山西省忻州市第一中学2015_2016学年高二数学上学期期中试题文

忻州一中2015-2016学年度第一学期期中考试高二数学(文科)试题一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分) 1．直线013=--y x 的倾斜角为A. 030 B. 060 C. 0120 D. 01502. 在平面直角坐标系中，点），（20与点）（0,4关于直线l 对称，则直线l 的方程为 A. 042=-+y xB. 02=-y xC. 032=--y xD. 032=+-y x3．已知两个不同的平面βα、和两条不重合的直线n m 、,有下列四个命题:①若m //n ,α⊥m ,则α⊥n ; ②若α⊥m ,β⊥m ,则α//β; ③若m //n ,α⊂n ,则α//m ; ④若m //α,α ∩ β = n ,则m //n . 其中正确命题的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 圆1:221=+yx C 与圆m y x C -=+-254-)3:222）（（)25<m （外切，则=mA. 21B. 19C. 9D. 11- 5. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为4， 则输出的结果是A. 1B. 21-C. 45- D. 813- 6．直线0=+-k y kx 与圆0222=-+x y x 有公共点，则实数k 的取值范围是A. ]33,33[-B. ),33[]33,(+∞⋃--∞C. ]3,3[-D. ),3[]3,(+∞⋃--∞7. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误．．的是 A. AC ∥平面11BC A B. 1BC ⊥平面CD B A 11C. BD AC ⊥1D. 异面直线1AD 与1DC 所成的角为0458. 已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于A 、B 两不同点,O 是坐标原点,向量OA →、OB →满足|OA →+OB →|=|OA →OB →|,则实数a 的值是 A. B. 2 C.6 D.侧视图正视图9．三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形， 侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形， 则此三棱锥的体积为A.123C. 4310. 过点)2,1(M 的直线l 将圆：9)2(22=+-y x 分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程为A. 1=xB. 1=yC. 01=+-y xD. 032=+-y x 11. 已知函数)0cos sin 3)(>+=ωωω（x x x f 的最小正周期为π.对于函数)(x f ，下列说法正确的是A. 在]32,6[ππ上是增函数 B. 图象关于直线125π=x 对称 C. 图象关于点)0,3(π-对称D. 把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，所得函数图象关于y 轴对称 12．点D C B A ,,,均在同一球面上，且AB 、AC 、AD 两两垂直，且，1=AB ，2=AC 3=AD ,则该球的表面积为A ．π7B ．π14C ．27π D ．3147π二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 点),(y x P 是圆1)4()322=+++y x （的任一点，则22y x +的最小值为_______.14．任取],,0[π∈x 则使21sin >x 的概率为___________. 15. 在梯形ABCD 中，，422,//,===⊥AB AD BC BC AD BC AB 将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为__________.16．在平面直角坐标系xOy 中，圆1622=+y x 的切线与x 轴、y 轴的正半轴分别交于BA 、两点，则AOB ∆面积的最小值为____________.三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17. (本小题满分10分)已知公差不为0的等差数列}{n a 的前n 项和为)*N n S n ∈（，若243+=a S ，且1331,,a a a 成等比数列(1) 求}{n a 的通项公式； (2) 设11+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和为n T .18. (本小题满分12分)如图,在四棱锥ABCD P -中,平面⊥PAD 平面ABCD ,AB ∥,DC PAD ∆是正三角形,已知,82==AD BD542==DC AB(1) 设M 是PC 上的一点,求证:平面⊥MBD 平面PAD ; (2) 求四棱锥ABCD P -的体积.19. (本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,他们在培训期间8次模拟考试的成绩如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1) 画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，并求学生乙成绩的平均数和方差；(2) 从甲同学超过80分的6个成绩中任取两个，求这两个成绩中至少有一个超过90分的概率.20. (本小题满分12分)在ABC ∆中,角C B A 、、的对边分别是c b a 、、,若C a c b cos 21=- (1) 求角A ;(2) 若bc c b 3)4=+（，32=a ，求ABC ∆的面积S . 21. (本小题满分12分)已知函数R m m x x x f ∈-+=,4||)((1) 若4)()(+=x f x g 为奇函数，求实数m 的值； (2) 当3-=m 时，求函数)(x f 在]4,3[∈x 上的值域； (3) 若0)(<x f 对]1,0(∈x 恒成立，求实数m 的取值范围.22. (本小题满分12分)圆C 满足：①圆心C 在射线)02>=x x y （上; ②与x 轴相切; ③被直线2+=x y 截得的线段长为14(1) 求圆C 的方程；(2) 过直线03=++y x 上一点P 作圆C 的切线，设切点为E 、F ，求四边形PECF 面积的最小值，并求此时⋅的值.附加题（每小题5分，共15分）23．直线m x y +=与圆422=+y x 交于不同的两点N M 、，且|3||ON +≥, 其中O 为坐标原点，则实数m 的取值范围是___________.24．已知矩形ABCD 顶点都在半径为R 的球O 的表面上，且33==BC AB ，,棱锥 ABCD O -的体积为23，则=R ___________.25．函数2)2(1+-=x y 图象上存在不同三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是 A. 23 B.21C.33D. 3忻州一中20152016学年度第一学期期中考试高二数学(文科)参考答案及评分标准一．选择题(每小题5分，共60分)1-5: ACBCC 6-10: ADABD 11-12:DB 二．填空题(每小题5分，共20分) 13. 4 14.32 15. 340π 16. 16 三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．（10分）解：(1) 设等差数列}{n a 的公差为d ,由243+=a S 得：233311++=+d a d a ∴11=a ………2分 又∵1331,,a a a 成等比数列 ∴13123a a a =即)12()2(1121d a a d a +=+ 得：2=d ………4分∴122)1(1-=-+=n n a n ………5分 (2) )121121(21)12)(12111+--=+-==+n n n n a a b n n n （ ………7分∴)]121121()5131()311[(21+--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=n n T n=12]1211[21+=+-n n n ………10分 18．解：(12分)(1)在△ABD 中，AD=4，BD=8，AB=54∴222AB BD AD =+ 故BD AD ⊥ ………2分又平面⊥PAD 平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD,⊂BD 平面ABCD∴⊥BD 平面PAD ………4分 又⊂BD 平面MBD ∴平面⊥MBD 平面PAD ………5分 (2)过P 作AD PO ⊥交AD 于O,平面⊥PAD 平面ABCD ∴⊥PO 平面ABCD∴PO 为四棱锥ABCD P -的高,且PO=23 ………8分又四边形ABCD 是梯形,且Rt △ADB 斜边AB 上的高为5585484=⨯即为梯形ABCD 的高 ∴梯形ABCD 的面积为2455825452=⨯+=S ………10分故316322431=⨯⨯=-ABCD P V ………12分 19．（12分）解：（1）茎叶图如下：………2分学生甲成绩中位数为83， ………3分 （2））（乙95929085832807581+++++⨯+=x =85 ………4分222222)8585()8583()8580()8580()8575[(81-+-+-+-+-=乙S])8595()8592()8590(222-+-+-+=41 ………6分（3）甲同学超过80分的成绩有82 81 95 88 93 84，任取两次成绩，所有基本事件为：（82,81），（82,95），（82,88），（82,93），（82,84），（81,95），（81,88），（81,93），（81,84），（95,88），（95，93），（95,84），（88,93），（88,84）， （93,84）共15个 ………9分其中至少有一次超过90分的基本事件为：（82,95）（82,93）（81,95）（81,93）（95,88），（95，93），（95,84），（88,93）（93,84）共9个。

………11分∴这两次成绩中至少有一次超过90分的概率为53159=. ………12分 20．（12分）解：(1)由正弦定理得：C A C B cos sin sin 21sin =-………2分 又∵)sin(sin C A B += ∴C A C C A cos sin sin 21)sin(=-+即 C C A sin 21sin cos = ………4分又∵0sin ≠C ∴21cos =A 又A 是内角 ∴060=A ………6分(2)由余弦定理得：bc c b bc c b A bc c b a 3)(cos 2222222-+=-+=-+=………8分 ∴12)(4)2=+-+c b c b （ 得：6=+c b ∴ 8=bc ………10分∴=S 3223821sin 21=⨯⨯=A bc ………12分 21．（12分）解：(1) ||4)()(m x x x f x g +=+=，若函数)(x g 为奇函数,则)()(x g x g -=-∴||||m x x m x x +-=+-- 即0|)||(|=--+m x m x x 对R x ∈恒成立 ∴0||||=--+m x m x 22)()m x m x -=+⇔（ 即0=mx 对R x ∈恒成立 ∴0=m ………4分 (2) 当3-=m 时, ∵]4,3[∈x ∴434)3()(2--=--=x x x x x f ………6分 ∵)(x f 在]4,3[上为增函数 ∴]0,4[-∈y ………8分 (3) 0)(<x f 即为04-||<+m x x ]1,0(∈x ∴等价于xm x 4||<+ 即x m x x 44<+<-即x xm x x -<<+-4)4(对]1,0(∈x 恒成立 ………10分 令)4()(xx x h +-=，则)(x h 在]1,0(上是增函数，∴5)1()(max -==h x h∴5->m ………11分再令x xx t -=4)(，则)(x t 在]1,0(上是减函数，∴3)1()(min ==t x t∴3<m综上，实数m 的取值范围是35<<-m ………12分22．（12分）解：(1) 圆心C 的坐标为)0)(2,>a a a （，半径为r .则有⎪⎩⎪⎨⎧+-+==222)222()2142a a r ar （ 解得⎩⎨⎧==21r a ………4分 ∴圆C 的方程为4)2()122=-+-y x （ ………5分(2) 由切线的性质知：四边形PECF 的面积S=|PE|•r=r 22||r PC -=4||22-PC∴四边形PECF 的面积取最小值时，|PC|最小， ………8分 即为圆心C(1,2)到直线x+y+3=0的距离d=3 2.∴|PC|最小为23∴四边形PEMF 的面积S 的最小值为142 ………10分此时|PE →|=|PF →|=14,设∠C PE=∠CPF=α , 则32||sin ==PC r α ………11分 ∴⋅=|PE →|2cos2=|PE →|2 (1-2sin2)=9145))32(21(142=- ………12分附加题：（每小题5分，共15分）23. ]2,2[- 24. 3 25. B。