线性空间的基本内容

本章小结

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是我们碰到的第一个抽象的概念。在线性空间中，元素之间的联系是通过映射来实现的，而通常将线性空间到自身的映射称为变换。线性变换是其中最基本也是最重要的变换，它是线性代数的主要研究对象之一。本章重点介绍了两方面的内容：线性空间的概念、性质，线性空间的基与坐标；线性变换的定义,线性变换的矩阵。最后简要介绍了欧氏空间。

一、 线性空间

1、线性空间的定义 教材P119定义3.1

线性空间的元素一般也仍称为向量，从而线性空间也称为向量空间，这里所说的向量涵义要比 中的向量广泛得多。

2、线性空间的简单性质

(1)零元素是唯一的 (2)负元素是唯一的

(3) （4）如果 ；则 或

3、线性空间的唯数，基与坐标

(1)线性组合的定义 教材P121定义3.2

(2)向量组等价 教材P122定义3.3

(3)线性相关 教材P122定义3.4

注意：

① 由一个向量 组成的向量组线性相关的充要条件是 ，两个以上的向量 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合。

② 两个等价的线性无关的向量组一定含有相同个数的向量。

(4)基 教材P122定义3.5

(5)坐标 教材P122定义3.6

注意：

① 若是 为 维线性空间 的一组基，则它们线性无关，并且对于任意 ， 线性相关。

② 向量在一组基下的坐标唯一。

4、基变换与坐标变换 教材P125定理 3.4

在 维线性空间 中，任意 个线性无关的向量都可以作为 的一组基。对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的，那么随着基的改变，向量的坐标也要改变。

设 与 是 维线性空间 中的两组基，且 = 其中 称为由基 到 过渡矩阵。设 ，且
则有坐标变换公式：

或
注意：两组基之间的过渡矩阵是可逆的，利用这一性质，若已知 的一组基 和一个 阶可逆矩阵 ，则可以构造的另一组基 ，且使 成为两组基之间的过渡矩阵。

5、线性子空间 教材P127定义3.7

生成子空间 教材P129定义3.8

注意：

① 线性子空间本身也是一个线性空间

② 线性空间 的子空间 不可能有比 数量更多的线性无关的向量，故
③ 两个向量组生成相同的子空间的充要条件是这两个向量组等价

④ 的维数等于向量组 的秩

二、线性变换

线性空间中向量之间的联系是通过线性空间到线性空间的映射来实现的。线性空间 到自身的映射，就是 的一个变换。线性变换是线性代数的一个主要研究对象。

1、线性变换的定义 教材P130定义3.10

注意：线性变换保持向量的加法和数量乘法运算

2、线性变换的简单性质

(1)设 是线性空间 的线性变换，则
(2)线性变换保持线性组合与线性关系式不变

(3)线性变换将线性相关的向量组变为线性相关的向量组

注意：线性无关的向量组经过线性变换后可能会变成线性相关的向量组，如零变换

3、线性变换的矩阵

(1) 定义 教材P133定义3.11

(2) 求线性变换一组基下的矩阵 教材P134例8---例11。

(3) 线性变换的像 与 的坐标之间的关系 教材P137定理3.7

4、线性变换与矩阵的一一对应关系

设 是数域 上的 维线性空间 的一组基， 是 上的 任意一个 阶矩阵，则存在 的唯一一个线性变换 ，使得
三、欧几里得空间简介

线性空间中，向量之间的运算只有加法和数量乘法，统称为向量的线性运算。我们将 中两个向量内积的定义推广到 维向量空间 上，引入向量的长度，两个向量的夹角，向量间的正交等度量性质，得到了 的正交基和标准正交基等概念。欧几里得空间的概念就是将这些概念推广到一般的 维实线性空间上得到的。

1、定义与基本性质

(1)定义 教材P141定义3.12

(2)向量长度 教材P142定义3.13

(3)欧氏空间中的向量的夹角 教材P144定义3.14

(4) 欧氏空间中的向量正交 教材P144定义3.15

注：

① 欧几里得空间即是定义了内积的线性空间

② 向量长度一般是正数；只有零向量的长度才是零；长度为1的向量为单位向量

③ 只有零向量才与自己正交

2、 标准正交基

（1）正交向量 教材P144定义3.16

注意：如果 是一个正交向量组，则 线性无关；

在 维欧氏空间中，两两正交的非零向量个数不会超过 个。

（2） 正交基与标准正交基 教材P145定义3.17

对一组正交基进行单位化，就得到一组标准正交基

（3） 在标准正交基下，向量坐标可用内积简单表示：见教材P145 定理3.11

在标准正交基下，内积也有特别简单的表达式：设 ，在 的标准正交基 下，有 ， ，则
（4）第二章中施密特正交化方法可以推广到一般的欧氏空间 教材P146定理3.12

（5）欧氏空间 的两组标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵

（6）正交变换 教材P150 定义3.18

正交变换的性质：设 是欧氏空间 的一个正交变换，则

① 保持向量的内积不变

② 保持向量的长度不变

③如果 是 的一组标准正交基，则 也是 的一组标准正交基

（7）线性空间同构和欧氏空间同构 教材P152 定义3.19，定义3.20