河北省唐山一中高二数学下学期期末考试试题 理

2014—2015学年度第二学期期末考试高二年级 数学试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题纸上。

3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位说明：卷Ⅰ一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知复数i z 21--=，则z1在复平面上表示的点位于 （ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知()(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭且∅=⋂N M ，则=a （ ）A ．-6或-2B ．-6C ．2或-6D ．23.且回归方程是6.295.0ˆ+=x y,则t= （ ） A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.54. 设是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 设集合}16241|{<<=x x A ,)}3ln(|{2x x y x B -==,从集合A 中任取一个元素,则这个元素也是集合B 中元素的概率是 ( )A.61B.31C.21D.326.下列四个结论：①若0>x ，则x x sin >恒成立；②命题“若0,0sin ==-x x x 则”的逆命题为“若0sin ,0≠-≠x x x 则”； ③“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“0ln ,>-∈∀x x R x ”的否定是“0ln ,000≤-∈∃x x R x ”.其中正确结论的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.已知函数()()ϕ-=x x f sin ，且()0320=⎰dx x f π，则函数()x f 的图象的一条对称轴是( )A ．65π=x B ．127π=x C ．3π=x D ．6π=x8.设随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，则2(13)(7)P X a P X a <-=>+成立的一个必要不充分条件是 （ ） A ．1a =或2 B ．1a =±或2 C ．2a = D．a =9．用数学归纳法证明“（n +1）（n +2）·…·（n +n ）=2n·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k +1”左端需增乘的代数式为 （ ） A.2k +1 B.2（2k +1） C.112++k k D.132++k k10.设0>>b a ，则ba b a -++11的最小值为 （ ） A. 2 B.3 C.4 D. 223+11．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为（ ）A ．252B ．216C ．72D ．4212．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7卷Ⅱ二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.65()(3)(3)f x x x x =---的展开式中，含3x 项的系数为_________.（用数字作答）14.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且)2(+x f 为偶函数．若1)1(=f ，则=+)9()8(f f __________ ．15.函数()f x lnx ax ＝＋的图象存在与直线20x y －＝平行的切线，则实数a 的取值范围是______.16观察下列等式：21211=-41314131211+=-+-61514161514131211++=-+-+-。

据此规律，第n 个等式可为____________________________________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17. （本小题共10分）已知函数1)(-=x x f （1）解关于x 的不等式01)(2>-+x x f ;（2）若)()(,3)(x g x f m x x g <++-=的解集非空，求实数m 的取值范围.18. （本小题共12分）在极坐标系中，曲线23)3cos(:),0(cos 2=->=πθρθρl a a C ：,曲线C 与l 有且仅有一个公共点. （1）求a 的值；（2）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且3π=∠AOB ，求OB OA +的最大值.19.（本题满分12分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：（I ）根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表：（II ）根据()1中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（Ⅲ）若从成绩在[]130,140的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率．20. （本小题满分12分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面， DC ∥EB ，DC EB =，4=AB ，41tan =∠EAB ． ⑴证明：平面⊥ADE 平面ACD ；⑵当三棱锥ADE C -体积最大时，求二面角D AE B --的余弦值．21.已知中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆过点3)P ,且它的离心率21=e . (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点,若椭圆上一点C 满足OM λ=+,求实数λ的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =， （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若k 为正常数，设()()()g x f x f k x =+-，求函数()g x 的最小值； （Ⅲ）若0,0a b >>，证明：()()ln 2()()f a a b f a b f b ++≥+-.2014-2015学年度第二学期期末考试答案数 学 试 卷（理）一．选择题1-12 BACAC BABBC AC 二．填空题 13. –810 14. 115. -2∞（，）16. nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-ΛΛ三．解答题17. 解：(Ⅰ)由题意原不等式可化为：2-11-x x >即：1-1--11-22x x x x <>或……………2分由2-11-x x >得2-1<>x x 或 由1-1-2x x <得01<>x x 或综上原不等式的解为{}01<>x x x 或……………5分(Ⅱ)原不等式等价于-13x x m ++<的解集非空.令31-)(++=x x x h ，即mx x x h <++=min 31-)(，…………8分由43--1-31-=≥++x x x x ，所以4)(min =x h ，所以4>m .………………10分18. （Ⅰ）曲线C 是以(a ，0)为圆心，以a 为半径的圆；l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 相切可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1.………4分（Ⅱ）不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋ π3，则|OA|＋|OB|＝2cos θ＋2cos(θ＋ π3)＝3cos θ－3sin θ＝23cos(θ＋ π6)， ………10分当θ＝－ π6时，|OA|＋|OB|取得最大值2 3.…12分19.解：(1)……………4分(2)由(1)中表格的数据知， K 2＝()250132071020302723⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.844. ……………6分∵K 2≈4.844>3.841，∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系．…………… 8分（3）成绩在[]130,140的学生中男生410008.050=⨯⨯人， 女生有210004.050=⨯⨯人，……………9分从6名学生中任取2人，共有2615C =种选法，若选取的都是男生，共有246C =种选法；……………10分 故所求事件的概率2426315C p C =-=.……………12分20. 解：（Ⅰ）证明：因为AB 是直径，所以AC BC ⊥因为⊥CD 平面ABC ，所以BC CD ⊥ ， 因为C AC CD =I ，所以⊥BC 平面ACD因为BE CD //， BE CD =，所以BCDE 是平行四边形， DE BC //，所以⊥DE 平面ACD因为⊂DE 平面ADE ，所以平面⊥ADE 平面ACD …………………5分 （Ⅱ）依题意，1414tan =⨯=∠⨯=EAB AB EB ，由（Ⅰ）知DE S V V ACD ACD E ADE C ⨯⨯==∆--31DE CD AC ⨯⨯⨯⨯=2131BC AC ⨯⨯=6134121)(121222=⨯=+⨯≤AB BC AC ， 当且仅当22==BC AC 时等号成立 …………8分如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)D ，(0,E ，A (0,B ，则(AB =-，(0,0,1)BE =u u u r，(0,DE =u u u r，1,)DA =-u u r设面DAE 的法向量为1(,,)n x y z =r ，110n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r r u u u r，即0z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩∴1(1,0,n =r ， 设面ABE 的法向量为2(,,)n x y z =u u r ， 220n BE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r，即0z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩∴2(1,1,0)n =r ，121212cos ,6n n n n n n ∴===rr r g r r可以判断12,n n r r与二面角D AE B --的平面角互补 ∴二面角D AE B --的余弦值为6-.…………………12分21.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知得:2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得 2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的标准方程为: 22186x y += (Ⅱ) 因为直线l :y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切所以2112(0)t k t t -=⇒=≠把t kx y +=代入22186x y +=并整理得: 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分 设),(,),(2211y x N y x M ,则有 221438k ktx x +-=+22121214362)(k tt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+因为,),(2121y y x x OC ++=λ, 所以,⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC 又因为点C 在椭圆上, 所以,222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++222222221134()()1t k t tλ⇒==+++ 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t 所以 202λ<<,所以 λ的取值范围为(0)(0,)U22解:（Ⅰ）∵()1f x lnx '=+，解()0f x '>，得1x e >；解()0f x '<，得10x e<<. ∴()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭. ……3′（Ⅱ）∵()()()()()g x f x f k x xlnx k x ln k x =+-=+--，定义域是()0,k .∴()()11xg x lnx ln k x ln k x'=+-⎡-+⎤=⎣⎦-……5′ 由()0g x '>，得2k x k <<，由()0g x '<，得02k x << ∴ 函数()g x 在0,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；在,2k k ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增……7′故函数()g x 的最小值是：22k k g k ln ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭. ……8′（Ⅲ）∵0a >，0b >，∴ 在（Ⅱ）中取2ax a b=+，2k =可得22221a a f f ln a b a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭≥，即220a b f f a b a b ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭≥.……10′∴22220a a b b ln ln a b a b a b a b+++++≥，∴()()()20alna blnb a b ln a b ln a b +++-++≥. 即()()()()2f a a b ln f a b f b +++-≥.……12′。