第 06章 4 次课 -- 电容计算 静电场中的能量
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静电场的能量
【解】带电球形电容器的电场分布是对称的，由有介质中 的高斯定理可求其电场强度的大小为
E
Q
40 rr 2
则电场能量密度为
we
1 2
0
r
E
2
Q2
322 0 r r 4
现取半径为r、厚为dr的球壳为一体积元，则该体积元的体积为
dV 4r2dr
因此，球壳中储存的电场能量为
于是总能量为
dWe
wedV
Q2
8 0 r r 2
U Ed
将平行板电容器的电容公式（7-38）带入式（7-43），可得
We
=
1 2
CU
21 20r Sd(Ed )21 2
0r E2Sd
1 2
E 2V
上式说明了电场能量的携带者是电场本身。
由上式可得单位体积电场内所具有的电场能量为
we
We V
=
1 E2
2
上式表明，电场的强度越大，电场的能量密度也越大。上 式虽然是从平行板电容器中求得的，但可以证明，对于任意电 场，这个结论也成立。
对于非均匀电场，我们可以任取一体积元dV，可以认为dV 内是均匀电场，则在dV内电场所储存的能量为
dWe
wedV
1 E2dV
2
因此，整个电场的能量为
We
V dWe =
V wedV
1 E2dV
V2
【例7-11】一球形电容器，内、外半径分别为R1和R2，所 带电量分别为＋Q和－Q，两球间充满相对电容率为εr的电介 质，如下图所示。求此电容器储存的电场能量是多少？
物理学
静电场的能量
1.1 电容器的静电能
电容器充电时，电源必须做功，才能克服电容器极板上
静电场的能量ppt课件
Q2
We
8π
( R1
R2
)
2
4π
R2 R1
R2 R1
讨论
（1）W e
Q2 2 C C
4π
R2 R1 （球形电容器电容） R2 R1
（2）以上为求电容器电容的第二种方法，即先求 能量，再求电容
13
例2. 一绝缘金属物体，在真空中充电达某一电势值， 其电场总能量为W0．若断开电源，使其上所带电荷
保持不变，并把它浸没在相对介电常量为 的无r
解：两球壳间的电场强度为
1Q
E 4π r2
we
பைடு நூலகம்
1 E 2
2
Q2
32 π2 r 4
R1 dr
r
R2
11
we
1
2
E2
Q2
32 π2
r4
变量
Q2
dWe wedV 8 π r 2 dr
R1 dr
r
R2
We
Q2
dWe 8 π
R 2 dr r R1 2
Q2
8π
1 (
R1
1 )
R2
12
Q2 1 1 1
E0
-0- - - - - - - - - -
Q2 W0 2C0
0 + + + + ++ + + + + + r E
-0 - - - - - - - - - - -
W
Q2
2C
Q2
2 rC0
W0
r
20
平行板电容器充电后未与电源断开 U 不变
0 ++++++++++
电容电场能量计算公式
电容电场能量计算公式电容电场能量是指存储在电容器中的能量，可以通过电容电场能量计算公式进行计算。
电容电场能量的计算公式如下：E = (1/2)CV^2其中，E表示电容电场能量，C表示电容器的电容量，V表示电容器上的电压。
电容电场能量计算公式的推导和理解离不开电容器的工作原理和电场理论。
电容器是由两个导体板和介质构成的，当两个导体板上施加电压时，会在两个板之间形成电场。
电容器的电场能量来源于电场力对电荷的功，即电场力在电荷上所做的功。
当电容器充电时，正电荷被吸引到负极板，负电荷被吸引到正极板，电场力对电荷做正功，电场能量增加。
而当电容器放电时，电场力对电荷做负功，电场能量减少。
根据电场力的定义，电场力可以表示为：F = qE其中，F表示电场力，q表示电荷量，E表示电场强度。
当电容器上的电压为V时，电场强度可以表示为：E = V/d其中，d表示两个导体板之间的距离。
将电场强度代入电场力的公式中，可以得到电场力对电荷的功：W = qEd根据功的定义，功可以表示为：W = Fd = qEd将电场力对电荷的功代入电场能量的公式中，可以得到电容电场能量的计算公式：E = (1/2)CV^2通过电容电场能量计算公式，可以计算出电容器中存储的电场能量。
这个公式告诉我们，电容器的电场能量与电容器的电容量和电压的平方成正比。
电容电场能量计算公式的应用十分广泛。
在电子电路设计和工程中，常常需要计算电容器中的电场能量，以评估电容器的性能和电路的稳定性。
此外，电容电场能量计算公式还可以用于研究电容器的放电过程和能量转换。
总结起来，电容电场能量计算公式是通过电场力对电荷的功推导而来的，可以用于计算电容器中存储的电场能量。
这个公式在电子电路设计和工程中具有重要的应用价值，能够帮助工程师评估电容器的性能和电路的稳定性。
通过深入理解电容电场能量计算公式，可以更好地理解电容器的工作原理和电场理论。
高中物理奥林匹克竞赛专题---电容-电容器-静电场的能量(共22张PPT)
Q
Q
VB
VA
步骤 1）设两极板分别带电 Q； 2）求 E；
3）求 V ；4）求 C .
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6-5 电容 电容器 静电场的能量
第六章 静电场
1 平板电容器
d
（1）设两导体板分别带电 Q
（2）两带电平板间的电场强度
+
-
+
-
E Q 0 0S
S
&#（3）两带电平板间的电势差
r
＋
＋
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6-5 电容 电容器 静电场的能量
第六章 静电场
U Q ( 1 1)
4π0 R1 R2
CU Q4π0
R1R2 R2R1
R2
C4π0R1
孤立导体球电容
＋
＋
＋
R2
＋
＋
R 1 ＋
r
＋
＋
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6-5 电容 电容器 静电场的能量
UR Edx
2R
dR 1 1
2π0 R
( )dx x dx
E
π0lnd RRπ0lnR d
oP
xdx
x
C π ε0
U ln d R
d
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6-5 电容 电容器 静电场的能量
四、静电场的能量
1.电容器的电能
第六章 静电场
6-5 电容 电容器 静电场的能量
第六章 静电场
一 孤立导体的电容
单位
C Q V
1F1C/V
1μF106F
1pF1012F
例如 孤立的导体球的电容
静电场的能量
(r R1 )
( R1 r R2 )
(r R2 )
取同心球壳为积分元 R2 1 1 q 2 W 0 r E dV 0 r ( ) 2 4r 2dr V R1 2 2 4 0 r r 2 2 q R2 R1 R1R2 8 0 r R1 R2
一经建立，不需能量 维持。
稳 恒 电 场
sD dS q0 有源
( S内)
I 恒量
导体内
E dl 0 保守
L
E0 E 分布不变
伴随能量转换
二. 电源电动势 ——— 稳恒电场的能量来源
+ Fe
- Fe
Fe Fk
K
3. 稳恒电流条件：穿过封闭曲面 S的 j 通量为零 j dS 0 稳恒电流一定是闭合的，
S
或两端通向无穷远。(在无穷远处闭合)
稳恒电流的电场分布不随时间变化。
比较
静 电 场
相同
不同
Q , E 分布不随
时间变化 高斯定理 环路定理适用
I 0. 导体内 E 0
s
q
0
E dl 0
L
稳恒电场： 存在电荷宏观定向运动.（电流） 通过截面 S 的电流强度 I 不变 通过截面内各点电流密度 j 不变 稳恒电流
空间电荷分布不变(流入= 流出)，电场分布不变。
一. 电流密度矢量 1. 电流的形成 传导电流 电流 运流电流 位移电流 自由电子、正负离子、 载流子： 电子—空穴对、库柏对、 … 电场
b
a
L
Q
F
C
r
能量转换过程：
[新版本]《静电场中的能量》PPT教学课件-人教版物理
![[新版本]《静电场中的能量》PPT教学课件-人教版物理](https://img.taocdn.com/s3/m/2b5c111ac4da50e2524de518964bcf84b9d52d5f.png)
qUl
qUl
vy＝at＝_m__d_v_0_，t2at2＝
qUl2 _2_m_d_v_0_2_.
2难、点基：于材料的意识： [③2注、精]小文当山章的,通元细过代节写著描景名写物散为变曲作化家品描、增写剧加泰作了山家亮顶张色上可。的久日的出字，。是大按食照惟什寅么,阿顺拉序伯写人景,生物平变不化详的。？心描驰写八了表怎快样神的游胜,景李？白《大鹏赋序》中有“余昔于江陵,见天台司马子微,谓余有仙风道骨,可与神游八极 之C（.表尾1）”联之体写语会山。重翁诗要“成留语神我句鬼宿的愁又丰宿,富笔”含落“笑意龙指，蛇”，品走是味,李对精白神彩《态的草、语书动言歌作表行的达》描艺诗写术有，。“时表时现只其见淳龙朴蛇善走良”、之殷句勤,杜好甫客《的寄性李格十，二也白侧二面十表韵现》出诗“我有”“的笔流落连惊忘风返雨。,诗成泣鬼神”之句。 D赵“曾.尾惠记联 文否是王，说十到军六中队年流凯，击旋廉水后颇，只为浪有赵遏像将飞霍。舟嫖(？《姚廉”一这颇句样蔺的的相大大如意将列是才传什能》么被)？绘用像此于句麒结麟尾阁有,"独何有作"用二？字略有讽刺当政者之意。 1教微.阅学阳读工 下2具乔01：木8多,年远媒浙色体江隐，卷秋教《山案汴。和京教的材星河》，从结构上分析作品为什么先写街、再写人、后写灯。 B2（、.诗1）这歌一.下中段列的主对第要本三写诗句了的"野什理凫么解眠内和岸容赏有？析闲作,不意者正"是与确怎杜的样甫一写《项的漫是？兴( 》)中"沙上凫雏傍母眠"意象相同,诗人用笔墨略作勾勒,意象生动,跃然纸上。 23【、0课2体0后年会训天词练津中】卷描《绘线的条意之象美，》理，解文景末中引寓入情林，徽情因中的显故志事的有特何点效，果感?受毛泽东早年的博大情怀和革命壮志。 2明（.下确3）列：对词怅作语寥品中廓进对，行加问个粗苍性词茫化的大阅解地读释，和,谁有有主错创沉误意浮的的？一解当项读时是。革( 命) 运动正蓬勃发展，作者又对未来充满豪情壮志。看到如此壮丽的大好河山，不禁开始思索祖国未来的命运到底应该谁来主宰。 野尤⑥凫其原眠 是 来岸人一有物些闲语领意言导,极干老具部树个喜着性欢花，看无最上丑精级枝彩脸。的色是,专五拣位领青导年爱妇听女的商话量说去,汇探报望工丈作夫时的言一不段由，衷作,大者话没、有空一话言、半套语话的连交篇代,，实而情人少物、的水鲜分明多个;现性在就有通所过收对敛话了表。现出来了。 待D5..阅到尾读重 联下阳是面日说这，军首还队诗来凯歌就旋,菊后完花只成。有问像(题《霍。过嫖故姚人这庄样》的) 大将才能被绘像于麒麟阁,"独有"二字略有讽刺当政者之意。 D①.毛材尾泽 料 联东提运常出用用什比旧么喻体问、诗题夸的、张形关的式键手来词法反是,表映什现现么斌代；老生之活竹和的思夭想矫感、情灵.这气类,颇诗具歌栩仍栩属如古生典之诗感歌。。 D淳[典.尾熙例联 丙分运申析用至] 蜀日汉，刘予禅过宠维信扬宦。官(《终扬于州亡慢国》的) 典故,借诸葛亮遇刘备前喜欢诵读的乐府诗篇来比喻这首《登楼》,含有对诸葛武侯的仰慕之意。 皇文（帝章1）即 的结位内构，容方一要面般点：都，①要是组改指织元文材，章料称的，元主贯年要穿。内全从容文汉，。武或②帝者使起说结有是构年文清号章晰，内，后容情多的节用精集年要中号之。纪处③年，使。可行以文是富指于全变文化的。，也可以是指文章局部的。概括内容要点，就是要求我们能够准确理解文章的每一段的内 （容1、一，概） 并念导按：入照任：要务作求驱文用动占原型高文作考或文语者的文自全的己称半的是壁话叙江表事山达体，出新作来材文。料的对任好文务坏章驱直内动接容型影的作响概文分括。数主其的要实高有质低两也，种就而考是在向有作：些文定地中向方最信所关息说键概“时的 括评就和类是整”审体作题内文立容，意概其，括本若。质审还题依立然意是出材现料偏作差文那，一只切是努在力材就料是的徒基劳础而上无，功增，加审了题明立确意的如指此向 重性要任， 务那，今引天导我学们生就讲一讲个任具务体驱明动确型的作要文求该来如写何作审，题让立考意生。更好地围绕材料的内容及含意，选择最好的角度来作文。
电容器中的电场能量计算
电容器中的电场能量计算电容器是一种常见的电子元件，它具有储存和释放电荷的能力。
在电容器中，电荷储存在两个电极之间的电场中，这种电场储存了电场能量。
本文将介绍如何计算电容器中的电场能量。
1. 电场能量的定义电场能量是指电荷或电容器储存在电场中的能量。
在电容器中，电场能量可以表示为：\(E=\frac{1}{2}CV^2\)其中，E表示电场能量，C表示电容器的电容量，V表示电容器两端的电压。
2. 电容量的计算电容器的电容量取决于其结构和物理特性。
常见的电容单位是法拉（Farad），表示为F。
计算电容的公式为：\(C=\frac{Q}{V}\)其中，C表示电容，Q表示电荷量，V表示电压。
电容量越大，电容器储存的电荷量越多。
3. 电场能量计算的实例假设一个电容器的电容量为2μF，两端的电压为12V。
我们可以使用上述公式计算电场能量：\(E=\frac{1}{2}\times2\times10^{-6}\times(12)^2=0.144J\)因此，该电容器中的电场能量为0.144焦耳。
这意味着电场中的能量可以用来做功或进行其他形式的能量转换。
4. 电场能量的重要性与应用电场能量在电子技术和工程中具有重要的应用。
电容器储存的电场能量可以用于稳定电源电压、储存能量并提供瞬时电源、滤波和去除电源中的干扰等。
电场能量的计算和处理对设计电路和系统至关重要，能够提高电子设备的效率和性能。
5. 电场能量计算的注意事项在进行电场能量计算时，需要注意以下几点：- 确保使用正确的电容单位，如法拉（F）或微法拉（μF）。
- 确认电压和电荷量的数值是否一致，以免计算结果产生误差。
- 在复杂的电路中，将电容器分成多个简单的部分进行计算，然后将结果合并。
6. 结论电容器中的电场能量是通过电容器两端的电压和电容量来计算的。
电场能量的计算对于电子技术和工程中的电路设计和能量转换至关重要。
通过合理运用电场能量计算方法，可以提高电子设备的效率和性能，实现各种应用需求。
静电场的能量PPT课件
RA 40r 2
q
40
1 RA
1 RB
C
q U AB
40 RB RA
RB RA
RB
RA
电介质电容器的电容
设空气电容器的电容为C0,当电介质 充满电容器时,电介质电容器的电容:
C = rC0
其中r称为电介质的相对电容率, r=C/C0 .
电容器的击穿如果电容器的两极 间的电压超高,则电介质会因为 不能承受强电场而被击穿导电, 电容器就不再成为电容器.
1 2
E 2 dV
V
电场能是整个电场的总能量。
于系统能量的增量
d
电容器两个状态下所储存的能量差等于 外力的功.
q2
q2
A W
2C2 2C1
q2 C1 C2 q2 d
2 C1C2
2 0S
q2
2C1
q q
2d
若把电容器极板拉开一倍的距离，所需外力 的功等于电容器原来具有的能量。
例：一平板电容器，极板间无电介质时联在电压为U
的电源上.问：(1)电容器储存的能量.(2)充电后，断开
球形电容器的电容
C
q
UA UB
C q 0S
U AB
d
C 2 0l
l n R2
R1
C
40 RB RA
RB RA
电容器的能量
W Q2 1 CU2 1 QU
2C 2
2
静电场的能量 电场能量的体密度：
1 we 2 D E
电场能:
W
we
dV
1 2
E
D
dV
q
V
当均匀电介质充满电场时
+和- ,中间充以两层电介质,电容率分别为1和 2,厚度d1和d2,求平行板电容器的电容.
q
40
1 RA
1 RB
C
q U AB
40 RB RA
RB RA
RB
RA
电介质电容器的电容
设空气电容器的电容为C0,当电介质 充满电容器时,电介质电容器的电容:
C = rC0
其中r称为电介质的相对电容率, r=C/C0 .
电容器的击穿如果电容器的两极 间的电压超高,则电介质会因为 不能承受强电场而被击穿导电, 电容器就不再成为电容器.
1 2
E 2 dV
V
电场能是整个电场的总能量。
于系统能量的增量
d
电容器两个状态下所储存的能量差等于 外力的功.
q2
q2
A W
2C2 2C1
q2 C1 C2 q2 d
2 C1C2
2 0S
q2
2C1
q q
2d
若把电容器极板拉开一倍的距离，所需外力 的功等于电容器原来具有的能量。
例：一平板电容器，极板间无电介质时联在电压为U
的电源上.问：(1)电容器储存的能量.(2)充电后，断开
球形电容器的电容
C
q
UA UB
C q 0S
U AB
d
C 2 0l
l n R2
R1
C
40 RB RA
RB RA
电容器的能量
W Q2 1 CU2 1 QU
2C 2
2
静电场的能量 电场能量的体密度：
1 we 2 D E
电场能:
W
we
dV
1 2
E
D
dV
q
V
当均匀电介质充满电场时
+和- ,中间充以两层电介质,电容率分别为1和 2,厚度d1和d2,求平行板电容器的电容.
6-6电场能量
（4）从电介质中的总电场能求圆柱形电容器的电容。
l
R2 R1
例1 两个同轴的圆柱，长度都是 l ,半径分别为R1及R2 ，这两个圆 柱带有等值异号电荷Q，两圆柱之间充满电容率为e 的电介质。 （1）在半径为r ( R1< r <R2 )厚度为dr 的圆柱壳中任一点的电场 能量密度是多少？ （2）这柱壳中的总电场能是多少？ R2 （3）电介质中的总电场能是多少？ （4）从电介质中的总电场能求圆柱形电容器的电容。 R1 Q 解：(1) Q Q E dS E 2rl E
静电场的能量
§ 6-6
静电场的能量 +q
一、电容器的能量 d A = d q (uA u B ) q q = C d 2 Q q Q A = dq = 0 C 2C
如把dq从负极板向正极板移任 送,外力克服静电力作元功 一
q dq
uA uB Q
时 刻 终 了 时 刻 +Q
1 UA UB ) 2 = We = C( 2
8
结束
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导体和电介质中的静电场
一、导体静电平衡
带电系统中，电荷静止不动，从而电场分 布不随时间变化，则该系统达静电平衡。
1、条件：导体内部场强处处为零
导体是一个等势体 2、结论：电荷只能分布在导体内外表面。 要求：掌握平板、柱壳、球壳 方法：叠加法（有介质时求电势用定义法） U p E d l Edr
ln( R B / R A )球形电容器C Nhomakorabea 4 e
RARB RB RA
结束
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2、电容器的能量
W
1 2
CU
2
Q
2
1 2
l
R2 R1
例1 两个同轴的圆柱，长度都是 l ,半径分别为R1及R2 ，这两个圆 柱带有等值异号电荷Q，两圆柱之间充满电容率为e 的电介质。 （1）在半径为r ( R1< r <R2 )厚度为dr 的圆柱壳中任一点的电场 能量密度是多少？ （2）这柱壳中的总电场能是多少？ R2 （3）电介质中的总电场能是多少？ （4）从电介质中的总电场能求圆柱形电容器的电容。 R1 Q 解：(1) Q Q E dS E 2rl E
静电场的能量
§ 6-6
静电场的能量 +q
一、电容器的能量 d A = d q (uA u B ) q q = C d 2 Q q Q A = dq = 0 C 2C
如把dq从负极板向正极板移任 送,外力克服静电力作元功 一
q dq
uA uB Q
时 刻 终 了 时 刻 +Q
1 UA UB ) 2 = We = C( 2
8
结束
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导体和电介质中的静电场
一、导体静电平衡
带电系统中，电荷静止不动，从而电场分 布不随时间变化，则该系统达静电平衡。
1、条件：导体内部场强处处为零
导体是一个等势体 2、结论：电荷只能分布在导体内外表面。 要求：掌握平板、柱壳、球壳 方法：叠加法（有介质时求电势用定义法） U p E d l Edr
ln( R B / R A )球形电容器C Nhomakorabea 4 e
RARB RB RA
结束
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2、电容器的能量
W
1 2
CU
2
Q
2
1 2
6-(4-5)电容 电容器 静电场的能量和能量密度
*三
电容器的并联和串联
1.电容器的串联
＋
Cn
C1
C2
各电容器都带有相同的电量
1 U U1 U 2 U n 1 1 1 C q q C1 C2 Cn
第六章 静电场中的导体和电介质
15
物理学
第五版
6-4 电容 电容器
2.电容器的并联
各电容器上的电压相同 ＋
U E dl
Q
Q
VB
VA
AB
第六章 静电场中的导体和电介质
4
物理学
第五版
6-4 电容 电容器
注意 电容的大小仅与导体的形状、相对位置、 其间的电介质有关，与所带电荷量无关.
Q Q C VA VB U
U
AB
Q
Q
E dl
VB
VA
第六章 静电场中的导体和电介质
1 .电容器的分类
按形状：柱型、球型、平行板电容器
按型式：固定、可变、半可变电容器 按介质：空气、塑料、云母、陶瓷等 特点：非孤立导体，由两极板组成
物理学
第五版
6-4 电容 电容器
2.电容器的电容 电容器的电容为电容器一块极板所带 电荷Q与两极板电势差 VA VB 的比值 .
Q Q C VA VB U
6-4 电容 电容器
U
d R
R
Edx
2R
2 π0
d R
R
1 1 ( )dx x dx
E
d R d ln ln π0 R π0 R
π ε0 C U ln d R
o
P
x
06静电场的能量
若知道了电场分布, 就可以用下式求出整个电场的能量:
1 2 We we d v E d v （V是整个 2 电场空间） (V ) (V )
Q 注：由电场能量也 We 可求电容器的电容 2C
2
Q2 C 2We
例1：平行板电容器真空时 0 , E0 ,U0 , D0 , C0 ,We 0 求： ①.充电后断开电源，插入 r 0 0 的介质； ②.充电后保持电压不变， 插入 r 的介质；这两种情况下的 解： ①断开电源后，插入 介质； 1.充电后断开电源极板上电量不变， 2.介质中场强 E
放电过程中，u 和 q 是不断变化的。 现在考虑一微小放电过程 q q+dq （dq <0） 电量（-dq）在电场力作用下沿导线 从正极板经过灯泡与负极板的负电荷 中和, 电场力的功为
dq
Q
C
Q
q u q
q d A d q u dq C 0 q Q2 A d A d q C 2C Q
静电场的能量 电容器的能量
表演实验 闪光灯演示电容器储能(KD020) 我们可以根据电容器在放电的整个过程中， 电场力作了多少功,来得出电容器所具有的 能量。 如图，先让电容器充电（±Q）, 再放电。 设放电过程中某时刻, 两极板带电量为+q、-q,
Q
两极板间电压为u,
C
q u C
Q
q u q
我们以平行板电容器为例说明此问题:
1 We CU 2 2
1 S ( Ed )2 2 d
电场的 能量体密度（单位体积内的电场能量）:
2
E Sd
2
We 1 1 2 we E ED sd 2 2
6静电场的能量
2 a ⎛ 1 1 Q Q 3 r ⎞ 2 We = ∫ ρ udV = ∫ ⎟ ⎜ 4 π r dr − 3 3 ⎟ ⎜ 2 2 0 4 π a 3 8πε 0 ⎝ a a ⎠
3Q 2 = 16 πε 0 a 3
∫
a
0
2 ⎛ ⎞ r 3 2 r ⎜ ⎜ a − a3 ⎟ ⎟dr ⎝ ⎠
Q
a
3Q We = 20 πε 0 a
1 q2 = 2C
4 πε R1 R2 C= R2 − R1
思考: 半径为R、带电量为Q的均匀带电球面, 其静电能与球体 的静电能相比, 哪个大?
2 1 q we = ε E 2 = 2 8πε r 2
dWe = we dV
静电场的能量
We = ∫ we dV = ∫
计算电容量:
R2
R1
q2 q2 dr = 2 8πε r 8πε
⎛1 1 ⎞ ⎜ ⎜R −R ⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1
q2 1 We = 2 4 πε R1 R2 R2 − R1
2
静电场的能量
解法二:
We = ∫ we dV = ∫0
=∫
a 2
a
∞1 1 2 ε 0 E1 dV + ∫ ε 0 E22 dV a 2 2
2
o
∞1 ⎛ Q ⎞ 1 ⎛ Qr ⎞ 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ r r 4 π r dr 4 π d ε0⎜ ε + 0⎜ 3 ⎟ 2 ∫ ⎟ ⎜ a 2 2 ⎝ 4 πε 0 a ⎠ ⎝ 4 πε 0 r ⎠
1 2 We = ε E Sd 2
电容器体积: V = Sd
静电场的能量
Hale Waihona Puke 电场的能量密度: 单位体积电场所具有的能量
第6章课堂讨论(静电场中的导体和电介质)
7
接地导体球半径为R，距离球心为l 例1. 接地导体球半径为 ，距离球心为 处附近有一点 电荷q,如图所示 如图所示.求 导体上感应电荷的电量 导体上感应电荷的电量. 电荷 如图所示 求:导体上感应电荷的电量 解: 接地 即
V = 0
R
o
感应电量为Q 设:感应电量为 ， 感应电量为 由导体是个等势体知， 由导体是个等势体知，
注意：导体接地仅仅意味着电势为零， 注意：导体接地仅仅意味着电势为零，而不一定是 3 导体上的电荷为零。 导体上的电荷为零。
静电场中有电介质存在时有关问题计算. 二、静电场中有电介质存在时有关问题计算 1、根据场的叠加原理，首先理解自由电荷和极化（束 、根据场的叠加原理，首先理解自由电荷和极化（ 电荷在场中某点的总场强； 缚）电荷在场中某点的总场强； 2、当电场具有适当对称性时，应用有介质时的高斯定 、当电场具有适当对称性时， 理求场强，方法与上一章相同，关系式为： 理求场强，方法与上一章相同，关系式为：
9
由高斯定理，空间的电场： 由高斯定理，空间的电场：
空腔与小球之间
空腔金属内
E1 =
q 4πε 0 r 2
Q+q
q
−q
R2 R1 r
E2 = 0 q+Q E3 = 4πε 0 r 2
空腔外部
小球的电势
r r R1 r r R2 r r ∞ r r R1 Vr = ∫ E ⋅ dl = ∫ E1 ⋅ dl + ∫ E2 ⋅ dl + ∫ E3 ⋅ dl = ∫
1 ε E2 = 1 DE we = 2 2
W = ∫ wedV = ∫
ε0εr E
2
2
dV
6
注意：基本步骤为： 注意：基本步骤为： 1）根据电荷分布，求出电场分布； ）根据电荷分布，求出电场分布； 2）选取合适的体积微元 在dV中各点的场强值相 ）选取合适的体积微元dV,在 中各点的场强值相 通常在球对称电场中， 等.通常在球对称电场中，取薄球壳为体积微元 通常在球对称电场中 ）；在轴对称的电场中 （dV=4πr2dr）；在轴对称的电场中，取薄圆柱壳为 ）；在轴对称的电场中， 体积微元（ 体积微元（dV=2 πrldr ）; 3)按能量公式，正确确定积分上下限，计算出结果 按能量公式，正确确定积分上下限，计算出结果. 按能量公式
电容器的电容与电场能量的计算
电容器的电容与电场能量的计算电容器作为一种常见的电子元件，用于储存电荷和电场能量，是电路中不可或缺的重要组成部分。
本文将介绍电容器的电容计算方法和电场能量的计算方法。
一、电容的计算电容是电容器存储电荷的能力，通常用单位电荷量装满电容器后的电压变化来衡量。
根据电容器的定义，电容可以通过以下公式计算：C = Q / V其中，C代表电容（单位为法拉/F），Q代表电容器储存的电荷量（单位为库仑/C），V代表电容器的电压（单位为伏特/V）。
二、电场能量的计算电场能量是指电容器中储存的电场所具有的能量。
在电容器两极板之间的空间中，存在电场能量。
电场能量的计算公式如下：E = 1/2 CV²其中，E代表电场能量（单位为焦耳/J），C代表电容（单位为法拉/F），V代表电容器的电压（单位为伏特/V）。
三、实例分析举一个具体的例子来说明电容与电场能量的计算方法。
假设有一个电容器，电容为10微法（10 μF），电容器的电压为200伏特（200 V）。
我们可以先计算电容，然后再计算电场能量。
1. 电容的计算：C = 10 × 10⁻⁶ F2. 电场能量的计算：E = 1/2 × 10 × 10⁻⁶F × (200 V)²将上述算式计算出来，最终得到电场能量的结果。
四、电容与电场能量的关系从上述计算公式可以看出，电容与电场能量是密切相关的。
电容器的电容越大，储存的电荷量就越多，电场能量也就越大。
同时，电容器的电压越高，电场能量也会相应增加。
五、应用领域电容器的电容与电场能量的计算在电路设计和分析中具有重要的应用。
在实际电路中，根据需要可以选择合适的电容器来储存所需的电荷量和电场能量。
电容器的选取需要根据具体的电路要求以及功耗、面积等因素进行综合考虑。
六、结论本文介绍了电容器的电容与电场能量的计算方法。
电容是衡量电容器存储电荷能力的指标，可以通过电容和电压之间的关系进行计算。
电容静电场的能量6
6-5 电场的能量
一、带电电容器的能量
q0
开 始 时 刻
A
B
q
q
任
一
dq
时
刻
vA
vB
Q
终 了 时 刻
vA
Q
vB
U
U
U
+++++++++
---------
电容器的电能：
+ dq
dW Udq q dq
C
W 1
Q
qdq
Q2
C0
2C
E
CQ U
We
Q2 2C
1 QU 2
A B 间场强分布
电势差
E
0
AdB
B
qd
vA v B
E dl
A
Ed
0S
讨论
C与 d, S 有 关
由定义
C q 0S
vA vB d
S C ；d C 加入介质C的变化？
２. 球形电容器 已知 RA RB
q
设 q q
场强分布
E
一个大小与形状一定的导体能储存多少电荷？
Q
++ + +
+
++
R
+ ++
导体表面处的电势和场强为：
v
Q
4 0R
,
E
Q
4 0R2
希望导体在一定的电势下，带电量越大越好。
电容：导体储存电荷能力的度量。
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E ( R1 r R2 ) 2π 0 r
max 2π 0 R1
要使电容器存储能量最多，则内圆柱表面的电场强 度达最大，大小为 由 Emax Eb
得
max Eb 2π 0 R1
两极间的电势差为 U max max 2 π 0
由电容器的能量公式 We 1 QU 2
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§6. 4 电容 电容器 三、电容器的串联和并联
１.电容器的并联 对电容器C1有：Q1 C1U1 对电容器C2有： Q2 C2U 2 因为
C1
＋
+Q1 -Q1 +Q2 -Q2
Q Q1 Q2
C2
U1 U 2 U
所以 C
U
(3) C
Q Q1 Q2 C1 C2 U U
U
设某一时刻极板上的电荷为q,极板间的电压为u, 这时, 将电荷dq从负极板移至正极板, 必须有外力F; 外力F克服电场力所做的功为
-------
E
+ dq
Fe
q dW F d Edq d Ed dq udq dq C
1 W C
将电容器充电至带电量为Q，外力做的总功
R2
R1
dr max R ln 2 r 2 π 0 R1
-+ R1 l -+ - + R2 -+ _
_ _
_
2 1 R 得单位长度的电场能量为 we maxU max ln 2 2 4 π 0 R1
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+++ _ + + _ +++ _
_
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§6. 5
单位长度的电场能量为
- + RA -+ R B -+ -+
Q E , ( RA r RB ) 2 π 0 r 2 π 0 rl
（iii）两柱面之间的电势差为
U
（iv）电容
RB
RA
dr Q R ln B 2π 0 r 2π 0l RA
Q RB C 2π 0l ln U RA
Q2 1 1 We QU CU 2 2C 2 2
- - --Q ----
E
+ dq
电场能的单位: 当C为法(F), Q为库仑(C) , U为伏特时(V), We的单位为焦耳(J) 2. 电容器中的能量密度
1 S 1 CU 2 ( Ed ) 2 2 2 d 电容器的单位体积的能量（能量密度）为
Q
0
Q2 1 1 qdq QU CU 2 2C 2 2
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9 /15
§6. 5
2
静电场能量 能量密度 +Q +++++++
充电过程中, 外力所做的功为
Q 1 1 W QU CU 2 2C 2 2
外力所做的功以能量的形式贮存在电容器中. 因此, 电容器贮存的能量
U
(1)
Q E 0 0S
AB
d
A
（iii）两带电极板间的电势差为,
U E dl Ed
S
Qd U Ed 0S
（iv）平行板电容器电容
+ + + + + +
Q
(1)
Q
- B -
Q S C 0 U d
务必记住(1)式
思考:若平行板间充满相对电容率为r的介质, C =?
因此，孤立带电导体球周围空间贮存的总能量为
Q2 We 8 π R1
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13 /15
§6. 5
静电场能量 能量密度
例2 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击穿场强是 Eb=3106V· m-1，
电容器外半径R2=10-2m. 在空气不被击穿的情况下, 内半径R1= ? 可使 电容器存储能量最多. (空气r1 ) . 设电容器的内圆柱单位长度带正电，电容器中的电场强度为,
U2
+Q U
等效图
U U1 U 2
所以
即
U U1 U 2 Q Q Q
＋
-Q
U U1 U 2 Q Q1 Q2
1 1 1 C C1 C2
(5)
即
同理对二个以上电容器的串联有
1 1 1 1 C C1 C2 C3
(6)
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§6. 5
静电场能量 能量密度
球壳间充以电容率为的电介质；问此电容器贮存的电场能量为多少？
解 根据高斯定理, 可得两球壳间的电场强度为
E 1 Q e 2 r 4 π r ( R1 r R2 )
R1
dr
R2
1 2 Q2 两球壳间的能量密度为 we E 2 32π 2 r 4
能量密度具有球对称性, 因此在厚度为dr的球壳内的能量为
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电容 电容器 例1 平行平板电容器的极板是边长为 l 的正方形，两板之间的距离d=1mm. 如两极板的电势差为100V，要使极板上储存10-4C的电荷,边长 l 应
取多大才行.
§6. 4
解
Q 104 C F 106 F U 100
由平行板电容器电容公式 得 因为
§6. 4
电容 电容器
一、孤立导体的电容
1. 电容的定义: 孤立导体所带的电荷Q与它的电势V的比值.
Q
C
Q V
R
电容C只由导体的大小和形状决定, 与导体所带电量和电势无关.
2. 电容的单位
国际单位制中：法拉 ( 符号为 F) 微法F:
1F 1C/V
1F 106 F; 皮法pF : 1pF 1012 F
与所带电荷量无关.
三、电容器电容的计算
2）求两极板所产生的电场 E ；
3）求两极板之间的电势差U； 4）求电容 C = Q/U. 下面计算几种常见的电容器的电容.
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2 /15
1）设两极板分别带电 Q；
§6. 4
1. 平行板电容器
电容 电容器
（i）设两导体板分别带电Q ; （ii）两带电平行板间的电场强度为,
(3)
l
特别地, 当
d RB RA RA , 有
平行板电容器电容
C
2 0l 2 0l 2 π 0lRA 0 S d d d d ln(1 ) RA RA
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思考:若两圆柱面间充满相对电容率为r的介质, C =?
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§6. 4
电容 电容器
将 得
静电场能量 能量密度 2 1 R2 max we maxU ln 2 4 π 0 R1
代入上式
max 2 π 0 Eb R1
2 b 2 1
R2 we π 0 E R ln R1
dwe R 2 π 0 Eb R1 (2 ln 2 1) 0 dR1 R1
Q Q
二、电容器和电容器的电容
1.电容器: 由两个能够带有等值、
异号电荷的导体组成的系统.
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VB
VA
1/15
§6. 4
2.电容器电容
定义： C
电容 电容器
Q Q VA VB U AB
Q
Q
式中 U AB
E dl
AB
VB
VA
电容器电容的大小仅与导体的大小、形状、相对位置、其间的电介质有关.
2. 球形电容器的电容 球形电容器是由半径分别为R1和R2的两同心金属球壳所组成．
设内球带正电+Q, 外球带负电-Q． 由高斯定理可求得, 两球壳之间的电场强度为,
E
Q
4π 0 r 2
er
( R1 r R2 )
两球壳之间的电势差为
U E dl
l
Q 1 1 Q R R1 ( ) ( 2 ) 4 π 0 R1 R2 4 π 0 R1 R2
通过电磁场
发电厂的电能通过什么方式传至千家万户的？？ 表明电场具有能量； 如何计算电场的能量 ？
从分析平行板电容器的能量入手, 然后将结论推广至一般情况.
一、 电容器的能量
1. 电容器中的总能量
F
+++++++
如图, 平行板电容器, 开始不带电.
电容器充电, 等效为不断地将正电荷从负极板移到正极板.
因为 We
We We 1 2 E we Sd 2 V
能量密度由电场强度和介质的性质决定
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§6. 5
电容器中的能量密度
静电场能量 能量密度
we 1 E 2 2
将电容器的结论推广至一般电场的情况.
二、静电场的能量 能量密度
对任意介质中的静电场, 其能量密度为
C
0S
d
S
d
0
C
S l2
Cd
所以 l
0
10 6 10 3 12 8.85 10
113 10 .63m
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§6. 4
电容 电容器
2. 柱形电容器 （i）设两导体圆柱面单位长度上分别带电 =Q/L （ii）两柱面之间的电场强度为
l RB
102 6.07103 m 2.71828
令
-+ R1 l -+ - + R2 -+ _