数值分析复习要点
数值分析 知识点总结
数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。
这些数据和信息可以来自各个领域，包括自然科学、社会科学、技术工程等。
例如，物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等，都是数值分析的对象。
2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析，发现其中的规律，提取有用的信息，做出科学的预测和决策。
例如，通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析，可以得出这种药物的疗效和毒性情况，为临床医生的治疗决策提供依据。
3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。
它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。
二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一，它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。
离散化是将连续问题转化为离散问题，这是数值计算的基本工作方式。
数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度，是评价数值方法好坏的重要指标。
误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。
2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。
插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数，使得这个函数通过这些数据点；逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数，使得这个函数与原函数的差尽量小。
3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容，它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。
数值微分是通过函数值计算函数的导数值；数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。
这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。
常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型，因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。
数值分析复习要点
3 v3 / v3 (
2 10
,
1 10
,
1 10
,
2 10
)T
u3 v3 6 1 2 2 10 3 6 1 2 2
得到R( A)的标准正交基为{ 1 , 2 , 3 }. 1 1 1 1 T 1 1 1 1 T 1 ( , , , ) , 2 ( , , , ) , 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 ( 2,1, 1, 2)T 10
(1) A为对称阵, 用H阵可将A作相似变换为三对角阵
习题
1. 已知向量x (2,0,2,1) , 试构造Householde r阵H
T
使Hx ke3 , 其中e3 0,0,1,0 , k R .
T
2.已知向量x (1,2,1,2)T , 试构造Householde r阵H 使Hx (1, 2 ,0,0)T .
估计迭代次数
|| x ( k ) || B ||k x* || || x (1) x ( 0) || 103 k ? 1 || B ||
收敛速度 R ln( ( B))
SOR分量形式 : (以二阶方程组为例)
( k 1) (k ) ( ( x1 x1 (b1 a11 x1 k ) a12 x2k ) ) a11 x ( k 1) x ( k ) (b a x ( k 1) a x ( k ) ) 2 2 21 1 22 2 2 a22
i , j 1
n
1 2 2
|| A || p max
|| x|| 0
|| Ax || p || x || p
p 1,2, , || A || （行范数）
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
数值分析复习提纲(修改完)
第一章 绪论【考点1】绝对误差概念。
近似数的绝对误差（误差）：()a =x a E -，如果()δa E ≤则称δ为a 的绝对误差限（误差限）。
【考点2】相对误差限的概念。
近似数a 的相对误差：()()/x a x =a E r -，实际运算()()/a a x a E r -=，a r /δδ=。
【考点3】有效数字定义。
设*x 的近似值a 可表示为n m a a .a a= 21010⨯±，m 为整数，其中1a 是1到9中的一个整数，n a a 2为0到9中的任意整数，若使()n m a||=|x a |E -*⨯≤-1021成立，则a 称近似*x 有位有效数字。
例：设256010002560,00256702.×=.a .=x -*=，则4-10×21=0.00005a -x ≤*。
因为，2-m=所以2n=，a 有2位有效数字。
若257.01000257.02⨯==-a ，则5102100000500000030-≤×=..=x-a ，因为2-=m ，所以3=n ，a 有3位有效数字。
例：设000018.x=，则00008.a=具有五位有效数字。
41021000010-≤×.=x-a ，因为1=m ，所以5=n ，即a 具有五位有效数字。
例：若3587.64=x *是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限。
410×0.358764=x *，即4=m ，6=n ，0.005=1021x -x 6-4⨯≤*【考点4】四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到末位，有几位就称该近似数有几位有效数字。
【考点5】有效数字与相对误差的关系。
设x 的近似数为n m a a .a ×a= 21010±，)(a 01≠如果a 具有n 位有效数字，则的相对误差限为()111021--≤n r ×a δ，反之，若a 的相对误差限为()()1110121--+≤n r ×a δ，则a 至少具有n 位有效数字。
数值分析主要知识点
第三章
非线性方程的数值解法
二分法的思想以及其中对分次数的计算；
不动点迭代法、迭代格式的收敛性判定方法、
误差估计式；
Newton迭代法及其收敛性; 割线法迭代格式；
迭代加速方法。
第四章
线性方程组的直接解法
Gauss消去法与列主元素Gauss消去法； 三角分解（LU）法； 平方根方法（Cholesky分解）； 向量与矩阵范数； 条件数与病态方程组求解。
第五章
曲线拟合与最小二乘问题
拟合与插值的异同点、矛盾方程组的最小二乘解； 满秩分解、法方程组、可化为线性拟合的非线性拟合；
（极小）最小二乘解的存在唯一性、广义逆与极小
最小二乘解;
GS与MGS正交化与最小二乘解；
Householder正交化与最小二乘解。
第六章代法与Gauss-Seidel迭代法及其收敛性；
SOR迭代法及其收敛的必要条件、最佳松弛因子； 解非线性方程组的Newton迭代法与拟Newton思想。
第七章
最优化方法与共轭梯度法
与方程组等价的变分问题、线性寻查（线搜索）法；
最速下降法； 解线性方程组的共轭梯度法。
写、不得打印、不得复印，纸上签有姓名和学号；
可以携带计算器（考试期间不允许互借）。
《数值分析》复习主要知识点 第一章
绪论 基本概念：误差的分类（截断误差、舍入误差）、 绝对误差和相对误差、有效数字;
数值稳定性; 误差分析的原则：1）尽量避免相近的数相减，2）
尽量避免绝对值小的数做除数，3）防止大数吃小数， 4）先化简再计算，5）选用数值稳定的算法;
浮点数系统特征（四个整数表征）。
第八章
数值微分与数值积分
数值分析的所有知识点总结
数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。
它旨在发展和分析数值计算方法，以解决实际问题中出现的数学模型。
数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度，提高计算精度和可靠性，以及发现新的科学规律和工程技术。
1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤：建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。
其中，建立数学模型是数值计算的基础，它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式；选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点，选择合适的数值计算方法进行求解；编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现；进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算，并分析计算结果的准确性和可靠性。
1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
在科学研究中，数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面；在工程领域，数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面；在经济金融领域，数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。
二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据（如实验数据、观测数据）推导出未知的数据值的一种数值计算方法。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。
2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。
常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。
数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。
常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。
2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。
它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。
2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。
数值分析期末知识点总结
数值分析期末知识点总结一、引言数值分析是一门研究如何使用计算机提高数学模型数值计算精度和效率的学科。
它是计算数学的一个重要分支，涉及到数值计算、数值逼近和误差分析等一系列内容。
在数值分析课程中，我们将学习到数值解微分方程、线性代数问题的求解、插值与拟合、积分等一系列内容。
本文将对数值分析期末知识点进行总结，以便帮助大家复习。
二、常见数值计算方法1. 插值与拟合插值与拟合是数值分析中重要的内容，它们用于在给定数据点集上构造一个函数，以便在其他点上进行求值。
插值是通过一些已知数据点来求得一个函数，使得这个函数能够通过这些点，而拟合则是通过已知数据点来求得一个函数，使得这个函数在这些点附近能够比较好地拟合数据。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等；而拟合方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合等。
2. 数值解微分方程数值解微分方程是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用计算机对微分方程进行数值求解。
微分方程是自然界中描述变化的数学方程，它们在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
数值解微分方程的方法包括欧拉法、中点法、四阶龙格-库塔法等。
3. 数值线性代数数值线性代数是数值分析领域的另一个重要内容，它讨论如何使用数值方法解决线性代数问题。
原始的线性代数问题可能非常大或者非常复杂，因此我们常常需要使用计算机进行数值计算。
数值线性代数的方法包括高斯消元法、LU分解、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel 迭代法等。
4. 数值积分数值积分是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用数值方法对积分进行数值求解。
在实际问题中，有很多积分问题是无法解析求解的，因此我们需要使用数值方法进行近似求解。
数值积分的方法包括复合辛普森法、复合梯形法、龙贝格积分法等。
三、数值分析的误差分析在数值计算过程中，我们会遇到误差的问题。
这些误差可能来自于测量、舍入、截断等各种原因。
因此，误差分析是数值分析中一个非常重要的内容。
数值分析期末复习-福大研究生版
数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章 误差与有效数字一、 有效数字1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。
2、 两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为4、 考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）二、 避免误差危害原则 1、 原则：（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ）（2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或（3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14三、 数值运算的误差估计 1、 公式：（1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f (x *)） eg.P19习题1、2、5（2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4第二章 插值法一、 插值条件1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一二、 拉格朗日插值及其余项1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8））2、 插值多项式表达式（P26（2.9））3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计*(1)11102n r a ε--≤⨯;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =n i y x P ii n ,,2,1,0)(Λ==4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）：（1） 可表示为函数值的线性组合（2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式四、埃尔米特插值（不用背公式） 两种解法：（1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相等各2个）（2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义（1） 分段函数，每段都是三次多项式（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续） （3）考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题第三章 函数逼近与曲线拟合一、 曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定ϕi ，解法方程组，列方程组求系数（注意ϕi 应与系数一一对应）eg.P95习题17nj y x S j j ,,1,0,)(Λ==形如y=ae bx 解题步骤： （1） 线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代第四章 数值积分与数值微分一、 代数精度 1、 概念：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度 2、 计算方法：将f(x)=1,x,x 2, …x n 代入式子求解 eg.P100例1二、 插值型的求积公式求积系数定理：求积公式至少具有n 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。
一、第1章 数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？相对误差限：**r re ε=的一个上界。
有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。
即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1≠0，并且*11102m n x x -+-≤⨯。
其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。
例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*211102ε-=⨯。
2. 一个比较好用的公式：f(x)的误差限：()***()'()()f x f x x εε≈ 例题：二、第2章插值法例题：5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？8. 三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：对于第一种边界条件，可导出两个方程：，那么写成矩阵形式：公式 1对于第二种边界条件，直接得端点方程：，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。
对于第三种边界条件，可得：也可以写成如下矩阵形式：公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。
（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质？4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。
数值分析复习重点归纳
1. 已知如下数据()i i x y ，，1,2,3,4i =，即（1，8），（2，7），（5，10），（10，21），试求一条形如by ax x=+的最小二乘拟合函数。
2. 考虑n 阶线性代数方程组Ax b =的扰动方程组()()A A x x b b +∆+∆=+∆设A 是非奇异矩阵，∙表示某种向量范数或从属于它的矩阵范数，且11A A -∆<，证明：（1）扰动方程有唯一解； （2）有估计()()1111A A A AA ---+∆≤-∆（3）记()1K A A A -=称为矩阵A 的条件数，则还有估计()()1x A b K A x K A AA A b ⎛⎫∆∆∆≤+ ⎪ ⎪-∆⎝⎭3. 方程组Ax b =，其中10.50.520.5,,0.51a A x a R a -⎡⎤⎢⎥=--∈⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（1）试用迭代次数的充要条件求出使jacbi 迭代法收敛的a 的取值范围； （2）选择一种便于计算的迭代收敛的充分条件，求出G-S 迭代法收敛的a 的范围，并求出G-S 迭代公式（分量形式）；4. 设矩阵210131012A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求()()2,,A cond A A ρ. 5. 设求()0f x =的迭代格式，()()()10,1,2,3......n n n n f x x x n f x +=-='收敛到()0f x = 精确解*x ，且*x 是方程()0f x =的单根，试证牛顿迭代格式二阶收敛，即()()()*1*12lim 2n n n n n f x x x x x f x -→∞--''-=-'- 6. 设*x 为()0f x =的一个根，()f x 在*x 的某领域为三次连续可微，且()*0f x ≠，对牛顿法做如下修改：()()()()()()10,1,2,3......n n nnn n n nn f x x x D f x f x f x D n f x +⎧=-⎪⎪⎨+-⎪==⎪⎩，证明该迭代法二阶收敛。
数值分析总复习
样条插值；整体连续光滑，且不需知导数值。
插值问题提法：已知
x y f(x)
x0 y
x1 y
xn y
0
1
n
求一个三次分段函数 S(x) 使
1,
S(
xi
)
y i
x x 2, 在 [ , ] 上是三次多项式
i
i 1
C 3, S(x) 2 ( a,b )
i 0, 1, , n
计算三次样条算法
由边界条件 i , i , , i 0 ,1,, n
插值基函数方法
插值问题解的一般形式 ：
n (x) a0 a1 x an xn
(1 )
实质上是在求多项式的 自然基底 Bn Span{1, x , ,xn}
张成的线性空间中的一 个点 —一个多项式 (1) ,由(2 18)
式知,解存在唯一 ,只要解方程组求出线 性组合系数 {ai}
就可以了 , 但计算量太大 .
定理2.5(余项) .
(2 - 35)
设H (x)是过 x0 , x1 的 Hermite 插值多项式 , C f f(x) 3 , ( 4 )(x)在 (a,b) 内存在, (a,b)是
(a,b)
含点 x0 , x1 的任一区间, 则对任意给定的
x (a,b) 总存在一点ξ (x)使
R(x)
f(x) H(x)
f
( 4 )(ξ
4!
)
(x
x0
)2(x
x1
)2
分段三次 Hermite 插值多项式及余项
∑ y h m H n
H (x) [ (x)
( x)]
i0
ii
ii
定理2.7(余项) :
数值分析复习要点
数值分析复习要点
题型：
一、填空题：30分，前五个每题2分，后五个需计算的每个5分（第一章，
2个；其余各章一个）；
二、计算题：40分，共五道题选作四道，每题10分（章节不清楚）；
三、证明题：30分，共四道选作三道，每题10分（第二、三、四、八章）
老师说他给的资料里都有？？？；
说明:
每一章都有题，二三章大题较多。
第一章，无大题，可能是两个填空
第二章，有大题，代数方程求根不考
第三章，迭代法、LU分解法至少会一种、判断收敛性的充分条件和充要条件、算子范数、迭代课后题
第四章，三次样条不考大题
第五章，有大题，正交多项式，最多三阶？？
第六章，代数精度？记住梯形公式、辛普森公式、复化公式
第七章，会三种求特征值的方法（填空），特征值特征向量无大题，QR分解不考
第八章，证明题：收敛性、求阶，代数精度？（不清楚指的是哪一章的），平面旋转法要考
注：两道与导数有关的题？，均差不考，看一下老师讲过的习题4的4、5题证明题，求步长待定，老师说其他两个老师建议考，但是到今天还没有改，应该不会改了。
题是张老师出的，经过了最优化的考试，他出题有一定的难度的。
大家好好复习。
由于本人还没有开始复习，只记了关键词，好多不知道什么意思，仅供参考。
数值分析知识点
第一章绪论（1-4）一、误差来源及分类二、误差的基本概念1.绝对误差及绝对误差限2.相对误差及相对误差限3.有效数字三、数值计算的误差估计1.函数值的误差估计2.四则运算的误差估计四、数值计算的误差分析原则第二章插值（1.2.4-8）一、插值问题的提法（定义）、插值条件、插值多项式的存在唯一性二、拉格朗日插值1.拉格朗日插值基函数的定义、性质2.用拉格朗日基函数求拉格朗日多项式3.拉格朗日插值余项（误差估计）三、牛顿插值1.插商的定义、性质2.插商表的计算3.学会用插商求牛顿插值多项式四、等距节点的牛顿插值1.差分定义、性质及计算（向前、向后和中心）2.学会用差分求等距节点下的牛顿插值公式五、学会求低次的hermite插值多项式六、分段插值1.分段线性插值2.分段三次hermite插值3.样条插值第三章函数逼近与计算（1-6）一、函数逼近与计算的提法（定义）、常用两种度量标准（一范数、二范数\平方逼近）二、基本概念连续函数空间、最佳一次逼近、最佳平方逼近、内积、内积空间、偏差与最小偏差、偏差点、交错点值、平方误差三、学会用chebyshev定理求一次最佳一致逼近多项式，并估计误差（最大偏差）四、学会在给定子空间上通过解方程组求最佳平方逼近，并估计误差（平方误差）五、正交多项式（两种）定义、性质，并学会用chebyshev多项式性质求特殊函数的（降阶）最佳一次逼近多项式六、函数按正交多项式展开求最佳平方逼近多项式，并估计误差七、一般最小二乘法（多项式拟合）求线性拟合问题第四章数值分析（1-4）一、数值求积的基本思想及其机械求积公式二、代数精度的定义并学会判别求积公式的代数精度三、插值型求积公式、定义及其性质四、newton-cotes公式定义、余项及其代数精度五、学会用几种低阶newton-cotes公式及其逼近公式方程求积分近似值六、学会用龙贝格算法求积分近似值七、高斯公式定义及其代数精度，并学会用guass-chebyshev公式求积分近似值第五章常微分方程数值解法一、掌握显式的欧拉法，隐式欧拉法，梯形方法，中点欧拉法和改进欧拉法，包括这些方法，公式的推导，解题和局部截断误差（是几阶的方程）二、掌握runge-kutta方法的基本思想，以及二阶、三阶、四阶、五阶R-K方法的格式和局部截断误差第六章方程求跟（1-5）一、学会用二分法求解问题二、一般迭代法的基本思想三、局部收敛性定义、定理并学会用该定理判别迭代法的局部收敛性四、牛顿迭代法公式的推导，局部收敛性与收敛速度，牛顿法的应用与解题五、牛顿法的变形第七章解线性方程组的直接截法（1-6）一、学会用顺序高斯消去法，列主元素或完全主元素法，求解线性方程二、学会用矩阵三角分解法，平方根法（改进平方根法），追赶法求解问题三、掌握向量和矩阵的定义，性质，计算，应用四、矩阵的谱半径，条件数，定义，计算，应用五、线性方程组的误差分析第八章线性方程组的迭代法（1-4）一、一般方程组的一般迭代法思想，迭代格式，收敛性，一般误差分析二、学会用雅各比迭代法解题，学会判别其收敛性三、学会guass-seidel迭代法解题，学会判别其收敛性四、学会SOR迭代法解题，学会判别其收敛性。
数值分析期末复习要点总结
数值分析期末复习要点总结数值分析是一门研究用数值方法来解决数学问题和科学工程问题的学科。
它包括数值计算、数值逼近、数值求解以及数值模拟等内容。
本文将从数值计算的基础知识、数值逼近方法、数值求解方法以及数值模拟方法等方面进行复习要点总结。
一、数值计算的基础知识1. 计算误差：绝对误差、相对误差、有效数字、舍入误差等等。
2. 机器精度：机器数、舍入误差、截断误差等等。
3. 数值稳定性：条件数、病态问题等等。
4. 误差分析：前向误差分析、后向误差分析等等。
二、数值逼近方法1. 插值方法：拉格朗日插值、Newton插值、Hermite插值等等。
2. 曲线拟合：最小二乘法、Chebyshev逼近等等。
3. 数值微分：前向差分、后向差分、中心差分等等。
4. 数值积分：梯形法则、Simpson法则等等。
三、数值求解方法1. 非线性方程求解：二分法、牛顿迭代法、弦截法等等。
2. 线性方程组求解：直接法（Gauss消元法、LU分解法）和迭代法（Jacobi法、Gauss-Seidel法）。
3. 特征值和特征向量：幂法、反幂法、QR分解法等等。
4. 非线性最优化问题：牛顿法、拟牛顿法、梯度下降法等等。
四、数值模拟方法1. 常微分方程数值解法：Euler法、改进Euler法、Runge-Kutta法等等。
2. 偏微分方程数值解法：差分法、有限元法、有限差分法等等。
3. 数值优化方法：线性规划、非线性规划、整数规划等等。
五、数值计算软件1. MATLAB基础：向量、矩阵、符号计算等等。
2. MATLAB数值计算工具箱：插值与拟合工具箱、符号计算工具箱等等。
3. 其他数值计算软件：Python、R、Octave等等。
总结数值分析是一门重要的数学学科，它为解决实际问题提供了有效的数值方法。
在数值计算的基础知识中，我们需要了解计算误差、机器精度和数值稳定性等概念，同时也需要掌握误差分析的方法。
数值逼近方法包括插值、曲线拟合、数值微分和数值积分等内容，其中插值和拟合是常见的逼近方法。
数值分析期末复习知识点
第一章（有效数字位数）1、经四舍五入取近似值，其绝对误差限不超过末尾数字的半个单位。
2、设X*为准确值，X为近似值，称e=X*-X为近似值X的绝对误差，简称误差（显然e可正可负，准确值X*未知，因此e的准确值无法求出）3、|e|=|X-X*|≤ŋ，则称ŋ为近似值X的绝对误差限，简称误差限。
4、e r=e/X*称为相对误差，由于准确值X*总是未知的，所以也把e r*=e/X称为近似值X的相对误差5、|e r*|=|e/X|≤ŋ*，则称ŋ*为近似值X的相对误差限6、设X是X*的近似值，如果|X*-X|≤1/2×10-k,则称用X近似值表示X*时准确到小数点后第k位，并称从小数点后第k位起，直到最左边的非零数字之间的所有数字为有效数字，称有效数字的位数为有效数位。
7、设X是X*的近似值，X=±10m×0.a1a2…,其中a i（i=2，3…）是0到9之间的自然数，a1≠0，m为整数，如果|X*-X|≤1/2×10m-n，那么称近似值有n位有效数字。
8、四舍五入所得到的数均为有效数字，但并不是说非四舍五入所得到的数不能为有效数字。
第二章、非线性方程求根（不动点迭代、牛顿法、弦截法、快速弦截法、局部收敛、全局收敛、收敛阶）1、不动点迭代法（迭代法）（单根区间求解方法）：将非线性方程f（x）=0化为一个同解方程x=ø（x），若要求f（x*）=0，则x*=ø（x*），称x*为f（x）的零点，为ø（x）的一个不动点。
2、定理：设迭代函数ø（x）在【a，b】上连续，且满足（1）当x∈【a，b】时，a≤ø（x）≤b，（2）存在一正数L，满足0<L<1,且∀x∈【a，b】,有|ø/（x）|≤L<1。
则1、方程x=ø（x）在【a，b】内有唯一解x*。
2、对于任意初值x0∈【a，b】,迭代法x k+1=ø（x k）均收敛x*3、设ø（x）有不动点x*，如果存在x*的一个邻域 S:|X*-X|< ŋ,对任意初值x0∈S,迭代过程x k+1=ø（x k）均收敛，则称迭代过程在根x*邻近局部收敛。
数值分析知识点大全总结
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。
数值分析复习总结
数值分析复习总结数值分析课本重点知识点第一章P4定义一P5定义二P6定理1P7例题3P10条件数（1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式第二章P26定理2（以及余项推导过程）P36两个典型的埃尔米特插值（1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念第三章P63例题3（1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式第四章P106复合梯形公式P107复合辛普森求积公式P108例题3（1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度第五章P162定义3向量的范数P165定理17P169定义8（1）左中右矩形公式（2）LU分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数第六章P192定理9第1条P192例题8第七章P215不动点和不动点迭代法P218定理3P228弦截法P229定理6第九章P280欧拉法与后退欧拉法P283改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数逼近所以无解19。
观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(m)10305080110求运动方程。
解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ=22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,s s =====则法方程组为614.728014.753.631078a b = ??? ?从而解得7.85504822.25376a b =-??=? 故物体运动方程为22.253767.855048S t =-20。
已知实验数据如下：i x 19 25 31 38 44 j y19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如2s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。
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数值分析复习要点：
第一章：
绝对误差，相对误差，有效数字的概念与相互转化；
误差的来源；
误差的传播；
函数计算的误差估计。
第二章：
数据建模与插值法；
Lagrange插值及其余项；
Newton插值及其余项；
两点三次规范hermite插值公式；
不规则hermite插值问题的求解，余项估计与证明；
分段线性插值。
第三章：
机械求积公式；
代数精度及其判定方法；
插值型求积公式及其特征；
Newton –cotes求积公式；
复化梯形公式及其余项；
变步长梯形求积算法与Romberg算法。
第四章：
欧拉公式，改进的欧拉公式；
单步法的局部截断误差与精度的计算或证明；
数值解的计算；
公式的稳定性及其稳定性条件分析。
第五章：
方程求根的迭代法：收敛性条件，误差的先验估计与后验估计公式；Newton迭代法及其应用。
建议复习提纲
第一章误差的来源、绝对（相对）误差、绝对（相对）误差限、有效数字、算法运算的误差限
能熟练根据有效数字位数计算误差限，或反之
理解数值方法的通常用法
第二章拉格朗日插值、差商与牛顿插值、赫密特插值，
对上述几种插值的原理和余项公式要熟练掌握，特别是赫密特插值部分，对课堂上讲过的例子要理解并能灵活运用，会计算余项并给出证明
插值的可能应用（比如预测等）
第三章梯形求积、辛普森求积及它们的复化形式、Romberg求积
给定某一精度要求，能熟练运用上述方式进行求解
给定某一机械求积公式，能熟练判断是否是插值型公式，以及分析代数精度
第四章欧拉法、改进欧拉法、简单的龙格-库塔方法
能熟练分析上述方法（或变种）的局部截断误差及精度分析（泰勒、多元泰勒）
能熟练用欧拉法、改进欧拉法求解初值问题、分析稳定性和收敛性等
第五章根的隔离、迭代法、牛顿迭代法
能熟练运用迭代法进行方程求满足一定精度的根
几点建议：
1、本次考试难度要高于往年，一定要认真复习，否则有可能挂科！！
2、复习时要吃透概念和原理，多做题，对于建议复习提纲中提到的证明要反复练习！
3、考试时可能会有少数试题难度要高于作业题，请同学们解题时先易后难
4、对任何试题，不管会多少，千万不要留空白。