第十一讲带余除法和余数性质
多元多项式带余除法
多元多项式带余除法在高中数学学习中，我们经常会接触到多元多项式带余除法的概念和应用。
多元多项式带余除法是一种求解多项式除法和求余数的方法，通过使用该方法，我们可以更加方便地进行多项式的运算，也能够避免我们做错算题。
本文将分步骤介绍多元多项式带余除法的相关知识。
1. 带余除法的定义带余除法是指，对于给定的两个多项式A(x)和B(x)(B(x)≠0)，必定存在唯一一组多项式Q(x)和R(x)，满足A(x)=B(x)×Q(x)+R(x)，其中R(x)为多项式余数，且R(x)的次数小于B(x)的次数。
2. 多元多项式带余除法的基本思想在多元多项式中，我们可以把多项式看做是一个多维的矩阵，其中每个维度表示该项指数对应的变量的次数。
例如，对于多项式f(x, y, z)来说，可以表示为f(x, y,z)=a0,0,0+a1,0,0x+a0,1,0y+a0,0,1z+a2,0,0x2+…。
基于这个思想，多元多项式带余除法就是一个类似于一元多项式带余除法的过程。
假设我们要对多项式f(x, y, z)除以多项式g(x, y, z)，则首先需要找到g(x, y, z)的最高项，并将其乘以一个常数c，使得c×g(x, y, z)的最高项系数为1。
接着，我们将多项式f(x, y, z)的最高项与c×g(x, y, z)的最高项相除，得到一个多项式q0(x, y, z)。
然后，我们将q0(x, y, z)与g(x, y, z)相乘，并将结果相减，得到一个余项r0(x, y, z)。
接下来，我们将r0(x, y, z)的最高项与c×g(x, y, z)的最高项相除，得到一个多项式q1(x, y, z)，继续进行以上过程，直到余数为0为止。
3. 多元多项式带余除法的步骤多元多项式带余除法的具体步骤如下：(1) 找到g(x, y, z)的最高项，并将其乘以一个常数c，使得c×g(x, y, z)的最高项系数为1。
小学数学《带余除法与同余》ppt
小试身手
237除以一个大于50的两位数，余数 是6，则合适这个条件的两位数是多少？
答案：如果a被b除得的余 数是n，那么a-n能被b整除所以 用237-6=231，231能被一个两 位数整除，把231分解质因数后 找出大于50的两位数约数即为 所求237-6=231， 231=3×7×11，231的两位数 约数有11，21，77，33，其中 大于50的只有77，所以这个两 位数就是77
【例1】一个两位数去除259， 得到的余数是49，求这个两位数
思路点拨:如果a被b除得的 余数是n，那么a-能被b整除，所 以用259-49=210，210能被一个 两位数整除，把210分解质因数 后找出大于49的两位数约数即 为所求
【解】259-49=210， 210=2×3×5×7，210的两位约 数有10，14，15，21，35，42， 70，其中大于余数49的只有70， 所以这个两位数是70
对于已知整数a和自然数b， 求q和r，使a=bq+r(0≤r<b) 成立的运算叫做有余数的 除法，或称为带余除法， 记为a÷b=q(余r)或 a÷b=q...r
51÷8=6......3，27÷8=3......3,
其中51，27被8除的余数相同， 是同余除法
若整数a,b同除以自然数n的余 数相同，则称a和b对模n同余 （模n即除以n的意思，）这 就是同余除法
【例2】两个整数相除，商5余3，被 除数，除数，商，余数之和为113，求被 除数是多少？
思路点拨：由题意知道等量关 系式：被除数+除数+商+余数=11， 其中商是5，余数是3，所以被除数 +除数+5+3=11，即被除数+除数 =105，根据有余数除法中各部分之 间的关系，被除数=除数×商(5)+余 数（3），可巧设除数为x,则被除数 为5x+3，然后列出方程即可解答
带余除法的应用
带余除法的应用带余除法（亦称为带余除法算法或取余算法）是一种常见的算术运算方法，用于计算除法运算中的余数。
带余除法在数学、计算机科学和工程领域中有广泛的应用。
本文将介绍带余除法的原理，并探讨其在不同领域的应用。
一、带余除法的原理带余除法是一种基于整除关系的运算方法，用于计算除法运算中的余数。
其基本原理如下：对于两个整数a和b，其中a是被除数，b是除数，且b不等于0。
带余除法通过将a除以b，将商q舍去小数部分，得到整数商q（忽略小数部分），再将整数商q乘以除数b，得到乘积q*b。
然后，将被除数a减去乘积q*b，即a-q*b，得到的结果即为余数r。
数学表达式可表示为：a = b * q + r其中，a为被除数，b为除数，q为整数商，r为余数。
二、1. 取模运算带余除法中的余数r在计算机科学中常被用于取模运算。
取模运算是计算一个数除以另一个数后所得到的余数。
例如，我们可以使用带余除法来计算一个整数是否为偶数，只需计算该数除以2的余数，若余数为0，则该数为偶数；若余数为1，则该数为奇数。
2. 素数判定带余除法在素数判定中也具有重要的应用。
素数是指只能被1和自身整除的自然数。
要判断一个数n是否为素数，可使用带余除法将n依次除以小于等于根号n的所有自然数，若除数能够整除n，则n不是素数；若除数不能整除n，则n是素数。
3. 错误检测与校验带余除法在数据传输和信息校验中被广泛应用。
例如，带余除法常用于校验数据传输中的错误。
发送方在发送数据时，可以通过计算发送数据的带余除法来得到一个校验码，并将该校验码与数据一同发送给接收方。
接收方在接收到数据后，再次计算接收到的数据的带余除法，并将计算所得的校验码与接收到的校验码进行比对，若两个校验码相同，则说明数据传输过程中未出现错误。
4. 多项式除法带余除法在代数学中也有着广泛的应用。
在多项式除法中，带余除法用于计算一个多项式p(x)除以另一个多项式d(x)的商和余式。
通过带余除法，可以将多项式的除法问题转化为多项式的减法和乘法运算，简化了多项式的运算过程。
小学奥数精讲：带余除法(同余式和同余方程)知识点及典型例题
小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程）一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r 均为整数) 从中我们应该得到：（1）b>r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。
2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。
即：两数和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。
例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3 的余数就等于（1+2）÷3 的余数0。
（2）可减性：差的余数等于余数的差。
即：两数差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。
例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3 的余数就等于（2-2）÷3 的余数0。
（3）可乘性：积的余数等于余数的积。
即：两数积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。
例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3 的余数就等于（1×3）÷7 的余数3。
二、同余式在生活中，若两个自然数 a 和 b 都除以同一个除数m 时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。
即：a 与b 同余于模m。
意思就是自然数a 和b 关于m 来说是余数相同的。
用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a 与b 同余于模m，则a 与b 的差一定被m 整除。
（余数的可减性）三、例题。
例1、当2011 被正整数N 除时，余数为16，请问N 的所有可能值有多少个？例2、（1）求多位数1234567891011…20102011除以9的余数？（2）将1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113…9799101103，则数a共有多少位？数a除以9 的余数为几？（3）一个多位数1234567……979899，问除以11 的余数是多少？例3、（1）用一个数除200 余5，除300 余1，除400 余10，求这个数？（2）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69 人，85 人、93 人、97 人。
带余除法定理
带余除法定理带余除法定理是数学中一项基本概念，用于解决除法运算中的余数问题。
它是我们在学习整数除法时必须掌握的重要知识点之一。
下面我们就来详细了解一下带余除法定理的原理和应用。
带余除法定理是指当我们用一个整数除以另一个非零整数时，总可以得到一个商和一个余数。
这个定理的原理是基于整数的性质：对于任意两个整数a和b，存在唯一的整数q和r，使得a=bq+r，其中q为商，r为余数。
举个例子来说明带余除法定理的应用。
假设我们要将17除以5，根据带余除法定理，我们可以得到商和余数。
首先我们找到一个最大的整数q，使得5q不超过17，这里q为3。
然后我们计算余数r，即17-5q，也就是17-5*3=2。
所以17除以5的商为3，余数为2。
在实际应用中，带余除法定理可以帮助我们解决很多问题。
比如，我们可以利用带余除法定理来判断一个数是否能被另一个数整除。
如果一个整数a除以另一个整数b的余数为0，那么我们就可以说a能被b整除。
这在编程中尤其有用，可以用来判断一个数是否为偶数或奇数，或者判断一个数是否为另一个数的因子。
带余除法定理还可以帮助我们进行整数的取模运算。
取模运算是指求一个整数除以另一个整数的余数。
在计算机科学中，取模运算经常用于计算哈希函数、判断奇偶性、周期性运算等。
带余除法定理的应用还可以扩展到负数和分数的除法中。
对于负数的除法，我们可以先对绝对值进行除法运算，然后根据被除数和除数的符号来确定商的符号。
对于分数的除法，我们可以将分子和分母都转化为整数，然后进行整数的除法运算，最后再将商和余数转化为分数形式。
总结起来，带余除法定理是解决除法运算中余数问题的重要工具。
通过带余除法定理，我们可以得到除法运算的商和余数，并应用于判断整除性、取模运算等各个领域。
带余除法定理的原理简单明了，应用广泛，是我们学习数学和计算机科学时必须掌握的基本知识之一。
小升初基础班第11讲-余数、约数与倍数 (1)
第二讲 余数、约数与倍数知识概要：余数1、 一个数除以2（5）的余数，看个位除以2（5）的余数；2、 一个数除以4（25）的余数，看末两位除以4（25）的余数；3、 一个数除以8（125）的余数，看末三位除以8（125）的余数；4、 一个数除以3（9）的余数，看数字和除以3（9）的余数5、 一个数除以11的余数，奇数位数字和减去偶数位数字和的差即为余数，如果奇数位数字和比偶数位数字和小，加上11的倍数再减去偶数位数字和。
6、 多个数的乘积除以某一个数的余数等于每一个数除以这个数的余数的乘积。
（积的余数等于余数的积）约数与倍数约数与倍数的关系很简单，其实就是整除关系的另外一种称谓；当然也有概念的延伸，就是在多个数之间去研究公约数和公倍数，经常地应用最大公约数与最小公倍数解题．下面我们就先回顾基本的概念：1、 公约数与最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数．例如：12的约数有1，2，3，4，6，12．18的约数有l ，2，3，6，9，18 那么它们的公约数有l ，2，3，6；其中最大公约数为6．2、 公倍数与最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数．例如：15的倍数有：15，30，45，60，75，90，105，120，…．10的倍数有：10，20，30，40，50，60，70，80，90，…．那么它们的公倍数有30，60，90，…是有无穷多个的；而最小公倍数却只有一个，为30．3、 互质的概念如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数互质．显然的，两个不同的质数一定互质．4、 求最大公约数的方法：1) 短除2) 分解质因数3) 辗转相除法求最大公约数5、 最大公约数与最小公倍数性质4) 分数的计算： ()[],,,b d b d a c a c ⎛⎫= ⎪⎝⎭； [](),,,b d b d a c a c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 5) 约倍关系：()[],,ab a b a b =一、余数1.（1）34567被4除的余数为___________，45678被5除的余数为___________；（2）1234567被9除的余数为___________，20092009200920092009 个被9除的余数为___________.2.1234567被11除的余数为___________；200912121212 个被11除的余数为___________.3. 下课时老师发给冬冬一张小升初优秀学生推荐卡，冬冬看见卡号为1025553，立刻算出这个数除以4余______，除以5余______，除以9余______，除以11余______，老师发现冬冬都算对了，夸奖他很聪明．4. 老师买来1111个樱桃，平均分给若干个同学，如果同学的个数是两位数，并且还剩下66个樱桃，那么同学有__________人．5. （1）20098888⨯⨯⨯个的个位数字是___________； （2）123456789⨯⨯除以7的余数是___________．6. 一个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是___________．7.一个自然数，除以3余2，除以5余3，除以7余4，问这个自然数最小是___________．有一个大于1的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，那么这个数是___________．二、约数与倍数8.计算：（1）(),，[],；2844,2602844,2602872,；（2）(),，[]28729.（1）20000的约数有___________个；（2）720的约数有___________个．10.360的约数中，奇数有__________个，它们的和是___________．历史上的2008年8月8日，北京奥运会正式开幕，是我国第一次在自己家里办奥运．2009年3月1号，我国嫦娥一号卫星成功撞月，标志着我国航天技术又上了一个新的台阶．试求20080808和20090301的最大公约数是___________．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．如果甲数是18，那么乙数是___________．11.两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是___________．思考题：课后练习：1.147258369除以4余___________；除以9余___________；除以11余___________．2.计算：()，．20352035，，[]3.一个自然数除以5余3，除以7余4，这个自然数最小是___________．4.三个质数的和是42，则这三个质数的乘积最大是___________．5.甲数与乙数的最大公约数是6，最小公倍数是180，如果这两个数相差6，则这两个数的和是___________．。
小学数学精讲(6)带余除法、同余性质、中国剩余定理
小学数学精讲(6)带余除法、同余性质、中国剩余定理一、知识地图;,;(2),.;(4)a ⎧⎪≡≡⎧⎪⎪⎪≡+⎪⎪⎪>≡-⎪⎧⎪⎨⎨⎪<≡-+⎩⎪⎪⎪⎪⨯≡⨯⎨⎪⎪⎪≡⎩⎪≡⎩12121212121212带余除法如果m r ,n r(moda),那么(1)m+n r r 当r r m-n r r 同余性质m-n 当r r m-n r r 数论三(3)m n r r 如果m n(moda),那么a|m-n 中国剩余定理--余1律升级满足法--前几级得数+前几级公倍数本级余数(mod 本级数)进制数，数位与位值⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 二、基础知识（一）余数问题在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。
余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。
1. 带余除法 1定义的引入：带余除法：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0），那么一定有另外两个整数q 和r ，0≤r ＜b ，使得a=b ×q + r 当r=0时，我们称a 能被b 整除。
当r ≠0时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商（亦简称为商）。
用带余数的除式又可以表示为a ÷b=q ……r ， 0≤r ＜b例如：给出整数13 ，整数5，那么就存在另外两个数2和3，使得13=5×2+3 其实也就是表达了13÷5=2…3，这么一个简单的意思。
2.和余数相关的一些性质余数有如下一些重要性质（a ，b ，c 均为自然数） （1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数除数=（被除数-余数）÷商； 商=（被除数-余数）÷除数。
这条性质，要与整除性联系，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。
因为在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。
多项式的带余除法及同余问题
多项式的带余除法及同余问题一、多项式的带余除法带余除法是一种基础的多项式运算，它可以用来确定两个多项式之间的整除关系。
带余除法的核心思想是，用一个已知的多项式去除另一个多项式，然后求出余数和商。
下面我们就来介绍一下多项式的带余除法及其应用。
1.多项式的定义在代数中，多项式是由常数、变量和运算符号构成的表达式。
多项式的一般形式如下：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anxn其中，a0,a1,a2 … an是常数项，n是该多项式的最高次数。
2.多项式的带余除法设P(x)和Q(x)是两个多项式，其中Q(x)≠0，且Q(x)的最高次数不小于P(x)的最高次数。
那么，多项式P(x)除以Q(x)所得的商多项式为R(x)，余数多项式为S(x)。
带余除法的表示如下：P(x）= Q(x)× R(x) + S(x)其中，余数多项式S(x)的次数小于除式Q(x)的次数。
带余除法的流程如下：（1）将被除式P(x)和除式Q(x)按照它们的次数从高到低排列；（2）将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项；（3）用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式；（4）重复以上操作，直到得到的新多项式的次数小于除式Q(x)的次数为止，最后所得的新多项式就是余数多项式S(x)。
3.例子说明我们以P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1和Q(x) = x^2 -x - 2为例，来说明多项式的带余除法的具体操作。
首先，将P(x)和Q(x)按照从高到低的次数排列：P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1Q(x) = x^2 - x - 2其次，将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项为：x^2接着，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式：P(x) - x^2 Q(x) = (x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1) - (x^2 -x - 2) x^2 = 3x^3 - 2x^2 + 3x + 1重复以上操作，将新的多项式3x^3 - 2x^2 + 3x + 1除以Q(x)，得到商式的首项为：3x然后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从3x^3 - 2x^2 + 3x + 1中减去这个积，得到一个新的多项式：3x^3 - 2x^2 + 3x + 1 - 3x(x^2 - x - 2) = -5x^2 + 9x + 1 继续重复以上操作，将新的多项式-5x^2 + 9x + 1除以Q(x)，得到商式的首项为：-5最后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从-5x^2 + 9x + 1中减去这个积，得到余数多项式：-5x^2 + 9x + 1 - (-5)(x^2 - x - 2) = 4x + 11因此，P(x)除以Q(x)所得的商多项式为x^2 + 3x - 5，余数多项式为4x + 11。
11整除与带余数除法
第一章整数的整除性整除是初等数论的基本概念，整除理论是初等数论的基础•本章从整除这个基本概念出发，引进带余数除法和辗转相除法，然后建立最大公因数和最小公倍数理论，并进一步证明算术基本定理，所有这些是整个课程的基本部分.本章的最后介绍函数［X］及；、X,并利用［x］来说明如何把n!表示成质数幕的乘积.§1整除和带余数除法一整除我们已熟知正整数、自然数、整数等概念.本书用N +表示全体正整数的集合，用N 表示全体自然数的集合，用Z表示全体整数的集合;并且约定，如果没有特别声明，以后我们用小写的拉丁字母a,b,c,|||或希腊字母川|等表示整数.我们还知道，任意两个整数的和、差、积仍然是整数，但是用一个不为零的整数除另一个整数所得的商却不一定是整数.那么，什么情况下一个整数除另一个整数所得的商是整数呢？这就是整数的整除性问题.为此我们先给出整除的概念.定义1设a,b均为整数且b = 0.如果存在整数q使得a二bq ,则称b整除a，或a 能被b整除,记作b a .此时我们也把b叫做a的因数（或约数）,a叫做b的倍数.如果不存在整数q使得a =bq ,则称b不整除a或a不能被b整除,记作b ?a .例如，2 4,（—巧15, 13 182; 5 寣9, 6 44, （ _4）?（—7 ）.应当注意的是,符号ba本身包含了条件a,b^ z,b^0.根据整除的定义及整数的性质，我们不难证明下列有关整除的性质.定理1下列结论成立(i) b a= b (-a 启(-b )a= |b a(ii) 若b a, cb,则c a;n,故b L k i a i .id因由b a i 推出存在q (1剟in(iii) b q (1剟i n 戶b 迟k i a i ,其中k 1,k 2^|, k n 是任意整数;i £(iv) ba 二 kb ka ,其中 k^O ;(v) 若 b a,则当 a^O 时 b , a ,当 acb 时 a=0;(vi) 若 a b, b a ,则 a = ±b .证 只证(iii)及(v),其它性质请读者自证.(iii)必要性n n n ,使得 a i=bq i ,于是ka i 二 b^ kq i iA i 4 充分性对每一个i ,取K =1,匕=0 j=i ,得到充分性证明.(v)若b a,则由(i)知 a = b||q .当a 式0时有q T,得b , a .而当a c b 时，有a — b| =|b (|q -1 0 ,此时因b > 0从而必有q = 0,得a = 0.这些看起来十分简单的性质是非常有用的.例1证明：(1) 若 3 a, 5a,则 15a.(2) 设a,b 为非零整数，且存在整数x, y 使得ax + by = 1.则当an, bn 时有ab n.证 不难发现,(1)是⑵ 的特例.(1)由3a 知存在整数q 使a=3q ,所以5 3q .又因5 5q ,依定理1 (iii )得5 2 3q-5q ,即5q .因而依定理1 iv 有15a.(2) 由条件有 n = n ax by [= nax nby ,而 ab na, ab nb ,依定理 1 (iii)得 ab n .根据整除的定义，若整数b = 0,则b的所有倍数的集合是「kb k Z 〉这个集合是完全确定的.显然,零是这个集合的一个元素，因而零是所有非零整数的倍数，或说所有非零整数都是零的因数.我们再来考察非零整数a的因数.显然_1,_a都是a的因数，a的这些因数称为a 的平凡因数，a的其它因数(如果存在的话)称为a的非平凡因数(或真因数).由定理 1 (v )可知,如果b是a的非平凡因数,则1cbv|a.于是非零整数a的所有因数的集合是一个非空有限集，其元素个数是确定的.例如对于a =12,它的全体因数是：_1,二2, _3, _4, _6, _12,12共有12个因数,其中_2, _3,_4, _6是它的真因数.而对于a =11,它的全体因数是：_1,-11,11共有4个因数,它没有真因数.例2设A二⑹^,川,dj是非零整数n的所有因数的集合，B=卫，卫，川，丄. g d2 dk j 则 A 二B .证对每一个d i E A ,因为d i n ,所以存在整数q使得n = d i q i ,于是—=q是整数,d i且q n,故每一个-都是n的因数.d i又当d i =d j时，---,因此卫二，川，丄是n的k个不同的因数.由于非零整数j d i d j d1 d2 d kn的因数个数是确定的，所以B也是n的所有因数的集合，因此有A二B .例3设n为正整数，求证：23(52^ +2n* +尹).证用数学归纳法证.当n =1时，因为52n 1 ' 2n 4 - 2n J =161 =23 7 ,所以结论成立.假设n二k时，结论成立，即则当n =k 1时,2耳23 52k 1- 2 52k 1- 2k 42k -1=23汇52宀+ 2"52k41 +2kj4+2宀).因为23 23汉5心，23 (5心+2心+2宀),所以这就是说，n二k 1时结论也成立.根据归纳原理,当n为正整数时,23(52n*+2n" +2n* ).例 4 设m,n, p,q 均为整数,证明：若m - p ' mn • pq ,贝U m - p ' mq • np .证注意至卩mq np = m - p q _ n r i mn pq , 由条件(m - p j( mn十pq )及定理1 (iii )即知m 一p " mq np .二带余数除法前面我们对能够整除的情形进行了初步讨论•对于一般情形，我们有下面的重要定理.定理2设a, b (b = 0)是任意两个整数,则存在唯一的一对整数q,r,使得a =bq +r, 0, r 引耳•(1)证存在性当b 0时，作整数列则a必介于上述数列某相邻两项之间，即存在整数q使得qb, a ■： (q 1)b.令r = a - qb ,则0, r :: b.于是存在整数q,r ,使得a 二bq r, 0, r ：b 二b当b :: 0时，-b 0,由前一情形可知，存在整数q , r,使得a 二_bq r, 0, r 「b 二a=bq+r,O, rc|b|.存在性得证.唯一性若q i,r i也是使得(1)式成立的两个整数,即a =bq g 0, * ：：|b|,贝U bq r = bq r i,因而A—rNq—qjb, |r|—r|c|b|,这就是说b|(r i -r )且|* -r| c|b|.由定理1 (v)知A = r,从而q^ q .唯一性得证.定理2中的q, r分别称为被除数a除以除数b的商和余数.这个定理叫做带余数除法定理.从定理易知，如果a =bq +r, 0, r c|b|,那么b|a的充要条件是r = 0.定义2能被2整除的整数称为偶数,不能被2整除的整数称为奇数.根据带余数除法定理，我们常将偶数表示成2k(k • Z)的形式，将奇数表示成2k 1或2k -1(k・Z)的形式.例5 证明：当n为整数且n^9q r(0, r :: 9)时,r只可能是0,1,8.证设n = 3q1 r1(0, r1 ::: 3),则n3=(3q rj3=9(3q； 3q：r1 qf) f.根据条件及定理2得q =3q；3q2n qrj, r *.若* =0,则r =0;若「1=1,则r =1;若r^ 2,则r =8.故r只可能是0,1,8.例6证明:任意两个奇数的积是奇数，任一偶数与任一整数的积是偶数.证设奇数a=2k 1,^2^ 1,则a与b的积仍是奇数.同理可证另一结论例7已知a, b是整数,且a?「4b =1.讨论a, b的奇偶性.解由条件可得a^4b 1,故a必是奇数.设a = 2k T,则a2 -1 b k(k 1).4所以b是偶数.例8以.(n)表示正整数n的正因数的个数.判断的奇偶性.解对于正整数n,如果d是它的一个正因数，则-也是n的正因数；当且仅当d d 即n二d2时，d与-是同一个数.因此,当n不是完全平方数时n的正因数是成 d d 对出现的，此时，•(n)是偶数；当n是完全平方数时，.(n)是奇数.因为442：：： 2014 ：：： 452,所以在(1 ) , (2D「，( 2中恰有44个奇数，故•⑴• .(2) • |]| (2014)是偶数.例9设f (x^ax2bx c的系数都是整数，且有某一奇数：•，使f G )是奇数.求证：f (x) =0无奇数根.证对任意奇数2k • ：•有f(2k ：)=(a：2 b：c) 2(2k2a 2ka：kb).由于fC 2c为奇数,而上式第二项是偶数,所以f(2k「)是奇数,即f (2k *) = 0.故f (x) =0无奇数根.三能被某些数整除的数的特征a能被b整除的特征就是a能被b整除的充要条件.________________ n为叙述方便,我们引进记号a n a n4H!a1a^ ' a i 10',其中厲(0剟i n)为0,1,1|1,9i =0中的某个数字，且a n = 0.定理3设N =a n a n二川3^0,则（i）N能被2（或5）整除的特征是a。
初中余数知识点总结
初中余数知识点总结在学习余数的概念时，我们需要了解四则运算、整数的概念、两个整数的相对大小的比较、除法时商和余数的关系等。
这是一系列基本数学概念和技能的纽带，是数学教学中重要的知识点之一。
概述：余数是指一个数被另一个数除后得到的剩余部分。
例如 15除以4等于3余3。
余数的概念：在算术中，除法运算是划分的过程。
除法中划分得到的相等的几份就是商。
而最后剩下的一份就是余数。
当我们用一个数除另一个数时，有时会有余数。
例如，当12 ÷ 5时，商是2，余数是2；而当13 ÷ 4时，商是3，余数是1。
取模运算和余数：取模运算即求余数的运算。
它是计算机领域常用的一种数学运算符号。
如果说 a 除以 b 可以得到商 c 和余数 r，那么 r = a % b。
小数和余数：小数是再除法时出现的一种特殊的余数形式。
例如 7 ÷ 2 = 3.5，其中3是商数，0.5是余数，但是以小数的形式存在。
正整数的除法：当一个正整数（除数）除不尽一个大于零的整数（被除数）时，结果和余数都是一个非负整数。
这就是正整数的除法。
负整数的除法：当一个负整数（除数）除不尽一个大于零的整数（被除数）时，结果和余数都是一个与除数同号的整数。
但是当被除数是负数时，结果和余数可能会有很多种情况。
需要合理的确定符号。
同余关系：同余关系是指两个数的差能整除一个数的性质。
例如13和5模6是同余关系，因为13-5=8，8可以整除6。
余数的性质：（1）余数与除数的关系：不管是正负整数，被除数总能写成“商×除数＋余数”的形式。
（2）余数的大小：余数永远小于除数，但可以等于0。
余数运算：余数的运算是对余数进行特定的运算。
例如，对余数做加法、减法、乘法、除法等运算。
余数的应用：余数可以用在取模运算、排列组合、密码学、数据校验等领域。
本文将详细介绍余数相关的概念和运算，以及余数的一些基本性质、应用和相关知识点。
一、余数的概念余数是指一个数被另一个数除后得到的剩余部分。
第十一讲 除法与余数
7.2002年的元旦是星期二，那么2003年的元旦是星期_______。
8.若现在时针指向5，那么200小时前时针指向________。
9.将“中国北京”与“奥林匹克运动会”分别依次循环排成两列，序号相同的两个文字为一组，即第一组是（中，奥）、第二组是（国，林）、……那么第2008组是（_________）。
6.某一年中有53个星期二，并且当年的元旦不是星期二，那么下一年的最后一天是星期______。
7.被3除余2、被5除余3、被7除余4的最小正整数是_______。
8.在被除数小于100的条件下，在下式□中填入恰当的数，使下面算式成立：
图
9. 的末尾有______个连续的0。
10.数列1,6,7,12,13,18,19,…的第133项被7除余_______。
图21
C卷
1.若有一年的国庆节是星期五，那么十年后的国庆节是星期______。
2. 除以17所得的余数是_______。
3. 除以32的余数是________。
4.有一个两位数，用它除63、91、129的商都不为0，所得的三个余数之和是25，这个数是________。
5.在7~2000之内被4、5、6除都余3的数共有________个。
11.小王出差5天，这5天的日期相加的和为35，那么小王几号出差？
12.178,402,498分别除以同一个数，所得余数相同，求这个数的最大值和所得的余数。
13.一个数除255余3，除305余8，这个数是什么？
14.两人数数比赛，从1数到100，规定每人至少数1个数，最多数4个数，且后数的人要接前面的人所数的数，如一人数1、2、3，另一人可数4、5、6、7（或4,5等）。两人轮流接着数，谁能数到100这个数谁就是优胜者。如果掌握得好，先数者必败，后数者必胜，你能说出这是为什么吗？是_______岁。
带余数的除法
带余除法设a和b是两个整数，0b≠，则存在惟一的一对整数q和r，满足：=+，（Ⅰ）a qb r这里r称为a除以b所得的余数，并且≤<（Ⅱ）0r b当0r=时，N和a是整除关系，当0r>时，(I)是带余数除法，简称为带余除法，N是被除数，a是除数，q称为不完全商，或简称为商. 例如：23453=⨯+中，23是被除数，5是除数，商是4，余数是3.a b q r，或者讲给出了被除数、除数、商和余数带余除法给出了4个整数,,,的两个关系：一个是等式（Ⅰ），另一个是不等式（Ⅱ）. 对于带余数除法，只要知道了除数、除数、商和余数四个量中的三个，就可以求出第四个.在带余除法中，当特别关注余数时，如果除数是2，余数就有2种情况：余数是0和余数是1，整数就可以分为两类：奇数和偶数. 如果除数是一个整数m，用m除一个整数，余数是0，1，2， ，1m-中的某个，整数就可以依照余数分为m类，余数是0的整数是第0类，余数是1的整数是第一类， ，余数是m－1的整数是第m－1类，这时，除数称为模数，余数相同的类称为同余类. 例如：当模数m＝3时，可以将整数分为3k、3k+1和3k+2（k是整数）3个同余类.当除数m固定之后，在同一类中的整数称为关于模数m的同余数，或者直接称为同余数. 如果a和b是同余数，模数是m，我们用符号≡()a bmod m表达它们同余的性质，并且将这个表达式称为同余式. 例如：当m＝3时，7、 13、22等是同余类，3是模数，可以表达为：()≡≡.mod713223当模数m不变时，同余数可以做加减和乘法运算，并且有一些简单和重要的性质，例如：① 若b a m -，则a b ≡()mod m ，若a b ≡mod m ，则b a m -；② 若()()m mod b a ,m mod b a 2211≡≡，则 ()m mod b a b a 2211+≡+； ③ 若()()m mod b a ,m mod b a 2211≡≡，则 ()m mod b a b a 2211≡.解方程有个重要的概念，就是在什么范围内求方程的解，范围越大，存在解的可能性就越大，但求解也越困难，如同找人一样，在一间教室找某个人很容易，但在“茫茫大千世界”中找某个人就非常困难.如果我们是在整数中求方程的解，这类方程称为整数方程. 如果整数方程比较简单，可以用“枚举法”求解，一般一点的方法就是利用同余的性质，逐步简化方程，最后求出方程的解. 例如：求方程73100x y +=得整数解，利用同余式来求解：对整数方程73100x y += （*）计算等号两端关于3的余数，左端因为3y 能被3整除，余数为0，7被3除的余数是1，所以左端的余数是10x x ⨯+=；右端100被3除的余数是1，所以，我们就有：()1mod3x ≡，或者13x k =+，并且将13x k =+代入整数方程73100x y +=，得到71733100k y ⨯+⨯+=，解出317y k =-.分类和将问题简单化是数学的基本的思想，同余类可以使许多数学问题简化，使解答过程比较简单，是数学竞赛中常见到的题目类型. 理解同余数既不复杂，又很实用，作为课外知识，学一点有益无害.m 个自然数除以m 恰有m 个不同的余数，这m 个自然数称为模m 的完全剩余系。
余数的性质及其计算
余数的性质及其计算余数是除法运算中得到的剩下的部分。
在代数中，余数通常表示为R，例如：A=BQ+R，其中A，B，Q，R都是整数，A和B不为零，Q是商数，R是余数。
余数有以下几个性质：1.余数的范围：余数的范围通常是大于等于0，小于除数的绝对值。
例如，当我们用5去除17时，商数为3，余数为2，因此余数的范围为0至42.余数的唯一性：除法运算中，当给定一个被除数和除数时，对于给定的被除数，只存在一个唯一的余数。
3.余数的循环性：当一个数被不断地除以同一个除数时，其余数会形成若干个循环。
例如，当我们用7去除100时，余数会不断循环：1，3，2，6，4，5计算余数的方法有以下几种常用的技巧：1.短除法：短除法是最常用的计算余数的方法。
首先将被除数写在上方，除数写在下方，然后进行除法运算，求商和余数。
例如，计算27除以4的余数可以使用短除法，得到商为6，余数为3```27÷4=6余3```2.余数的性质：如果一个数能被另一个数整除，那么其余数将为零。
例如，当我们用3去除9时，商为3，余数为0。
3.模运算：模运算是计算机科学中常用的计算余数的方法。
模运算是指用一个数除以另一个数，然后取得余数。
在计算机中，通常使用“%”符号表示模运算。
例如，在计算9模3时，使用9%3的结果为0。
此外，余数还具有以下一些重要的应用和性质：1.余数可以用来判断一个数的奇偶性。
如果一个数除以2的余数为0，则该数为偶数；如果余数为1，则该数为奇数。
2.余数可以用来进行数的循环计算。
例如，计算一个数的十进制表示中各位数之和可以使用余数来计算。
3.余数可以用来进行数制转换。
例如，将一个二进制数转换为十进制数时，可以使用余数和权重相乘的方式进行转换。
总之，余数在数学和计算机科学中具有重要的应用和性质。
掌握余数的计算方法和理解其性质对于数学和计算机科学的学习都是非常重要的。
带余除法知识点总结
带余除法知识点总结带余除法，也称为长除法或欧几里得除法，是我们初中数学学习的一项重要内容。
它是一种用来计算两个整数相除的方法，可以得到商和余数。
下面是带余除法的知识点总结。
一、带余除法的定义带余除法是一种用于计算两个整数相除的方法，它可以得到商和余数。
带余除法的定义如下：给定两个整数a和b（其中b不等于0），则存在唯一的两个整数q和r，使得a = bq + r，其中q称为商，r称为余数。
二、带余除法的步骤带余除法的计算可以通过以下步骤完成：1. 将被除数a除以除数b，得到商q和余数r的初始值。
2. 判断余数r是否大于等于除数b，如果是，则继续执行步骤3，否则进入步骤4。
3. 将余数r除以除数b，得到商q'和新的余数r'。
更新商q为q+q'，余数r为r'，然后返回步骤2。
4. 当余数r小于除数b时，停止计算，此时商q为最终结果，余数r 为最终的余数。
三、带余除法的应用带余除法在数学和计算机科学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 求整数的除法结果：带余除法可以用来计算两个整数相除的商和余数。
2. 模运算：带余除法可以用来计算两个整数除以一个正整数的余数，这在模运算中经常被使用。
3. 多项式的除法：在代数学和计算机科学中，带余除法可以用来计算多项式的除法运算。
四、带余除法的性质带余除法具有以下性质：1. 唯一性：对于给定的被除数和除数，得到的商和余数是唯一确定的。
2. 递减性：在带余除法的步骤中，每次计算的余数都比上一次的余数小，这样可以保证算法的有限性。
3. 整除性：如果余数为0，说明被除数可以整除除数，即除数是被除数的一个因数。
五、带余除法的例题下面是一些带余除法的例题，供大家练习：1. 计算137除以5的商和余数。
2. 求证205除以11的余数一定小于11。
3. 求出1001除以13的商和余数。
通过对这些例题的练习，可以更加熟练地掌握带余除法的应用。
总结：带余除法是一种用于计算两个整数相除的方法，它可以得到商和余数。
带 余 数 的 除 法
用一个自然数去除另一个整数， 40，余数是16.被除数、除数、 16.被除数 例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、 商数与余数的和是933 求被除数和除数各是多少？ 933， 商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？
解：∵被除数=除数×商+余数， 被除数=除数× 余数， 即被除数=除数×40+16。 即被除数=除数×40+16。 由题意可知：被除数+除数=933 40-16=877， =933由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877， 思考： 思考：是否就是关于除 除数×40+16） 除数=877 =877， ∴（除数×40+16）+除数=877， 数和减去余数的被除数 除数×41=877-16， ∴除数×41=877-16，
一个数除以3 除以5 除以7 求符合条件的最小自然数。 例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。 • 解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？ 2+3× 之后能满足“ 除余3”的条件？ 3”的条件 2+3×2=8。 2+3×2=8。 再想：8+[3，5]× 之后能满足“ 除余4”的条件？ 4”的条件 再想：8+[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？ 8+[3，5]×3=53。 8+[3，5]×3=53。 符合条件的最小的自然数是53 53。 ∴符合条件的最小的自然数是53。
分析：本题我们可以采用“逐级满足法”先求出满足3 分析：本题我们可以采用“逐级满足法”先求出满足3、5两数的最小数， 两数的最小数， 然后在不改变余数的基础上求满足7的最小数。 然后在不改变余数的基础上求满足7的最小数。 ：：[3 [3， 解：：[3，7]+2=23 还可以直 23除以 恰好余3 除以5 23除以5恰好余3。 接列举 所以，符合条件的最小自然数是23 23。 所以，符合条件的最小自然数是23。 这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有： 今有物不知其数，三三数之剩二， 这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌： 三人同行七十稀， 关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树 梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70 .”意思是 70， 梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70， 用除以5的余数乘以21 用除以7的余数乘以15 再把三个乘积相加. 21， 15， 用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的 和大于105 那么就减去105 直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解. 105， 105， 105为止 和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解 法如下： 法如下： 70+3×21+2× 2×70+3×21+2×15=233 233-105× 233-105×2=23 符合条件的最小自然数是23 23。 符合条件的最小自然数是23。
带余除法与整除性判断
带余除法与整除性判断带余除法是一种数学运算方法，用于计算两个数相除的商和余数。
它可以帮助我们判断一个数能否整除另一个数。
本文将介绍带余除法的概念和使用方法，并详细解释如何利用带余除法进行整除性判断。
一、带余除法的概念带余除法又称为长除法，是一种将除数逐步从被除数中减去并计数的方法，直到无法再减去时得到的商为止。
在进行带余除法时，除数通常为整数，而被除数可以是任意实数。
二、带余除法的使用方法1. 将被除数写在除号上方，除数写在除号下方。
2. 从被除数中取出与除数位数相同的数字作为第一个除数位数。
3. 判断第一个除数位数能否整除除数，如果可以，则将商写在上方对应位置，否则向后取一位进行下一步计算。
4. 将上一步中得到的商乘以除数，并在下面写出结果。
5. 将上一步中得到的结果减去被除数，并将差写在下方。
6. 重复以上步骤，直到无法再减去被除数为止。
三、整除性判断利用带余除法，我们可以判断一个数能否整除另一个数。
如果在整个带余除法的过程中，被除数始终能够被整除，则被除数是除数的倍数，即可以整除。
如果在带余除法的过程中出现了余数，则被除数不能整除除数。
例如，我们要判断36能否被9整除：1. 将36写在除号上方，9写在除号下方。
2. 取出与除数位数相同的数字3，作为第一个除数位数。
3. 9可以整除3，商为3，将3写在上方对应位置。
4. 3乘以9得27，将27写在下方。
5. 36减去27得到9，将9写在下方。
6. 9可以整除9，商为1。
7. 1乘以9得到9，将9写在下方。
8. 9减去9得到0，此时已无法再减去被除数，整个过程结束。
因此，36能够被9整除。
通过带余除法，我们不仅可以判断整除性，还可以得到具体的商和余数。
这在数学计算和实际生活中都具有重要的应用价值。
综上所述，带余除法是一种实用的数学运算方法，可以帮助我们判断一个数能否整除另一个数。
通过正确运用带余除法，我们能够快速准确地进行整除性判断，提高解题效率。
第十一讲同余问题
第十一讲同余问题当整数a不能被非零的整数b整除时，一定存在a÷b=m....n, m为a 除以b的商，n 为a除以b的余数（0＜n＜b）m、n为整数。
由于被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数除法。
36÷5=7 (1)37÷5=7 (2)38÷5=7 (3)39÷5=7 (4)40÷5=7....5 也可以表示为 40÷5=8. 0通过观察上面的几个等式我们发现：当余数等于零或者余数等于除数时，表示整除。
所以在带余数的除法中一定存在：①余数必须大于0小于除数；②被除数=商×除数+余数；③余数最大为：除数-1；④余数最小为1。
例题一：在带余数的除法中a÷4=5....b,被除数a最大为多少？a最小为多少？分析：当余数比除数小1时，被除数最大。
即b=4-1=3时，a最大a=5×4+3=23,当余数等于１时，被除数最小。
即b=1时，a最小。
a=4×5+1=21.练习一1、在带余数的除法中a÷20=5....n，被除数a最大为多少？a最小为多少？2、：在带余数的除法中a÷b=5....9，b最小为多少？此时a为多少？考察带余数除法的题型中，数论推理题通常是考察的重点，而要解决这类题，就需要我们认清带余数除法的本质，以及如何把带余数的除法等式进行变化来方便解题。
观察下面的几个等式：36÷5=7....1 （36-1）÷5=737÷5=7....2 （37-2）÷5=738÷5=7....3 （38-3）÷5=739÷5=7....4 （39-4）÷5=7通过观察可以总结为：除数和商都是（被除数-余数）的约数；（被除数-余数）是除数和商的倍数。
根据上面的总结，在带余数的除法中，如果余数相同，则可以通过求几个数的公约数或公倍数来解题，当余数不相同时，也可以通过某些方法把余数转化相同。
多项式的带余除法
多项式的带余除法高阶多项式的带余除法1. 概述高阶多项式的带余除法是一种数学运算，它是一种多项式除法，用于将多项式除以多项式，即使在余数存在时也能给出有效结果。
例如，如果\(f(x)\)和\(g(x)\)都是多项式，则带余多项式除法可以给出\(\frac{f(x)}{g(x)}=q(x)+r(x)\)的形式，其中\(q(x)\)是商多项式，\(r(x)\)是余数多项式。
2. 原理带余多项式除法的主要原理是将多项式\(f(x)\)按照给定的多项式\(g(x)\)的指数拆分，并根据所得的系数确定整个多项式的值，记录商多项式\(q(x)\)和余数多项式\(r(x)\)。
3. 步骤（1）将除数多项式\(g(x)\)写在除号右边，被除数多项式\(f(x)\)写在除号左边；（2）确定除数多项式和被除数多项式的最高项；（3）乘以商多项式\(q(x)\)与除数多项式\(g(x)\)的最高项，然后减去被除数\(f(x)\)的最高项，形成一个次最高项多项式；（4）重复以上步骤，直到除数多项式被减完，此时的余数多项式\(r(x)\)就是最终的结果。
4.优点（1）它可以快速准确地给出多项式除法的有效结果，也可以在余数存在时获得有效结果；（2）带余多项式除法算法在编码实现方面更高效，容易记忆，也更快，能够大大提高编程效率；（3）它可以把复杂的多项式除法变成简单的步骤，只要记住四个步骤就可以完成整个过程。
5. 缺点（1）带余多项式除法有可能出现溢出的情况；（2）带余多项式除法容易出错，如果余数多项式的项数与除数多项式的项数相同，则该余数多项式不能用带余多项式除法给出有效的结果；（3）一些复杂的多项式计算难以通过带余多项式除法来实现。
6. 应用（1）带余多项式除法在数学研究中有着广泛的应用，可以帮助我们求解多项式除法，可以用于方程求解，特征根分解，几何画图等；（2）带余多项式除法也为机器学习和操作系统等数字计算中给出了深刻的启发，这些研究利用带余多项式除法来实现数据处理的性能优化；（3）带余多项式除法的运算亦可以拓展出以矩阵为基础的算法，这些算法可以为大规模机器学习和深度学习领域提供有效的帮助。
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| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2知识站牌第十一讲带余除法和余数性质| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲2.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．※带余除法【例 1】 一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，四年级，复赛，第3题【解析】 因为最大的三位数为999，999362727÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980⨯+=【答案】980【例 2】 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 1013121001-=，100171113=⨯⨯，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。
【答案】13,77,91共三个【例 3】 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】清华附中，小升初分班考试【解析】 (法1)因为 甲=乙1132⨯+，所以 甲+乙=乙1132⨯++乙=乙12321088⨯+=；则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=．(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=．【答案】乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=【例 4】 3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍，那么除数最小可能是 。
【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008年，学而思杯，4年级，第2题【解析】 设除数为a ，商为b ，余数为c ，则3782a b c ÷=，且21b c =。
可以将除式转化为第一单元| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲213782a c c ⨯+=，所以2113782c a +=（），所以c 和211a +（）是3782的约数，378223161=⨯⨯，在3782的约数中只有31611891⨯=被21除所得的余数为1，所以2111891a +=，90a =。
【答案】90【例 5】 在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个.【考点】除法公式的应用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2009年，第14届，华杯赛，初赛，第10题【解析】 根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为a （a ﹤57），则这个数为57×a +a =58a 。
所以58a ﹥2009，得到a ﹥2009÷58=373458，由于a 为整数，所以a 至少为35.又由于a ﹤57，所以a 最大为56，则a 可以为35，36，37，…，56.由于每一个a 的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有56-35+1=22个。
【答案】22【例 6】 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【考点】带余除法的估算问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余0)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．【答案】99【例 7】 托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【考点】带余除法的估算问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】圣彼得堡数学奥林匹克【解析】 除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过25815++=，既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]18=，设该数为a ，则181a m =-，即18(1)17a m =-+（m 为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17．【答案】17※特殊数的余数特征【例 1】 2000"2"2222个除以13所得余数是_____.【考点】多位数的余数问题 【难度】3星 【题型】填空【解析】 方法一、我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。
方法二、因为1001是13的倍数222222=2221001⨯，所以每6个2能整除13，那么2000个2中6个一组可以分为333组余2，所以答案为22÷13余9【答案】9第二单元| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲【例 2】 已知20082008200820082008a =个，问：a 除以13所得的余数是多少？【考点】多位数的余数问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2008年，学而思杯，5年级，第3题【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到200820082008100002008=⨯+；20082008200820082008100002008=⨯+；2008200820082008200820082008100002008=⨯+；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余6361311⨯+-=，200820082008除以13余1136390⨯+-=，即200820082008是13的倍数．而2008除以3余1，所以20082008200820082008a =个除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6. 【答案】6【例 8】 将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：A ＝13579111315171921……9799101103。
则数a 共有_____位，数a 除以9的余数是___。
【考点】特殊数字9 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2006年，第11届，华杯赛，初赛，第12题【解析】 一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，再加两个三位奇数，所以a 是一个5+2×45+3×2=101（位）数。
从1开始的连续奇数被9除的余数依次为1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，…，从1开始，每周期为9个数1，3，5，7，0，2，4，6，8的循环。
因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余数为0，从1-89恰为5个周期，所以这个101位数a被9除的余数为1+3+5+7+0+2+4被9除的余数，等于4。
解法2：一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同，利用这条性质，a =13579111315171921……9799101103中13579的数字和被9除的余数是7，而111315171921……9799所有数字之和被9除的余数是0，101103的数字和被9除的余数是6。
所以，a 被9除的余数是（7+6）被9除的余数，是4。
【答案】101位，余数是4※余数的可加性，可减性，可乘性【例 9】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2004年，少年数学智力冬令营【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()2000,2003，()1998,2000,2003 ，()2000,2003,2001,1995 ，()1998,2000,2003,2001,1995．【答案】4【例 10】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2005年，小学数学奥林匹克第三单元| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲【解析】 (70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1......52÷=，5250>，所以除数不是58．7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，12231550++=，所以除数是29【答案】29【例 11】 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2000年，小学数学奥林匹克【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数．(151618192031)(12)119339...2+++++÷+=÷=，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克．【答案】20【例 12】 从1，2，3，4，…，2007中取N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N最大为多少？【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级，第8题【解析】 取出的N 个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10．在12007中，除以15的余数为0的有151⨯，152⨯，…，15133⨯，共有133个；除以15的余数为5的有1505⨯+，1515⨯+，…，151335⨯+，共有134个；除以15的余数为10的有15010⨯+，15110⨯+，…，1513310⨯+，共有134个．所以N 最大为134．【答案】134【例 13】 求2461135604711⨯⨯÷的余数．【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为246111223...8÷=，1351112...3÷=，604711549...8÷=，根据同余定理(三)，2461135604711⨯⨯÷的余数等于83811⨯⨯÷的余数，而838192⨯⨯=，1921117...5÷=，所以2461135604711⨯⨯÷的余数为5．【答案】5【例 14】 在图表的第二行中，恰好填上8998～这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】填空【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的8998～可以改换为110～，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：进而得到本题的答案是：| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲【答案】【例 15】 222212320012002+++++除以7的余数是多少？【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2007年，实验中学【解析】 由于22222200220034005123200120021001200313356⨯⨯+++++==⨯⨯，而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故2222212320012002+++++除以7的余数是0；【答案】0。