第十一讲带余除法和余数性质

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带余除法的定义及性质

1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,

0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商

(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商

一个完美的带余除法讲解模型:如图

这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质

⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．

3、解题关键

理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．

三大余数定理：

1.余数的加法定理

a 与

b 的和除以

c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和

3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为

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第十一讲

带余除法和余数性质

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2.余数的加法定理

a 与

b 的差除以

c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.

当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4

3.余数的乘法定理

a 与

b 的乘积除以

c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．

※带余除法

【例 1】 一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】2008年，希望杯，第六届，四年级，复赛，第3题

【解析】 因为最大的三位数为999，999362727÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980⨯+=

【答案】980

【例 2】 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．

【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 1013121001-=，100171113=⨯⨯，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数

小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。

【答案】13,77,91共三个

【例 3】 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．

【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答

【关键词】清华附中，小升初分班考试

【解析】 (法1)因为 甲=乙1132⨯+，所以 甲+乙=乙1132⨯++乙=乙12321088⨯+=；

则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=．

(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应

当是乙数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=．

【答案】乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=

【例 4】 3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍，那么除数最小可能是 。

【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】2008年，学而思杯，4年级，第2题

【解析】 设除数为a ，商为b ，余数为c ，则3782a b c ÷=，且21b c =。可以将除式转化为

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213782a c c ⨯+=，所以2113782c a +=（），所以c 和211a +（）是3782的约数，378223161=⨯⨯，

在3782的约数中只有31611891⨯=被21除所得的余数为1，所以2111891a +=，90a =。

【答案】90

【例 5】 在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个.

【考点】除法公式的应用 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】2009年，第14届，华杯赛，初赛，第10题

【解析】 根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为a （a ﹤57），则这个数为57×a +a =58a 。所

以58a ﹥2009，得到a ﹥2009÷58=373458

，由于a 为整数，所以a 至少为35.又由于a ﹤57，所以a 最大为56，则a 可以为35，36，37，…，56.由于每一个a 的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有56-35+1=22个。

【答案】22

【例 6】 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)

【考点】带余除法的估算问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．

1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余0)这18个数除以18及33所得的余数相同，

而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．

【答案】99

【例 7】 托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试

求该数除以18的余数．

【考点】带余除法的估算问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】圣彼得堡数学奥林匹克

【解析】 除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过25815++=，

既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]18=，设该数为a ，则181a m =-，即18(1)17a m =-+（m 为非零自然数）

，所以它除以18的余数只能为17．

【答案】17

※特殊数的余数特征

【例 1】 2000"2"

2222个除以13所得余数是_____.

【考点】多位数的余数问题 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 方法一、我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。

方法二、因为1001是13的倍数222222=2221001⨯，所以每6个2能整除13，那么2000个2中6个一组可以分为333组余2，所以答案为22÷13余9

【答案】9

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