).^(2*n)); mesh(u-257,v-257,H)
图像和图像的傅立叶谱
右图中：从左至右从上到 下，以此为原图像和上图（右） 所示的半径分别为5、15、30、 80、230像素的半径进行理想滤 波的结果。由这些滤波器滤除 的功率分别为总功率的8%、 5.4%、3.6%、2%、0.5%。
图像选自冈萨雷斯
理想低通滤波的 振铃(ringing)效应
频域低通滤波器对应的空 间滤波器有两个重要特征：在 原点处的一个主要成份，及中 心成分周围集中、呈周期性分 布的成分。中心成分主要决定 模糊，周围集中、呈周期性分 布的成分主要决定了理想滤波 的振铃现象的特性。
G(u, v) H (u, v) F (u, v)
再经逆傅立叶变换，可得滤波后的图像
g ( x, y) F [G(u, v)]
直接用频域率波的过程图如下
f ( x, y )
1
筛子
g ( x, y)
FFT
H (u, v)
iFFT
傅立叶变换在图像平滑锐化、锐化、消除噪声，以及伪彩色编码 中都有广泛的应用，其中图像的平滑和锐化分别可以通过高通和低通 滤波完成。
第八讲 图像的频域增强
Lecture 8 Image Enhancement in the Frequency Domain
概述

上节提到，傅立叶变换的频谱图中，中心是零频，离中 心越远对应的频率越高。 边缘、细线、噪声等灰度急剧变换都对图像傅立叶变 换的高频成分产生重要的贡献
频域处理的基础是频域滤波，设原图像为f (x, y)，其傅 立叶变换是F (u, v)。就可以通过一个滤波函数H (u, v)来改变 F (u, v)，处理后原图像的频谱为
H=zeros(size(f)); H(D<5)=1; G=F.*H; G1=ifft2(ifftshift(G)); subplot(322); imshow(real(G1),[]); title('半径小于5的理想低通滤波器'); H(D<15)=1; G=F.*H; G1=ifft2(ifftshift(G)); subplot(323); imshow(real(G1),[]); title('半径小于15的理想低通滤波器'); H(D<30)=1; G=F.*H; G1=ifft2(ifftshift(G));
subplot(324); imshow(real(G1),[]); title('半径小于30的高斯低通滤波器'); D0=80; H=exp(-D.^2./(2*D0.^2)); G=F.*H; G1=ifft2(ifftshift(G)); subplot(325); imshow(real(G1),[]); title('半径小于80的高斯低通滤波器'); D0=230; H=exp(-D.^2./(2*D0.^2)); G=F.*H; G1=ifft2(ifftshift(G)); subplot(326); imshow(real(G1),[]); title('半径小于230的高斯低通滤波器');
Fra Baidu bibliotek
G=F.*H; %频域高斯低通滤波 G1=ifft2(ifftshift(G)); subplot(322); imshow(real(G1),[]); title('半径小于5的高斯低通滤波器'); D0=15; H=exp(-D.^2./(2*D0.^2)); G=F.*H; G1=ifft2(ifftshift(G)); subplot(323); imshow(real(G1),[]); title('半径小于15的高斯低通滤波器'); D0=30; H=exp(-D.^2./(2*D0.^2)); G=F.*H; G1=ifft2(ifftshift(G));
D0=30; H=1./(1+(D./D0).^(2*n)); G=F.*H; G1=ifft2(ifftshift(G)); subplot(324); imshow(real(G1),[]); title('半径小于30的巴特沃思低通滤波器'); D0=80; H=1./(1+(D./D0).^(2*n)); G=F.*H; G1=ifft2(ifftshift(G)); subplot(325); imshow(real(G1),[]); title('半径小于80的巴特沃思低通滤波器');
%Glp.m %该程序显示高斯低通滤波器的 %频率响应函数 H=zeros(512); u=1:512; v=1:512; [V,U]=meshgrid(v,u); D=sqrt((V-257).^2+(U-257).^2); D0=75; H=exp(-D.^2./(2*D0.^2)); mesh(u-257,v-257,H) xlabel('u') ylabel('v') zlabel('H(u,v)') title('高斯低通滤波器的频率响应函数')
注意：高斯低通滤波
subplot(324); imshow(real(G1),[]); title('半径小于30的理想低通滤波器'); H(D<80)=1; G=F.*H; G1=ifft2(ifftshift(G)); subplot(325); imshow(real(G1),[]); title('半径小于80的理想低通滤波器'); H(D<230)=1; G=F.*H; %频域低通滤波 G1=ifft2(ifftshift(G)); subplot(326); imshow(real(G1),[]); title('半径小于230的理想低通滤波器');