方阵问题基本公式

（1）N排N列的实心方阵人数为N2人；

（2）M排N列的实心长方阵人数为M×N人；

（3）N排N列的方阵，最外层有4N-4人；

（4）在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈多8人；

（5）空心正M边形阵，若每边有N个人，则共有MN-M个人；

（6）方阵中：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2。

方阵问题两大常见思维方法：

（1）重叠点思维：若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目；

（2）逆向法思维：如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内部的数目是一种常用的思维方法。

【例1】（国家2002A类-9、国家2002B类-18）某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？（）

A. 256人

B. 250人

C. 225人

D. 196人

［答案］A

［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2＝（60÷4＋1）2＝256（人）。

【例2】（浙江2003-18）某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，则这个学校共有学生（）。

A. 600人

B. 615人

C. 625人

D. 640人强华教育公务员考试辅导

［答案］C

［解一］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2＝（96÷4＋1）2＝625（人）。

［解二］数字特性法：方阵的人数应该是一个完全平方数，所以结合选项，选择C。

【例3】（广西2008-11）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人数是80人，问这个方阵共有官兵多少人？（）

A．441 B. 400 C. 361 D. 386

［答案］A

［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2＝（80÷4＋1）2＝441（人）。

【例4】（国家2005一类-44、国家2005二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少？（）

A. 1元

B. 2元

C. 3元

D. 4元

［答案］C

［解一］设正方形每边x枚硬币，三角形每边y枚硬币，一共有N枚硬币，根据公式可得方程组：

N=4x－4

N=3y-3N=60

y-x=5，因为每枚硬币5分，所以总价值3元。

［注释］这里围成的三角形和正方形都指的是空心的。

［解二］根据数字特性法：硬币能围成正三角形→硬币的个数是3的倍数→硬币的价值可以三等分→根据选项选择C。公务员考试网

【例5】（北京社招2006-16）用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条，如果每个接头处都重叠1厘米，那么每条纸条长多少厘米？（）

A. 6

B. 6.5

C. 7

D. 7.5

［解析］重叠点思维：假设每张纸条有x厘米长，总长度应该是10x，但一共有9个接口，每个接口处都重叠1厘米，因此重复计算了9厘米，据此可得：10x-9=61x=7。

【例6】参加中学生运动会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，若减少一行一列，则要减少49人，则参加团体操表演的运动员共（）人。

A. 576

B. 625

C. 676

D. 2401

［答案］B

［解析］重叠点思维：假设每边有x人，则一行一列共有（2x-1）人（注意该行与列的交叉点上的人被重复计算了两遍），有方程：2x-1=49，解得x=25。共有252=625人。

【例7】（广东2005下-11）要在一块边长为48米的正方形地里种树苗，已知每横行相距3米，每竖列相距6米，四角各种一棵树，问一共可种多少棵树苗?（）

A. 128棵

B. 132棵

C. 153棵

D. 157棵

［答案］C

［解析］根据公式：棵数=总长÷间隔+1。边长为48米，每横行相距3米，共有48÷3+1=17行；边长为48米，每横行相距6米，共有48÷6+1=9列；可得：17×9=153（棵），一共可种树苗153棵。

【例8】一些解放军战士组成一个长方阵，经一次队列变换后，增加了6行，减少了10列，恰组成一个方阵，一个人也不多，一个人也不少。则原长方形阵共有（）人。

A. 196

B. 225

C. 256

D. 289

［答案］B

［解析］设该正方形阵每边x人，则原长方形阵为（x-6）行，（x+10）列。x2=（x-6）（x+10）x=15，因此共有152=225人，选择B。

【例9】奥运会前夕，在广场中心周围用2008盆花围成了一个两层的空心方阵。则外层有（）盆花。

A. 251

B. 253

C. 1000

D. 1008

［答案］D

［解一］设外层有m盆，内层有n盆，根据公式：m-n=8。则：

m-n=8

m+n=2008m=1008

n=1000

［解二］设该方阵外层每边x盆，根据“逆向法思维”：x2-（x-4）2=2008x=253，外层每边有253盆，根据公式：外层共有253×4-4=1008。

【例10】（江苏2009-74）有一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是（）。

A. 296人

B. 308人

C. 324人

D. 348人

［答案］B

［解一］最外层68人，中间一层44人，则最内层为44×2－68＝20人（成等差数列）。因此一共有：68-208＋1＝7（层），总人数为44×7＝308。

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［解二］中间一层共44人，总人数是＝44×层数，是44的倍数，结合选项直接锁定B。【例11】有一队学生，排成一个中空方阵，最外层的人数共48人，最内层人数为24人，