04静电场中的电容器 电场能量

A
q 定义：电容器的电容: 定义：电容器的电容 C = UAB
电容器的电容只与电容器的大 电容器的电容只与电容器的大 形状、电介质有关， 小、形状、电介质有关，而与电 电压无关。 量、电压无关。
孤立导体的电容就是 导体与无穷远处导体 壳间的电容。 壳间的电容。
2
三、电容的计算方法 电容只决定于电容器的结构。 电容只决定于电容器的结构。 求电容步骤： 求电容步骤： 1、让两极板带等量异性电荷并求其电场分布； 、让两极板带等量异性电荷并求其电场分布； 2、通过场强计算两极板间的电势差； 、通过场强计算两极板间的电势差； 3、由电容器电容的定义式 、由电容器电容的定义式C=Q/U求C。 求 。
R2 R1
③单位长度电容
2πε 0ε r h = h 长电容 C = U12 ln( R2 / R1 ) C = 2πε 0ε r 单位长度电容 c = h ln( R2 / R1 )
λh
④ h 长贮存能量
λ
εr
h
R1
R2
r −λ
2 1 We = qU12 = 1 λh λ ln R2 = λ h ln R2 2 2 2πε 0ε r R1 4πε 0ε r R1 We λ2 R2 单位长度贮存能量 we = = ln 19 h 4πε 0ε r R1 电学 结束
B
σ E= ε0
−q
−σ
σd U AB = ∫ E ⋅ dl = Ed = A ε0 q σS ε 0S C= =
U AB
A
B
σd / ε 0
=
d
平行板电容器的电容正比于极板面积S 平行板电容器的电容正比于极板面积 ，反比 于极板间距d 无关。 于极板间距 ，与 q 无关。
4
若板间充满电介质， 若板间充满电介质， 利用介质中的高斯定理
5
例2、球形电容器的电容。 、球形电容器的电容。 解：设A球带电量为 q ， 球带电量为 板间场强为： 板间场强为： E =
q 4πε 0r
2
+q RA B A o
2
−q
U AB = ∫ E ⋅ dl =
A
B
∫
RB
q 4πε 0 r
RA
dr
RB
当 RB → ∞ 时:
q 1 1 = R −R 4πε 0 A B
E0
εr
U0 d=
K
εr
U0
14
4.电容 . 由于电容器电容与电量无关， 由于电容器电容与电量无关，与介 质有关， 质有关，充满介质时
σ0
− σ0
C = ε rC0
5.能量 .
q We 0 = , 2C0
2 0
εr
d
插入介质后
q We 0 q We = = = 2C 2ε rC0 ε r
2 0
2 0
1
二、电容器的电容 对非孤立导体A， 对非孤立导体 ，它还要受到周围其它导体或带 电体的影响，电势不再简单地与所带电量成正比。 电体的影响，电势不再简单地与所带电量成正比。 解决办法—利用静电屏蔽的原理，用导体空腔 把导 解决办法 利用静电屏蔽的原理，用导体空腔B把导 利用静电屏蔽的原理 屏蔽起来。 体A屏蔽起来。 屏蔽起来 电容器电容器-由导体及包围它的导体壳所 qA 组成的导体系。 组成的导体系。 B A、B之间的电势差 AB与qA成正比。 、 之间的电势差 之间的电势差U 成正比。
3
例1、 平行板电容器，两个电极板相对的表面面积 、 平行板电容器， 为S，两板之间的距离为 ，求其电容；若板间充满 ，两板之间的距离为d，求其电容； 电常数为 的电介质，其电容又为多少？ 相对介 电常数为εr 的电介质，其电容又为多少？ 忽略边缘效应） （忽略边缘效应） 解：设两极板带电量分别为 +q 和 −q ， + q+ σ 板间电势差： 板间电势差：
RA
高 斯 面
l
r
RB
∫
S
∑q E ⋅ dS =
ε0 λl E 2π rl = ε0
λ ∴E = 2πε 0 r
7
柱面间的电势差为： 柱面间的电势差为：
U AB = ∫ E ⋅ dl
A
B
2πε 0l RA q q 2πε 0l 电容 C = = = q RB RB U AB ln ln 2πε 0l RA RA
εr
d
= ε rWe 0
由于q增多而增加的能量， 由于 增多而增加的能量，大 增多而增加的能量 于插入介质损失的能量， 于插入介质损失的能量，所以 We也增加。 也增加。
K
U0
17
例2：同轴电缆由内径为 R1、外径为 ： 的两无限长金属圆柱面构成， R2的两无限长金属圆柱面构成，单位 长度带电量分别为 +λ、 -λ，其间充 电介质。 有 εr 电介质。求： ①两柱面间的场 强 E；②电势差 U；③单位长度电 ； ； 单位长度贮存能量。 容 ；④单位长度贮存能量。 解： ①极板间作高为 h 半径为 r 的高斯柱面， 的高斯柱面， 由介质中高斯定理： 由介质中高斯定理： D ⋅ dS =
dq
+Q
C
−Q
+q u −q
−q dW = ( − d q ) u = dq C 0 q Q2 W = ∫ d W = −∫ d q = C 2C Q
Q2 W = 2C
10
时的能量, 这也就是电容器充电到 ±Q 时的能量 用Wc表示
2
1 1 Q 2 WC = = CU = QU 2C 2 2
本质上看，它是电场力作的功 本质上看，它是电场力作的功, 所以是电场的能量。 所以是电场的能量。 所以， 所以，电容器的能量同样是 储藏在电容器的电场中的。 储藏在电容器的电场中的。 电场越强,电容器的能量越大 电容器的能量越大， 电场越强 电容器的能量越大， 电场的能量也越大。 电场的能量也越大。 电容器的能量W 或记作 或记作W 电容器的能量 c (或记作 e ) 与电场强度 E 有什么联系？ 有什么联系？
K
U0
16
4.电容 电容 由于电容器电容与电量无关， 由于电容器电容与电量无关， 与介质有关，充满介质时： 与介质有关，充满介质时：
σ0
−σ0
C = ε rC0
1 真空时 We 0 = q0U 0 2 1 We = qU 0 = 1 ε q U r 0 0 2 2
6.电容器能量 e 电容器能量W 电容器能量
λ
R1
h
0
εr
R2
r −λ
λ D 2πrh = λh, ∴ D = 2πr λ D 场强 E = = ε 0ε r 2πε 0ε rr
∫∫
∑q
18
λ dr λ R2 = = ln U12 = ∫ E ⋅ dl = ∫ Edr ∫ R 2πε 0ε r r 2πε 0ε r R1
R2
1
②极间电压
R2 R1
+Q
C
q u= C
−Q
+q u −q
9
放电过程中， 是不断变化的。 放电过程中，u 和 q 是不断变化的。 现在考虑一微小放电过程 现在考虑一微小放电过程 q→ q+dq （dq <0） ） 电量（ ） 电量（-dq）在电场力作用下沿导线 从正极板经过灯泡与负极板的负电荷 中和, 中和 电场力的功为
电容器和电容
一、孤立导体的电容 理论和实验表明，孤立导体的电势U 理论和实验表明，孤立导体的电势 与其带电量q成正比 成正比。 与其带电量 成正比。
+++ + +q + +++
U
q 定义：孤立导体的电容: 定义：孤立导体的电容 C = U
孤立导体电容只与导体的大小、几何形状有关， 孤立导体电容只与导体的大小、几何形状有关，与电 只与导体的大小 电势无关。它反映了孤立导体的性质。 量、电势无关。它反映了孤立导体的性质。 物理含义：导体升高单位电势所需的电量。 物理含义：导体升高单位电势所需的电量。 所需的电量 电容是反映孤立导体贮存电荷能力大小的物理量。 电容是反映孤立导体贮存电荷能力大小的物理量。 单位：法拉， 单位：法拉，F, 1F= 106 µ F= 1012 pF
11
我们以平行板电容器为例说明此问题: 我们以平行板电容器为例说明此问题
1 We = CU 2 2
1ε S = ⋅ ( Ed ) 2 2 d
=
ε
能量体密度（单位体积内的电场能量） 电场的 能量体密度（单位体积内的电场能量）:
2
E 2 Sd
We 1 1 2 we = = ε E = ED sd 2 2
=
q
ln
λ = ∫ Edr= ∫ dr 2πε 0r R
RB RA
RB RA
RA
高 斯 面
B
l
r
RB
若圆柱充满了相对介电质常数为ε 的电介质， 若圆柱充满了相对介电质常数为εr的电介质，此时 电容器的电容为
2 π ε 0ε r l C= ln( RB / RA )
8
电容器的能量
我们可以根据电容器在放电的整个过程中， 我们可以根据电容器在放电的整个过程中， 电场力作了多少功,来得出电容器所具有的 电场力作了多少功 来得出电容器所具有的 能量。 能量。 如图，先让电容器充电（±Q）, 再放电。 如图，先让电容器充电（ ） 再放电。 设放电过程中某时刻, 设放电过程中某时刻 两极板带电量为+q、 两极板带电量为 、-q, 两极板间电压为u, 两极板间电压为
K
U0
15
充电后保持电压不变， 介质； ②.充电后保持电压不变，插入 εr 介质； 充电后保持电压不变 不断开。 解：电压不变即电键 K 不断开。 1.电压 电压 2. U0