第六编 数 列

第六编 数 列§6.1 数列的概念及简单表示法基础自测1.下列对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N +（或它的有限子集{1，2，3，…，n }）上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的序号是 （ ）A.①②③B.②③④C.①③D. ①②③④答案 C2.设a n =-n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ）A.10B.11C.10或11D.12答案 C3.已知数列{a n }的通项公式是a n =132+n n，那么这个数列是 （ ）A .递增数列B .递减数列C .摆动数列D .常数列答案 A4.已知数列{a n }的通项公式是a n =⎩⎨⎧-+，n n ，n n )(22)(13为偶数为奇数则a 2·a 3等于（ ）A.70B. 28C.20D.8答案 C5.（2008· 北京理，6）已知数列{a n }对任意的p ,q ∈N +满足a p +q =a p +a q 且a 2=-6,那么a 10等于（ ）A.-165B.-33C.-30D.-21答案 C例1 写出下面各数列的一个通项公式： （1）3，5，7，9，…； （2）21，43，87，1615，3231，…；（3）-1，23，-31，43，-51，63，…； （4）32，-1，710，-917，1126，-1337，…；（5）3，33，333，3 333，…. 解 （1）各项减去1后为正偶数， 所以a n =2n +1.（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以a n =nn 212-.（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n ；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1， 所以a n =（-1）n ·nn )1(2-+. 也可写为a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-)(3)(1为正偶数为正奇数n nn n.（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n +1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是32+1，42+1，52+1，62+1，按照这样的规律第1、2两项可改写为12112++，-122122+⨯+，所以a n =(-1)n +1·1212++n n . （5）将数列各项改写为39，399，3999，39999，…，分母都是3，而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以a n =31(10n -1). 例2 已知数列的通项公式为a n =122+n n .（1）0.98是不是它的项？ （2）判断此数列的增减性.解 （1）假设0.98是它的项，则存在正整数n ,满足122+n n =0.98，∴n 2=0.98n 2+0.98.∵n =7时成立，∴0.98是它的项. （2）a n +1-a n =11)1()1(2222+-+++n n n n=)1](1)1[(1222++++n n n ＞0.∴此数列为递增数列.例3 （12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足a n +2S n S n -1=0 (n ≥2),a 1=21,求a n . 解 ∵当n ≥2时，a n =S n -S n -1, ∴S n -S n -1+2S n S n -1=0， 即n S 1-11-n S =2， 4分∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是公差为2的等差数列. 6分又S 1=a 1=21，∴11S =2， ∴nS 1=2+（n -1）·2=2n ， ∴S n =n21. 8分 ∴当n ≥2时，a n =-2S n S n -1=-2·n 21·)1(21-n =-)1(21-n n ，∴a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n . 12分1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1）32，154，356，638，9910，…（2）21，2，29，8，225，…（3）5，55，555，5 555，55 555，… （4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，… （5）1，3，7，15，31，…解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式 a n =)12)(12(2+-n n n.（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：21，24，29，216，225，…，可得通项公式a n =22n .（3）联想个n 999=10n -1,则a n = 个n 555=95 个n )999(=95(10n -1),即a n =95(10n -1). （4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…， 则a n =5sin2πn . （5）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，… ∴a n =2n -1故所求数列的通项公式为a n =2n -1.2.已知函数f （x ）=2x -2-x ，数列{a n }满足f （log 2a n ）=-2n . （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求证：数列{a n }是递减数列. （1）解 ∵f （x ）=2x -2-x ，∴f （log 2a n ）=2n a 2log -2n a 2log -=-2n ， 即a n -na 1=-2n . ∴a 2n +2n ·a n -1=0.∴a n =24422+±-n n ，又a n ＞0，∴a n =12+n -n .（2）证明 ∵a n ＞0，且a n =12+n -n ,∴n n a a 1+=nn n n -++-++1)1(1)1(22=)1(1)1(122++++++n n n n ＜1.∴a n +1＜a n .即{a n }为递减数列.3.已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2n S =a n +1，求a n . 解 ∵2n S =a n +1, ∴S n =41(a 2n +2a n +1), ∴S n -1=41(a 21-n +2a n -1+1), ∴当n ≥2时，a n =S n -S n -1 =41［（a 2n -a 21-n ）+2（a n -a n -1）］， 整理可得：（a n +a n -1）（a n -a n -1-2）=0， ∵a n ＞0，∴a n -a n -1=2， 当n =1时，a 1=1,∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列. ∴a n =2n -1 (n ∈N +).一、选择题1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是（ ）A.14B.12C.13D.15答案 A2.数列{a n }中，a 1=1,对于所有的n ≥2，n ∈N +都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2，则a 3+a 5等于（ ）A.1661B.925 C.1625 D.1531 答案 A 3.数列-1,58，-715，924，…的一个通项公式a n 是（ ）A. 12)1(2+-n n nB.1)2()1(++-n n n nC.)1(21)2()1(2+-+-n n nD. 12)2()1(++-n n n n答案 D4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖块数为（用含n 的代数式表示）（ ） A.4n B.4n +1 C.4n -3 D.4n +8答案 D5.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于（ ）A.9B.8C.7D.6答案 B6.若数列{a n }的通项公式a n =2)1(1+n ，记f （n ）=2(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n )，试通过计算f (1),f (2),f (3)的值，推测出f (n )为（ ） A.nn 1+ B.13++n n C.12++n n D.23++n n 答案 C 二、填空题7.（2008·沈阳模拟）数列{a n }满足a n +1=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤,121,12,2102,nn n n a a a a a 1=53，则数列的第2 008项为 .答案548.已知数列{a n }中,a 1=1,(n +1)a n =na n +1,则数列{a n }的一个通项公式a n = . 答案 n 三、解答题9.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1+S n )=n +1,求数列的通项公式. 解 S n 满足log 2(1+S n )=n +1,∴1+S n =2n +1,∴S n =2n +1-1.∴a 1=3,a n =S n -S n -1=(2n +1-1)-(2n -1)=2n (n ≥2), ∴{a n }的通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=).2(2),1(3n n n10.已知数列{a n }中，a 1=1,前n 项和为S n ，对任意的n ≥2,3S n -4,a n ,2-231-n S 总成等差数列. （1）求a 2、a 3、a 4的值； （2）求通项公式a n .解 （1）当n ≥2时，3S n -4,a n ,2-231-n S 成等差数列， ∴2a n =3S n -4+2-23S n -1，∴a n =3S n -4（n ≥2）. 由a 1=1,得a 2=3(1+a 2)-4, ∴a 2=21,a 3=3⎪⎭⎫⎝⎛++3211a -4, ∴a 3=-41,a 4=3⎪⎭⎫⎝⎛+-+441211a -4,∴a 4=81. ∴a 2=21，a 3=-41，a 4=81. （2）∵当n ≥2时，a n =3S n -4,∴3S n =a n +4, ∴⎩⎨⎧+=+=++434311n n n n a S a S ,可得:3a n +1=a n +1-a n ,∴nn a a 1+=-21，∴a 2，a 3，…，a n 成等比数列， ∴a n =a 2·q n -2=21·221-⎪⎭⎫⎝⎛-n =-121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ，∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-)2(21)1(11n n n .11.在数列{a n }中，a 1=21，a n =1-11-n a (n ≥2,n ∈N +)，数列{a n }的前n 项和为S n .（1）求证：a n +3=a n ;(2）求a 2 008.（1）证明 a n +3=1-21+n a =1-1111+-n a =1-na 11111--=nn a a 11111---=1-111--n n a a =1-111---n n n a a a =1-111--n a =1-(1-a n )=a n .∴a n +3=a n .（2）解 由（1）知数列{a n }的周期T =3， a 1=21，a 2=-1，a 3=2.又∵a 2 008=a 3×669+1=a 1=21.∴a 2 008=21. 12.已知二次函数f (x )=x 2-ax +a (x ∈R )同时满足：①不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0﹤x 1﹤x 2,使得不等式f (x 1)＞f (x 2)成立.设数列{a n }的前n 项和S n =f （n ）. （1）求函数f (x )的表达式； （2）求数列{a n }的通项公式.解（1）∵f (x )≤0的解集有且只有一个元素， ∴Δ=a 2-4a =0⇒a =0或a =4，当a =4时，函数f (x )=x 2-4x +4在（0，2）上递减， 故存在0＜x 1＜x 2,使得不等式f (x 1)＞f (x 2)成立， 当a =0时，函数f (x )=x 2在（0,+∞）上递增， 故不存在0﹤x 1﹤x 2,使得不等式f (x 1)﹥f (x 2)成立， 综上，得a =4,f (x )=x 2-4x +4.（2）由（1）可知S n =n 2-4n +4,当n =1时，a 1=S 1=1,当n ≥2时，a n =S n -S n -1=(n 2-4n +4)-［(n -1)2-4(n -1)+4］=2n -5,∴a n =⎩⎨⎧≥-=)2(52)1(1n n n .§6.2 等差数列及其前n 项和基础自测1.（2008·广东理，2）记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=21，S 4=20，则S 6等于( )A .16B .24C .36D .48答案 D2.（2009·安徽怀远三中月考）已知等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 3+a 9=6,则S 11等于 （ ）A .12B .33C .66D .11答案 B3.（2008·全国Ⅰ理，5）已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4，a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10等于（ ） A .138 B .135 C .95 D .23 答案 C4.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3457++=n n B A n n ,则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是（ ） A .2 B .3C .4D .5答案 D5.数列a ,b ,m ,n 和x ,n ,y ,m 均成等差数列，则2b +y -2a +x 的值为（ ）A .正实数B .负实数C .零D .不确定答案 C例1 已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-14-n a (n ≥2),令b n =21-n a .求证：数列{b n }是等差数列. 证明 ∵a n +1-2=2-n a 4=nn a a )2(2- ∴211-+n a =)2(2-n n a a =)2(222-+-n n a a =21+21-n a∴211-+n a -21-n a =21， ∴b n +1-b n =21. ∴数列{b n }是等差数列.例2 在等差数列{a n }中， （1）已知a 15=33,a 45=153,求a 61; (2)已知a 6=10,S 5=5，求a 8和S 8；（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d ＞0,求a 1. 解 （1）方法一 设首项为a 1,公差为d ,依条件得 ⎩⎨⎧+=+=da d a 44153143311,解方程组得⎩⎨⎧=-=.4231d ，a ∴a 61=-23+(61-1)×4=217. 方法二 由d =m n a a m n --,得d =15451545--a a =3033153-=4,由a n =a m +(n -m )d ,得a 61=a 45+16d =153+16×4=217. （2）∵a 6=10,S 5=5,∴⎩⎨⎧=+=+510510511d a d a .解方程组得a 1=-5,d =3, ∴a 8=a 6+2d =10+2×3=16,S 8=8×2)(81a a +=44. (3)设数列的前三项分别为a -d ,a ,a +d ,依题意有：⎩⎨⎧=+⋅⋅-=+++-48)()(12)()(d a a d a d a a d a , ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=48)(422d a a a ,∴⎩⎨⎧±==24d a . ∵d ＞0,∴d =2,a -d =2.∴首项为2.∴a 1=2.例3 （12分）在等差数列{a n }中，已知a 1=20,前n 项和为S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最 大值.解 方法一 ∵a 1=20，S 10=S 15， ∴10×20+2910⨯d =15×20+21415⨯d ， ∴d =-35. 4分∴a n =20+（n -1）×(-35)=-35n +365. 8分∴a 13=0. 即当n ≤12时，a n ＞0,n ≥14时，a n ＜0.10分 ∴当n =12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12=S 13=12×20+21112⨯⨯(-35)=130. 12分 方法二 同方法一求得d =-35. 4分 ∴S n =20n +2)1(-n n ·(-35) =-65n 2+6125n=-652225⎪⎭⎫ ⎝⎛-n +241253. 8分∵n ∈N +,∴当n =12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12=S 13=130. 12分 方法三 同方法一得d =-35. 4分 又由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0. 8分 ∴5a 13=0,即a 13=0. 10分 ∴当n =12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12=S 13=130. 12分1.设两个数列{a n },{b n }满足b n =nna a a a n++++++++ 32132321，若{b n }为等差数列，求证：{a n }也为等差数列.证明 由题意有 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =2)1(+n n b n ， ① 从而有a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1=2)1(-n n b n -1(n ≥2), ②由①-②，得na n =2)1(+n n b n -2)1(-n n b n -1,整理得a n =21-++n n b b nd ,其中d 为{b n }的公差(n ≥2). 从而a n +1-a n =2)1(1n n b b d n ++++-21-++n n b b nd=22d d +=d 23(n ≥2). 又a 1=b 1，a 2=2212b b d ++∴a 2-a 1=2212b b d ++-b 1=2212b b d -+=23d.综上，a n +1-a n =23d （n ∈N +）. 所以{a n }是等差数列.2.设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和,求T n .解 设等差数列{a n }的公差为d , 则S n =na 1+21n (n -1)d , ∵S 7=7,S 15=75, ∴⎩⎨⎧=+=+7510515721711d a d a , 即⎩⎨⎧=+=+571311d a d a ,解得⎩⎨⎧=-=121d a ,∴n S n =a 1+21(n -1)d =-2+21(n -1), ∵11++n S n -n S n =21,∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列,其首项为-2,公差为21,∴T n =41n 2-49n . 3.等差数列{a n }中，a 1＜0,S 9=S 12,该数列前多少项的和最小？ 解 由条件S 9=S 12可得 9a 1+289⨯d =12a 1+21112⨯d ，即d =-101a 1. 由a 1＜0知d ＞0,即数列{a n }为递增数列. 方法一 由⎩⎨⎧≥+=≤-+=+001111nd a a d )n (a a n n ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥--010********n n ）（,解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小.方法二 ∵S 9=S 12，∴a 10+a 11+a 12=3a 11=0，∴a 11=0. 又∵a 1＜0,∴公差d ＞0，从而前10项或前11项和最小. 方法三 ∵S 9=S 12，∴S n 的图像所在抛物线的对称轴为x =2129+=10.5, 又n ∈N +，a 1＜0,∴{a n }的前10项或前11项和最小. 方法四 由S n =na 1+2)1(-n n d =2d 2n +⎪⎭⎫ ⎝⎛-21d a n ， 结合d =-101a 1得 S n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1201a ·n 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛12021a ·n=-201a 2221⎪⎭⎫ ⎝⎛-n +80441a 1 （a 1＜0），由二次函数的性质可知n =221=10.5时，S n 最小.又n ∈N +，故n =10或11时S n 取得最小值.一、选择题1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1,a 3=3,则S 4等于（ ）A .12B .10C .8D .6答案 C2.在等差数列{a n }中，已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6等于（ ） A .40B .42C .43D .45答案 B3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 （ ）A .5B .4C .3D .2答案 C4.已知等差数列{a n }的前三项分别为a -1,2a +1,a +7,则这个数列的通项公式为（ ）A .a n =4n -3B . a n =2n -1C .a n =4n -2D .a n =2n -3答案 A5.（2008·大连模拟）在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则a 9-31a 11的值为 （ ）A .14B .15C .16D .17答案 C6.等差数列{a n }的前n 项和满足S 20=S 40，下列结论中正确的是（ ）A .S 30是S n 中的最大值B .S 30是S n 中的最小值C .S 30=0D .S 60=0答案 D 二、填空题7.（2008·重庆理，14）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 12=-8,S 9=-9,则S 16= . 答案 -728.已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1,且a 1+b 1=5，a 1、b 1∈N +.设c n =a n b (n ∈N +),则数列{c n }的前10项和等于 . 答案 85 三、解答题9.已知数列{a n }中，a 1=53，a n =2-11-n a (n ≥2,n ∈N +),数列{b n }满足b n =11-n a (n ∈N +).(1)求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由. （1）证明 因为a n =2-11-n a (n ≥2,n ∈N +),b n =11-n a . 所以当n ≥2时，b n -b n -1=11-n a -111--n a=11211-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--n a -111--n a =111---n n a a -111--n a =1.又b 1=111-a =-25.所以，数列{b n }是以-25为首项，以1为公差的等差数列. （2）解 由（1）知，b n =n -27,则a n =1+nb 1=1+722-n .设函数f (x )=1+722-x ,易知f (x )在区间(-∞,27)和(27,+∞)内为减函数. 所以，当n =3时，a n 取得最小值-1； 当n =4时，a n 取得最大值3.10.等差数列{a n }的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式. 解 设等差数列{a n }的项数为2m +1,公差为d ,则数列的中间项为a m +1,奇数项有m +1项，偶数项有m 项. 依题意，有S 奇=(m +1)a m +1=216 ① S 偶=ma m +1=192 ② ①÷②,得m m 1+=192216，解得,m =8, ∴数列共有2m +1=17项，把m =8代入②，得a 9=24, 又∵a 1+a 17=2a 9， ∴a 17=2a 9-a 1=47，且d =917917--a a =823.a n =1+(n -1)×823=81523-n (n ∈N +,n ≤17). 11.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知31S 3，41S 4的等比中项为51S 5; 31S 3，41S 4的等差中项为1， 求数列{a n }的通项公式.解 方法一 设等差数列{a n }的首项a 1=a ，公差为d ， 则S n =na +2)1(-n n d ，依题意，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+,21234441223331,24552512344412233312d a d a d a d a d a 整理得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,2252,0532d a d ad∴a =1，d =0或a =4，d =-512. ∴a n =1或a n =n 512532-， 经检验，a n =1和a n =n 512532-均合题意. ∴所求等差数列的通项公式为a n =1或a n =n 512532-. 方法二 因S n 是等差数列的前n 项和，易知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列.依题意得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⨯=+.S S ,S S S ，SS S 2435434253432543453解得⎪⎩⎪⎨⎧===,5,4,3543S S S 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===.4,58,524543S S S 由此得a 4=S 4-S 3=1，a 5=S 5-S 4=1， 或a 4=-516，a 5=-528， ∴d =0或d =-512. ∴a n =a 4+（n -4）×0=1 或a n =a 4+（n -4）×(-512)=532-512n .故所求等差数列的通项公式a n =1或a n =532-512n .12.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4=117,a 2+a 5=22. （1）求通项a n ; (2)若数列{b n }满足b n =cn S n+,是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由. 解 （1）由等差数列的性质得，a 2+a 5=a 3+a 4=22,所以a 3、a 4是关于x 的方程x 2-22x +117=0的解，又公差大于零， 所以a 3=9,a 4=13.易知a 1=1,d =4,故通项为a n =1+(n -1)×4=4n -3. (2)由(1)知S n =2)341(-+n n =2n 2-n ,所以b n =c n S n +=cn nn +-22.方法一 所以b 1=c +11,b 2=c +26,b 3=c+315(c ≠0).令2b 2=b 1+b 3,解得c =-21. 当c =-21时，b n =2122--n n n =2n ,当n ≥2时，b n -b n -1=2. 故当c =-21时，数列{b n }为等差数列. 方法二 当n ≥2时，b n -b n -1=cn n n c n n n +-----+-1)1()1(2222 =)1()12(3)24(222-+-+--+c c n c n c n c n ,欲使{b n }为等差数列，只需4c -2=2(2c -1)且-3c =2c (c -1) (c ≠0) 解得c =-21. §6.3 等比数列及其前n 项和基础自测1.（2008·海南、宁夏理，4）设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则24a S 等于（ ） A .2B .4C .215 D .217 答案 C2.等比数列{a n }中,a 3=7,前3项之和S 3=21，则公比q 的值为（ ）A .1B .-21 C .1或-21D .-1或21 答案 C3.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么（ ）A .b =3，ac =9B .b =-3，ac =9C .b =3，ac =-9 `D .b =-3，ac =-9答案 B4.在等比数列{a n }中，已知a 1a 3a 11=8，则a 2a 8等于（ ）A .16B .6C .12D .4答案 D5.（2008·浙江理，6）已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=41,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1等于 （ ）A .16（1-4-n ） B . 16（1-2-n ） C .332（1-4-n ）D .332（1-2-n ） 答案 C例1 已知{a n }为等比数列，a 3=2，a 2+a 4=320，求{a n }的通项公式. 解 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0， a =q a 3=q2，a 4=a 3q =2q ， ∴q2+2q =320.解得q 1=31，q 2=3. ①当q =31时，a 1=18， ∴a n =18×(31)n -1=1318 n =2×33-n .②当q =3时，a 1=92， ∴a n =92×3n -1=2×3n -3. ∴a n =2×33-n或a n =2×3n -3.综上所述，a n =2×33-n或a n =2×3n -3.方法二 由a 3=2,得a 2a 4=4，又a 2+a 4=320， 则a 2，a 4为方程x 2-320x +4=0的两根， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==63242a a 或⎪⎩⎪⎨⎧==32642a a .①当a 2=32时,q =3,a n =a 3·q n -3=2×3n -3. ②当a 2=6时，q =31,a n =2×33-n ∴a n =2×3n -3或a n =2×33-n .例2（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意n ∈N +有a n +S n =n . （1）设b n =a n -1,求证：数列{b n }是等比数列； （2）设c 1=a 1且c n =a n -a n -1 (n ≥2)，求{c n }的通项公式. （1）证明 由a 1+S 1=1及a 1=S 1得a 1=21. 又由a n +S n =n 及a n +1+S n +1=n +1得 a n +1-a n +a n +1=1,∴2a n +1=a n +1. ∴2(a n +1-1)=a n -1,即2b n +1=b n . ∴数列{b n }是以b 1=a 1-1=-21为首项， 21为公比的等比数列. 6分 （2）解 方法一 由（1）知2a n +1=a n +1.∴2a n =a n -1+1 (n ≥2), ∴2a n +1-2a n =a n -a n -1, ∴2c n +1=c n (n ≥2).8分又c 1=a 1=21,a 2+a 1+a 2=2,∴a 2=43. ∴c 2=43-21=41,即c 2=21c 1. ∴数列{c n }是首项为21，公比为21的等比数列. 10分∴c n =21·(21)n -1=(21)n . 12分 方法二 由（1）b n =(-21)·(21)n -1=-(21)n . ∴a n =-(21)n+1. ∴c n =-(21)n+1-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--1211n=121-⎪⎭⎫⎝⎛n -n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21=121-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211 =n⎪⎭⎫⎝⎛21（n ≥2）. 10分 又c 1=a 1=21也适合上式，∴c n =n⎪⎭⎫⎝⎛21. 12分例3 在等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=8且11a +21a +31a +41a +51a =2,求a 3. 解 方法一 设公比为q ,显然q ≠1,∵{a n }是等比数列，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1也是等比数列，公比为q 1.由已知条件得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=--211)11(181)1(5151q q a q q a ,解得a 21q 4=4,∴a 23=（a 1q 2）2=4，∴a 3=±2.方法二 由已知得：=++++5432111111a a a a a 5151a a a a ++4242a a a a ++233a a =2354321a a a a a a ++++=238a =2.∴a 23=4.∴a 3=±2.例4 某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩（全部成活）（1）问需要几年，可将此山全部绿化完？（2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S .求S 约为多少万立方米？（精确到0.1）解 （1）每年植树的亩数构成一个以a 1=100，d =50的等差数列，其和即为荒山的总亩数.设需要n 年可将此山全部绿化，则 S n =a 1n +2n(n -1)d =100n +2)1(-n n ×50=3 250. 解此方程，得n =10（年）.（2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a 1（1+0.1）10，第二年种植的树在第10年后的木材量为2a 2（1+0.1）9， ……，第10年种植的树在年底的木材量为2a 10(1+0.1), 第10年后的木材量依次构成数列{b n }，则其和为 T =b 1+b 2+…+b 10=200×1.110+300×1.19+…+1 100×1.1 ≈1.0（万立方米）.答 需要10年可将此山全部绿化，10年后木材总量约为1.0万立方米.1.已知等比数列{a n }中，a 3=23,S 3=421,求a 1. 解 当q =1时，a 1=a 2=a 3=23,满足S 3=421, 当q ≠1时，依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=21411233121q )q (a q a , 解得q 2=41,a 1=6.综上可得：a 1=23或a 1=6. 2.设数列{a n }是等差数列，a 5=6.（1）当a 3=3时，请在数列{a n }中找一项a m ,使得a 3,a 5,a m 成等比数列；（2）当a 3=2时，若自然数n 1,n 2,…,n t ,… （t ∈N +）满足5＜n 1＜n 2＜…＜n t ＜…使得a 3,a 5,1n a ,2n a ,…,t n a ,…是等比数列，求数列{n t }的通项公式.解 （1）设{a n }的公差为d ,则由a 5=a 3+2d , 得d =236-=23,由a m a 3=a 25, 即3⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+23)3(3m =62，解得m =9.即a 3,a 5,a 9成等比数列. （2）∵a 3=2，a 5=6，∴d =235a a -=2， ∴当n ≥5时，a n =a 5+(n -5)d =2n -4,又a 3,a 5, 1n a ,2n a ,…,t n a ,…成等比数列， 则q =35a a =26=3,t n a =a 5·3t ,t =1,2,3,…. 又tn a =2t n -4,∴2t n -4=a 5·3t =6·3t ,∴2t n =2·3t +1+4. 即t n =3t +1+2,t =1,2,3,….3.（1）在等比数列{a n }中，a 1+a 2=324，a 3+a 4=36，求a 5+a 6的值； （2）在等比数列{a n }中，已知a 3a 4a 5=8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值.解 （1）由等比数列的性质知,a 1+a 2,a 3+a 4,a 5+a 6也成等比数列，则(a 3+a 4)2=(a 1+a 2)(a 5+a 6). ∴a 5+a 6=4.（2）∵a 3a 5=a 24，∴a 3a 4a 5=a 34=8，∴a 4=2， 又∵a 2a 6=a 3a 5=a 24，∴a 2a 3a 4a 5a 6=a 54=32.4.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）. 解 设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a 1=52，经过n 年后绿洲面积为a n +1，设2006年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n +1，则a 1+b 1=1，a n +b n =1.依题意a n +1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部分是新绿化的12%·b n ，所以a n +1=92%·a n +12%(1-a n )=54a n +253,即a n +1-53=54(a n -53),∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53n a 是以-51为首项，54为公比的等比数列，则a n +1=53-51⎪⎭⎫ ⎝⎛54n,∵a n +1＞50%,∴53-51⎪⎭⎫ ⎝⎛54n ＞21,∴⎪⎭⎫⎝⎛54n ＜21,n ＞54g lo 21=2lg 312lg -=3. 则当n ≥4时，不等式⎪⎭⎫⎝⎛54n ＜21恒成立.所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.一、选择题1.（2008·福建理，3）设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1=1，a 5=16，则数列{a n }的前7项的和为（ ） A .63 B .64 C .127 D .128答案 C2.若数列{a n }的前n 项和S n =3n -a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值是（ ）A .3B .1C .0D .-1答案 B3.设a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列，其公比为2，432122a a a a ++的值为（ ）A .41B .21C .81 D .1答案 A4.等比数列{a n }前n 项的积为T n ,若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是 （ ）A .T 10B .T 13C . T 17D . T 25答案 C5.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =x ·3n -1-61，则x 的值为 （ ） A .31B .-31C .21D .-21 答案 C6.(2008·安庆模拟)已知等比数列{a n }中，a 1+a 2=30，a 3+a 4=120，则a 5+a 6等于（ ）A .240B .±240C .480D .±480答案 C 二、填空题7.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a （对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的值是 .答案 28.（2008·安庆模拟）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=1，S 8=17，则通项a n = . 答案151·2n -1或-51（-2）n -1三、解答题9.数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =31(a n -1). （1）求a 1,a 2;（2）证明：数列{a n }是等比数列； （3）求a n 及S n . （1）解 ∵a 1=S 1=31（a 1-1），∴a 1=-21. 又a 1+a 2=S 2=31(a 2-1),∴a 2=41. （2）证明 ∵S n =31（a n -1）， ∴S n +1=31（a n +1-1），两式相减， 得a n +1=31a n +1-31a n ,即a n +1=-21a n , ∴数列{a n }是首项为-21，公比为-21的等比数列. （3）解 由（2）得a n =-21·(-21)n -1=(-21)n , S n =31⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-121n .10.数列{a n }中，a 1=2,a 2=3,且{a n a n +1}是以3为公比的等比数列，记b n =a 2n -1+a 2n (n ∈N +). （1）求a 3,a 4,a 5,a 6的值； （2）求证：{b n }是等比数列.（1）解 ∵{a n a n +1}是公比为3的等比数列， ∴a n a n +1=a 1a 2·3n -1=2·3n ，∴a 3=2232a ⋅=6，a 4=3332a ⋅=9，a 5=4432a ⋅=18，a 6=5532a ⋅=27. （2）证明 ∵{a n a n +1}是公比为3的等比数列， ∴a n a n +1=3a n -1a n ，即a n +1=3a n -1，∴a 1，a 3，a 5,…，a 2n -1，…与a 2,a 4,a 6，…，a 2n ，…都是公比为3的等比数列. ∴a 2n -1=2·3n -1,a 2n =3·3n -1， ∴b n =a 2n -1+a 2n =5·3n -1.∴n n b b 1+=13535-⋅⋅n n =3，故{b n }是以5为首项，3为公比的等比数列.11.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且（3-m ）S n +2ma n =m +3 （n ∈N +），其中m 为常数，且m ≠-3,m ≠0. （1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比q =f (m ),数列{b n }满足b 1=a 1,b n =23f (b n -1) (n ∈N ,n ≥2),求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为等差数列，并求b n . 证明 （1）由(3-m )S n +2ma n =m +3, 得(3-m )S n +1+2ma n +1=m +3,两式相减，得（3+m ）a n +1=2ma n ,m ≠-3, ∴nn a a 1+=32+m m≠0 (n ≥1).∴{a n }是等比数列. （2）由(3-m )S 1+2ma 1=m +3,解出a 1=1,∴b 1=1. q =f (m )= 32+m m,n ∈N 且n ≥2时， b n =23f (b n -1)= 23·3211+--n n b b ， b n b n -1+3b n =3b n -1，推出n b 1-11-n b =31.∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是以1为首项、31为公差的等差数列.∴nb 1=1+31-n =32+n .∴b n =23+n .12.（2008·四川文，21）设数列{a n }的前n 项和S n =2a n -2n . （1）求a 3，a 4；（2）证明：{a n +1-2a n }是等比数列； （3）求{a n }的通项公式.(1)解 因为a 1=S 1,2a 1=S 1+2,所以a 1=2,S 1=2. 由2a n =S n +2n 知2a n +1=S n +1+2n +1=a n +1+S n +2n +1,得a n +1=S n +2n +1. ① 所以a 2=S 1+22=2+22=6,S 2=8,a 3=S 2+23=8+23=16,S 3=24,a 4=S 3+24=40. (2)证明 由题设和①式知a n +1-2a n =(S n +2n +1)-(S n +2n )=2n +1-2n =2n ,所以{a n +1-2a n }是首项为2,公比为2的等比数列.(3)解 a n =(a n -2a n -1)+2(a n -1-2a n -2)+…+2n -2(a 2-2a 1)+2n -1a 1=(n +1)·2n -1.§6.4 数列的通项及求和基础自测1.如果数列{a n }满足a 1,a 2-a 1,a 3-a 2,…,a n -a n -1,…是首项为1，公比为3的等比数列，则a n 等于（ ）A .213+n B .233+n C .213-n D .233-n 答案 C 2.数列121,341,581,7161,…,(2n -1)+n21,…的前n 项和S n 的值等于 （ ）A .nn 2112-+ B .nn n 21122-+-C .12211--+n nD .nn n 2112-+-答案 A3.（2008·武汉模拟）如果数列{a n }满足a 1=2,a 2=1且1111++---=-n n n n n n n n a a a a a a a a (n ≥2),则此数列的第10项为（ ）A .1021 B .921 C .101D .51 答案 D4.设函数f （x ）=x m +ax 的导数为)(x f '=2x +1，则数列{)(1n f }（n ∈N +）的前n 项和是 （ ）A .1+n nB .12++n n C .1-n nD .nn 1+ 答案 A5.设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a 21+n -na 2n +a n +1a n =0 (n =1,2,3,…).则它的通项公式是a n = .答案n1例1 已知数列{a n }满足a n +1=1122+++⋅n n n n a a ,a 1=2,求数列{a n }的通项公式.解 已知递推式可化为11+n a -n a 1=121+n , ∴21a -11a =221,31a -21a =321,41a -31a =421,… n a 1-11-n a =n21,将以上(n -1)个式子相加得n a 1-11a =221+321+421+…+n 21,∴n a 1=211)211(21--n =1-n 21,∴a n =122-n n .例2 求和：S n =a 1+22a +33a +…+na n . 解 （1）a =1时，S n =1+2+…+n =2)1(+n n . （2）a ≠1时，S n =a 1+22a +33a +…+n an ①a 1S n =21a +32a +…+n a n 1-+1+n a n② 由①-②得⎪⎭⎫⎝⎛-a 11S n =a 1+21a +31a +…+n a 1-1+n a n=aa a n 11)11(1---1+n a n ,∴S n =2)1()1()1(----a a a n a a n n . 综上所述，S n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠----=+)1()1()1()1()1(2)1(2a a a a n a a a n n n n. 例3 （12分）已知数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n =a n (S n -21). （1）求S n 的表达式； （2）设b n =12+n S n，求{b n }的前n 项和T n . 解 （1）∵S 2n =a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21n S ，a n =S n -S n -1，（n ≥2）， ∴S 2n=（S n -S n -1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21n S , 即2S n -1S n =S n -1-S n ， ① 3分 由题意S n -1·S n ≠0， ①式两边同除以S n -1·S n ，得n S 1-11-n S =2，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是首项为11S =11a =1，公差为2的等差数列. 4分 ∴nS 1=1+2（n -1）=2n -1，∴S n =121-n . 6分（2）又b n =12+n S n =)12)(12(1+-n n =21⎪⎭⎫⎝⎛+--121121n n ， 8分∴T n =b 1+b 2+…+b n=21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211215131311n n =21⎪⎭⎫⎝⎛+-1211n =12+n n . 12分1.（2008·江西理，5）在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +ln ⎪⎭⎫⎝⎛+n 11，则a n 等于（ ）A .2+ln nB .2+(n -1)ln nC .2+n ln nD .1+n +ln n答案 A2.（2008·全国Ⅰ文，19）在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +2n . (1)设b n =12-n n a .证明：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n . （1）证明 ∵a n +1=2a n +2n ，∴nn a 21+=12-n n a +1，∵b n =12-n n a ，∴b n +1=b n +1，即b n +1-b n =1,b 1=1,故数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解 由（1）知,b n =n ,a n =n 2n -1, 则S n =1·20+2·21+…+(n -1)·2n -2+n ·2n -12S n =1·21+2·22+…+(n -1)·2n -1+n ·2n 两式相减，得：S n =n ·2n -1·20-21-…-2n -1=n ·2n -2n +1.3.（2009·湖州模拟）已知数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn +c （n ∈N +），且S 1=3,S 2=7,S 3=13, （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列11+n n a a 的前n 项和T n . 解 （1）由已知有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,1339,724,3c b a c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===,1,1,1c b a所以S n =n 2+n +1. 当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2+n +1-［(n -1)2+(n -1)+1］=2n ,所以a n =⎩⎨⎧≥=.2,2,1,3n n n (2)令b n =11+⋅n n a a ，则b 1=121121=a a .当n ≥2时，b n =)111(41)1(221+-⋅=+⋅n n n n .所以T n =b 2+…+b n =)1(81)11141313121(41+-=+-++-+-n n n n . 所以T n =)1(2415)1(81121+-=+-+n n n n (n ∈N +).一、选择题1.如果数列{a n }的前n 项和S n =n21（3n -2n ），那么这个数列 （ ）A .是等差数列不是等比数列B .是等比数列不是等差数列C .既是等差数列又是等比数列D .既不是等差数列又不是等比数列 答案 B 2.数列{a n }的通项公式a n =11++n n ，若前n 项的和为10，则项数为 （ ）A .11B .99C .120D .121答案 C3.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =)1(1+n n ，则S 5等于（ ） A .1 B .65 C .61D .301 答案 B4.数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+22+…+2n -1，…的前n 项和S n ＞1 020，那么n 的最小值是（ ）A .7B .8C .9D .10答案 D5.已知某数列前2n 项和为(2n )3,且前n 个偶数项的和为n 2（4n +3），则它的前n 个奇数项的和为 （）A . -3n 2（n +1）B .n 2（4n -3）C .-3n 2D .21n 3答案 B6.1-4+9-16+…+(-1)n +1n 2等于（ ）A .2)1(+n nB .2)1(+-n nC .2)1()1(1+-+n n nD .以上答案均不对答案 C 二、填空题7.（2008·厦门模拟）已知数列{a n }中,a 1=20,a n +1=a n +2n -1,n ∈N +,则数列{a n }的通项公式a n = . 答案 n 2-2n +218.（2008·大连模拟）若数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n -1a n =31+n (n ∈N +),则a n = . 答案 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=2,311,32n n n三、解答题9.S n 是数列{a n }的前n 项和，a n =)12)(12()2(2+-n n n ，求S n .解 ∵a n =)12)(12()2(2+-n n n =)12)(12(11)2(2+-+-n n n=1+)12)(12(1+-n n=1+21⎪⎭⎫⎝⎛+--121121n n ，∴S n =n +21（1-31+31-51+51-71+…+121-n -121+n ）=n +21⎪⎭⎫⎝⎛+-1211n =n +12+n n =12222++n n n . 10.（2008·江西文，19）等差数列{a n }的各项均为正数，a 1=3,前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1=1，且b 2S 2=64,b 3S 3=960. （1）求a n 与b n ; （2）求nS S S 11121+++ . 解 (1)设{a n }的公差为d 、{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n =3+（n -1）d ，b n =q n -1， 依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=,960)39(,64)6(23322q d b S q d b S解得⎩⎨⎧==,8,2q d 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.340,56q d （舍去）. 故a n =3+2(n -1)=2n +1,b n =8n -1. （2）S n =3+5+…+(2n +1)=n (n +2), 所以nS S S 11121+++ =311⨯+421⨯+531⨯+…+)2(1+n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-2115131412131121n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+211121121n n =43-)2)(1(232+++n n n . 11.设数列{a n }的前n 项和S n =2n 2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1，b 2（a 2-a 1）=b 1. （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =nnb a ,求数列{c n }的前n 项和T n . 解 （1）由于S n =2n 2,∴n =1时，a 1=S 1=2； n ≥2时，a n =S n -S n-1=2n 2-2(n -1)2=4n -2, 当n =1时也适合.∴a n =4n -2，∴b 1=a 1=2，b 2（6-2）=b 1=2， ∴b 2=21，∴q =,4112=b b ∴b n =2·⎪⎭⎫ ⎝⎛41n -1. （2）c n =nn b a =（2n -1）·4n -1， ∴T n =1+3·4+5·42+…+（2n -1）·4n -1， ∴4T n =4+3·42+…+（2n -3）·4n -1+（2n -1）·4n ，∴-3T n =1+2·4+2·42+…+2·4n -1-（2n -1）·4n =1+2·4144--n-（2n -1）·4n =365n -·4n -35，∴T n =95-965n-·4n .12.数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +1=2S n (n ∈N *). （1）求数列{a n }的通项a n ;。