线性空间

一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一
某一类事物从量的方面的一个抽象
性质1.1.1 设A, B, C是任意三个矩阵，k, l是任 意两个数，则有
(1) A+ B = B + A (3) A+ 0 = A (5) 1A = A
(2) (A+ B) +C = A+ (B +C) A) = 0 (4) A+ (− (6) (kl )A = k(lA)
( 2) V 中任一元素 α 总可由 α 1 , α 2 ,
那么, α 1 , α 2 ,
, α n 就称为线性空间V
的一个基, n称为线性空间 V 的维数。
定义B.2.3 有限维线性空间V的任一个基 所包含的向量个数称为V的维数，记为dim(V）
维数为 n的线性空间称为 n维线性空间, 记作 Vn .
= (an−1 + bn−1 ) x n−1 +
( an−1 x
n −1
+
+ a1 x + a0 ) + ( bn−1 x
n −1
+
+ b1 x + b0 )
+ ( a1 + b1 ) x + ( a0 + b0 ) ∈ F [ x ]n
λ (an−1 x n−1 + + a1 x + a0 ) = ( λ an−1 ) x n−1 + + ( λ a1 ) x + ( λ a0 ) ∈ F [ x ] n
线性空间的判定方法 （１）一个集合，如果定义的加法和数乘运 算是通常的数(函数、矩阵等）间的加、数乘运算， 则只需检验对运算的封闭性． 例1 实数域上的全体 m × n 阶矩阵对矩阵的加 法及数量乘法,构成实数域上的线性空间。
∵ Am×n + Bm ×n = C m×n ,
λAm×n = Dm×n ,
关于这个基的坐标。 解 已知矩阵空间 R 的维数为4，根据 定理B.2.1,只需证 A1 , A2 , A3 , A4 线性无关。
2×2
⎡1 1 1 −1⎤ ⎢ ⎥ ⎢1 1 −1 1 ⎥ [A1, A2 , A3 , A4 ] = [I 11, I 12 , I 21, I 22 ] ⎢ 1 −1 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 −1 −1 −1⎥ ⎣ ⎦
满秩
⎡1 1 1 −1 ⎢ ⎢1 1 −1 1 ⎢1 −1 1 1 ⎢ ⎢1 −1 −1 −1 ⎣ 1⎤ ⎥ 2⎥ 初等行变换 3⎥ ⎥ 4⎥ ⎦ ⎡ 1 1 1 −1 ⎢ ⎢ 0 −1 0 1 ⎢ 0 0 −2 2 ⎢ ⎢0 0 0 1 ⎣ 1⎤ ⎥ 1⎥ 1⎥ ⎥ 0⎥ ⎦
5 1 x 1 = , x 2 = −1, x 3 = − , x 4 = 0. 2 2
若 α 1 ,α 2 ,
,α n为Vn的一个基 , 则Vn 可表示为
பைடு நூலகம்
Vn = { x1α 1 + x2α 2 +
+ xnα n x1 , x2 ,
, xn ∈ F }
例B.2.2 线性空间
Fn F m×n F [ x ]n
基 ε1 ,ε 2 , ,ε n
Iij ,1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
α = x1α 1 + x2α 2 +
有序数组 x1 , x 2 ,
+ x nα n ,
, x n 称为元素 α在α 1 ,α 2 ,
,α n 这个
基下的坐标 , 并记作
α = ( x1 , x2 ,
, xn ) .
T
例B.2.4
在 R
2×2
中证明矩阵
⎡1 1⎤ ⎡1 − 1⎤ ⎡1 1⎤ ⎡− 1 1 ⎤ , A2 = ⎢ , A3 = ⎢ , A4 = ⎢ A1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 1 − 1 − 1 1 1 1 − 1 − ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ 构成一个基，并求矩阵 ⎡1 2⎤ A= ⎢ ⎥ 3 4 ⎦ ⎣
例3
在线性空间R[ x ]n中, 取一组基 , ε n = ( x − a )n−1
2 1, ( x a ), = = − = ε1 ε2 ε 3 ( x − a) ,
则 由 Taylor公 式 知
f ' ' (a ) 2 f ( x ) = f (a ) + f ' (a )( x − a ) + ( x − a) 2! ( n − 1) (a ) f n −1 + + ( x − a) ( n − 1)! 因此 f ( x )在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 , , ε n 下的坐标是 f ''(a ) ( f (a ), f '(a ), , 2! (a ) f , ) . ( n −1)!
维数
n
m×n
1, x , x 2 ,
, x n−1 ,
定理B.2.1 n维线性空间V中任意n个线性无关的 向量均构成V的基。
二、坐标
定义B.2.4 设 α 1 , α 2 ,
, α n是线性空间 Vn的一个
基 , 对于任一元素 α ∈ Vn , 总有且仅有一组有序 数 x1 , x 2 , , xn , 使
易证： （1）自然数集N与整数集Z不是数域。 （2）有理数集Q，实数集R，复数集C是有理 数域，分别称为有理数域，实数域，复数域。 （3）Q是最小的数域，任意数域包含Q。 (4)除Q、R、C以外，还有许多其它的数域。 设F是数域，分量取自F的向量称为F上的 向量，F上全部n元向量的集合记为 F n.同理，元 素取自F的矩阵称为F上的矩阵，F上全部
例７ n个有序实数组成的数组的全体
S n = x = ( x1 , x 2 , , x n )
{
T
x1 , x 2 ,
, xn ∈ R
}
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 λ ( x 1 , , x n ) T = (0 , , 0 ) 不构成线性空间．
因为S n 对运算封闭. 但1 x = o, 不满足第五条运算规律 .
= A sin( x + B ) ∈ S [ x ].
λs1 = λA1 sin( x + B1 ) = (λA1 )sin( x + B1 ) ∈ S [ x ]
∴ S [ x ] 是一个线性空间.
例4 在区间 [a , b]上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间 C [a, b ] ． 例5 在区间 [a , b] 上Riemann可积函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间 R[a, b ] ．
δ = λα
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 V 就称为数域 F 上的线性空间．
∀α, β, γ ∈V ; λ, μ ∈ F
(1) α + β = β + α ;
( 2) (α + β ) + γ = α + ( β + γ );
(5) 1α = α ; (6) λ ( μα ) = (λμ )α ; (7)(λ + μ )α = λα + μα ; (8)λ (α + β ) = λα + λβ .
, x N −1 线性无关。从而F [ x ]是无限维的。
= aN −1 = 0
C [a , b ]也是无限维的。 同理可证，
定义B.2.2 在线性空间 V 中，如果存在 n个元素 α 1 ,α 2 , ,α n 满足：
(1 ) α 1 , α 2 ,
表示 ,
, α n 线性无关 ;
, α n 线性
性空间。否则,就称V是无限维线性空间。
n m× n F , F , 例B.2.1 向量空间 矩阵空间 多项 式空间 Fn[x]都是有限维的,而 F [ x ]与函数空间 C [a , b]
都是无限维的。
α = (a1 , a2 , , an ) ∈ F n
A = [aij ]m×n A = ∑ a ij I ij
(3) ∃ 0 ∈V , ∀α ∈V , 有
α + 0 = α; (4)∀α ∈V , ∃β ∈V , 使 α + β = 0;
说明 凡满足以上八条规律的加法及乘数运 算，称为线性运算． 2 ．线性空间中的向量不一定是有序数组．
义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．
(2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不 是通常的数间的加、乘运算，则必需检验是否满 足八条线性运算规律． 例B.1.5 正实数的全体，记作 R + ，在其中定义加法 及乘数运算为
a ⊕ b = ab, λ a = a λ , (λ ∈ R, a , b ∈ R + ).
验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间．
m × n矩阵的集合记为 F m × n .
定义１ 设 V 是一个非空集合， F 为数域．如果 对于任意两个元素 α , β ∈ V ，总有唯一的一个元 素γ ∈ V与之对应，称为 α 与 β 的和，记作
γ =α + β
若对于任一数 λ ∈ F 与任一元素 α ∈ V ，总有唯 一的一个元素δ ∈ V 与之对应，称为 λ 与 α 的数量 乘积,记作
⎧ 是一个集合 ⎪ 对所定义的加法及数乘运算封闭 ⎨ ⎪ 所定义的加法及数乘符合线性运算 ⎩
线性空间
§B.2 基与维数
一、线性空间的基与维数
定义B.2.1 有限个向量 a 1 , a 2 , 由 a1 , a 2 , 如果能从线性空间V中找到
, a m ,使V中任一向量均可