二次型及标准型

§5 二次型及其标准形在解析几何中，为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax（4）的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧+=-=,cos 'sin ',sin 'cos 'θθθθy x y y x x把方程化成标准形.1''22=+ny mx（4）式的左边是一个二次奇次多项式，从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次奇次多项式，使它只含有平方项。

这样一个问题，在许多理论问题或实际问题中常会遇到。

现在我们把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次奇次多项式的化简问题。

定义 8 含有n 个变量nx x x ,,,21的二次奇次函数nn nn nnnnxx a x x a x x a xa x a x a x x x f 1,13113211222222211121222),,,(--+++++++=称为二次型。

取ijjia a +，则ij ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2，于是（5）式可写成.1,2221122222212211121122111jinj i ijnnnnn nn nnnnx x a xa x x a x x a xx a x a x x a xx a x x a x a f ∑==++++++++++++= （6）对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nyc y c y c x y c y c y c x y c y c y c x nnn n nnnnn22112222112212121111,, 使二次型只含平方项，也就是用（7）式代入（5），能使.2222211nny k y k y k f +++=这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）.如果标准型的系数nkk k ,,,21只在1，-1,0三个数中取值，也就是用（7）代入（5）能使则称上式为二次型的规范形。

当为复数时，称为复二次型；当为实数时，称为实二次型，这里，我们仅讨论实二次型，所求的线性变换（7）也限于实系数范围。

由（6）式，利用矩阵，二次型可表示为)(12121111nnx a x a x a x f +++=)()(221122221212nnnn n nnnx a x a x a x x a x a x a x +++++++++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=nnnn n nnnnnx a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x22112222121121211121),,,(,),,,(2121222211121121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nnn n n n n nxxxa aa a a aa aa x x x =A ,,21212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nnnn n n nx xxx a aa a a a a aa 则二次型可记作,Ax x f T= （8）其中为对称阵.例如，二次型yz xy z x f +--=4323用矩阵记号写出来，就是.32102102021),,(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=z y x z y x f 任给一个二次型，就唯一地确定一个对称阵；反之，任给一个对称阵，也可唯一地确定一个二次型。

这样，二次型与对称阵之间存在一一对应的关系。

因此，我们把对称阵A 叫做二次型f的矩阵，也把f叫做对称阵A 的二次型。

对称阵A 的秩就叫做二次型的秩。

记),(ijc C =把可逆变换（7）记作,Cy x =代入（8），有.)()(y AC C y ACy Cy Ax x f TTTT===定义9 设A 和B 是n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ,使AC C B T=,则称矩阵A 与B 合同.显然，若A 为对称阵，则B=C T AC 也为对称阵，且R(B)=R(A).事实上,B T =(C T AT)T =C T A T C=C T AC=B,即B 为对称阵，又因B=C T AC 而C T 也可逆，由矩阵秩的性质即知R(B)=R(A)由此可知，经可逆变换Cy x =后，二次型f的矩阵由A 变为与A 合同的矩阵C T AC 且二次型的秩不变。

要使二次型f经可逆变换Cy x =变成标准形，这就是要使y T C T ACy2222211nnyk y k y k +++=(),,,,212121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nnnyy y k kk y y y也就是要使C T AC 成为对角阵。

因此，我们的主要问题就是：对于对称阵A 寻求可逆矩阵C 使为对角阵。

由上节定理7知，任给对称阵A 总有正交阵P ，使P -1AP =Λ即P TAP =Λ.把此结论应用于二次型，即有定理 8 任给二次型,)(1.∑===nj i jiijjiija a x x a f总有正交变换x=Py,使f化为标准形,2222211nny y y f λλλ+++=其中nλλλ,,,21是f 的矩阵A )(ija =的特征值.推论 任给n 元二次型),()(A A Ax x x f TT==总有可逆变换x=Cz,使)(Cz f 为规范形证 按定理8，有.)(2211nnTy y y y Py f λλ++=Λ=设二次型f的秩为r ，则特征值iλ中恰有r 个不为0，无妨设rλλ,,1不等于0,01===+nr λλ ,令,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nk kk K 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤=ri ri k i11λ则K 可逆，变换Kz y =把)(Py f 化为.)(Kz K z APKz P K z PKz f TTTTTΛ==而,0,,0,,,11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ rrTdiag K K λλλλ记PK C =，即知可逆变换Py x =，把f化为规范形.)(22111rrrz z Cz f λλλλ++=求一个正交变换Py x =，把二次型.222222434232413121x x x x x x x x x x x x f ++--+=化为标准形解 二次型的矩阵为,0111101111011110⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A它的特征多项式为.111111111111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=-λλλλλE A计算特征多项式：把二、三、四列都加在第一列上，有,1111111111111)1(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+-=-λλλλλE A 把二，三，四行分别减去第一行，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------+-=-1000212022101111)1(λλλλλE A1221)1(2------+-=λλλ.)1)(3()32()1(322-+=-++-=λλλλλ于是A 的特征值为.1,34321===-=λλλλ当31-=λ时，解方程,0)3(=+x E A 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=+÷+++311113111131111131111311113111133414321r r r r r E A−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−rrr 0000110001101111422002*********1 ,0000110010101001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11111ξ，单位化即得,1111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=P当1432===λλλ时，解方程（A-E)x=0由,00000000000011111111111111111111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=-rE A可得正交的基础解系,00112⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξ,11003⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξ,11114⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ξ单位化即得,0011212⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P ,1100213⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P ,1111214⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=P 于是正交变换为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛432143212121021212102121021212102121y y y y x x x x且有.334232221y y y y f +++-=如果要把二次型化为规范型，只需令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====,,,,3144332211z y z y z y z y 即得f 的规范型.24232221z z z z f +++-=。