线性空间的基本内容

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1.1线性空间

Ⅱ 求（1）基I到基II的过渡矩阵；（2）向量 31 23 在基I下的坐标以及在自然基 e1 , e 2 下的坐标； T （3）向量 4,1,2 在基（I）下的坐标.
24
, e3
1.3 线性子空间定义1.8 设V为数域P上的线性空间，W是线性空间V的非空子集，若W关于V中的线性运算也构成数域P上的线性空间，则称W是V的线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V，显然由中单个零向量构成的子集是的子空间，称为的零子空间,记为{0}；V本身也是 V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间.的其它子空间称为V的非平凡子空间. 若WＶ，且WＶ，称Ｗ是Ｖ的真子空间。
例1.2 1. n维向量空间Rn按照向量的加法以及向量与实数的数乘都构成实线性空间. 2.全体 mn实矩阵，在矩阵的加法及数乘两种运算下构成一个实线性空间，记为Rmn. 3.区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为C[a,b]. 4.全体次数小于 n的多项式连同零多项式，按照多项式的加法与数乘构成一个实线性空间，记为 Pn[x]. 5.齐次线性方程组 AX=0的全体解向量，在向量的加法及数乘两种运算下构成一个线性空间，也就是通常所说的解空间；注：非齐次线性方程组AX=b的全体解向量，在上述两种运算下不构成一个线性空间.
4.向量组
1,2 ,L ,m线性相关当且仅当其中至少
有一个向量是其余向量的线性组合。
11
5.向量组 1 ,2 ,L , m 线性无关，而 , 1 , 2 ,L , m 线性相关，则可以由向量组表示。
1,2 ,L ,m
唯一线性
6.线性无关组不含零向量，等价的含零向量的向量组必定线性相关。 7. 如果向量组 1 , 2 ,L , 线性无关，并且可由向量组 s 线性表示，则 s t 8.等价的线性无关向量组必定含有相同个数的向量.

第六章线性空间

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19
例5 设1 , 2 , A是n s矩阵, (1 , 2 , 证明 : L( 1 , 2 ,
, n 是n维线性空间V 的一组基, , s ) (1 , 2 , , n ) A
, s )的维数等于A的秩.
证设秩( A) r , 则存在可逆矩阵P , Q , 使得 Er A P O
(4) 基变换
其中1 , 2 ,
, n 和1 , 2 ,
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, n 都是V的
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基, A为过渡矩阵, 可逆.
3
性质:设1 , 2 , 则 1 , 2 ,
, n为V 的基, , n ) ( 1 , 2 , , n ) A, , n 也为V 的基 A可逆.
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若 V2 , 则因 V2 , 有 ( ) V2 , 与 V2矛盾. 故在V中存在向量x , x V1且x V2 .
注: 此例说明,若V1 ,V2是V的两个非平凡子空间, 则在V中存在向量x, 使x V1 V2 ,即V V1 V2 .
证取P n的一组基 1 , 2 , 个 i , 使得A
m 1
i 0.
, n, 令
B ( 1 , 2 , , n )
事实上,若Am1 j 0, j 1,2,
则B可逆, 且有Am1 B O. 于是Am1 O. 与题设矛盾.
令 i , 则Am1 0, Am 0.
k1 l1 k2 l2 则有坐标变换公式 : A kn ln

第1章线性空间与线性变换讲义

定义加法：
a + b = ( x 1 + y1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ) T
定义数乘：
ka = ( kx1 , kx 2 , , kx n ) T ,
R n 是数域 R 上的线性空间。 C n 是数域 C 上的线性空间。
4
例2 实数域 R上的全体 m×n 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成 R上的线性空间，记作 Rm×n
定义：设 V 是一个非空集合，F 为数域，a, b, g V, 对于任意的a, b V, 总有唯一的元素 g V
与之对应，称 g 为a 与b 的和，记作 g =a +b，且
(1) a + b = b + a ;
( 2 ) (a + b ) + g = a + ( b + g );
( 3) 存在零元素： b V , a V , a + b = a，称 b 为零元素，并记 b 为 0 ; ( 4) 存在负元素 a V , b V， a + b = 0; 称 b 为 a 的负元素，并记 b 为 - a ;
(1) a , b W , 则a + b W (2) a W , k F , 则 ka W
则称W 是V 的子空间。
21
例1. 实数域上 n 维向量的集合
W = { ( 0, x 2 , , x n ) T | x 2 , , x n R }
则 W是 R n 的子空间。
则 P 称为由基 a 1 , a 2 , , a n 到基 b 1 , b 2 , , b n 的转移矩阵（或过渡矩阵），其中
p11 p21 P= p n1 p12 p22 pn 2 p1n p2 n pnn

第六章线性空间

第六章线性空间一．内容概述（一）基本概念⒈线性空间的定义-----两个集合要明确。

两种运算要封闭，八条公理要齐备。

V ,数域F V ∙V →V V ∈∀βα、使V ∈+βα。

V F ⨯→V ∀k V ∈使k V ∈α。

满足下述八条公理：⑴αββα+=+； ⑵)()(γβαγβα++=++； ⑶对于,V ∈α都有αα=+0，零元素；⑷对于V ∈α，都有0=+βα，称β为α的负元素，记为α-； ⑸βαβαk k k +=+)(；⑹αααl k l k +=+)(；⑺)()(ααl k kl =； ⑻αα=1。

常用的线性空间介绍如下：（ⅰ）2V 、3V 分别表示二维，三维几何空间。

（ⅱ）nF 或nP 表示数域)(P F 上的n 维列向量构成的线性空间。

（ⅲ）[]x F 表示数域上全体多项式组成的线性空间。

[]x F n 表F 上次数不大于n 的多项式集合添上零多项式构成的线性空间。

（ⅳ）()F M n m ⨯表示数域F 上n m ⨯矩阵的集合构成的线性空间。

当n m =时，记为()F M n m ⨯。

（ⅴ）[]b a R ,表示在实闭区间[]b a ,上连续函数的集合组成的线性空间。

⒉基，维数和坐标------刻画线性空间的三个要素。

⑴基线性空间()F V 的一个基指的是V 中一组向量{}n ααα,,21 满足（ⅰ）n ααα,,21 线性无关；（ⅱ）V 中每一向量都可由n ααα,,21 线性表出。

⑵维数一个基所含向量的个数，称为维数。

记为V dim 。

⑶坐标设n ααα,,21 为()F V n 的一个基。

()F V n ∈∀α有n n a a a αααα+++= 2211则称有序数组n a a a ,,21 为α关于基n ααα,,21 的坐标。

记为(n a a a ,,21 )。

⑷过渡矩阵设()F V n 的二个基n ααα,,21 （ⅰ）n βββ ,,21（ⅱ）且∑==ni iij j a 1αβn j 2,1=则称n 阶矩阵。

线性空间与线性变换

线性空间与线性变换线性空间（也称为向量空间）是线性代数的基本概念之一。

它是指由向量集合组成的集合，满足特定的运算规则。

线性空间中的向量可以是实数域上的实向量，也可以是复数域上的复向量。

线性空间的定义涵盖了许多重要的数学概念和定理，在各个领域中都有广泛的应用。

一、线性空间的定义线性空间的定义遵循以下几个基本条件：1. 封闭性：对于线性空间V中任意向量u和v，它们的线性组合也属于V。

即对于任意的标量a和b，有a*u + b*v∈V。

2. 加法结合性：对于线性空间V中任意向量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。

3. 加法交换性：对于线性空间V中任意向量u和v，有u+v = v+u。

4. 零向量存在性：存在一个特殊的向量0，满足对于线性空间V中任意向量u，有u+0 = u。

5. 加法逆元存在性：对于线性空间V中任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v) = 0。

6. 数量乘法结合性：对于线性空间V中任意的标量a、b和向量u，有(a*b)*u = a*(b*u)。

7. 标量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和向量u、v，有a*(u+v) = a*u + a*v。

8. 向量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和b，以及向量u，有(a+b)*u = a*u + b*u。

二、线性变换的定义与性质线性变换是一种将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。

线性变换也被称为线性映射或线性算子。

线性变换保持线性空间的线性结构，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有以下性质：1. 线性变换将零向量映射到零向量，即T(0) = 0，其中T表示线性变换。

2. 线性变换保持向量的线性组合，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有T(a*u + b*v) = a*T(u) + b*T(v)。

3. 线性变换的像空间是一个线性空间，即对于线性空间V中的线性变换T，其像空间W也是一个线性空间。

线性空间与线性映射的基本理论

线性空间与线性映射的基本理论线性空间是数学中一种重要的结构，广泛应用于线性代数、函数分析等领域。

线性映射作为线性空间之间的一种变换方式，对于研究线性空间的性质及其应用有着重要的作用。

本文将介绍线性空间与线性映射的基本理论，包括定义、性质以及相关定理的证明。

一、线性空间的定义与性质线性空间是指一个具有加法运算和数乘运算的集合，且满足一定的公理。

设V为一个集合，如果满足以下条件：1. 加法运算：对于任意的u、v∈V，存在一个元素u+v∈V，使得加法对于V中元素的操作满足交换律、结合律和存在零元素的性质。

2. 数乘运算：对于任意的α∈F（其中F为一个数域）和u∈V，存在一个元素αu∈V，使得数乘对于V中元素的操作满足结合律、分配律和单位元素的性质。

3. 加法单位元：存在一个元素0∈V，使得对于任意的u∈V，有u+0=u。

4. 相反元素存在：对于任意的u∈V，存在一个元素-v∈V，使得u+(-v)=0。

5. 数乘单位元：对于任意的u∈V，有1u=u。

若V满足上述条件，则称V为线性空间，V中的元素称为向量。

线性空间的定义体现了加法和数乘运算的基本性质。

二、线性映射的定义与性质线性映射是指将一个线性空间的向量映射到另一个线性空间的映射。

设V和W为两个线性空间，f: V→W是一个映射。

如果满足以下条件：1. 直线性：对于任意的u、v∈V和任意的α、β∈F，有f(αu+βv)=αf(u)+βf(v)。

2. 零元映射：f(0_V)=0_W，即零向量在V中的映射值为0_W。

则称f为从V到W的线性映射。

线性映射的定义保持了线性空间的运算性质，即通过映射后仍然保持加法和数乘的运算性质。

三、线性映射的性质与定理1. 线性映射的零核与满射性质：设f: V→W是一个线性映射，则f是满射（surjective）当且仅当它的像空间W即为整个目标空间W；f是单射（injective）当且仅当它的核空间（即所有映射为零向量的V中的向量构成的集合）为零空间{0_V}。

6.2 线性空间的定义及性质

由特殊到一般，由具体到抽象，把具体的代数对象用公理化方法
统一在一个数学模型下，是数学研究的一种基本思想方法.
二. 基本性质
8条算律 ― 基本法律依据（公理），以2个运算、8 条算律为基础推导其它基本性质.
以下6条基本性质：
1. V 中零向量唯一.
证明：设 01，02 是 V 中零向量算律3) 02＝02＋01＝01＋02＝01 . □
□
依据该性质可用符号表示向量的负向量，即 ( ) 0 ，并
引入减法运算: ( ) → 减法不是一种独立运算.
3. .
证明： 0 ( ( )) ( ) ( ) ( ) .
（统称为运算封闭性），且满足算律：
① ＋＋；
⑤ (ab)α a(bα) ；
② (＋ )＋＋(＋ ) ；
⑥ 1 ；
③ 0V , V ,0 ；
⑦ a( ) a a ；
④ V , / V , / 0 ； ⑧ (a b) a b .
向量).
5. k 0 k 0 或 0 .
证明：若 k 0 ，命题已经成立；

1 (
k)
6)

1
(k )

1
0
=
0
.
□
k
k
k
n
5. i 1 2 n 有确定意义.
i=1
证明：略.
n
6. i 1 2 n 可交换其中项的位置. i=1
M1×n = {(a1, a 2 , , a n ) a i P,i 1, 2, , n} 为 P 上 n 元行空间，Mn×1 = {(a1, a 2 , , a n )/ ai P,i 1, 2, , n} 为 P 上 n 元列空间，统一记为 Pn .

线性空间中的基本定义及性质

线性空间中的基本定义及性质线性空间是现今数学中的一个基础概念。

它在向量、矩阵、微积分、拓扑等多个数学分支中都有广泛的应用。

本文将简单介绍线性空间的基本定义及其性质。

一、线性空间的基本定义线性空间是一种包含数个元素的空间，其内部具有向量加法运算和数乘运算。

具体来说，设V为一个非空集合，其中的元素称为向量。

若V上有两种运算，一种为向量加法运算，用+表示，另一种为数乘运算，用·表示，则称(V, +, ·)为一个线性空间，满足以下条件：1.加法交换律：对任意u,v∈V，有u+v=v+u；2.加法结合律：对任意u,v,w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)；3.存在零向量：存在一个元素0∈V，使得对任意u∈V，有u+0=u；4.对任意向量u∈V，存在相反元素：对任意u∈V，存在一个元素-v∈V，使得u+(-v)=0；5.数乘结合律：对任意α,α∈R，u∈V，有(αα)u=α(αu)；6.分配律：对任意α∈R，u,v∈V，有α(u+v)=αu+αv，(α+α)u=αu+αu；7.标量乘法：对任意u∈V，有1u=u。

在以上定义中，R表示实数集合上的乘法运算。

二、线性空间的性质线性空间的定义虽然简单，但它带来了许多重要的性质。

以下是几个典型的例子：1. 零向量唯一性：线性空间中仅存在一个零向量，任何向量加上该零向量等于其本身。

2. 相反元素唯一性：线性空间中任一向量的相反元素是唯一的。

3. 线性组合性质：设{u1,u2,...,un}为V中的向量。

{a1,a2,...,an}为任意实数，则线性组合a1u1+a2u2+...+anun∈V。

其中，每个ai乘以ui叫做向量ui 的系数。

4. 子空间的定义：设V为一个线性空间，如果它的子集W满足：（1）对于任意向量u,v∈W，u+v∈W；（2）对于任意α∈R，u∈W，有αu∈W；则称W是V的一个子空间。

5. 线性无关性：设V为一个线性空间，{u1,u2,...,un}为其中的向量。

线性空间及其基本概念的引入

线性空间及其基本概念的引入线性空间，又称向量空间，是数学中一种基本的概念。

它是由若干个元素所组成的集合，并且这些元素之间具有线性运算的性质。

线性空间的研究是线性代数的基础，也是各种数学领域中的重要工具之一。

一、线性运算线性运算是指加法和数乘运算，即对于线性空间V中的任意两个元素u和v，以及任意标量k，都有：1. u + v ∈ V，称为它们的和；2. k u ∈ V，称为它们的积。

这些运算满足以下基本性质：1. 加法满足交换律和结合律；2. 存在唯一的零元素，即u + 0 = u；3. 对于任意元素u，存在唯一的相反元素-v，满足u + v = 0；4. 数乘运算满足结合律和分配律；5. 对于任意两个标量，有k (lu) = (kl) u；6. 存在单位元素1，使得1u = u。

二、线性子空间线性子空间是指线性空间V的一个非空子集，满足下列条件：1. 零元素属于该子集；2. 该子集对于加法和数乘运算都是封闭的，即任意两个元素的和和任意一个标量与任意一个元素的积都在该子集内。

例如，平面上所有过原点的直线组成一个线性子空间，它包括原点和通过原点的所有向量。

三、线性独立性和生成子空间线性独立性是指V中任意有限元素所组成的一个集合是线性独立的，即不存在使它们线性相关的标量。

生成子空间是指V中一个非空子集S的所有线性组合构成的子空间，称为S所生成的子空间。

即对于任意一个向量v∈V，都可以表示为标量与S中元素的线性组合。

当且仅当S中元素线性无关时，S才能成为V的一个基。

四、基和维数基是指一个线性空间V中的一组线性无关的元素，使得V中的任意一个元素都能唯一地表示为这个基的线性组合。

维数是指一个线性空间V中基中元素的个数。

任意n维线性空间都可以找到某个基，使得它的元素都写成从标准基(0,0,...,0,1)的形式，也就是说，我们可以将n维线性空间的每个基向量表示为标准基向量的线性组合。

五、范数和内积范数是指线性空间V中的每个元素与实数的映射f，它满足以下条件：1. f(u) = 0仅当u = 0；2. f(αu) = |α| f(u)；3. f(u + v) ≤ f(u) + f(v)；常见的范数有欧几里得范数、最大范数和p范数等。

第1,2章线性空间与线性变换

§1·4 线性变换(Linear Transformations)
一、线性变换的概念
1. 线性变换的来历；
Definition：（i）T是V上的映射：T：VV。 (ii) T具有线性性：
T（＋）=T（）＋T（）
(保持加法的三角形法则)
T（k）=kT（）
(保持比例关系)
2 线性变换的性质：
2 坐标变换公式
已知 ➢空间中两组基：
{1, 2,..., n} {1, 2 ,..., n}
满足:(1, 2 ,..., n ) (1,2 ,..., n )Cnn
➢: (12...n )X ; (12...n )Y
讨论X和Y的关系
X=CY
例已知空间R中两组基（I）{Eij}
（II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0 } 0 0 1 0 3 1 0 3
Rmn ；Cmn 。
F[t]n ={f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 ：aiR}
运算：多项式的加法和数乘
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算（运算之后的结果跑不出去） • 八条运算律（能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）
常见的线性空间
F=R或C
Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：x F}
运算：向量加法和数乘向量
Fmn = {A=[aij]mn：a ijF}；运算：矩阵的加法和数乘矩阵

线性空间知识点总结

线性空间知识点总结本文将从定义、性质、例子、拓扑结构等多个方面对线性空间进行总结，以帮助读者更全面地理解这一概念。

一、线性空间的定义线性空间的定义较为抽象，它可以用来表示向量、矩阵、多项式等各种类型的数学对象。

线性空间是一个非空集合V，配上两个操作：加法和数乘。

加法指的是将两个向量或数学对象相加得到一个新的向量或数学对象，数乘指的是将一个标量与一个向量或数学对象相乘得到一个新的向量或数学对象。

具体来说，给定一个域F，一个线性空间V满足以下条件：1. 对于V中的任意两个元素x、y，它们的和x+y也属于V。

2. 对于V中的任意元素x和任意标量c，它们的数乘cx也属于V。

3. 加法满足结合律和交换律。

4. 加法单位元（零向量）存在。

5. 数乘满足分配律。

6. 数乘满足标量乘1等于自身。

换句话说，线性空间V是一个满足上述条件的非空集合，它配备了加法和数乘这两种运算，并且这两种运算满足一定的性质。

二、线性空间的性质线性空间有许多重要的性质，这些性质不仅体现了线性空间的内在结构，也为线性空间的进一步研究提供了重要的基础。

下面介绍线性空间的一些主要性质：1. 线性空间中的元素有唯一加法逆元。

对于线性空间V中的任意元素x，存在一个唯一的元素-y，使得x+y=0，其中0表示线性空间V中的零向量。

2. 线性空间中的元素满足交换律和结合律。

即对于线性空间V中的任意元素x、y、z，有x+y=y+x，(x+y)+z=x+(y+z)。

3. 线性空间中的元素满足分配律。

即对于线性空间V中的任意元素x、y、z和任意标量c，有c(x+y)=cx+cy，(c+d)x=cx+dx。

4. 线性空间中的元素满足数乘单位元的性质。

即对于线性空间V中的任意元素x，有1∙x=x。

5. 线性空间中的元素满足数乘交换律。

即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有c(dx)=(cd)x。

6. 线性空间中的元素满足数乘结合律。

即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有(c+d)x=cx+dx。

7-1 线性空间的基本概念

例７ n 个有序实数组成的数组的全体
S
n
x ( x 1 , x 2 , , x n )

T
x1 , x 2 , , x n R

对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 T ( x 1 , , x n ) 0 , , 0
不构成线性空间．
S 对运算封闭
n
.
但 1 x o , 不满足第五条运算规律
.
由于所定义的运算不是线性空间 .
线性运算 , 所以 S n 不是
18 湘潭大学数学与计算科学学院王文强上一页下一页返回
二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的．
证明假设 0 1 , 0 2 是线性空间V中的两个零元有素，则对任何 V ，
01 , 0 2 .
0
0.
21 湘潭大学数学与计算科学学院王文强上一页下一页返回
4．如果 0 ，则 0 或 0 . 证明又
1
假设 0 , 那么
1

1

0 0.

1

.
解 (1)不构成子空间. 因为对
1 A B 0 0 0 0 0 0 W1 0 0 W1, 0
24 湘潭大学数学与计算科学学院王文强上一页下一页返回
有
2 A B 0
满足
即
a 1 a 2 b1 b 2 c 1 c 2 0 ,
义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条
性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．

线性空间与子空间的定义与性质

线性空间与子空间的定义与性质线性空间是线性代数中的基本概念之一，它是由一组元素及其对应的运算所构成的数学结构。

本文将介绍线性空间的定义和性质，并讨论其子空间的特点。

一、线性空间的定义线性空间也称为向量空间，它由定义在一个域上的元素所组成，这些元素称为向量。

一个线性空间必须满足以下条件：1. 封闭性：对于任意向量a和b，其线性组合a+b也是线性空间中的向量。

2. 可加性：对于任意向量a、b和c，满足(a+b)+c = a+(b+c)的结合律。

3. 零向量：存在一个零向量0，使得对于任意向量a，有a+0=a。

4. 负向量：对于每个向量a，存在一个负向量-b，使得a+b=0。

5. 数乘性：对于任意向量a和标量k，其标量倍数ka也是线性空间中的向量。

6. 数乘分法：对于任意标量k和l，以及向量a，满足(kl)a=k(la)的结合律。

7. 数乘加法混合性：对于任意向量a和标量k、l，满足(k+l)a=ka+la 的分配律。

8. 数加分法混合性：对于任意向量a、b和标量k，满足k(a+b)=ka+kb的分配律。

二、线性子空间的定义线性子空间是指线性空间中的一个子集，它也是一个线性空间。

对于给定的线性空间V，如果集合W是V的子集，并且满足以下条件：1. 零向量：零向量0属于W。

2. 封闭性：对于任意向量a和b，若a和b都属于W，则其线性组合a+b也属于W。

3. 数乘性：对于任意向量a和标量k，若a属于W，则其标量倍数ka也属于W。

三、子空间的性质线性子空间具有如下性质：1. 非空性：线性子空间不能是空集。

2. 零向量唯一性：线性子空间中的零向量是唯一的。

3. 维数性质：设V是一个线性空间，W是V的一个有限维子空间，如果W的一组基包含n个向量，则W的任意一组线性无关的向量组也包含不超过n个向量。

4. 直和性质：设V是一个线性空间，W是V的一个子空间。

如果存在一个子空间U，使得V是U和W的直和，即任意向量v∈V都可以唯一地表示成v=u+w，其中u∈U，w∈W，则称V是子空间U和W 的直和。

第四章线性空间

第四章线性空间线性空间是二维、三维几何空间及n 维向量空间的推广。

线性空间中的元素统称为向量，但此时的向量除了可以是n 维向量以外，还可以是矩阵、多项式、函数、数等，这体现了这个概念的一般性。

另一方面，线性空间要规定两种运算：加法与数乘，但这一概念是抽象的。

4．1 线性空间线性空间是线性代数的基本概念，它是通过对不同的数学对象的共同本质（线性的）进行的抽象。

所谓线性空间，就是定义了两种运算（加法与数乘）的非空集合，该集合在这两种运算下保持封闭性。

1．定义：设V 是一个非空集合，P 为一个数域。

在集合V 的元素之间定义了一种代数运算叫做加法，即任取γβαγβα=+∈∈使有唯一,,,V V ，在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即任取αV ∈，有唯一的.,ηαη=∈k V 使得如果加法与数乘满足下面的规则：（1）αββα+=+；（2）)()(γβαγβα++=++；（3）在V 中有一个元素0，对V 中任意元素α，有α+0=α；（4）对V 中任意元素α，都有V 中元素β，使得=+βα0；（5）1α=α；（6）αα)()(kl l k =；（7）αααl k l k +=+)(；（8）αββαk k k +=+)(；则称V 为数域P 上线性空间。

在线性空间里，V 中的元素称为向量，0元素称为零向量，当 =+βα0时，β为α的负向量。

2．线性空间的性质；（1）零元素是唯一的；（2）任意向量α的负向量是唯一的，记为-α；（3） 0α=0，（-1）α=-α，k0=0;（4）若k α=0，则k=0或α=0。

3．线性子空间如果线性空间V 的非空子集W ，关于V 所定义的两种运算也构成一个线性空间，则称W 维V 的一个线性子空间。

若W 是V 的非空子集，W 中的元素关于V 的两种运算自然满足八条运算规则，于是判断W 是是否构成V 的线性子空间，只要验证W 关于V 的两种运算是否封闭，即“任取→∈∈+P k W ,βαW k W ∈∈+αβα,” 是否成立。

线性空间一(1-3).

是V的向量组。
则称x可由x1 ,x2 , …,x p线性表示，称x是 x1 ,x2 , …,x p的线性组合。例１在二维空间R2中，任意一个二维向量都可由标准单位向量e1 , e2 线性表示。
例2、在线性空间
中，
例3 在三维空间R3中，求k1 , k2 , k3 ,使得
求解
注：讨论向量组的线性表示可化为讨论线性方程组的求
则称向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性相关的；否则，就称向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性无关的。
等价命题
命题一向量组x1 ,x2 , …, xp是线性无关的充要条件是仅当k1 = k2 = … = kp= 0 时成立
命题二向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性相关的充要条件是其中的一个向量可由其余的向量线性表示。
定义设V是一个非空集合，F是一个数域（如实数域R或 [1]加法运算
“和”
复数域C），如果在V上规定了下列两种运算，则称V是数域F上的一个线性空间
对V的任意两个元素x、y，都有V的唯一的，且满足
•（1）交换律 x+y=y+x; •（2）结合律 x+(y+z)=(x+y)+z; •（3）存在0元 x+0=x; •（4）存在负元-x x+(-x)=0 .
当F是实数域时，V称为实线性空间；当F是复数域时，V称为复线性空间。
可以验证：
n维实向量空间是线性空间，仍记作
n维复向量空间是线性空间，仍记作
；
。
线性空间实例
•例1 所有型矩阵在矩阵加法和数乘运算下构成一个线性空间，记为 •例2 所有次数不超过n 的多项式在多项式加法和数乘运算下构成一个线性空间,记为 •例3 二阶齐次线性微分方程的解集合对于函数加法与数与函数的乘法构成一个线性空间。 •例4 闭区间[a,b]上所有连续函数的集合在函数加法和数乘运算下构成一个线性空间,记为

线性空间的基

线性空间的基线性空间是数学中最重要的概念之一，也是很多应用领域的基础。

它的定义涉及到一个紧密而复杂的理论体系，因此它令人感到非常有挑战性，但学习它们的概念和技能可以帮助我们理解许多数学理论的深层原理。

这篇文章将介绍线性空间的基本概念，这些概念将有助于理解线性空间的定义，并且可能有助于如何在实践中使用它。

首先，线性空间定义为集合中相互独立的元素组成的数量空间。

由于这些元素间的独立性，便于回答许多有关它们之间的问题，同时也使得这些问题的解决方案显而易见。

举个例子，假设你有三个独立的空间：空间A、空间B和空间C。

如果你要求每个空间中元素的总和，那么只要你知道每个空间中元素的数量就可以得到最终的总和。

此外，线性空间还具有线性相关性，即两个元素之间的关系可以用数学系数来表示。

这种相关性可以帮助我们更好地理解它们之间的关系，从而有助于解决复杂的数学问题。

最常见的线性相关性是矩阵的乘法，其中的系数表示两个矩阵相乘的结果。

另外，线性空间也可以用向量来表示，向量是指陈述两个元素之间的某种关系的一种方法。

它可以用于表述空间中元素的位置，如张贴在地图上的标记，或者表示某种类型的变化，如空间的缩放比例。

最后，线性空间可以用向量空间来表示，向量空间指的是满足特定条件的一组向量的集合。

它可以使用不同的坐标系来表示，这样就可以根据其中的元素之间的关系来推断它们的其他特性。

向量空间可以用来理解复杂的数学函数，也可以用来解释复杂的物理关系。

总而言之，线性空间定义为集合中相互独立的元素组成的数量空间，这些元素之间有着线性关系，并且可以用向量或向量空间来表示。

这些概念和技能有助于我们理解线性空间的概念，而且可以帮助我们在实践中使用它。

最后，我们必须强调和理解数学中最重要的概念之一，线性空间，它可以帮助我们更好地理解这门学科。

综上所述，线性空间是一种有着广泛应用的概念，它的定义涉及到一个紧密而复杂的理论体系。

学习它的概念和技能可以帮助我们理解许多数学理论的深层原理，并可以应用到实践中去。

线性空间的基本内容

1.1线性空间

第六章 线性空间

第1章 线性空间与线性变换讲义

第六章 线性空间

线性空间与线性变换

线性空间与线性映射的基本理论

6.2 线性空间的定义及性质

线性空间中的基本定义及性质

线性空间及其基本概念的引入

第1,2章 线性空间与线性变换

线性空间 知识点总结

7-1 线性空间的基本概念

线性空间与子空间的定义与性质

第四章线性空间

线性空间一(1-3).

线性空间的基

第六章线性空间

第1章线性空间与线性变换讲义

第六章线性空间

第1,2章线性空间与线性变换

线性空间知识点总结