线性空间
线性空间的定义与性质
a1 + a 2 b1 + b2 0 A+ B 0 0 c + c 1 2 (a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0, 满足 因此, 有A+BW2, 即W2对加法封闭. ka1 kb1 0 对任意的kR, 有 kA , 0 kc1 0
2 0 0 A+ B W1. 0 0 0 即W1对矩阵加法不封闭, 故不构成R23的子空间. 0 0 0 W , 故W 非空. 对任意 解(2): 因 0 0 0 2 2 a1 b1 0 a 2 b2 0 A , B W2 0 0 c1 0 0 c2 a1+b1+c1=0, a2+b2+c2=0, 有
下面验证八条线性运算规律: 对任意a, b, cR+, k, lR, (1) ab = a b = b a = ba ; (2) (ab)c = (a b)c = (a b)c = a(b c) = a(b c) =a(bc) ; (3) 存在零元1R+, 对任意aR+, 有a1=a 1=a; (4) 对任一元素aR+, 存在负元素a-1R+, 有 aa–1= a a–1 =1; (5) 1a = a1 = a ; (6) k(l a) = kal = (al)k = ak l = (k l)a; (7) k(ab) = k(a b) = (a b)k = ak bk = akbk = kakb; (8) (k+l)a = ak+l = ak al = ak al = ka l a . 所以, R+对所定义的运算构成线性空间.
线性空间LinearSpace
第六章线性空间(Linear Space)
引言
线性空间是线性代数的中心内容,它是几何空间的抽象和推广。
我们知道,在解析几何中讨论的三维向量,它们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性.为了研究一般线性方程组解的理论,我们把三维向量推广为n维向量,定义了n维向量的加法和数量乘法运算,讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性,完满地阐明了线性方程组的解的理论。
现在把n维向量抽象成集合中的元素,撇开向量及其运算的具体含义,把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来,就形成了抽象的线性空间的概念,这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论,可以在相当广泛的领域内得到应用.事实上,线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域,同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义。
§1 集合·映射
一、集合
集合是数学中最基本的概念之一,所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用
Î
a M
表示a是集合M的元素,读为:a属于M.用
a M
Ï
表示a不是集合M的元素,读为:a不属于M.
所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种,一种是列举法:列举出它全部的元素,一种是描述法:给出这个集合的元素所具有的特征性质.
设M是具有某些性质的全部元素所成的集合,就可写成
{}
=.
M a a
|
具有的性质
不包含任何元素的集合称为空集,记作j .
如果两个集合M 与N 含有完全相同的元素,即a M Î当且仅当a N Î,那么它们就称为相等,记为M N =.
第讲-线性空间与线性变换
即
0 x 0, x 0,1
f 的负元素为 f1 x f1 x, x 0,1
(2)下证 dimV ,即证存在任意多个线性无关 的函数。令
f0 x 1, f1 x x, f2 x x2, , fn x xn , x 0,1
则可证 f0, f1, , fn 线性无关,由于 n 任意大,所以
则
r
A
s
,作齐次线性方程组
Ax O
T s
可得它的基础解系1, 2, , ns(其中i 为 n 维列向量),
则有 iT j
o,
即
T
ji
o i 1,2,
, s; j 1,2,
,n s
令
B
1T
,
作齐次线性方程组
T ns
Bx O
由于 r B n s ,所以 Bx O 的解空间是 s 维的。由
也只证第一式。对 x 0,1 ,有
k f1 f2 x k f1 f2 x k f1 x f2 x
而
kf1 kf2 x kf1 x kf2 x
k f1 x k f2 x k f1 x f2 x
故
k f1 f2 kf1 kf2.
综上即证V 是R上的线性空间,零元素是零函数,
第六讲(一线)性线空性间空与间线性变换
线性空间是 n 维向量空间的推广。线性空间是在
线性空间的定义与性质
= akbk = kakb; (8) (k+l)a = ak+l = ak al = ak al = ka l a . 所以, R+对所定义的运算构成线性空间.
例7: n元实有序数组组成的全体 Sn={ x=(x1, x2,···, xn)T| x1, x2,···, xnR }
多项式加法, 数乘两种运算对Q[x]n不满足线性运 算的封闭性. 实际上
对p(x)=a0+a1x+···+anxn Q[x]n, 0R,
0 p(x)=0(a0+a1x+···+anxn) = 0+0x+···+0xn = 0Q[x]n. 所以Q[x]n对线性运算不封闭. 例4: 正弦函数的集合
S[x]={ s(x)=Asin(x+B) | A, BR} 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法Βιβλιοθήκη Baidu成线性空间.
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那 么, 就称V为数域R上的线性空间(或向量空间):
线性空间的定义
即 Pn 由它的一组基生成. 类似地,还有
事实上,任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成.
P[ x ]n L(1, x , x 2 , , x n1 ) a0 a1 x an1 x n1 a0 , a1 , , an1 P
§6.5 线性子空间
有关结论
1、设W为n维线性空间V的任一子空间, 1 , 2 , , r
是W的一组基,则有 W L(1 , 2 , , r )
2、(定理3) 1)1 , 2 , , r ; 1 , 2 , , s 为线性空间V中的
两组向量,则 L(1 , 2 , , r ) L( 1 , 2 ,, s )
1 , 2 , , r 与 1 , 2 , , s 等价. 2)生成子空间 L(1 , 2 , , r ) 的维数
=向量组 1 , 2 , , r 的秩.
§6.5 线性子空间
证:1)若 L(1 , 2 , , r ) L( 1 , 2 ,, s )
§6.5 线性子空间
证明:要证明W也为数域P上的线性空间, 即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则. 由于 W V,规则1)、2)、5)、6)、7)、8) 是显然成立的.下证3)、4)成立. 由数乘运算 ∵ W ,∴ W . 且对 W, 封闭,有 (1) W,即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素,4)成立. 由加法封闭,有 0 ( ) W ,即W中的零元 就是V中的零元, 3)成立.
线性空间定义
kR
a11 b11 a12 b12 a1n b1n a b a b a b 21 21 22 22 2n 2n A B am1 bm1 am 2 bm 2 amn bmn
ka11 ka12 ka1n ka ka ka 21 22 2n kA , kam1 kam 2 kamn
0 0 0 0 0 0 O;
(5) 若数 k 0, 对 V 有 k O, 则必有 O
1 1 1 k O k O k O O k k k
( 6) 思考是否存在只有一个向量的线性空间?
例5 实系数多项式全体记为 R x , 则 R x 关于
多项式的加法于数乘多项式成为一个线性空间.
a0 a1x a2 x2 am xm R x,
b0 b1x b2 x2 bn xn R x ,
不妨假设 m n
a0 b0 a1 b1 x am bm xm bm1xm1 bn xn
n
例1 R n 表示全体n维实向量形成的集合,即
ai R,1 i n
R 关于n维实向量加法和数乘是线性空间。即对
a1 b1 a 2 , b2 k R : an bn a1 b1 a b 2 2 , an bn ka1 ka k 2 , kan
线性空间的定义
① a b ab ba b a
② (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (bc) a (b c)
③ 1R+,a 1 a1 a, a R+,即1是零元;
④
a
R+,1
a
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.2 线性空间的定义 与简单性质
一、线性空间的定义
二、线性空间的简单性质
引例 1
在第三章§2中,我们讨论了数域P上的n维向量
定义了一种代数运算,叫做加法:即对 , V ,
在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应,称 为
来自百度文库 的和,记为 ;在P与V的元素之间还
定义了一种运算,叫做数量乘法:即 V ,k P,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应,称δ为
k与 的数量乘积,记为 k. 如果加法和数量乘
0 ;(β称为 的负元素)
数量乘法满足下列两条规则 :
⑤ 1
⑥ k(l ) (kl)
数量乘法与加法满足下列两条规则:
线性空间 知识点总结
线性空间知识点总结
本文将从定义、性质、例子、拓扑结构等多个方面对线性空间进行总结,以帮助读者更全
面地理解这一概念。
一、线性空间的定义
线性空间的定义较为抽象,它可以用来表示向量、矩阵、多项式等各种类型的数学对象。
线性空间是一个非空集合V,配上两个操作:加法和数乘。加法指的是将两个向量或数学
对象相加得到一个新的向量或数学对象,数乘指的是将一个标量与一个向量或数学对象相
乘得到一个新的向量或数学对象。
具体来说,给定一个域F,一个线性空间V满足以下条件:
1. 对于V中的任意两个元素x、y,它们的和x+y也属于V。
2. 对于V中的任意元素x和任意标量c,它们的数乘cx也属于V。
3. 加法满足结合律和交换律。
4. 加法单位元(零向量)存在。
5. 数乘满足分配律。
6. 数乘满足标量乘1等于自身。
换句话说,线性空间V是一个满足上述条件的非空集合,它配备了加法和数乘这两种运算,并且这两种运算满足一定的性质。
二、线性空间的性质
线性空间有许多重要的性质,这些性质不仅体现了线性空间的内在结构,也为线性空间的
进一步研究提供了重要的基础。下面介绍线性空间的一些主要性质:
1. 线性空间中的元素有唯一加法逆元。对于线性空间V中的任意元素x,存在一个唯一的
元素-y,使得x+y=0,其中0表示线性空间V中的零向量。
2. 线性空间中的元素满足交换律和结合律。即对于线性空间V中的任意元素x、y、z,有
x+y=y+x,(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 线性空间中的元素满足分配律。即对于线性空间V中的任意元素x、y、z和任意标量c,有c(x+y)=cx+cy,(c+d)x=cx+dx。
线性空间的定义与简单性质
01 = 01 + 02 = 02 . 故零向量是唯一的.
证毕
14 §6.2 线性空间的定义与简单性质
2. 任意向量的负向量是唯一的.
证明 假设 有两个负向量 与 , 则 + = 0, + = 0 .
那么
= + 0 = + ( + ) =( + )+ = 0 + = .
12 §6.2 线性空间的定义与简单性质
2( + ) = (1+1)( + ) =( + )+( + )= +( + )+ ,
∴ = .
证毕
13 §6.2 线性空间的定义与简单性质
二、线性空间的简单性质
1. 零向量是唯一的.
证明 假设 01,02 是线性空间 V 中的两个零 向量. 于是
元素 与它们对应,称为 k 与 的数量乘积,记
= k . 如果加法与数量乘法满足下述规则,那
么 V 称为数域 P 上的线性空间.
加法满足下面四条规则:
1) ;
2) ( ) ( );
3) 在 V 中有一个元素 0,对于 V 中任一元素
都有
+ 0 =
(具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素) ;
9 §6.2 线性空间的定义与简单性质
例 5 全体数域 P 上的 m n 矩阵组成的集合 V,按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法,构成数 域 P 上的一个线性空间,用 P m n 表示.
线性空间的概念与性质
线性空间和线性变换
§1.1 线性空间的概念与性质
§1.2 线性空间的基与维数
§1.3 线性变换
主要讨论线性空间及线性变换的一些基本概念与基本定理,在此基础上使大家能利用这些基本概念与定理解决相关问题。
§1.1 线性空间的概念与性质一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是一个抽象的概念。
线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际问题。
定义1.设V 是一个非空集合,K是一个数域(有理数域、实数域或复数域)。
在集合V的元素之间定义了一种代数运算,叫做
加法:给出了一种法则,对于任意两个元素α,β∈V,
总有唯一的一个元素γ∈V与之对应,称为α与β的和,记作:γ=α+β。
在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法:对于任一数λ∈K与任一元素α,总有唯一的一个元素δ∈V与之对应,称为λ与α的数量
乘积,记作δ=λα。
如果上述定义的两种运算满足以下八条运算规律,那么V 就称为数域K 上的线性空间(或向量空间)。 (1) (2) ()()
(3) (4) (5) 1(6) ()()(7) ()λμλμλμλμλμ∈∈+=+++=++∃∈∀∈+=∀∈∃∈+===+=+αβγV R
αββα
αβγαβγ0V αV α0α
αV βV αβ0
αα
αα
ααα
设、、,、,对,都有,,都有加法:(1)-(4) 数量乘积:(5)(6) 数乘与加法:(7)(8)。
说明:
1.凡满足以上八条规律的加法及数乘运算,称为线性运算。
线性空间和其基础性质的定义及应用
线性空间和其基础性质的定义及应用线性代数是一门数学分支学科,主要研究向量空间及其上的运算。线性空间的概念是线性代数的基础,而许多重要的数学分支
学科,如微积分、偏微分方程和量子力学都是基于线性空间理论的。
本文将对线性空间及其基础性质的定义进行阐释,并探讨线性
空间在不同领域中的应用。
一、线性空间的定义
线性空间是一个向量空间,其基本性质是空间中的所有元素均
具有
标量乘法(scalar multiplication)和向量加法(vector addition)
两种基本运算:
1. 标量乘法:对于任何标量(即实数或复数)α和向量v,有
唯一一个向量αv,
2. 向量加法:对于任何两个向量u和v,有唯一一个向量u+v,
3. 满足以下八条性质:
(1)线性空间中的任意向量u和v都有一个和,称为它们的和u + v。
(2)+ 运算满足交换律,即 u + v = v + u
(3)+ 运算满足结合律,即 (u + v) + w = u + (v + w)
(4)存在零向量,即 u + 0 = u,对于所有的向量u;
(5)对于每个向量u,存在一个与u相反的向量—u,使得 u + (-u)=0;
(6)标量乘法满足结合律, 即α(βv) = (αβ)v。
(7)标量乘法对向量加法的分配律,即α(u+v)= αu + αv。
(8)标量乘法对标量加法的分配律,即(α + β)v= αv+ βv。
(其他一些基本术语)
向量的线性组合 ( linear combination) 是指对向量进行加权求和v = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn ,其中 ci 是标量。
线性空间的定义
,使得
+=0
( 称为 的负元素) .
数量乘法满足下面两条规则:
5) 1 = ;
பைடு நூலகம்
6) k( l ) = ( kl ) .
数量乘法与加法满足下面两条规则:
7) ( k + l ) = k + l ; 8) k( + ) = k + k .
在以上规则中,k , l 等表示数域 P 中的任意数;
, , 等表示集合 V 中任意元素.
由定义,几何空间中全部向量组成的集合是一 个实数域上的线性空间. 分量属于数域 P 的全体 n 元数组构成数域 P 上的一个线性空间,这个线性 空间我们用 Pn 来表示. 下面再来举几个例子.
例 4 数域 P 上一元多项式环 P[ x ],按通常
的多项式加法和数与多项式的乘法,构成一个数域
三、线性空间的简单性质
1. 零元素是唯一的. 证明 假设 01,02 是线性空间 V 中的两个零
元素. 只要证明 01 = 02 即可. 考虑和 01 + 0 2
由于 01 是零元素,所以 01 + 02 = 02 . 又由于 02 也
是零元素,所以 于是 01 + 0 2 = 0 2 + 0 1 = 0 1 , 01 = 0 1 + 0 2 = 0 2 .
线性空间定义及简单性质
1) 加法与数量乘法定义为:a,b R ,k R
a b logba
k oa ak
判断 R+是否构成实数域 R上的线性空间 .
解:
R,
和运算不封闭,不能构成线性空间。
线性空间定义的其它要求呢,还有不满足的 条例吗,试着找出来!。
几个常见的线性空间
1. 数域P上的n维向量对于两个向量的加法和
证明:假设线性空间V有两个零元素01、02,则有 01=01+02=02.
2、 V,的负元素是唯一的,记为- .
证明:假设 有两个负元素 β、γ ,则有
0, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0
(7) (k l) oa akl akal ak al (k oa) (l oa) ;
(8) k o(a b) k o(ab) (ab)k akbk ak bk
(k oa) (k ob) ;
∴ R+构成实数域 R上的线性空间.
例 全体正实数R+,
加法满足下列四条规则: , , V
① (交换律) ② ( ) ( ) (结合律)
③ 在V中有一个元素0,对 V , 有 0
(具有这个性质的元素0称为V的零元素)
④ 对 V , 都有V中的一个元素β,使得
线性空间的定义和性质
下面直接从定义来证明线性空间的一 些简单性质.
定理7.1.1 设V是数域P上的线性空间, 则有
(1) V中的零元素0是唯一的;
(2) 对αV的负元素-α是唯一的; (3) 0 0,k0 0 , (1) ; (4) 若 kα=0,则k=0或α=0. 证 (1)设01, 02是V中的两个零元素,要 证 01=02.由于01是零元素,由定义有
作成集合,按通常多项式加法和数与多项
式乘法,构成一个数域P上的线性空间.如 果只考虑其中次数小于n的全体多项式(包 括零多项式)也构成数域P上一个线性空间, 记为P[x] n
例7.1.4 定义在闭区间[a,b]上(或全体 实数区间 (-∞,+∞)上)的全体实连续函数, 按通常函数的加法及数与函数的乘法,构 成一个实数域R上的线性空间,记为C [a,b] (或C (-∞,+∞) ).其中零元素是零函数, 某个函数的负元素是其负函数-f(x).
例7.1.5 全体有理数所成集合Q,按通 常有理数的加法和有理数对有理数的乘法, 构成一个有理数域上的线性空间. 注意
这个线性空间V及它所属的数域P是同一个 集合. 一般地,任何一个数域P都是P自身 上的线性空间. 但Q不构成实数域R上的线 性空间,因为用一个实数与Q中元素进行 数乘的结果未必是Q中的元素,如
高等代数第六章 线性空间
第六章 线性空间
§1 §2 §3 §4 §5
a1, a2, , an b1, b2, , bn
数乘: 任取 k R
k ka1, ka2, , kan
那么 Rn 对于加法、数乘封闭,且满足八条
(1)
(2) ( ) ( )
(3) 有零向量
(4) 有负向量
(5) k( ) k k
(6) (k l) k l
' 2
(x
a),,
' n
(x
a)n1.
那么按泰勒展开公式
f (x) f (a) f '(a)(x a) f (n1) (a) (x a)n1. (n 1)!
因此,f(x)在基
1
'
,
2
'
,,
n
'
下的坐标是
( f (a), f '(a),, f (n1) (a)). (n 1)!
例2
在n维空间Fn中, 1
例1
设
V
线性空间线性空间的定义及性质知识预备集合笼统的说
第一讲线性空间
一、线性空间的定义及性质
[知识预备]
★集合:笼统的说是指一些事物(或者对象)组成的整体。
集合的表示:枚举、表达式
集合的运算:并(),交()
另外,集合的“和”(+):并不是严格意义上集合的运算,因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域:一种数集,对四则运算封闭(除数不为零)。比如有理数域、实数域(R)和复数域(C)。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是学习现代矩阵论的重要基础。
1.线性空间的定义:
设V是一个非空集合,其元素用z
x,
,等表示;K是一个数域,
y
其元素用m
,等表示。如果V满足[如下8条性质,分两类]:
k,
l
(I)在V中定义一个“加法”运算,即当V
x∈
,时,有唯一的和
y
+(封闭性),且加法运算满足下列性质:
x∈
y
V
(1)结合律z
=
+)
(
)
(;
+
y
+
z
x
y
x+
(2)交换律x
+;
=
y
y
x+
(3)零元律存在零元素O,使x
+;
x=
O
(4)负元律 对于任一元素V x ∈,存在一元素V y ∈,使O y x =+,且称y 为x 的负元素,记为)(x -。则有O x x =-+)(。
(II )在V 中定义一个“数乘”运算,即当K k V x ∈∈,时,有唯一的V kx ∈(封闭性),且数乘运算满足下列性质: (5)数因子分配律 ky kx y x k +=+)(; (6)分配律 lx kx x l k +=+)(; (7)结合律 x kl lx k )()(=; (8)恒等律 x x =1; 则称V 为数域K 上的线性空间。
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满秩
⎡1 1 1 −1 ⎢ ⎢1 1 −1 1 ⎢1 −1 1 1 ⎢ ⎢1 −1 −1 −1 ⎣ 1⎤ ⎥ 2⎥ 初等行变换 3⎥ ⎥ 4⎥ ⎦ ⎡ 1 1 1 −1 ⎢ ⎢ 0 −1 0 1 ⎢ 0 0 −2 2 ⎢ ⎢0 0 0 1 ⎣ 1⎤ ⎥ 1⎥ 1⎥ ⎥ 0⎥ ⎦
5 1 x 1 = , x 2 = −1, x 3 = − , x 4 = 0. 2 2
= (an−1 + bn−1 ) x n−1 +
( an−1 x
n −1
+
+ a1 x + a0 ) + ( bn−1 x
n −1
+
+ b1 x + b0 )
+ ( a1 + b1 ) x + ( a0 + b0 ) ∈ F [ x ]n
λ (an−1 x n−1 + + a1 x + a0 ) = ( λ an−1 ) x n−1 + + ( λ a1 ) x + ( λ a0 ) ∈ F [ x ] n
( n − 1) T
例1 在线性空间F[ x ]5中, p1 = 1, p2 = x ,
p3 = x 2 , p4 = x 3 , p5 = x 4就是它的一个基.
例3 正弦函数的集合
S [ x ] = {s = A sin( x + B ) A, B ∈ R}. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性 空间.
∵ s1 + s2 = A1 sin( x + B1 ) + A2 sin( x + B2 ) = (a1 cos x + b1 sin x ) + (a2 cos x + b2 sin x ) = (a1 + a2 )cos x + (b1 + b2 )sin x
δ = λα
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那 么 V 就称为数域 F 上的线性空间.
∀α, β, γ ∈V ; λ, μ ∈ F
(1) α + β = β + α ;
( 2) (α + β ) + γ = α + ( β + γ );
(5) 1α = α ; (6) λ ( μα ) = (λμ )α ; (7)(λ + μ )α = λα + μα ; (8)λ (α + β ) = λα + λβ .
m × n矩阵的集合记为 F m × n .
定义1 设 V 是一个非空集合, F 为数域.如果 对于任意两个元素 α , β ∈ V ,总有唯一的一个元 素γ ∈ V与之对应,称为 α 与 β 的和,记作
γ =α + β
若对于任一数 λ ∈ F 与任一元素 α ∈ V ,总有唯 一的一个元素δ ∈ V 与之对应,称为 λ 与 α 的数量 乘积,记作
i, j
α = a1ε1 + a2ε2 + + anεn
I ij (i = 1,2,
, m; j = 1,2,
, n),表示
(i , j )
元为1,其余元素均为零的 m × n矩阵。
2 f = 1 , f = x , f = x , 2 3 令 1
, f n = x n −1 + a n −1 x n −1 ∈ F [ x ]n
易证: (1)自然数集N与整数集Z不是数域。 (2)有理数集Q,实数集R,复数集C是有理 数域,分别称为有理数域,实数域,复数域。 (3)Q是最小的数域,任意数域包含Q。 (4)除Q、R、C以外,还有许多其它的数域。 设F是数域,分量取自F的向量称为F上的 向量,F上全部n元向量的集合记为 F n.同理,元 素取自F的矩阵称为F上的矩阵,F上全部
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一
某一类事物从量的方面的一个抽象
性质1.1.1 设A, B, C是任意三个矩阵,k, l是任 意两个数,则有
(1) A+ B = B + A (3) A+ 0 = A (5) 1A = A
(2) (A+ B) +C = A+ (B +C) A) = 0 (4) A+ (− (6) (kl )A = k(lA)
, x N −1 线性无关。从而F [ x ]是无限维的。
= aN −1 = 0
C [a , b ]也是无限维的。 同理可证,
定义B.2.2 在线性空间 V 中,如果存在 n个元素 α 1 ,α 2 , ,α n 满足:
(1 ) α 1 , α 2 ,
表示 ,
, α n 线性无关 ;
, α n 线性
例3
在线性空间R[ x ]n中, 取一组基 , ε n = ( x − a )n−1
2 1, ( x a ), = = − = ε1 ε2 ε 3 ( x − a) ,
则 由 Taylor公 式 知
f ' ' (a ) 2 f ( x ) = f (a ) + f ' (a )( x − a ) + ( x − a) 2! ( n − 1) (a ) f n −1 + + ( x − a) ( n − 1)! 因此 f ( x )在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 , , ε n 下的坐标是 f ''(a ) ( f (a ), f '(a ), , 2! (a ) f , ) . ( n −1)!
由于所定义的运算不是 线性运算 , 所以 S n 不是 线性空间 .
二、线性空间的性质
1.零元素是唯一的. 2.负元素是唯一的.
3. 0α = 0; ( −1) α = −α ; λ 0 = 0.
4.如果 λα = 0,则 λ = 0 或 α = 0 .
四、小结
线性空间是二维、三维几何空间及 n 维向量 空间的推广,它在理论上具有高度的概括性. 线性空间的元素统称为“向量”,但它可以是 通常的向量,也可以是矩阵、多项式、函数等.
(3)α+θ=α(θ是n元零向量) (7)(k+l)α=(kα+lα)
(4)α+(-α)=θ
一
数域
定义3.1.1 设 F 是数的集合,若其满足 (1)
0 ,1 ∈ F
(2)对 F中任意两个a,b,总有 a+b,a-b,a×b,a÷b(b ≠ 0) ∈ F F是一个数域。 F对数的加、减、乘、除四 种运算封闭。
= A sin( x + B ) ∈ S [ x ].
λs1 = λA1 sin( x + B1 ) = (λA1 )sin( x + B1 ) ∈ S [ x ]
∴ S [ x ] 是一个线性空间.
例4 在区间 [a , b]上全体实连续函数,对函数的 加法与数和函数的数量乘法,构成实数域上的线性 空间 C [a, b ] . 例5 在区间 [a , b] 上Riemann可积函数,对函数的 加法与数和函数的数量乘法,构成实数域上的线性 空间 R[a, b ] .
关于这个基的坐标。 解 已知矩阵空间 R 的维数为4,根据 定理B.2.1,只需证 A1 , A2 , A3 , A4 线性无关。
2×2
⎡1 1 1 −1⎤ ⎢ ⎥ ⎢1 1 −1 1 ⎥ [A1, A2 , A3 , A4 ] = [I 11, I 12 , I 21, I 22 ] ⎢ 1 −1 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 −1 −1 −1⎥ ⎣ ⎦
( 2) V 中任一元素 α 总可由 α 1 , α 2 ,
那么, α 1 , α 2 ,
, α n 就称为线性空间V
的一个基, n称为线性空间 V 的维数。
定义B.2.3 有限维线性空间V的任一个基 所包含的向量个数称为V的维数,记为dim(V)
维数为 n的线性空间称为 n维线性空间, 记作 Vn .
(7) (k +l)A = kA+lA (8) k(A+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB) = kA+kB
注:此处,A,B均为同型矩阵
性质 设α,β,γ是任意三个n元向量,k,l是任意两个数, 则有 (5)1α=α (1)α+β=β+α (6)(kl )α=k(lα) (8)k(α+β)=kα+kβ
(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)
性空间。否则,就称V是无限维线性空间。
n m× n F , F , 例B.2.1 向量空间 矩阵空间 多项 式空间 Fn[x]都是有限维的,而 F [ x ]与函数空间 C [a , b]
都是无限维的。
α = (a1 , a2 , , an ) ∈ F n
A = [aij ]m×n A = ∑ a ij I ij
维数
n
m×n
1, x , x 2 ,
, x n−1 ,
定理B.2.1 n维线性空间V中任意n个线性无关的 向量均构成V的基。
二、坐标
定义B.2.4 设 α 1 , α 2 ,
, α n是线性空间 Vn的一个
基 , 对于任一元素 α ∈ Vn , 总有且仅有一组有序 数 x1 , x 2 , , xn , 使
α = x1α 1 + x2α 2 +
有序数组 x1 , x 2 ,
+ x nα n ,
, x n 称为元素 α在α 1 ,α 2 ,
,α n 这个
基下的坐标 , 并记作
α = ( x1 , x2 ,
, xn ) .
T
例B.2.4
在 R
2×2
中证明矩阵
⎡1 1⎤ ⎡1 − 1⎤ ⎡1 1⎤ ⎡− 1 1 ⎤ , A2 = ⎢ , A3 = ⎢ , A4 = ⎢ A1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 1 − 1 − 1 1 1 1 − 1 − ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ 构成一个基,并求矩阵 ⎡1 2⎤ A= ⎢ ⎥ 3 4 ⎦ ⎣
(3) ∃ 0 ∈V , ∀α ∈V , 有
α + 0 = α; (4)∀α ∈V , ∃β ∈V , 使 α + β = 0;
说明 凡满足以上八条规律的加法及乘数运 算,称为线性运算. 2 .线性空间中的向量不一定是有序数组.
义的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条 性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间.
若 α 1 ,α 2 ,
,α n为Vn的一个基 , 则Vn 可表示为
Vn = { x1α 1 + x2α 2 +
+ xnα n x1 , x2 ,
, xn ∈ F }
例B.2.2 线性空间
Fn F m×n F [ x ]n
基 ε1 ,ε 2 , ,ε n
Iij ,1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
2 ( ) f x = a + a x + a x + 则对任意 0 1 2
均有 f ( x ) = a0 f1 + a1 f 2 +
所以 F [ x ]n 是有限维的。
+ an−1 f n
a0 + a1x + a2x 2 +
+ aN −1x N −1 = 0 ⇒
a0 = a1 = a2 =
所以 1, x , x 2 ,
∴ R m ×n是一个线性空间 .
例2 次数小于n的多项式的全体, 记作F[ x ]n ,即 F [ x ]n = { p = an−1 x n−1 + + a1 x + a0 | an−1 , , a1 , a0 ∈ F },
对于通常的多项式加法, 数与多项式的乘法构成线性空间.
通常的多项式加法、数与多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律.
(2) 一个集合,如果定义的加法和乘数运算不 是通常的数间的加、乘运算,则必需检验是否满 足八条线性运算规律. 例B.1.5 正实数的全体,记作 R + ,在其中定义加法 及乘数运算为
a ⊕ b = ab, λ a = a λ , (λ ∈ R, a , b ∈ R + ).
验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间.
例7 n个有序实数组成的数组的全体
S n = x = ( x1 , x 2 , , x n )
{
T
x1 , x 2 ,
, xn ∈ R
}
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 λ ( x 1 , , x n ) T = (0 , , 0 ) 不构成线性空间.
因为S n 对运算封闭. 但1 x = o, 不满足第五条运算规律 .
⎧ 是一个集合 ⎪ 对所定义的加法及数乘运算封闭 ⎨ ⎪ 所定义的加法及数乘符合线性运算 ⎩
线性空间
§B.2 基与维数
一、线性空间的基与维数
定义B.2.1 有限个向量 a 1 , a 2 , 由 a1 , a 2 , 如果能从线性空间V中找到
, a m ,使V中任一向量均可
, a m 线性表出,则称V是有限维线
线性空间的判定方法 (1)一个集合,如果定义的加法和数乘运 算是通常的数(函数、矩阵等)间的加、数乘运算, 则只需检验对运算的封闭性. 例1 实数域上的全体 m × n 阶矩阵对矩阵的加 法及数量乘法,构成实数域上的线性空间。
∵ Am×n + Bm ×n = C m×n ,
λAm×n = Dm×n ,